Синтез инвариантных классификаторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Выводы

В результате проведенных исследований предложена модель программного агента на основе фреймовой структуры. Слоты в рассмотренной модели выполняют роль функциональных модулей, решающих конкретные задачи информационной поддержки. Обоснован формальный подход к задаче проектирования логической структуры взаимосвязанных программных агентов. Предложенные модели могут использоваться для разработки мультиагентных систем автономного администрирования информационных ресурсов распределенных вычислительных систем.

Литература: 1. Foundation for Intelligent Physical Agents (FIPA) Spec: DRAFT, version 0.2, Agent Communication language, 1999. 322 р. 2. Пономаренко Л.А, Філатов В.О. Програмні агентні технології в адмініструванні баз

УДК 681.5

СИНТЕЗ ИНВАРИАНТНЫХ КЛАССИФИКАТОРОВ

ПОЛОНСКИЙ А.Д.__________________________

Для идентификации случайных аналоговых сигналов в условиях статистической неопределенности функционирования измерительных каналов систем управления описывается метод синтеза инвариантных классификаторов на основе обучения распознавания медианных отношений между наблюдениями. Предлагается ряд схем инвариантных классификаторов, синтезированных в элементном базисе рангеров.

Введение

В системах управления применяются специализированные процессоры, которые называются классификаторами [1]. На основании выводов классификатора регулятор принимает управленческое решение . Качество такого управления существенно зависит от эффективности решения задачи синтеза классификатора. В основу решения этой задачи положены методы обучения распознавания образов [ 1, 2]. На практике, когда в измерительных каналах систем управления действуют случайные аналоговые сигналы, возникает проблема обучения распознавания образов в условиях априорной неопределенности . Суть этой проблемы состоит в том, что для классических методов обучения распознавания образов [2] нет, как правило, полного объема априорных сведений о статистических свойствах случайных сигналов. В связи с этим возникает задача синтеза классификаторов, которые обладают свойством инвариантности к распределениям случайных аналоговых сигналов. В настоящей работе для синтеза инвариантных классификаторов предложен метод обучения распознавания отношений. В элементом базисе рангеров синтезированы электрические схемы инвариантных классификаторов.

1. Постановка задачи

Будем рассматривать классификаторы как идентифицирующие системы вида

даних // Вісник Київського торговельно-економічного університету. Київ. Вип.3/2001. С.68-73. 3. Гренавдер У. Лекции по теории образов: Пер. с анг. / Под ред. Ю.И. Журавлева. М.: Мир, 1979. 256с. 4. Конноли Т, БеггК Базы данных: проектирование, реализация и сопровождение. Теория и практика, 2-е изд.: Пер с англ. М.: Вильямс, 2000. 1120с.

Поступила в редколлегию 09.02.2003

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Яковлев С.В.

Филатов Валентин Александрович, канд. техн. наук, доцент кафедры искусственного интеллекта ХНУРЭ. Научные интересы: распределенные информационные системы, базы данных, агентные технологии. Увлечения: автоспорт, футбол. Адрес: Украина, 61031, Харьков, ул. Ромашкина, 6/а, кв. 19, e-mail: Filatov_val@ukr.net

Г 0 | U gR; йУ; ____

zi = аіУ i =1 , i = 1,m

[y,|U eRi ЄУ,

(1)

Здесь zi есть многоместная (n-арная) функция, заданная на множестве идентифицирующих переменных U={u(1), ..., u(n)} со значениями из множества {0, yi}; У = {уь K,ym } — множество идентифицируемых переменных; Ri є Un — заданное на множестве U отношение, для которого ai = 1, aj = 0 Vj ф i = 1, m ; Un — n-я декартова степень множества U; ai — весовые коэффициенты, подлежащие определению.

В дальнейшем изложении под идентифицирующими переменными понимаются независимые мгновенные значения напряжений случайных аналоговых сигналов u(1), ..., u(n) с произвольными интегральными функциями распределений (ИФР) n

вида F(U) = ПF(u(i)). i=1

Здесь F(U) и F(u) есть соответственно n-мерные и одномерные ИФР мгновенных значений напряжений случайных аналоговых сигналов.

Выражения (1) при R1 u R 2 uK uR m = U n определяют класс алгоритмов идентификации одной yi из m переменных yb K , ym по признаку, заданному отношением

Ri = ^(i0o^i^)oKou(in-ОоЦц)}. (2)

Здесь u(ip)ou(iq) есть либо u(ip) > u(iq) , либо (ip) <u(iq); {ib K , in} — i-я перестановка целых чисел от 1 до n.

Задача синтеза рассматриваемых классификаторов состоит в том, что требуется определить весовые коэффициенты, которые соответствуют заданным отношениям между идентифицирующими переменными.

РИ, 2003, № 4

51

2. Метод решения

Предположим, что алгоритм определения весовых коэффициентов заранее не ограничивается, а рассматривается задача синтеза классификаторов, которые обладают свойством инвариантности к распределениям идентифицирующих переменных.

Утверждение 1. Свойством инвариантности обладают преобразования

Л pq =Л(и0р) - иЫ)

0

(U(ip)-U(iq)) <0; (U(ip) - U0q)) ^ 0

(3)

Д о к а з а т е л ь с т в о. В (3) события pq = о|

и pq = lj являются случайными и составляют

полную группу. Распределения таких событий характеризуются вероятностями

р{ п( иЫ - 40)=0}=1 - р{ 4 40 - 40)=^=

1

= 1 -JF(u)dF(u) = 0,5 . (4)

0

Из (4) следует, что появление событий pq = 0} и pq = lj равновероятно независимо от конкретного закона распределения идентифицирующих переменных. Это позволяет утверждать, что преобразования (3) обладают свойством инвариантности.

Пусть векторы весовых коэффициентов заданы на множестве инвариантных преобразований (3) следующим образом:

n n-l --T

a = (ai =П П^(u(ip)-u(iq)),i = 1,m) . (5)

p=1 q=p+1

^ =

Гтс(у) = 1 -:rc(v)| v <0;

r(v)

v > 0.

Утверждение 2. Преобразования вида (5) обладают свойством инвариантности.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что существует линейное нормированное пространство V = {v = (v1,... ,vm)T}, элементами которого являются векторы v такие, что v; = 0 v 1 Vi = 1, m . Очевидно, V содержит 2m точек. Тогда, исходя из выражений (4), имеем

Р{ a = V =

n n-1

= {Р{[ П П ^(u(ip) - u(iq ))] = v,}}m =

p=1 q=p+1

1

= [J F(vi)dF(vi)]m = 0,5m .

0

Отсюда следует, что совместное распределение весовых коэффициентов не зависит от статистических свойств идентифицирующих переменных. В этом проявляется свойство инвариантности преобразований (5).

Инвариантные преобразования вида (5) образуют класс алгоритмов обучения распознавания отношений. При этом получаются векторы весовых коэффициентов, которые являются кодами рангов идентифицирующих переменных.

Определение 1. Рангом i-й идентифицирующей переменной u(i) называется ее порядковый номер г; в статистическом ряду

{u(1)<... <u^<... < u(n)} .

Здесь u(r) есть r-я порядковая статистика множества идентифицирующих переменных.

Формально процедуру вычисления ранга можно представить в виде

ri = Ея(u(i) - u(k)) (6)

k=1 v 7

Совокупность рангов всех идентифицирующих переменных образует некоторую перестановку целых чисел от 1 до n. Все такие перестановки, согласно (4), равновероятны независимо от вида ИФР идентифицирующих переменных. В этом проявляется свойство инвариантности преобразований (6).

Отметим, что математическое ожидание для инвариантного преобразования (6) определяется выражением M[r]=0,5(n+1). Отсюда при n=2k+1, k>0, имеем M [r] =k+1.

Определение 2. Порядковая статистика ранга r=k+1 при n=2k+1, k>0, называется выборочной медианой:

Med = med{u(1), K , u(2k +1)} = u(k+1). (7)

Утверждение 3. Выборочная медиана является инвариантной оценкой одномерной плотности распределения величин (ПРВ) для идентифицирующих переменных.

Определение 3. Инвариантной оценкой ПРВ называется случайная величина, смещение которой не зависит от статистических свойств идентифицирующих переменных.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Значение медианы Med одномерной ПРВ находится путем решения уравнения

F(Med)=0,5. (8)

Смещение выборочной медианы определяется выражением

Д = F(Med) - F(u(k+1)). (9)

Здесь F(u(k+1)) есть ИФР для (k+^-й порядковой статистики множества n идентифицирующих переменных при n=2k+1,

F(u(k+1)) =

n=2k +1

= £ em[F(Med)]m[1 -F(Med)]n m ; (10)

m=k +1

52

РИ, 2003, № 4

Cm = n !/[m!(n - m)!] .

Подстановка (8) и (10) в (9) приводит к выражению

n=2k+1

Д = 0,5- 0,5n X Cm

m=k +1

в которое не входят параметры ПРВ. Это позволяет утверждать, что преобразование (7) обладает свойством инвариантности.

В таблице отражены инвариантные преобразования вида (1), когда m=n!; n=2k+1; k=1, а отношения (2) упорядочены по адресному признаку медианных идентифицирующих переменных. Инвариантные преобразования, представленные таблицей, могут быть записаны в следующем виде:

z(1) = л 12П3iy(1); z(2) = Л13п2iy(2);'

i R,

У(1) u(2)<u(1)<u(3)

y(2) u(3)<u(1)<u(2)

У(3) u(1)<u(2)<u(3)

y(4) u(3)<u(2)<u(1)

y(5) u(1)<u(3)<u(2)

y(6) u(2)<u(3)<u(1)

z(3) = n 21Л 32У(3); z(4) = n 23 Л12У(4); У (и)

z(5) = n 31Л 23У(5); z(6) = Л13 n 32У(6). _ Последовательность подстановок

' y(1) = y(2) = У1, y(3) = y(4) = У2, y(5) = y(6) = У3 ;Л v Z1 = z(1) + z(2),z2=z(3) + z(4),z3=z(5) + z(6) y

случае при произвольных отношениях между сигналами u(i) и u(j) алгоритм управления состоянием каналов определяется выражениями

z(i)= rc(u(i) - u(j))y(i); z(j) = rc(u(j) - u(i))y(j). (13)

Инвариантные преобразования (13) определяют класс операций кодирования рангов идентифицирующих переменных u(i) и u(j) значениями идентифицируемых переменных y(i) и y(j), которые появляются на выходах z(i) и z(j) возбужденных каналов (ki ^ ki) и (kj ^ kj) соответственно.

а б

Рис. 1

На рис. 2, а приведена схема классификатора размерностью пхт, синтезированная в базисе двух рангеров RNG, когда число идентифицирующих переменных п=3, а количество идентифицируемых переменных т= 1. На рис. 2, б показано обозначение схемы такого классификатора. Состояние выхода классификатора по рис. 2 определяется выражением

приводит к инвариантным преобразованиям, эквивалентным (11), а именно:

f0|u1 Ф med{u(1), K, u(n)}; [y I u1 = med{u(1), K , u(n)}.

z1 =(л12л 31 +л13л 2ОУ1 = ахУх;

z2 = (л21п32 +п23^12)y1 = a2y2; >

Здесь u 1 есть управляющий вход; u2 и u3 — опорные входы; у — информационный вход.

z3 ~(п31п23 +л13п3^y1 - a3y3-,

Выражения (12) определяют алгоритмы функционирования инвариантных классификаторов с обучением распознавания медианных отношений между идентифицирующими переменными.

3. Электрический синтез инвариантных классификаторов в элементном базисе рангеров

а б

Для реализации метода обучения распознавания отношений необходим соответствующий элементный (электрический) базис. В его качестве может быть использован рангер, предложенный в работе [3]. Схема рангера (рис. 1, а) содержит последовательно подключенные компаратор СА и коммутатор SB. На рис. 1, б показано условное обозначение рангера. Принцип действия его схемы основан на управлении состоянием группы каналов (ki ^ ki, i=1,2) коммутатора и заключается в следующем. Пусть сигналы u(i) и u(j), поданные на управляющие входы u1 и u2, связаны отношением u(i)>u(j). В этой ситуации на управляющем входе # коммутатора напряжение соответствует уровню логической единицы. При этом напряжения сигналов на выходах рангера принимают значения z(i)=y(i); z(j)=0. Если u(i)<u(j), то z(i)=0; z(j)=y(j). В общем

Рис. 2

На рис. 3,а приведена схема классификатора размерностью пхп. На рис. 3, б показано его обозначение. Схема по рис. 3 построена на п классификаторах размерностью пх1 (п=3 для рис. 3). Классификатор по рис. 3 воспроизводит инвариантные преобразования (12) путем переключения каналов по адресному номеру управляющего входа, на который в текущий момент времени воздействует сигнал

u(k+1) = med{u(1), K,u(n = 2k +1)} .

При этом выходной сигнал z; = y; ф 0 появляется только в том канале, номер которого i є{1, ..., п}

РИ, 2003, № 4

53

совпадает с номером входа, на который воздействует медианный сигнал u(i) є{и(1), u(n)}. Таким

образом осуществляется обучение распознавания медианных отношений между идентифицирующими переменными.

Классификатор по рис. 3 путем коммутационного программирования может быть настроен на воспроизведение инвариантных преобразований более низкой функциональной иерархии. Коммутационное программирование осуществляется межсоединением выводов схемы по рис. 3. ______

и(1) Зх ul

и(2) U1 Z1 RC

и(3)

У1 Ц2

I- Ш Зх

У2 Ц2

иЗ

Зх уі

ш — z3

Уэ U2 У2

При коммутационном программировании, согласно рис. 7, классификатор является медианным фильтром, который воспроизводит инвариантное преобразование вида z=med{u(1), ..., u(n)}.

и(1) — ul RC и(1) ul RC

и(2) — и2 и(2) —1 и2

и(3) иЗ и(3) - иЗ

У1 — yi уі

У2 У2 у2

Уэ — уз Z уЗ

Рис. 4 Рис. 5

и(1) — ul RC и(1) - ul RC

и(2) — и2 и(2) u2

и(3) — иЗ и(3) - иЗ

У — уі — Z1 yi

У2 z2 y2

уз z3 уЗ

Рис. 6 Рис. 7

Заключение

а б

Рис. 3

При коммутационном программировании, согласно рис. 4, классификатор является медианным мультиплексором с переключением каналов по медианному признаку идентифицирующих переменных. Сигнал на выходе схемы по рис. 4 определяется выражением

У! |u(1) = med{u(1), K , u(n)};

z =

M

yn|u(n) = med{u(1), K , u(n)}.

При коммутационном программировании, согласно рис. 5, классификатор воспроизводит функцию выделения медианы с идентификацией номера входа i, на который воздействует идентифицирующая медианная переменная. При этом медианный сигнал z; =med{u(1), ..., u(n)} появляется на i-м выходе, который соответствует i-му управляющему входу. На остальных выходах сигнал отсутствует.

При коммутационном программировании, согласно рис. 6, классификатор является медианным демультиплексором с переключением каналов по медианному признаку идентифицирующих переменных. Напряжения сигналов на выходах медианного демультиплексора определяются выражениями

z; = y|u(i) = med{u(1), K, u(n)};zj = 0|i Ф j, i,j = 1,n.

Синтезированные инвариантные классификаторы можно рассматривать как аналоговые процессоры, воспроизводящие заданные логические функции с идентификацией отношений между входными сигналами. При этом осуществляется многопараметрическое параллельное кодирование, не требующее дополнительных образцовых мер сигналов, функции которых выполняют сами идентифицирующие переменные. К достоинствам рассмотренного класса аналоговых процессоров можно отнести: однородность элементной базы — используется только один схемный элемент—рангер; регулярность схем процессоров — наращивание размерности не нарушает структуры процессоров меньших размерностей.

В отличие от традиционных математических логик разработанный метод обучения распознавания отношений базируется на множествах идентифицирующих и идентифицируемых переменных. Элементы этих множеств являются соответственно носителями информации о структуре управления и структуре преобразований случайных процессов в самонастраивающихся системах, обладающих свойством инвариантности и адаптации к условиям априорной неопределенности. Такое свойство предложенного логико-математического метода создает предпосылки для формального синтеза широкой номенклатуры классификаторов, инвариантных к распределениям случайных аналоговых сигналов, действующих в измерительных каналах реальных систем управления.

Достоинством предложенного логико-математического метода синтеза является многофункциональность исходной (базовой) схемы инвариантных классификаторов. Перепрограммированием базо-

54

РИ, 2003, № 4

вой схемы, которое осуществляется соответствующими межсоединениями входных и выходных выводов рангеров, воспроизводится широкий набор логических функций инвариантной обработки аналоговых сигналов. Для реализации операций перепрограммирования могут быть использованы коммутирующие матрицы с кодовым управлением от микроконтроллера. В постоянное запоминающее устройство микроконтроллера закладывается библиотека межсоединений (схем) в виде соответствующих кодов. При таком подходе инвариантные классификаторы являются гибридными персональными вычислительными системами. Таким образом, в элементном базисе рангеров возможно построение широкой номенклатуры инвариантных классификаторов без промежуточных преобразований аналоговых сигналов в цифровой код. В связи с этим появляется необходимость промышленного

выпуска рангеров в виде гибридных интегральных микросхем общего применения и дальнейшего развития рангерной микросхемотехники.

Литература: 1. Плотников В. Н. Речевой диалог в системах управления. М.: Машиностроение, 1988. 224 с. 2. Васильев В. И. Распознающие системы. К.: Наук. думка, 1983. 424 с. 3. Полонский А. Д. О рангере (Сообщение) // Радиоэлектроника и информатика. 1999. № 3 (08). С. 60.

Поступила в редколлегию 08.06.2003

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Воробьев Г.С.

Полонский Александр Дмитриевич, канд. техн. наук, докторант кафедры искусственного интеллекта ХНУ-РЭ. Научные интересы: инвариантные системы. Адрес: Украина, 40001, Сумы, ул. Кирова-165, д. 140, кв. 41, тел. (0542) 277-975.

УДК 517.9+532.5

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ЧИСЛЕННОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ КОНВЕКТИВНЫХ ВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ В ОДНОСВЯЗНЫХ И МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ

СИДОРОВ М.В.____________________________

Рассматривается задача расчета конвективного течения вязкой несжимаемой жидкости в односвязной или многосвязной области. Предлагается приближенный метод решения этой задачи, основанный на применении методов R-функций и последовательных приближений.

Введение

При построении численных алгоритмов решения задач конвективного движения вязкой несжимаемый жидкости (например, при моделировании процессов выращивания монокристаллов, при расчете охлаждения подвижных частей двигателей и др.) часто используется система уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска в переменных «функция тока — температура». Применение этих уравнений для решения задач в многосвязных областях затруднено тем обстоятельством, что, приняв значение функции тока на одной из границ равным некоторой постоянной величине, мы не можем определить функцию тока на других границах. В связи с этим возникают определенные трудности численного решения уравнений.

1. Постановка задачи

Рассмотрим стационарное конвективное движение вязкой жидкости в плоской области Q с кусочнонепрерывной границей 3Q (предполагаем, что массовые силы отсутствуют). Уравнения Навье-Стокса в приближении Буссинеска (приближение слабой сжимаемости) в переменных “функция тока — температура” имеют вид [1]

, , 8 (5у 4 ^ 8 (5у 4

ллт = — — Ау - — |— Ат

ox ^ 8у

1 л _ 8 f8w

— AT = — T—

Pr 8x { 8y

j 8y ^ 8x

G 3T

Gr ix • (1)

_Af T

8y I 8x I ’ x • (2)

Здесь V — функция тока, связанная с компоненту

тами скорости соотношениями vx =

vy =--

Sy

ox

8y

; Т—температура жидкости; Pr — число

Прандтля; Gr — число Грасгофа.

Систему уравнений (1), (2) дополним граничными условиями.

Если область q односвязная, ограниченная твердыми неподвижными стенками, то, используя условия прилипания, можно задать условия вида

* = о

dn 8Q

(3)

Tl5Q T°(x’y)|5Q . (4)

Рассмотрим теперь случай, когда область Q многосвязная (для простоты изложения ограничимся случаем двухсвязной области). По-прежнему предполагаем, что область Q. ограничена твердыми неподвижными стенками. Обозначим через 8Q о внешнюю границу области Q, а через 8&i — внутреннюю. Известно [1], что функция тока у(х, у) определена с точностью до несущественной постоянной, поэтому на одной части границы можно положить

5у МдПо = 0, 8п dQo = о. ; (5)

но тогда с, Щ сО = о, (6)

где c = const, но эта постоянная не задана. Постоянную c из (6) найдем из условия однозначного

РИ, 2003, № 4

55