О разрешимости задачи Коши с полунепрерывной снизу правой частью Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕТОДЫ СИНТЕЗА РАДИОПОГЛОЩАЮЩИХ ПОКРЫТИИ © П.А. Федюнин, Д.А. Дмитриев

Основу синтеза радиопоглощающих материалов и покрытий (РПП) составляют следующие методы:

- метод максимального уменьшения различия характеристик свободного пространства и поглощающего слоя,

- метод обеспечения специальной критической связи на границе раздела свободного пространства и поглощающего материала;

- метод преобразования наклонно падающего излучения в поверхностную волну с последующим её затуханием.

Из уравнений Максвелла для неоднородных покрытий, принимая во внимание граничные условия электрической Е(г) и магнитной Н(г), составляющих поля на передней кромке РПП, следует, что коэффициент отражения слоя конечной толщины с1 с найденный распределением проницаемостей имеет вид:

При этом коэффициент отражени R принимает минимальное значение

\i{0)+kx-(Vi{0)+k2)e^KD‘i)

(1)

где D, к\, к2 - коэффициенты пропорциональности.

Такие РПП эффективны (близки по эффективности к РПП, создаваемым по технологии STEALTH) только для малых длин воли.

При инверсии вектора распространения волн, отраженных от передней кромки покрытия и металлической подложки, возникает критическая связь.

R=R0-(1-Rq)-Rq ■ е(—2;(т=1)й),

(2)

где Ro - коэффициент отражения поглощающего материала.

Однако электромагнитные и физические характеристики таких материалов при их приемлемой практической толщине становятся функциями частоты, приводящими к нарушению критической связи, что приобретает важное значение при создании широкополосных поглотителей.

Представляется перспективным в настоящее время метод борьбы с ухудшением поглощающей способности при углах падения волны больше 60°, позволяющий преобразовать энергию наклонно падающего излучения в энергию собственных типов колебаний поглотителя, распространяющихся с затуханием вдоль его поверхности, что обеспечивает поглощение волны не только за счет толщины покрытия, но и за счет его поперечных размеров.

Паш рассмотрены вопросы о пределе! шя концентрации ферромагнитного накопителя в диэлектрической матрице, при которой модуль волнового сопротивления слоя поглощающего покрытия обеспечивает согласование (неогражение) слоя со свободным пространством и анализа неоднородностей РПП, ухудшающих распространение поверхностной волны.

Секция: ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВКЛЮЧЕНИЯ

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ С ПОЛУНЕПРЕРЫВНОЙ СНИЗУ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

%

© А.И. Булгаков, АА. Ефремов

Обозначим С”[«,/>](£''[я.А]| пространство непрерывных (суммируемых) на отрезке [а, Ь\ функций со значениями в R" с обычными нормами для этих пространств, С{[я,б| - конус неотрицательных функций пространства С1 [я,Л ]. Пусть Ф С.Ьп\а,Ь\. Обо-\ь

значим 1ф1и.ы=8ир

Будем говорить, что множество Фс/," [а, Ь} выпукло по переключению, если доя любых Х,у 6 Ф и любого измеримого ес[я,й] функция х(еУ +

+ )[([я,й]\е)уеФ. Обозначим через П [л" (а, Ь ]] множество всех непустых 01раниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств из пространства Ьп м

Будем говорить, что для непрерывного изотонного оператора Р : С}[я.б] —» С}[я,/>] справедливо утверждение об интегральных неравенствах, если существует верхнее решение х є С.'} [а, b ] уравнения х=Р(х)

и для любой функции у & C\\a.b\, удовлетворяющих неравенству у<Р(у), справедливо неравенство у < х. Отметим, что если оператор Р (•) сжимающий, то для оператора Р( ) справедливо утверждение об интегральных неравенствах.

Будем говорить, что отображение Ф : С " [я, /> ] —> —> П [/." [я, b ]J обладает свойством Г, если найдется изотонный непрерывный оператор Г : С} [я, b ] —> —» Z-1 [а. Л ], обладающий свойствами: для любой функции х Є С”[я.ft] и любого / Є (я,6] выполняется неравенство

для непрерывного изотонного оператора М :С\[я./)|—»С+[я./>] , определенного равенством

(му Х0=Дг>Х4*+|Ы1 е М1*ое

а

справедливо утверждение об интегральных неравенствах. Здесь непрерывное отображение Z : С " [я, Л ] —> —»С\ [я. b ] задано равенством (Zx Х()=

і є [я,/>].

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального включения

ІГЄ Ф(х) , х(а)=х0 (г0ей"), (1)

где отображение Ф: С ” [я. /> ] —> П [/." [я, Ь ]] полунепрерывно снизу и обладает свойством: для каждого ограниченного множества В сС"[я.й) образ Ф(в) имеет

равностепенно абсолютно непрерьтные интегралы.

Под решением задачи (1) понимаем абсолютно непрерывную функцию х : [я.Л]—> Ііп , удовлетворяющую включению (1) и равенству х{а)=х0.

Отметим, что значения оператора ф( ) могут быть невыпуклыми подмножествами пространства Ьп\а,Ь\, а сам оператор Ф(), вообще говоря, может и не являться вольтерровым.

Теорема: Пусть отображение Ф : С " [я, А ] —>

—> П [/,п [я, Ь ]] обладает свойством Г. Тогда задача (1) разрешима.

Замечание. Теорема обобщает соответствующий результат из [ 1 ].

ЛИТЕРАТУРА

1 Булгаков А.И., Ткан Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначными отображениями типа Гаммерштейна с нсвыпук-лыми образами и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений // Матем. сборник. 1998. Т. 189. № б. С. 3-32.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант №01-01 -00140).

ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С НЕПРЕРЫВНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ © А.И. Булгаков, Н.П. Пучков, В.В. Скоморохов

В [ I) изучались свойства множеств приближенных решений, когда правая часть дифференциального включения и сами решения вычисляются с некоторыми погрешностями. В то же время, в ряде случаев, по-грешности могут возникать как нри нахождении значений правой час ти дифференциального включения и их решений, так и при определении точного значения независимой переменной. Здесь рассматривается такой случай. Ниже для этого случая сформулированы утверждения, которые показывают, что небольшие (в смысле расстояния но Хаусдорфу) изменения правой части дифференциального включения могут привести к существенным изменениям множества решений.

Пусть comp [Л"1 - множество всех непустых компактов пространства К\ В[дг. 5) - шар в пространстве Л" с центром в точке дг € R" и радиусом 5. Пусть

А С/Г. Обозначим через А замыкание множества А , через со А выпуклую оболочку множества А , А5 - замкнутую 5 -окрестность множества А , если 8>0, и А0 ш А . Пространство непрерывных на \а,Ь\ функций со значениями в К1 обозначим через С[а,Ь].

Пусть Р([с1,Ь ] х [0,°°)) — множество всех функций 11: \а,Ь\х|0,°°) —> [0,°о), обладающие свойствами: нри каждом 8е|0,°°) функция Т|(-,5) измерима, для каждого 8 е [0, °°) существует такая суммируемая функция »/5 : \а,Ь\ —»[0,°°), что при почти всех /е|я,6| и всех 16(0,5] выполняется неравенство