Приближенное построение замкнутой границы области земной поверхности, достижимой летательным аппаратом Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Т о м XI 19 8 0

№ 6

УДК 629.7.015.7

ПРИБЛИЖЕННОЕ ПОСТРОЕНИЕ ЗАМКНУТОЙ ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ, ДОСТИЖИМОЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫМ АППАРАТОМ

А. С. Филашьев

Предложена приближенна» методика определения минимально удаленного от начальной точки участка границы области земной поверхности, достижимой летательным апиаратом при фиксированном начальном фазовом векторе. Методика позволяет строить указанный участок границы без расчета соответствующего семейства траекторий летательного аппарата.

Задача определения области земной поверхности, достижимой летательным аппаратом (ЛА) из заданной точки при фиксированном начальном векторе скорости (в дальнейшем такую область будем называть областью достижимости), рассматривалась в ряде работ (см. [1]). При этом граница области достижимости в основном определялась путем максимизации боковой дальности при фиксированном продольном удалении от начальной точки. Однако, если ЛА не обладает достаточными маневренными возможностями, то граница области, получаемая из решения задачи в такой постановке, оказывается незамкнутой — отсутствует участок границы, соответствующий минимально возможным боковым удалениям ЛА при заданной продольной дальности полета. Ниже предлагается приближенный способ построения замкнутой границы области достижимости.

Приближенный закон изменения угла крена -j, обеспечивающий при фиксированном продольном удалении боковую дальность, близкую к максимальной, описывается соотношением [1]

1 = MIN' {11) — Т|, 7дОП} sign (т, — Т), (1)

где Т—угол между проекцией вектора скорости на местную горизонтальную плоскость н местной параллелью; г, — варьируемый параметр, постоянный вдоль траектории; тдо„ — максимальный допустимый угол крена.

Будем предполагать, что траектории ЛА, отличающиеся знаком у в программе (1), симметричны относительно вертикальной плоскости, проходящей через начальный вектор скорости. Это предположение соответствует пренебрежению эффектом вращения Земли и такому выбору системы координат, что плоскость экватора совпадает с вертикальной плоскостью, проходящей через начальный вектор скорости.

Область достижимости, как правило, рассматривается на плоскости в ортогональной декартовой системе координат ОХУ. по осям которой отсчитываются величины продольной и боковой дальностей. Поэтому в дальнейшем построение минимально удаленного от начальной точки участка границы области достижимости будем осуществлять на плоскости ОХУ (рис. 1).

<5>

А'

Рис. 1

Программа управления (1) получена только для определения участка О—границы области достижимости с максимальной боковой дальностью К [I],

т. е. для

ч€(— Чк Ъ). (2)

где г,, — значение параметра і), при котором достигается минимальная продольная дальность -Y (рис. I).

В общем случае значение т( = га может соответствовать не только локаль-/ rfjc(i)i) I А

ному (—— і )’ Н0 ” гРаничномУ минимуму продольной дальности.

Рассмотрим наряду с С границы g~ и g~, образованные конечными точками траекторий ЛА (здесь и далее под траекториями будем подразумевать проекции траекторий ЛА на плоскость OXY (при использовании закона" управления (I) с Іт||>та (рис. 1, а). В дальнейшем границы g+, g~ будем называть продолжением С. Границу, образованную С и gf, g~, обозначим G'.

Пусть R (г,) — радиус-вектор, соединяющий начальную и конечную точки

траекторий ЛА, так что границы g+, g~ представляют собой годограф R(rt) при *1 I € |Г,„ Т3], где тл — минимальное положительное значение rt, при котором

dR

—— =0, т. е. при | к) | >tjs управление (I) становится предельным (7 = у,лоп)

“г( I ij+O

и R перестает зависеть от к).

При достаточно малых маневренных возможностях ЛА может иметь место равенство Ti; = rjt. В этом случае границы g+, g~ вырождаются в точки.

Отметим, что границе G' будут принадлежать, в частности, минимально удаленные (на плоскости OXY) от начала траектории (при |т]|=г)и) точки об-

ласти достижимости. .Минимум /? (г,) | может достигаться как внутри области • т! I £ (т.ь т.:) (см. рис. 1, а), так и на границе | т( | ^ ге (т, „ = т,2).

По определению точки /?(т(„)

(Я (*,„)• *(W> = M,N (^(Ч). *(!»• (3)

| \ I € II» ч«1

.Замыкание* г границы G' области достижимости может быть получено при использовании следующего закона управления углом крена:

7 — 7 sign (* — 0. (4)

где 7 — угол крена согласно программе (1); / — время движения по траектории; t [/;, tf\\ т —параметр, определяющий момент смены знака угла крена.

Действительно, поскольку кривая, образованная при непрерывной вариации т ; tf] (tj = fix) правыми концами траекторий ЛА с законом управления (4), непрерывна и, согласно (1), (4), граничные точки этой кривой при т = //ит = г;-принадлежат соответственно g~ и g+, то она образует с границей G' (или ее частью) замкнутую кривую.

Закон управления (4) для получения .замыкания* границы области достижимости ранее был предложен Ю. В. Ширановым для случая i)5 = ij,.

Геометрически использование закона управления (4) для [//, tf) приводит к симметричному отображению правого конца исходной [с управлением (!)] траектории относительно вертикальной плоскости, проходящей через вектор скорости ЛА в точке t = т.

Так как протяженность участка границы г, как правило, мала по сравнению с радиусом Земли, то, пренебрегая эффектом кривизны поверхности Земли, приближенно будем считать, что использование закона управления (4) приводит к симметричному отображению правого конца траектории с управлением (1) относительно касательной к траектории и в точке / = т на плоскости OXY (см. рис. 1). В силу симметрии границы области достижимости относительно касательной к траектории в начальной точке / = /; (осью ОХ — см. рис. I, б) для .замыкания* границы G необходимо построить лишь тот участок границы г, который соединяет g~ или g~r с осью симметрии (осью ОХ).

Заметим, что семейство траекторий, получающееся при вариации пара-А Л

метра т( в области >) >• Ч > 7доп (или к; <■»!< — 7доп)1 имеет один и тот же общий

Л Л

начальный участок (с Ч'£ [0, г, — 7Д0П] или с *Г£ [т) + 7доп. 0]), поскольку на этом участке, согласно (1), реализуется одно и то же граничное управление 7 = 7лоп (или 7=— 7дОП). не зависящее от i).

Предположим, что траектории, правые концы которых принадлежат g~, g~, имеют достаточно протяженные (для построения указанного участка границы г) общие начальные участки и+, и~ (рис. 1,а). что практически всегда имеет место, если 7доп<С"/2. В этом случае использование закона управления (4) с *£(//,*„], где /„ — момент окончания участков траекторий «+, и~, на всех траекториях, правые концы которых образуют g+ (или g~), приводит к симметричному отображению участков g+ (g~) относительно касательной к траектории в момент / = т. Таким образом, .замыкание* г границы G будет состоять из минимально удаленных от начальной точки (при фиксированном боковом удалении) участков кривых g^, g~, и г~, где г+, г~ — участки дискриминант [2] семейств g^~ (-г), gi" образованных симметричным отображением g~, g~ относительно касательных к траекториям «"*, и~ в точках t = Поскольку g+, g~ известны как продолжения границы G, то для определения .замыкания’ г необходимо построить дискриминанты семейств gj (т), gf (1). [По предположению общие участки траекторий ЛА «+, и~ достаточно протяженны, так что участки г-1-, г- дискриминант семейств g*(т), gZ ("■) имеют точку пересечения на оси ОХ].

Обозначим через г (z) радиус-вектор, соединяющий начальную точку сточкой /= т траектории и ~ (или и-). Тогда положение точки /?* (к), т), симметрия-

ной точке R (т,) относительно касательной к и~ (или и ) при I = т, определяется следующим образом (рис. 1, б):

где

Я* (г,. ") = А [Я (ij) - г (•:)] + г (х), (5>

_ /cos 2 Ч' (т) sin 2 Т (т)\

\sin 2 Ч'(т) — cos2 4'(t) '

Годограф ~R»{r„ -.) при т, ' [ц„ т|5] и т, ' [—г.з, — т„] есть gt (т) и g7 (т) соответственно.

Дискриминанта включает в себя как огибающую семейства gt (г) [#Г(*)], так и геометрическое место точек, в которых нарушается условие дифференцируемости /?*(»;, Предположим, что функция R*(r„ т), а следовательно [см. (5)|

и R (ij), дифференцируема во всем интервале изменения т(, х за исключением, <5ыть может, точки т, «=т,;, в которой по определению правая производная

dR ///?

=0. а в общем случае левая производная —ф0. Поскольку

drt rfr, |r,=TlS-0

на практике функции /? (•»;). г (■:) задаются приближенно путем аппроксимации по дискретному набору точек, то указанное предположение фактически определяет лишь требование к способу такой аппроксимации.

Рассмотрим два случая, когда участок г~ (или г-) дискриминанты семейства ?Г (") [или #Г(*)] образован огибающей и когда он является геометрическим

местом граничных точек R»(ii = rt:> х).

Из семейства кривых gt (■:)[£;■(■:)] огибающей г~(г~) принадлежат точки, удовлетворяющие условию [2]:

dR» (т„ -■)

дг.

0R* И. •) д-.

или

где

Согласно (5),

£ dR» (т„ т) ^ dR» (т„ -.) j = дг, ' дт /

*-С -i)-

dR» (у _ j dR (т,) Зт; <*П

(7)

дR» (т], *) А4 — , к -* д г (г)

= Ж 1*<т->-Л(•»--ЦГ~ ■ <8>

где / — единичная матрица.

Заметим, что в соответствии с (5) оператор А определяет операцию симметричного отображения вектора относительно касательной к м+ (и~) в точке г=т. Но поскольку касательная к (и-) при / = т направлена по вектору

г*г(т) . dr(^z) dr(т)

- , то А—=~— и соотношение (8) принимает вид:

Но

££-4*'(i)£4. (10)

dV(x) где Ч (т) = - dz .

Подставляя (5), (7), (9), (10) в (6) и учитывая, что операторы A, S ортогональные, получим следующее условие для определения точек R (v(x)) на участке границы ,?+ (g-), образы которых принадлежат огибающей г+ (г-):

(^. (11)

Из (11) следует, что при заданном моменте переключения т в программе управления (4) прообразом точки огибающей г+ (*—) является точка на g+ (g~), минимально удаленная от точки г (х) траектории и+(и~) (см. рис. 1,6).

Согласно (1), (3), (4) (И), при t = ti кривая г+ (г~) касается g~ (g+) в точке

I = — 1)и (т) = т)н). Поэтому участки g+> g~, принадлежащие .замыканию" г, соответствуют h|£ hi. \и I (см- Рис- !)•

Если в некотором диапазоне изменения т точкой на g+(g~ ), минимально

удаленной от точек г(х) на траектории и (и~), является граничная точка

| = тй), то соответствующий участок кривой г+(г~ ) представляет собой геометрическое место точек /?* (| т( | = -»ja, х), образованных симметричным отображением R (| 1) ] = k]s) относительно касательных к и+(и-) в точках г(х), т. е. в этом случае прообраз участка кривой (г~) определяется тривиальным соотношением *1* (х) = const = tjj. Заметим, что в силу определения тй правая про-

dR

изводная ^ |_ _ о поэтому участок дискриминанты семейства gv"(x) [g, (х)),

соответствующий (г|г = —т|2), формально удовлетворяет тому же соотно-

шению (11), что и огибающая.

Таким образом, для построения замкнутой границы области достижимости предлагается следующая процедура.

1. Определяется продолжение g+ (или g~) границы G и общий участок м+ (и-) траекторий ЛА, правые концы которых принадлежат g+ (g~).

2. В соответствии с (11) находится зависимость rit = i;г(х) и тем самым определяется прообраз R (га) кривой (г~). Если т( „ = г,г, т. е. минимум I /?(i|) | реализуется на границе |t)|=tj2, то т(2 = ге, (т)г = — т12).

3. С использованием (5) для ij = r,e(x) строится кривая г+(г~).

4. Симметричным отображением г" (г~) относительно касательной к траекториям в начальной точке строится кривая г~ (*+).

5. Замыкание г границы области достижимости G будет состоять из участков g^~, g~ для (чКч) , а также наименее удаленных от начальной точки

участков кривых г+, г~.

На рис. 2 показан пример построения .замыкания* границы области достижимости G для случая, когда продолжение g+ и общий участок траекторий и* задаются соответственно годографами векторов

/ cos г, \

*•*•(2 +,!»,) “Р* Ч61». ы.

'"Ч 1+л<)",|,‘€ [“■*■'*]•

(12)

т 7

В соответствии с (11), (12) находим —т., откуда, используя (5)

2 4

для г, = га (-) и учитывая, что в случае (12) Ї* (т) = я/2 + т, определяем кривую.?+:

~ , =/? і со*і)-(1 — 4віп2 г, — 8віп3т)) |

" 2+ 3 віл») 4-4 вігі» к; — 4$іп31)'— 8 5іп‘ і)/ ’

.Замыкание' г границы С состоит из участков £+, £~, г*, г~ и на рис. 2 показано сплошной линией.

Автор благодарит В. А. Ильина за обсуждение работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ш к а д о в Л. М., Буханова Р. С., Илларионов В. Ф., Плохих В. П. Механика оптимального пространственного движения летательных аппаратов в атмосфере. М., .Машиностроение*, 1972.

2. За л галлер В. А. Теория огибающих. М., .Наука*, 1975.

Рукопись поступи.ш 14} VIII 1979 г.