Приближенные решения дифференциального включения с непрерывной правой частью Текст научной статьи по специальности «Математика»

Будем говорить, что для непрерывного изотонного оператора Р :С|[я,/>] —>С}[я.6] справедливо утверждение об интегральных неравенствах, если существует верхнее решение хеС|[я.і] уравнения х=Р(х) и для любой функции уеС\\а,Ь\, удовлетворяющих неравенству у<Р(у), справедливо неравенство у < х. Отметим, что если оператор Р{) сжимающий, то для оператора Р( ) справедливо утверждение об интегральных неравенствах.

Будем говорить, чго отображение Ф : С " [я, 6 ] —> —» П [/, " [я, Ь ]] обладает свойством Г, если найдется изотопный непрерывный оператор Г : С } [я, Ь ] —> —•> /,1 [я. Л ], обладающий свойствами: для любой

функции лгєС"[я,Л] и любого ІЄ (я,61 выполняется неравенство

для непрерывного изотонного оператора М : С | [я. А ] —> С+ [а. Ь ], определенного равенством

(Му Х0= Кг>Х5)*+|*о|. 1 є М1*о є я",

а

справедливо утверждение об интегральных неравенствах. Здесь непрерывное отображение I \Сп\а.Ь)—» —> С\ [я.й 1 задано равенством (їх )(/) = їх ]-І є [я,/>].

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального включения

хє Ф(х) , х(а)=х0 (х0єРп), (1)

где отображение Ф : С " [а, Ь ] —> П [/- " [а, Ь ]] полунепре-рьшно снизу и обладает свойством: для каждого ограниченного множества В С Сп[а.Ь ] образ ф(/і) имеет

равностепенно абсолютно непрерьшные шггегралы.

Под решением задачи (1) понимаем абсолютно непрерывную функцию х : [я,/>]—> Ип , удовлетворяющую включению (I) и равенству х(а)=х0.

Отметим, что значения оператора ф( ) могут быть невыпуклыми подмножествами пространства £”[а,й], а сам оператор ф( ), вообще говоря, может и не являться вольтерровым.

Теорема: Пусть отображение Ф :Сп[а,Ь]—>

—> П [/," [а, Ь ]] обладает свойством Г. Тогда задача (1) разрешима.

Замечание. Теорема обобщает соответствующий результат из [ 1 ].

ЛИТЕРАТУРА

1 Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначными отображениями типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений // Матем сборник 1998. Т. 189 № 6. С. 3-32.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (1-рант №01-01 -00140).

ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С НЕПРЕРЫВНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

© А.И. Булгаков, Н.П. Пучков, В.В. Скоморохов

В [1] изучались свойства множеств приближенных решений, когда правая часть дифференциального включения и сами решения вычисляются с некоторыми погрешностями. В то же время, в ряде случаев, погрешности могут возникать как при нахождении значений правой части дифференциального включения и их решений, так и при определении точного значения независимой переменной. Здесь рассматривается такой случай. Ниже для этого случая сформулированы утверждения, которые показывают, что небольшие (в смысле расстояния по Хаусдорфу) изменения правой части дифференциального включения могут привести к существенным изменениям множества решений.

Пусть comp [/Г| - множество всех непустых компактов пространства Я", В|х. 6| - шар в пространстве /Г с центром в точке хе ft" и радиусом 5. Пусть

А С. К'. Обозначим через А замыкание множества А , через со А выпуклую оболочку множества А , А5- замкнутую 5-окрестность множества А, если 8>0, и А0 = А . Пространство непрерывных на |о,Л] функций со значениями в Я" обозначим через

С'\а,Ь\-

Пусть Р(|я,Л|Х[(),оо))- множество всех функций Т|. |я,6|х[0,°°)->[0,°о), обладающие свойствами: при каждом 5 е |0,°°) функция Т|(-,5) измерима; для каждого 8е[0,°о) существует такая суммируемая функция т& . \а,Ь\ —> [0,оо), что при почти всех /е[я,/>| и всех Тб[0,5) выполняется неравенство

Г)(/,т)</н5(/); при каждом 5 е (О,°°) существует число /-(5)>0, что при почти всех / G \а,Ь\ имеет место оценка г(д) < Т)(/, 5); при почти всех t е \а,Ь \

справедл!шы равенства lim Ti(/,5) = 0> Т|(/,0) = 0.

6—>0+0

Кроме того, через АГ([а,й]х[0,<»)) обозначим множество всех функций Т|: [a,b] х (0,°°) —» [0.°°), обладающие свойствами: при каждом 8е[0,°о) функция Л О, 8) измерима; Т|(/, 8) —> 0 при 8 —> 0 + 0 равномерно и при почти всех t 6 [а,Ь\ имеет место соотношение 11(/,0) = 0.

Рассмотрим дифференциальные включения

i(/)e F(t,x(t)), t е \a,b\, (1)

х(/) е соF(t,х(/)), t е [a,b\, (2)

где отображение F: [o,iJx/{" —»comp [/Г] непре-рывно.

Пусть Л1 (v), П 2 (у) е АГ([а, i ] х [0, °°)), а Л(у) е P(\a,h\ х (0,оо)). Определим отображение F: \а,Ь\ х R" х[0,°о) —> comp |Л"] равенством

F(r,x,8) = F(fi[Mi1(/,8)],JS[.v.1i2(/,8)])n«.6)( (3)

где B[t, ri, (/,8)] = [/ - Г), (/, 8),/ + Г|| (/, 8)] п[а,6|

Отметим, что для любых функций

Л| (у)»Л2 (у) 6 К(\а>Ь\ х [0,оо)) и

Л(у) 6 /5([а,6]х[0,<»)) в любых точках /е[я,А| и

х 6 R" справедливо равенство

lim h\F(t,x),F{t,x,b)\ = 0,

8->0+0

где /;[•,•] - расстоягше по Хаусдорфу.

Для любого 8 € (0, оо) рассмотрим дифференци-альное включение

x(t)eF(t,x(t), 8), /е[о,Л], (4)

где отображение F(•,•,•) огфеделено равенством (3). Пусть У аС'[а,Ь]. Обозначим И (У), Н со{У), множество всех решений включе-

ний (1), (2), (4), принадлежащие множеству У , соот-ветственно.

Аналогично [2] будем говорить, что на множестве У сС|я,4] для дифференциального включения (1) выполняется принцип плотности, если имеет место соотношение

Н(У) = НС0(У),

где HQ7)- замыкание в пространстве С[я,Л] тожества Н(У) .

Теорема. Пусть У (zC'\a,b\ и пусть

Л] С . ), Л2 (у) 6 Щ<*Мх [°.°°)) « Л(у)е Р(\а,Ь | х [0, оо)). Тогда справедливо равенство

НсЛП - П //П,(6)Л2(5)Л(6)С1'5) •

8>0

где Н,;,(<!)(((<!)0/8) - замыкание в пространстве С[а,Ь\ множества Яп1(8)п2(8)л(8)(к8) • у5 ~

8 -окрестность а С"\а,Ь\ множества У.

Из сформулированной теоремы вытекает. Следствие. Пусть У с.С\а,Ь\ и пусть Л|(у),Л2(у)е*(М]х[0,оо)) и п(у)е Р(\о,Ь\х. [0,°°)). Тогда для того, чтобы имело место соотношение

о>0

необходимо и достаточно, чтобы на множестве У для дифференциального включения (1) выполнялся принцип плотности.

ЛИТЕРАТУРА

1 Булгаков А.И.. Ефремов А.А., Панасенко Е.А. Обыкновенные диф-ференцнальные включения с внутренними и внешними возмущениями //Диффсрснц. уравнения. 2000 Т 36. № 12. С 1587-1598

2 Булгаков А.И., Ефремов А.А., Скоморохов В.В. К вопросу об аппроксимации дифференциальных включений. // Вести ТГУ. Сер Естсств. и технич науки Тамбов. 2001 Т 6 Вып 2. С. 131-139

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 01 -01 -00140).