Научная статья на тему 'Об одном подходе к численному моделированию конвективных вязких течений в односвязных и многосвязных областях'

Об одном подходе к численному моделированию конвективных вязких течений в односвязных и многосвязных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
44
19
Поделиться

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Сидоров Максим Викторович

Рассматривается задача расчета конвективного течения вязкой несжимаемой жидкости в односвязной или многосвязной области. Предлагается приближенный метод решения этой задачи, основанный на применении методов R-функций и последовательных приближений.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Сидоров Максим Викторович,

About one method numerical modeling of convection viscous flow in simply connected and multiply connected domains

Cons!der the time-mdependent convection mcompressMe v!scous flow іп srnply connected and multiply connected 2D-domams. Accordmg to the R-function method and method of successrve approxiшations numerical solution was buhd.

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Об одном подходе к численному моделированию конвективных вязких течений в односвязных и многосвязных областях»

вой схемы, которое осуществляется соответствующими межсоединениями входных и выходных выводов рангеров, воспроизводится широкий набор логических функций инвариантной обработки аналоговых сигналов. Для реализации операций перепрограммирования могут быть использованы коммутирующие матрицы с кодовым управлением от микроконтроллера. В постоянное запоминающее устройство микроконтроллера закладывается библиотека межсоединений (схем) в виде соответствующих кодов. При таком подходе инвариантные классификаторы являются гибридными персональными вычислительными системами. Таким образом, в элементном базисе рангеров возможно построение широкой номенклатуры инвариантных классификаторов без промежуточных преобразований аналоговых сигналов в цифровой код. В связи с этим появляется необходимость промышленного

выпуска рангеров в виде гибридных интегральных микросхем общего применения и дальнейшего развития рангерной микросхемотехники.

Литература: 1. Плотников В. Н. Речевой диалог в системах управления. М.: Машиностроение, 1988. 224 с. 2. Васильев В. И. Распознающие системы. К.: Наук. думка, 1983. 424 с. 3. Полонский А. Д. О рангере (Сообщение) // Радиоэлектроника и информатика. 1999. № 3 (08). С. 60.

Поступила в редколлегию 08.06.2003

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Воробьев Г.С.

Полонский Александр Дмитриевич, канд. техн. наук, докторант кафедры искусственного интеллекта ХНУ-РЭ. Научные интересы: инвариантные системы. Адрес: Украина, 40001, Сумы, ул. Кирова-165, д. 140, кв. 41, тел. (0542) 277-975.

УДК 517.9+532.5

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ЧИСЛЕННОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ КОНВЕКТИВНЫХ ВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ В ОДНОСВЯЗНЫХ И МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ

СИДОРОВ М.В.____________________________

Рассматривается задача расчета конвективного течения вязкой несжимаемой жидкости в односвязной или многосвязной области. Предлагается приближенный метод решения этой задачи, основанный на применении методов R-функций и последовательных приближений.

Введение

При построении численных алгоритмов решения задач конвективного движения вязкой несжимаемый жидкости (например, при моделировании процессов выращивания монокристаллов, при расчете охлаждения подвижных частей двигателей и др.) часто используется система уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска в переменных «функция тока — температура». Применение этих уравнений для решения задач в многосвязных областях затруднено тем обстоятельством, что, приняв значение функции тока на одной из границ равным некоторой постоянной величине, мы не можем определить функцию тока на других границах. В связи с этим возникают определенные трудности численного решения уравнений.

1. Постановка задачи

Рассмотрим стационарное конвективное движение вязкой жидкости в плоской области Q с кусочнонепрерывной границей 3Q (предполагаем, что массовые силы отсутствуют). Уравнения Навье-Стокса в приближении Буссинеска (приближение слабой сжимаемости) в переменных “функция тока — температура” имеют вид [1]

, , 8 (5у 4 ^ 8 (5у 4

ллт = — — Ау - — |— Ат

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

ox ^ 8у

1 л _ 8 f8w

— AT = — T—

Pr 8x { 8y

j 8y ^ 8x

G 3T

Gr ix • (1)

_Af T

8y I 8x I ’ x • (2)

Здесь V — функция тока, связанная с компоненту

тами скорости соотношениями vx =

vy =--

Sy

ox

8y

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

; Т—температура жидкости; Pr — число

Прандтля; Gr — число Грасгофа.

Систему уравнений (1), (2) дополним граничными условиями.

Если область q односвязная, ограниченная твердыми неподвижными стенками, то, используя условия прилипания, можно задать условия вида

* = о

dn 8Q

(3)

Tl5Q T°(x’y)|5Q . (4)

Рассмотрим теперь случай, когда область Q многосвязная (для простоты изложения ограничимся случаем двухсвязной области). По-прежнему предполагаем, что область Q. ограничена твердыми неподвижными стенками. Обозначим через 8Q о внешнюю границу области Q, а через 8&i — внутреннюю. Известно [1], что функция тока у(х, у) определена с точностью до несущественной постоянной, поэтому на одной части границы можно положить

5у МдПо = 0, 8п dQo = о. ; (5)

но тогда с, Щ сО = о, (6)

где c = const, но эта постоянная не задана. Постоянную c из (6) найдем из условия однозначного

РИ, 2003, № 4

55

определения давления в многосвязной области q . Рассуждая аналогично, как и в [2], для определения c можно получить условие

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

ds = Or f^ds

5Qj ^ 5Qj fix

(7)

2. Метод решения

Систему уравнений (1), (2) будем решать, применяя итерационный процесс последовательных приближений по нелинейности, т.е. решая на каждом (т +1 -м шаге линейную систему

ДДу<m+1)

—дТт+1) =

Pr

Ду( т)

5x ^ 5у

дТ(т 1+Or У1!,(8)

ду ^ дх дх

_8_

дх

ґ

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Т

<т) 1

V

су

_д_

ду

ґ

T

т т> 1 — -(9)

Можно доказать, что указанный итерационный процесс при достаточно малых числах Прандтля и Грасгофа сходится к единственному обобщенному решению соответствующих краевых задач.

Начальное приближение может быть выбрано произвольно, например, в качестве у (°) можно взять течение Стокса.

Обозначим

Fm = —

^ Д„< т)

дх

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

\

ау

4*” т

O'"

дх

(

ду ^ дх

Or

Т

Hi

т) )__д( ауН)

сГт

ах

V

----Т

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

ау J ау ^

дх

Случай односвязной области Q . Пусть известна функция ю(х, у), удовлетворяющая условиям:

ю > 0 в Q , ю = 0 на дп, I'Vra| = 1 на дП, dQ = 3Q о U аПі.

В соответствии с методом R-функций [3] и используя структуры решений, полученные ранее [3, 4], решение уравнений (8), (9), удовлетворяющее краевым условиям (3), (4), будем искать в виде

у(т+1) = ш2ф1т+1), (10)

Тт+1) = Т0 +юф(2т, (11)

где ф1т+1), Ф 2т+1) — неопределенные компоненты. Для их аппроксимации можно воспользоваться, например, каким-либо вариационным методом, представив их в виде линейной комбинации базисных функций.

Случай двухсвязной области Q . Функцию тока в задаче (8), (9), (5)—(7), (4) будем искать в виде

V

(т+1) = и(т+1)

0

си1

(12)

где c решение задачи

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

константа из (7). Здесь функция u0"—

ДДи(0т+1) = F" в Q,

і(т+1)

8Q

= 0

auQm+1)

ап

= 0

(13)

(14)

дП

а функция U1 — решение задачи ДДи1 = 0 в q ,

і і 0U1

и1яг1 = 0 и1 = 1 ——

115Q0 ’ 119Q1 ’ ^п

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

= 0

5Q

(15)

(16)

Таким образом, функция щ в (12) от номера итерации не зависит и при реализации вычислительного процесса находится лишь один раз.

Очевидно, что при таком выборе функций и0", щ функция у т+0 вида (12) будет удовлетворять уравнению (8) и краевым условиям (5), (6); кроме того, функции и0"+1) и щ будут линейно-независимыми.

Подставив теперь (12) в (7) для определения постоянной c , получим соотношение

f дДщ. c у ---1 ds

5П1 дп

' аДи0 г сТ

j ----0 ds + Or j — ds

5Q1 ^п 5Q1 CK

. (17)

Для решения задач (13)-(16) можно воспользоваться методом R-функций [3]. Пусть известны функции а Дх, у) и ю^х, у), такие, что

ю0 > 0 в Q U aQ1, ю0 = 0 на dQ0, |Vra0| = 1 на aQ0;

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

ю1 > 0 в Q U dQ 0 , ®1 = 0 на dQ 1, |Ую^ = 1 на aQ1.

Тогда функция ю = ю 0 ла ^ будет удовлетворять таким условиям:

ю> 0 в Q , ю = 0 на dQ, Н = 1 на dQ.

Структуры решения задач (13)-(16) возьмем соответственно в виде

и0"+1 = ш2ф0"+1),

(18)

и =

= ________raD (1)

®0 +®1

®0

®0 +®1

2

+ ю Ф1. (19)

Здесь ф0т+1), Ф1 — неопределенные компоненты

структур;

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

да а да д ах ах ду ду

Далее, найдя значение y(m+1), решаем задачу (9), (4) для температуры. Ее структура решения может быть выбрана в виде (11).

3. Результаты вычислительного эксперимента

С помощью пакета Mathematica 4.2© было получено решение задачи свободной конвекции при pr = 1, Or = 50 для двух областей: прямоугольной

Q = {(х, у) | 0 < х < 1, 0 < у < 1}

РИ, 2003, № 4

56

и имеющей форму полуэллипса:

Q = fx,y)|4(x - 0,5)2 + у2 < 1, 0 < у < і}.

Краевое условие для температуры (4) задавалось в виде To(x, 0) = 1 - |2х -і| и m(x, y) = 0 на остальных участках границы области Q. Полученные приближенные решения сравнивались с решениями, полученными в [5] с помощью метода фиктивных областей. Результаты очень хорошо согласуются.

Литература: 1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 840 с. 2. СидоровМ.В. Приближенный метод расчета многосвязных вязких течений // Радиоэлектроника и информатика. 2003. № 1. С. 42-44.

3. РвачевВ.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. К.: Наук. думка, 1982. 552 с. 4. Сидоров М.В. Применение метода R-функций к расчету течения в квадратной каверне при малом числе Рейнольдса // Радиоэлектроника и информатика. 2002. № 4. С. 54-56. 5. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в математической физике. М.: Изд-во МГУ, 1991. 156 с.

Поступила в редколлегию 21.10.2003

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Колосов А.И.

Сидоров Максим Викторович, ассистент кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, математическая физика, теория R-функций и ее приложения. Увлечения и хобби: история культуры. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина. 14, тел. (0572) 702-14-36.

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

УДК 517.977.5

ЗАДАЧА ДИНАМИЧЕСКОГО СИНТЕЗА ПРИ ВЕКТОРНОМ УПРАВЛЕНИИ

РАДИЕВСКИЙА. Е.________________________

Рассматривается процедура разработки математического обеспечения задачи динамического синтеза при векторном управлении. Сформулированная задача исследуется на основе положений одного из разделов современной теории экстремальных задач — формализме Дубовицкого- Милютина.

1. Введение

Современный этап развития научно-технического прогресса в области проектирования современных и перспективных систем управления (СУ) технологическими процессами и подвижными объектами базируется на положениях прикладной современной теории автоматического управления [1]. Использование ее положений позволяет учитывать специфичность процедуры проектирования, связанную с применением средств вычислительной техники в структуре управляющих устройств СУ, а также наличия информационных и энергетических закономерностей и ограничений.

2. Постановка и особенности задачи

На движениях объекта управления (ОУ)

^ = F(x,u,w,t)

dt

нео бход имо определить алгоритм управления (АУ), доставляющий оптимум векторному критерию качества

и граничных условий x(t0) = х0, х(^ ) = 0 , где х = x(t) є Cn(t0,tJ - состояние (Cn(t0,tJ-пространство n -мерных непрерывных на отрезке [t0, t1 ] функций x(t) c нормой

И = max|x(t)|, Vt є [t0,tj е R1);

u = u(t)є ЦД^Ді)-управёение (ЦД^Ді)-пр°-странство г- мерных существенно ограниченных на

отрезке [t0, tj измеримых функций u(t) с нормой

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Н = vraisup|u(t)|, Vt є [t0,tj е R1); w=Wt) єEw -возмущение (Ew — пространство элементарных случайных функций вида [2] w(t) = c(t)A., c(t) — координатная функция, X — случайная величина, принадлежащая счетному множеству); f0(x,u) — функционал; J^u^i є [1, m] — интегральный квадратичный функционал, a i > 0,i є [1, ml — весовые

m

коэффициенты, причем ^ai = 1; xmax, umax — за-

i=1

данные числа; t є [t 0, 11 ] c R1 — время; [t 0, 11 ]—

интервал управления; R1 — числовая прямая.

3. Особенности задания векторного критерия качества

Предполагается, что m = n • Возможны три варианта соотношений между величинами n и г :

n = r; n > r (n - r = zj; n < r (r - n = z2).

J(u) = J(f<,(x,u)), (1)

который задается как некая функция произвольного множества (a ^(u))”^ локальных критериев качества при наличии ограничений

x Є Q = (x : \x\ < xmax) , (2)

u Є U = (u:|u| < umaJ (3)

Для первого варианта локальные критерии качества задаются в виде

t1i t1i / \

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

J|(4 = J Wlxi,ui)dt = I (xTR.xi + uTM|u>

t0i

,(4)

i є

[1,n];

0i

РИ, 2003, № 4

57