Бэнг-бэнг принцип для возмущенного включения с компактнозначным отображением Текст научной статьи по специальности «Математика»

Оператор Є можно рассматривать как аналог оператора Грина обычной краевой задачи для уравнения Пуассона.

Рассмотрим возмущенное уравнение Пуассона Ьи = /(£ = — Аи + Ти) с линейным ограниченным оператором Т : И(п) —> В. Будем предполагать, что оператор К : В —> В, определяемый равенством К = ТА, вполне непрерывен. Тогда главная часть оператора С} = ЬА = I — К оператора Ь является фредгольмовым, и, значит, оператор Ь : О(п) —> В нётеров іпсІЬ = 2п 4- 1.

Тогда задача

Ьи = /,рк{и) = 0, к = 1,..., 2п -1-1 (8)

является фредгольмовой.

Задача (8) эквивалентна уравнению и + ЄТи = (7/.

Заметим, что оператор ЄТ вполне непрерывен, так как оператор Є вполне непрерывен как сумма вполне непрерывного оператора А и конечномерного оператора, а оператор Т - линейный ограниченный.

Однозначная разрешимость задачи (8) сохраняется при малых возмущениях Т, таких, что

II 1Ь(п)->в 1 + ||Со 1Р||0(П)_>Д||Л||В_>£)(П)

Это следует из оценки

п

||си||0(п) = ||Д(Си)||в + £ ЫОи - АА(Ои))\ $ (1 + ||С?о1Р|Ь(п)-я||Л||в-»п«.))1М1в.

к=-п

Отметим, что в пространстве 0{п) удобно решать как обычные краевые задачи, так и задачи с ”нестандартными” краевыми условиями, например, если для системы точек (£*),& = 1,...,2п + 1 на границе дО, задан набор интерполяционных условий рк = и(Ь — к) — 7^ = 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бондарева Г.С. Многоточечная задача для уравнения Пуассона // Изв. Ин-та матем. и информ. Ижевск: УдГУ, 1998. № 4(15). С. 3-80.

БЭНГ-БЭНГ ПРИНЦИП ДЛЯ ВОЗМУЩЕННОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С КОМПАКТНОЗНАЧНЫМ ОТОБРАЖЕНИЕМ (с) А.И. Булгаков, А.А. Григоренко, Е.С. Жуковский (Тамбов)

Бэнг-бэнг принцип играет важную роль в теории управления, поскольку позволяет упростить систему управления путем сужения множества допустимых значений управления. При этом замыкания в пространстве непрерывных функций множеств траекторий первоначальной системы управления и упрощенной совпадают. Таким образом, ” возможности” упрощенной системы управления в этом случае сравнимы с первоначальной системой. В то же время управлять упрощенной системой гораздо проще, так как множество допустимых управлений существенно сужается (во многих случаях допустимое управление можно осуществлять простыми, с точки зрения вычислений, функциями). Здесь сформулирован бэнг-бэнг принцип для возмущенного включения с компактнозначным отображением.

Пусть X - банахово пространство с нормой Ц-Цх; сотр[Х] - множество всех непустых компактов пространства X. Пусть А, В С X. Обозначим сбЛ выпуклую замкнутую оболочку множества

A, ехЫ - замыкание множества крайних точек множества А\ hx[A, В] - расстояние по Хаусдорфу между множествами А и В.

Пусть R1' - пространство п-мерных вектор-столбцов с нормой | • |; Сп[а,Ь} - пространство непрерывных функций х : [а,6] —> R11 с нормой ||х||с = тах{|ж(£)| : t G [а,6]}. Для измеримого по Лебегу множества U С [а, Ь] обозначим Ln(U) пространство суммируемых функций х : U -> Rn с нормой ||:e||l(M) = / |a;(s)|ds. Непрерывное отображение Z : Сп[а,Ь\ —у С1[а, 6] определим равенством

{Zx){t) = |®(t)|.

Пусть Ф С 1/п[а, 6]. Будем говорить, что множество Ф выпукло по переключению, если для любых х, у € Ф и любого измеримого множества е С [а, b} функция х(е)х + х([а> Ь]\е)у е Ф, где х(-) ~ характеристическая функция соответствующего множества. Обозначим П[£п[а, 6]] множество всех непустых ограниченных замкнутых и выпуклых по переключению множеств из Ln[a,6j.

Измеримость многозначных отображений понимаем в смысле [1]. Под суммой множеств понимаем алгебраическую сумму множеств.

Рассмотрим в пространстве Сп [а, 6] включение

х е Ф(я) + УФ(х), (1)

где Ф : Cn[a,b] —> comp[Cn[a, Ь]\ компактное, а Ф : Cn[a, 6] —> U[Ln[a, 6]] слабо компактное отображения; линейный непрерывный инъективный интегральный оператор V : Ln[a,b] —>■ Cn[a, Ь], определенный равенством

ь

(Vz)(t) = J V(t,s)z(s)ds, te[a, 6],

a

переводит каждое слабо компактное в Ln[a,6] множество в предкомпактное в Сп[а, 6].

Пусть отображение F : [а, 6] х Сп[а, 6] -» сотр[Яп] обладает свойством: для любого х € 6 Cn[a,b] F(-,x) измеримо и справедливо равенство Ф(ж) = S(F(-,x)), где S(F(-,x)) - множество всех суммируемых ветвей отображения F(-, х). Определим отображения extF : [a, b] х Cn[a,b] —> —> сотр[Яп] и ext Ф : Сп[а, b] —> n[Ln[a, b}] соотношениями: (ext F)(t,x) = ext(coF(t,x)); (ext Ф)(ж) = = S(ext. F(-,x)).

Рассмотрим включения

x € Ф(х) + УсбФ(ж), (2)

x € Ф(а;) -I- У (ext Ф)(я). (3)

Пусть Я. Ясо, Hext - множества всех решений включений (1) - (3), соответственно.

Будем говорить, что множество Нео разложимо по многозначным отображениям Ф и сбФ или просто разложимо, если каждое решение х G Ясо однозначно представимо в виде х = v + Vz, где v € Ф(х), z € соФ(я).

Будем говорить, что отображения V : Ln[a,b\ —» Cn[a, 6], Ф : Cn[a,6] —>• comp[Cn[a, 6]], Ф : Cn[a, 6] —> Tl[Ln [a, b}} обладают свойством A, если найдутся изотонные непрерывные операторы

Г : С1 [a, b] -> L1 [а, Ь\ и Р : С1 [а, 6] -* R1, удовлетворяющие условиям: Г(0) = 0, Р(0) = 0; для любых

х,у € Сп[а, 6] и любого измеримого множества U С [а, 6] выполняются неравенства

Л*0О1Ф(*);Ф(У)] < \\T{Z{x-y))\\nu), /1с[Ф(х);ФЫ] ^ P(Z(*-y));

для любой функции v € С1 [а, 6] из некоторой окрестности 0 сходится ряд

ОО

£(i/) = У" Агу, A^v — u, Alu = A(Al~lv), i = 1,2,...,

i=о

сумма ряда £(v) непрерывна в точке 0, где непрерывный оператор А : С1 [а, Ь] -» С1 [а, 6] задан равенством

ь

(.Az)(t) = J |V(t, »)|(Гг)(«)й« + P(z).

а

Теорема. Пусть множество Н^о разложимо, а отображения У, Ф,Ф обладают свойством А. Тогда справедливы равенства Н = Яехt = Н^о, где Я, Яехt ~ замыкания в пространстве Cn[a, 6] множеств Я, Яех1, соответственно.

Сформулированная теорема дополняет результат работы [2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 497 с.

2. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гам-мерштейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений // Матем. сб. 1998. Т. 189. № 6. С. 3-32.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ С ВНЕШНИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ, РАДИУС КОТОРЫХ ЗАВИСИТ ОТ ФАЗОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (с) А.И. Булгаков, В.В. Скоморохов (Тамбов)

Пусть Яп - пространство п-мерных вектор-столбцов с нормой | • |;сотр[Рп] - множество всех непустых компактов Яп;В[и,г] - замкнутый шар пространства Яп с центром в точке и и радиусом г > 0; В[и, 0] = {гг}; /г[-, •] - хаусдорфово расстояние между множествами, содержащимися в пространстве Яп. Пусть II С Яп. Обозначим и замыкание множества £/;соС/ выпуклую оболочку множества II, IIе = У В[и,е], если е ^ 0. Обозначим Сп[а, 6] пространство непрерывных функций

иеи

х : [а, 6] -> Яп с нормой ||х||с = шах{|х(<)| : I € [а,6]}.

Обозначим через К([а,Ь\ х Яп х [0,оо)) множество всех функций г] : [а, 6] х Я'1 х [0, оо) —> —> [0, оо) , обладающих следующими свойствами: при каждых х е Яп и <5 е [0, оо) функция г)(-,х,8) измерима и при почти всех t € [а, Ь] и всех 6 £ [0,£] функция 77(<:, *, <5) непрерывна; для каждого ограниченного множества и С Яп и каждого 8 € [0, оо) существует такая суммируемая функция тпи,б ■ [а,Ь] —У [0, оо), что при почти всех t € [а, Ь] и всех х € и и г € [0,<5] выполняется неравенство 1/(£,ж,т) ^ ти,б{0; ПРИ почти всех < е [а, Ь] и всех х € Яп справедливы равенства Ит д/(^, ж,<5) = 0

Й-+0+0

и 77(£,ж,0) = 0.

Пусть Р([а, 6] х Яп х [0,оо)) - множество всех функций г] : [а, 6] х Яп х [0, ос) —> [0, оо), обладающих всеми свойствами из класса функций К ([а, Ь] х Яп х [0, оо)) и для которых справедливо условие: для каждого ограниченного множества II С Яп и каждого 6 > 0 существует такое число г(и,8) > 0, что при всех х еи п почти всех t 6 [а, 6] выполняется неравенство г (11,6) ^ т](1,х,6). Рассмотрим дифференциальное включение

х(г) € Р(*,ж(*)),* € [а, 6], (1)

где отображение Р : [а, 6] х Яп —> сотр[/?г'] удовлетворяет условиям Каратеодори.

Под решением включения (1) будем понимать абсолютно непрерывную функцию х : [а, 6] -* —> Яп, удовлетворяющую включению (1) при почти всех £ 6 [а, Ь].

Рассмотрим дифференциальное включение

х(£) € сбР(£,ж(£)),£ е [а, Ь]. (2)

Пусть //(-,-,•) 6 К([а,Ь] хГх [0, оо)). По аналогии с [1] дифференциальное включение

х(Ь) е Р(*,х(*))’»(4’х(*>’й),* 6 [а, 6], (3)

будем называть дифференциальным включением с внешними возмущениями. Будем считать, что

*7') - радиус внешних возмущений. Радиус внешних возмущений /;(-, •, •) определяет погрешность

вычисления значений многозначного отображения Р : [а, Ь] х Яп —> сотр[Дп] в дифференциальном включении (1), причем эти погрешности неравномерны относительно фазовой переменной х е Яп.