Об одном подходе к численному моделированию конвективных вязких течений в односвязных и многосвязных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

вой схемы, которое осуществляется соответствующими межсоединениями входных и выходных выводов рангеров, воспроизводится широкий набор логических функций инвариантной обработки аналоговых сигналов. Для реализации операций перепрограммирования могут быть использованы коммутирующие матрицы с кодовым управлением от микроконтроллера. В постоянное запоминающее устройство микроконтроллера закладывается библиотека межсоединений (схем) в виде соответствующих кодов. При таком подходе инвариантные классификаторы являются гибридными персональными вычислительными системами. Таким образом, в элементном базисе рангеров возможно построение широкой номенклатуры инвариантных классификаторов без промежуточных преобразований аналоговых сигналов в цифровой код. В связи с этим появляется необходимость промышленного

выпуска рангеров в виде гибридных интегральных микросхем общего применения и дальнейшего развития рангерной микросхемотехники.

Литература: 1. Плотников В. Н. Речевой диалог в системах управления. М.: Машиностроение, 1988. 224 с. 2. Васильев В. И. Распознающие системы. К.: Наук. думка, 1983. 424 с. 3. Полонский А. Д. О рангере (Сообщение) // Радиоэлектроника и информатика. 1999. № 3 (08). С. 60.

Поступила в редколлегию 08.06.2003

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Воробьев Г.С.

Полонский Александр Дмитриевич, канд. техн. наук, докторант кафедры искусственного интеллекта ХНУ-РЭ. Научные интересы: инвариантные системы. Адрес: Украина, 40001, Сумы, ул. Кирова-165, д. 140, кв. 41, тел. (0542) 277-975.

УДК 517.9+532.5

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ЧИСЛЕННОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ КОНВЕКТИВНЫХ ВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ В ОДНОСВЯЗНЫХ И МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ

СИДОРОВ М.В.____________________________

Рассматривается задача расчета конвективного течения вязкой несжимаемой жидкости в односвязной или многосвязной области. Предлагается приближенный метод решения этой задачи, основанный на применении методов R-функций и последовательных приближений.

Введение

При построении численных алгоритмов решения задач конвективного движения вязкой несжимаемый жидкости (например, при моделировании процессов выращивания монокристаллов, при расчете охлаждения подвижных частей двигателей и др.) часто используется система уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска в переменных «функция тока — температура». Применение этих уравнений для решения задач в многосвязных областях затруднено тем обстоятельством, что, приняв значение функции тока на одной из границ равным некоторой постоянной величине, мы не можем определить функцию тока на других границах. В связи с этим возникают определенные трудности численного решения уравнений.

1. Постановка задачи

Рассмотрим стационарное конвективное движение вязкой жидкости в плоской области Q с кусочнонепрерывной границей 3Q (предполагаем, что массовые силы отсутствуют). Уравнения Навье-Стокса в приближении Буссинеска (приближение слабой сжимаемости) в переменных “функция тока — температура” имеют вид [1]

, , 8 (5у 4 ^ 8 (5у 4

ллт = — — Ау - — |— Ат

ox ^ 8у

1 л _ 8 f8w

— AT = — T—

Pr 8x { 8y

j 8y ^ 8x

G 3T

Gr ix • (1)

_Af T

8y I 8x I ’ x • (2)

Здесь V — функция тока, связанная с компоненту

тами скорости соотношениями vx =

vy =--

Sy

ox

8y

; Т—температура жидкости; Pr — число

Прандтля; Gr — число Грасгофа.

Систему уравнений (1), (2) дополним граничными условиями.

Если область q односвязная, ограниченная твердыми неподвижными стенками, то, используя условия прилипания, можно задать условия вида

* = о

dn 8Q

(3)

Tl5Q T°(x’y)|5Q . (4)

Рассмотрим теперь случай, когда область Q многосвязная (для простоты изложения ограничимся случаем двухсвязной области). По-прежнему предполагаем, что область Q. ограничена твердыми неподвижными стенками. Обозначим через 8Q о внешнюю границу области Q, а через 8&i — внутреннюю. Известно [1], что функция тока у(х, у) определена с точностью до несущественной постоянной, поэтому на одной части границы можно положить

5у МдПо = 0, 8п dQo = о. ; (5)

но тогда с, Щ сО = о, (6)

где c = const, но эта постоянная не задана. Постоянную c из (6) найдем из условия однозначного

РИ, 2003, № 4

55

определения давления в многосвязной области q . Рассуждая аналогично, как и в [2], для определения c можно получить условие

ds = Or f^ds

5Qj ^ 5Qj fix

(7)

2. Метод решения

Систему уравнений (1), (2) будем решать, применяя итерационный процесс последовательных приближений по нелинейности, т.е. решая на каждом (т +1 -м шаге линейную систему

ДДу<m+1)

—дТт+1) =

Pr

Ду( т)

5x ^ 5у

дТ(т 1+Or У1!,(8)

ду ^ дх дх

_8_

дх

ґ

Т

<т) 1

V

су

_д_

ду

ґ

T

т т> 1 — -(9)

Можно доказать, что указанный итерационный процесс при достаточно малых числах Прандтля и Грасгофа сходится к единственному обобщенному решению соответствующих краевых задач.

Начальное приближение может быть выбрано произвольно, например, в качестве у (°) можно взять течение Стокса.

Обозначим

Fm = —

^ Д„< т)

дх

\

ау

4*” т

O'"

дх

(

ду ^ дх

Or

Т

Hi

т) )__д( ауН)

сГт

ах

V

----Т

ау J ау ^

дх

Случай односвязной области Q . Пусть известна функция ю(х, у), удовлетворяющая условиям:

ю > 0 в Q , ю = 0 на дп, I'Vra| = 1 на дП, dQ = 3Q о U аПі.

В соответствии с методом R-функций [3] и используя структуры решений, полученные ранее [3, 4], решение уравнений (8), (9), удовлетворяющее краевым условиям (3), (4), будем искать в виде

у(т+1) = ш2ф1т+1), (10)

Тт+1) = Т0 +юф(2т, (11)

где ф1т+1), Ф 2т+1) — неопределенные компоненты. Для их аппроксимации можно воспользоваться, например, каким-либо вариационным методом, представив их в виде линейной комбинации базисных функций.

Случай двухсвязной области Q . Функцию тока в задаче (8), (9), (5)—(7), (4) будем искать в виде

V

(т+1) = и(т+1)

0

си1

(12)

где c решение задачи

константа из (7). Здесь функция u0"—

ДДи(0т+1) = F" в Q,

і(т+1)

8Q

= 0

auQm+1)

ап

= 0

(13)

(14)

дП

а функция U1 — решение задачи ДДи1 = 0 в q ,

і і 0U1

и1яг1 = 0 и1 = 1 ——

115Q0 ’ 119Q1 ’ ^п

= 0

5Q

(15)

(16)

Таким образом, функция щ в (12) от номера итерации не зависит и при реализации вычислительного процесса находится лишь один раз.

Очевидно, что при таком выборе функций и0", щ функция у т+0 вида (12) будет удовлетворять уравнению (8) и краевым условиям (5), (6); кроме того, функции и0"+1) и щ будут линейно-независимыми.

Подставив теперь (12) в (7) для определения постоянной c , получим соотношение

f дДщ. c у ---1 ds

5П1 дп

' аДи0 г сТ

j ----0 ds + Or j — ds

5Q1 ^п 5Q1 CK

. (17)

Для решения задач (13)-(16) можно воспользоваться методом R-функций [3]. Пусть известны функции а Дх, у) и ю^х, у), такие, что

ю0 > 0 в Q U aQ1, ю0 = 0 на dQ0, |Vra0| = 1 на aQ0;

ю1 > 0 в Q U dQ 0 , ®1 = 0 на dQ 1, |Ую^ = 1 на aQ1.

Тогда функция ю = ю 0 ла ^ будет удовлетворять таким условиям:

ю> 0 в Q , ю = 0 на dQ, Н = 1 на dQ.

Структуры решения задач (13)-(16) возьмем соответственно в виде

и0"+1 = ш2ф0"+1),

(18)

и =

= ________raD (1)

®0 +®1

®0

®0 +®1

2

+ ю Ф1. (19)

Здесь ф0т+1), Ф1 — неопределенные компоненты

структур;

да а да д ах ах ду ду

Далее, найдя значение y(m+1), решаем задачу (9), (4) для температуры. Ее структура решения может быть выбрана в виде (11).

3. Результаты вычислительного эксперимента

С помощью пакета Mathematica 4.2© было получено решение задачи свободной конвекции при pr = 1, Or = 50 для двух областей: прямоугольной

Q = {(х, у) | 0 < х < 1, 0 < у < 1}

РИ, 2003, № 4

56

и имеющей форму полуэллипса:

Q = fx,y)|4(x - 0,5)2 + у2 < 1, 0 < у < і}.

Краевое условие для температуры (4) задавалось в виде To(x, 0) = 1 - |2х -і| и m(x, y) = 0 на остальных участках границы области Q. Полученные приближенные решения сравнивались с решениями, полученными в [5] с помощью метода фиктивных областей. Результаты очень хорошо согласуются.

Литература: 1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 840 с. 2. СидоровМ.В. Приближенный метод расчета многосвязных вязких течений // Радиоэлектроника и информатика. 2003. № 1. С. 42-44.

3. РвачевВ.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. К.: Наук. думка, 1982. 552 с. 4. Сидоров М.В. Применение метода R-функций к расчету течения в квадратной каверне при малом числе Рейнольдса // Радиоэлектроника и информатика. 2002. № 4. С. 54-56. 5. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в математической физике. М.: Изд-во МГУ, 1991. 156 с.

Поступила в редколлегию 21.10.2003

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Колосов А.И.

Сидоров Максим Викторович, ассистент кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, математическая физика, теория R-функций и ее приложения. Увлечения и хобби: история культуры. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина. 14, тел. (0572) 702-14-36.

УДК 517.977.5

ЗАДАЧА ДИНАМИЧЕСКОГО СИНТЕЗА ПРИ ВЕКТОРНОМ УПРАВЛЕНИИ

РАДИЕВСКИЙА. Е.________________________

Рассматривается процедура разработки математического обеспечения задачи динамического синтеза при векторном управлении. Сформулированная задача исследуется на основе положений одного из разделов современной теории экстремальных задач — формализме Дубовицкого- Милютина.

1. Введение

Современный этап развития научно-технического прогресса в области проектирования современных и перспективных систем управления (СУ) технологическими процессами и подвижными объектами базируется на положениях прикладной современной теории автоматического управления [1]. Использование ее положений позволяет учитывать специфичность процедуры проектирования, связанную с применением средств вычислительной техники в структуре управляющих устройств СУ, а также наличия информационных и энергетических закономерностей и ограничений.

2. Постановка и особенности задачи

На движениях объекта управления (ОУ)

^ = F(x,u,w,t)

dt

нео бход имо определить алгоритм управления (АУ), доставляющий оптимум векторному критерию качества

и граничных условий x(t0) = х0, х(^ ) = 0 , где х = x(t) є Cn(t0,tJ - состояние (Cn(t0,tJ-пространство n -мерных непрерывных на отрезке [t0, t1 ] функций x(t) c нормой

И = max|x(t)|, Vt є [t0,tj е R1);

u = u(t)є ЦД^Ді)-управёение (ЦД^Ді)-пр°-странство г- мерных существенно ограниченных на

отрезке [t0, tj измеримых функций u(t) с нормой

Н = vraisup|u(t)|, Vt є [t0,tj е R1); w=Wt) єEw -возмущение (Ew — пространство элементарных случайных функций вида [2] w(t) = c(t)A., c(t) — координатная функция, X — случайная величина, принадлежащая счетному множеству); f0(x,u) — функционал; J^u^i є [1, m] — интегральный квадратичный функционал, a i > 0,i є [1, ml — весовые

m

коэффициенты, причем ^ai = 1; xmax, umax — за-

i=1

данные числа; t є [t 0, 11 ] c R1 — время; [t 0, 11 ]—

интервал управления; R1 — числовая прямая.

3. Особенности задания векторного критерия качества

Предполагается, что m = n • Возможны три варианта соотношений между величинами n и г :

n = r; n > r (n - r = zj; n < r (r - n = z2).

J(u) = J(f<,(x,u)), (1)

который задается как некая функция произвольного множества (a ^(u))”^ локальных критериев качества при наличии ограничений

x Є Q = (x : \x\ < xmax) , (2)

u Є U = (u:|u| < umaJ (3)

Для первого варианта локальные критерии качества задаются в виде

t1i t1i / \

J|(4 = J Wlxi,ui)dt = I (xTR.xi + uTM|u>

t0i

,(4)

i є

[1,n];

0i

РИ, 2003, № 4

57