Приближение ln (√5-1)/2 числами из поля q (√5) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 20. Выпуск 4.

УДК 511.36 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-4-339-356

Приближение in ^Ц— числами из и оля Q (л/5) 1

В. X. Салихов, Е. С. Золотухина

Салихов Владислав Хасанович — доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры высшей математики, Брянский государственный технический университет (г. Брянск).

e-mail: svdhMramMer.ru

Золотухина Екатерина Сергеевна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Брянский государственный технический университет (г. Брянск). eszolotukhina@mail.ru

Аннотация

В данной работе продолжено исследование интегральной конструкции, впервые рассмотренной В. X. Салиховым и В. А. Андросенко в 2015 г. в работе [1]. Эта конструкция является модификацией интеграла, введенного Р. Марковеккио в 2009 г. в [2] для нахождения новой оценки меры иррациональности числа ln 2.

С помощью нее В. А. Андросенко в [1] была усилена оценка меры иррациональности числа Отметим, что прежние результаты принадлежали Л. В. Данилову [3], К. Алади и М. Л. Робинсон [4], Г. В. Чудновскому [5], А. К. Дубицкасу [6], М. Хата [7], [8], Дж. Рину

И-

Другое направление исследования этой интегральной конструкции - получение оценок приближения некоторых констант числами из квадратичных полей. В 2016 г. М. Ю. Лучин и В. X. Салихов в [10] улучшили оценку приближения числа ln2 числами из поля Q(\/2). Прежние оценки были найдены в работах Ф. Аморозо и К. Виолы [11] и Е. С. Золотухиной [12].

Цель работы - получить новую оценку приближения логарифма "золотого сечения" числами из поля Q(%/5). Предыдущая оценка принадлежит В. X. Салихову и Е. С. Золотухиной [13].

Ключевые слова: показатель иррациональности, квадратичные иррациональности, сим-метризованные интегралы.

Библиография: 19 названий. Для цитирования:

В. X. Салихов, Е. С. Золотухина. Приближение ln ^f1 числами из поля Q (^5) // Чебы-шевский сборник, 2019, т. 20, вып. 4, с. 339-356.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 18-01-00296 А

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 4.

UDC 511.36 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-4-339-356

Approximation of in ^^l-1 by numbers of the field Q (V5)2

V. H. Salikhov, E. S. Zolotukhina

Salikhov Vladislav Khasanovich — doctor of physical and mathematical Sciences, Docent, Professor of department "Higher mathemathics", Bryansk State technical university (Bryansk). e-mail: svdh@rambler.ru

Zolotukhina Ekaterina Sergeevna — candidate of Phvsico-mathematical Sciences, docent of department "Higher mathemathics", Bryansk State technical university (Bryansk). e-mail: eszolotukhina@mail.ru

Abstract

The article continues the study of the integral construction, which was first considered by V. H. Salikhov and V. A. Androsenko in 2015 [1]. This construction is a modification of the integral that was introduced by R.Marcovecchio in 2009 to find the irrationality measure of ln 2.

With the help it V. A. Androsenko improved the estimate of irrationality measure of in [1]. The previous results belonged to the L.V.Danilov [3], K. Aladi and M Robinson [4], G. V. Chudnovsky [5], A. K. Dubickas[6], M. Hata [7], [8], G. Rhin [9].

Another direction of the study of this integral construction is to obtain estimates of the approximation of some constants by numbers from quadratic fields. In 2016 M.Y.Luchin and V. H. Salikhov improved the estimate of the approximation of ln 2 by the numbers of the field Q(v/2). Previous estimates were found by F. Amoroso F. and C. Viola fill anfl E. S. Zolotukhina [12].

The aim of this article is to obtain a new estimate of the approximation of logarithm of "Golden section"by the number of the field Q(v/2). Previous estimates were found by V. H. Salikhov and E. S. Zolotukhina [13].

Keywords: Irrationality measure, quadratic irrationalities, symmetrized integrals.

Bibliography: 19 titles.

For citation:

V. H. Salikhov, E. S. Zolotukhina, 2019, "Approximation of ln bv numbers of the field Q (\/5)" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 4, pp. 339-356.

1. Введение

В работе будет получена следующая оценка.

Теорема 1. Пусть ^ > 9.627339 ...¡числа, р1, р2, р3, Р = maxi<¿<4 \pi\, Р > PQ(p). Тогда справедливо неравенство

Р4 е Z, (Р3,Р4) = (0,0),

ln

л/б - 1 PlV5 + Р2

P3V5+ Р4

> Р-11.

2The work was carried out with the financial support of the RFBR, grant № 18-01-00296 A

Предыдущий результат ц > 10.0204... был найден В. X. Салиховым и Е. С. Золотухиной

в [13].

При р\ = 0 Рз = 0 теорема 1 дает оценку для показателя иррациональности логарифма

^1п - 9.627339 ....

Наиболее близкий результат ц - 3.71331 . . .

Предыдущие аналогичные оценки принадлежат А. К. Дубицкасу [15], М. Хата [16], К. Ваана-нену, А. Хеймонену и Т. Матала-ахо [17], Е. С. Золотухиной [18].

Ключевое значение при доказательстве теоремы 1 играет следующая лемма, доказанная в работе М. Ю. Лучина и В. X. Салихова [10], где была получена новая оценка приближения числа 1п2 числами из поля 0>(\/2).

Лемма 1. Пусть п, й е N ® е ^ е М

Ьп = [Л1(п)^й + Л2(п^ 9 + Лз(п)+ Л4(п), где все Лi е Ъ; Л(п) = шах1<г<4 |Л^(п)|. Пусть

lim ( 1 ln A1(n)Vd + A2(n) ) = limsup^ln|A(n)| <72; n^-<x\n ) n

для некоторой константы 73 > 72 и любых е1, е2 > 0 существует такое N = N(е 1, е2), что для любого п > N и хотя бы одного из значений т е {п,п + 1} выполняются неравенства

е-(7з )ш - - е-(7з-£2)ш.

Пусть далее 71 +72 > 0, ц > 2(71 +7з)/(7з -72); Р1, Р2, Рз, Р4 е Ъ, (рз,Р4) = (0,0); Р = шах1<г<4 |Рг1, Р > Р0(р). Тогда,

У _ piVd + Р2

p^Vd +

Р4

> Р-v.

Дальнейшие рассуждения в целом подобны доказательству результата работы [10], поэтому рассмотрим подробно лишь некоторые моменты.

2. Интегральная конструкция. Арифметическая часть

Будем работать с интегралом, впервые рассмотренным в работе [1], и отличающимся от интеграла, введенного Р. Марковеккио в работе [2] лишь множителем \Js/(s — 1) в знаменателе подынтегральной функции.

Пусть h, j, k, l, т, q E Z+, h + j + q = k + l + m, h + j — k > 0 k + l — j > 0 k + m — h > 0; x E C, Rex > 0 x = 1. Рассмотрим интеграл

—oo гоо

1 f , f shtjdt

J =- ds , -. (1)

2ti ij J ^s/(s — 1)(1 — s )k+i-J+1(s — t)h+i-k+1(t — x)k+m-h+1

0 —ioo

Результат теоремы 1 получается при

X = . М

к = 7п, ] = 38п, к = 25п, I = 32п, т = 38п, д = 50п, п е М, п ^ ж. (3)

Приведем краткую схему некоторых преобразований этого интеграла (см. [1, с.484, 485]). Подынтегральную функцию интеграла (1) обозначим через , ¿). Тогда

— оо

. = — У г^=хО(з, (4)

=х 0

v2

где

ге^=хО(8,1)й8 = К(х)йх, 8 = ^-, (5)

,г2 — 1

к+т~Ч { . . Х1-д+к

К+'Ш—Ч / . \

ВД = 2( — у £ ( — + т — к — О

ч к + т — к — 1\ (х - 1)ч+з—к+к+1

11=ша.х(0,д—1) 4 7

^к + .? — к + ^

^ + —к + ^ (г), (6)

= ¿2Ч(1 — ^У+'1 = г2Ч(1 — г2)1+11 к11 (г) = (х/(х — 1) — г2)Ч+з—к+Н+1 = ((^5 + 2)2 — 32)4+^^1+1.

Выбирая для 8 е [0, —ж) значение г е [0,1), получаем из (4) и (5)

1

. = ^ К(г)г!г. (8)

1)= (к + к + к) I 1 Шг, (9)

Обозначим

(к+' —1к+'0 /

0

К - кольцо чисел вида а + &л/б, где а, Ь е 2 для натуральных чисел М е N будем писать дм = НОК(1, 2,..., М), до = 1.

Лемма 2. Пусть М0 = тах(2к + 2/ — 2], к + ] — к,к + т — к) т > д. Тогда для всех Ь < к + т — к справедливо представление

2да^ 1) = 2—2(т—)—2 (а(11) 1п - + 6(/1 ^ , (10)

где все а(11), Ь(11) е К.

Доказательство. Обозначим для N е 2+

Ом №)) = N)(2 + л/б)

Для подынтегральной функции (7) интеграла в (9) ввиду ее четности имеем следующее разложение в сумму простейших дробей:

(—1)ч—т—1 г2Ч(г2 — 1)1+11

(г7 =

(г2 — (2 + ,Д)2)Ч+1—к+11+1

= Р(*) + Т ( 1) ^ +-), (И)

() ¿1 — 2 — /б)- (^ + 2 + /5)^, 1 '

х

где Р(z) G K[z], degP(z) = 2к + 21 — 2j — 2, а кроме того,

(—1)vfcv = Dh+J_k+h+i_v(Rh (z)(z — 2 — V5)h+-k+h+1). По формуле Лейбница имеем из (11)

2kv = (—iy-m+-1Dh+3-k+h+i-v( fhV^^ = (—1)*-т+"-1

+ + v (z + 2 + ^/5)h+J-k+íl+1 /

x ^ Dt1 (z2h) Dt2 ((* — 1)l+h) Dm3 ((z + 1))W1 Dmi {(z + 2 + ^5)-(h+J-k+1+1)),

m£Mv

где

,, í_ , ч + \ 4 Ш1 +Ш2 + Ш3 + Ш4 = h + j — k + h + 1 — v,\

м» = {m = (m1,Ш2, Ш3,m4) G ^ Ш1 < 2h; Ш2,Ш3 < l + /1 ¡.

Поэтому

2kv = 2(—1)^-m+v-1 ^ ^1 + ^ ^1 + ^ + i — k + h + (—1)^4(^5 + 2)2h-^i

x (Л + 1)+1-т2 (3 + V5)l+ll-m3 (2(^5 + 2))-(h+J-k+í1+1+m"4).

Рассмотрим = Л|/52+1 ~ корень уравнения t2 — t — 1 = 0. По индукции легко показать, что £т = Ате 1 + Вт, Ат, Вт G Z. Значит, 2е™ G K (m > 2, m G N). Тогда

2kv =2( —1)?-т+гУ-1 ^ ^г + ^ ^l + 1^ + i — h +m^ ( —1)™4 (^5 + 2)2h-mi

x(2 г 1 )г+1-т2 (2(e 1 + 1))+1-тз (2^V5 + 2))-(h+J-k+гl+1+m4) = ^ kv(rñ)22l+l1-h-j+k-1-rn2-тз-т4,Где все kv(m) GK.

Так как 21+¿1—h—j+k—1—m2—m3—m4 >2¿+¿1—h—j+k—1 — (h+j —fc+¿ 1+1—v)=2(q—m)—2+u, то

2Av = 2-2(т-?)+гУ-24, где k'v G K, v = 1,...,h + j — k + h + 1. (12)

Имеем из (11)

h+J-k+4 + 1 , ,

J Rh (z)dz = j Р(z)dz + ^ — [

h+j-k+h+1 t, / i i

Kv I 1 1

--i - —

v — 1 V(3 + V5)v-1 (1 + V5)v-1

^5 + 2 + z

v=2

1

л/5 + 2 + z

+fc1 ln

л/5 + 2 — z

Пусть e2 = v/52-1, тогда 2^т G K (m > 2, m G N). Очевидно,

1 =2-v+1 (1 — g2) 1 = 2-v+1 ev2-1,

(3 + \/5)v-1 (1 + ^5)v-1

, ^5 + 2 + z ln

л/5 + 2 —

1

, ^5 + 1

ln-.

2

1

1

1

Из определения mq следует, что qm0 f Р(z)dz = Ai G K, а также несложно проверить, что

о

к+ — к+ 1 1 т0[ \ ) —1 ^ е М

= 2, . . . , к + к + 1 + 1

1

ЫмМЬ) = 2дм0 (к + ^кк + 11)1*1 № = 2[к + ^кк + ^)А1

0

+ 2-2(т—ч)-2 £ (АЛ2 {е2-1 — (1— £2Г-1)) + 2-2(т-) — 1к'1 ,

и=2

т >

т >

\/5 — 1

2—2д+1 дм0. = а 1п — + Ь, а, Ье К. (14)

Доказательство. Имеем (Х — Х—+—Ш, + . = (/5 + 2)!—°+1 (/5 + 2)"+'-'+1+1 22("+—" = 22С»+1)С ((,).

где С(11) G K. Применяя лемму 2, из (6) и (8) получаем

k+m—h

k+rn—n / , \

2—29+1 Qm0J = -2(-1)''—k £ (-1)h\Kk + J-h-lJ 22(m+1)—22qC(11)2—2(m—2

il=max(0, g—l)

^ „ M - 1 ,fl\ , - 1

x I a(11) ln —2--+ 1) I = a ln —ö--+ b,

где a b G K, и следствие 1 доказано.

Наряду с набором параметров (3) нам будет полезна и более общая ситуация, когда

(h, j, к, l, т, q) = n(h', j', к', l', т', q'), (15)

где h', j', к', l', т', q' G Z+. Интеграл (1) для параметров, имеющих вид (15), и для х, имеющего вид (2), будет удобно обозначать в виде

J = Jn = Jn(h', j', к', I', т', q'). (16)

Обозначим для набора параметров (15)

Mn = max{2(k + 1 - j), 2h, 2k,h + j - к, к + т - h,l,m,j, q}. (17)

Пусть p - простое число, p > VMn, w = {n/p} - дробная доля числа n/p. Рассмотрим неравенства

[2^w] + [(/' + к' - j')w] + [rn'w] + [l'w] - [^w] - [2(1' + к' - /)w]

-[(h' + j' - ti)w] - [( к' + т - h')w] > 0, [2h'w] + [(l' + к' - j')w] + [j'w] + [q'w] - [h'w] - [2(1' + к' - j')w]

-[(ti + / - k')w] - [( к' + m' - h')w] > 0, (18)

[j'w] + [m'w] - [(ti + j' - k')w] - [(k' + m' - ti)w] > 0,

[2 k'w] + [(l' + k' - j')w] + [q'w] - [k'w] - [2(1' + k! - j')w] - [(k' + m' - ti)w] > 0,

[2tiw] + [(/' + k' - j')w] + [l'w] - [tiw] - [2(1' + к' - j')w] - [(ti + j' - к')w] > 0.

Обозначим через An произведение всех простых чисел p > \/Mn таких, что w — {п/р} удовлетворяет хотя бы одному из неравенств (18). Следующая лемма уточняет результат, полученный в следствии 1.

Лемма 3. При m >q для, интеграла (16) справедливо представление

— 2 Jn — Anln - + Bn,

2~2q+ Jn — An ln^—+Bn, (19)

где An, Bn e K, n e N.

Доказательство. Представление (19) следует из (14) с помощью стандартной процедуры уточнения знаменателя. Впервые для интеграла (1) неравенства (18) были получены в работе [1, с. 491, неравенства (11)]. Неравенства (18) несколько отличаются от рассмотренных с той же целью Р. Марковеккио в работе [2, равенства (31)].

В следующей лемме мы приведем окончательную версию линейной формы вида (19), с помощью которой и будет доказана теорема 1.

Лемма 4. Справедливо представление (см. (16))

Ьп = (Л - 2) 14°га 2-100п+1^6п.п(7, 38, 25, 32, 38, 50)

V / Дп

= (Л1НЛ + Л2(п)) ьД--1 + (Лз(п)Л + Л4(п)) , (20)

где все ЛДп) € Ъ, Дп определено неравенствами (18) для набора параметров (3).

Доказательство. В работе [1, равенство (9)] доказано, что (см. (16))

Хп(Ъ'', к', I', т', q') = хХ-С1.]п(кк, т', ЪЪ, 4, I'),

т.е.

.п(7, 38, 25, 32, 38, 50) = ^—-3п(25, 38, 7, 50, 38, 32).

Имеем для набора параметров (3) из (17)

Мп = п тах{38,14, 50, 20, 56, 32, 38, 38, 50} = 56п.

Но тогда

По лемме 3

Ln — (V5 - 2) П 2-64n+1^pJn(25, 38, 7, 50, 38, 32).

\ / An

2_64n+1 (b&a jn(25, 38, 7, 50, 38, 32) — An ln ——1 + B.

An 2

где An, Bn e K, откуда следует (20), и лемма доказана.

3. Асимптотики

Для доказательства теоремы 1 мы применим лемму 1 к линейной форме (20). В этом разделе мы вычислим константы 71 и 73, а в следующем - константу 72. Для вычисления обеих констант 71 а 73 применим метод перевала. Имеем (см. (16) и (20))

—те г<х

Хп = .га(7, 38, 25, 32, 38, 50) = ¿У ^ J ^, г)сИ,

0 —гте

где

с(з, 1) = Ф , , ¿)/

^38

1 (8, ^ = (1 — 5)19(5 — *)20(* — х)56 , (21)

1

ч>(*, ч =

л/8/(8 — 1)(1 — в )(в — í )(* — Х)

Точками перевала являются решения системы /«(8, ¿) = 0 Л(^, = 0, отличные от нулей ( , ) ( , )

(в 1, Ь) = (1.011603 ..., 1.023871...), (22)

(8 2, ¿2) = (—0.016548 ... + г0.337977..., —0.679454 ... + г0.293303 ...), (23)

(з, Ъ3) = («2, ¿2) комплексно-сопряжена точке ( в2, ¿2). Обозначим £ = (в, £) е С2.

Лемма 5. Пусть - невырожденная тонка перевала функции Б(£), 7 - двумерное гладкое комплексное многообразие с краем, £0 - внутренняя точка 7, функции (р(£) и Б (£) голоморфны в точке , пусть также тах^НеБ(£)достигается в точке £0;

Р(А) = У <р(£) ехр(А5(0)с%,

1

/СИ (С0) СИ (С0)\

Б"(&) = он (л0) СП ^0) - матрица Гессе, ёе^(£0) = 0. Тогда при А ^ +ж ? ? У0«*(? ) (? и ^

Р(А) = ехр(А5(£0))(ёе1(С0))-1/2 (^0) + 0(А—1)) . (24)

Доказательство. Это утверждение доказано в монографии М. В. Федорюка [19, с. 259, предложение 1.1].

Лемма 6. Для линейной формы (20) имеет место равенство

1

71 = Ит (11п Л1 (п)/5 + Л2(п) ) уп )

= 1401п(л/5 — 2) — 1001п 2 + 56 — А + 1п |/(в 1, ^ 1) |, (25)

71 = 112.169784 ..., где А= Ит 11пАп = 33.573984 .

п^-ж п

Доказательство. Рассмотрим функцию

№, т) = f Ь" = -

1 л х~56032т38

(И)

¿чу (1 - ¿)19( 5 - т)20(т - 1/ж)56'

Пусть ¿1 - окружность |т — 1/ж| = 1/í 1 — 1/ж, ¿2 - окружность |£- 1/ж| = 1/81 — 1/ж. Заметим, что из (2) и (22) следует, что 1/ж < 1/£1 < 1/8 1 < 1. Очевидно, тах(т)е(Ь2хЬ1) 1п 1д( 6, г)| достигается только в точке (1/81,1/т{). Обозначим Ь* - образ окружности ¿1 при отображении £ = 1 /т, Ь* - образ окружи ости Ь2 при отображении 5 = 1 /5. Но тогда из определения функции д(5, т) следует, что тах(¿)€( ь*2хь\) 1п |/( 8, ¿)| достигается только в точке (в 1, ¿1). Для интеграла Зп из (21) имеем

\[5\ _ 1

Зп = Ап 1п^— + Вп, (26)

где Ап, Вп е <0 • \/б ф 0> (см. следствие 1). Покажем, что

Ап = (21)2 / С(8, ^ (2?)

ь*2 ь\

где окружности Ь\ и Ь2 проходятся в положительном направлении. В доказательстве леммы 2 для интеграла в (9) имеем из (11) и (13)

1

[ Як(г)йг = А(11) 1п + В(11),

где А(11), В(11) £ Q ■ /5 ф Q, A(l 1) = к1 = -resZ=Z0Rh(z), z0 = + 2, а тогда из (6), (8) и (26) следует, что Ап = resZ=Z0R(z). Применяя (5), получаем

А = ±_

АП - , .

2к1 J R(z)dz = 2^ / reSt=xG(s, t)^ = ^2/кг)2 J dS j G(S,

l L* L* L*

где l - контур, обходящий точку zo в положительном направлении и переходящий при отображении s = z2/(z2 — 1) в окружность L2- Итак, формула (27) доказана.

Пусть 71 - малая дуга окружности L* с центром в точке ¿1, 72 - малая дуга окружности L* с центром в точке s1; 7 = 72 х 7^ Г = (L2 х L**)\7; £0 = (s 1, t1), maxgеГ |/(£)| = = F < lf (£0)|. На множестве 7 можно определить некоторую голоморфную в точке ветвь

ln/(0 = ln |/СО! + i НО-

Из (21) и (22) следует, что f((0) = —|/(£0)|, поэтому можно выбрать h({0) = ж. Далее функция голоморфна в точке £0 ввиду Res > 1, s £ 72- Очевидно, что <р(£0) = 0. Имеем из (27)

An = (¿^ (/ V>(0eMn(ln ! №! + ih(0))dt + J <P(0(f(0Td^ . (28)

Применим к первому интегралу в (28) лемму 5 при Л = п, S(£) = ln/(£). Все условия леммы 5 выполнены, так как оставшееся условие невырожденности точки перевала легко проверяется: detSgg(£°) = 1010 ■ 3.116663 ... = 0. Тогда из (24) получим

j ^(£)exp(n(ln !f (О! + ih(0m =2ж (—1)га^Р(п ln |/(¿°)|)(dets£ (£0))"1/2 (^(£0)+О (П) ).

Второй интеграл в (28) оценим тривиально

J (у(0(f (0)nd0 <CFn г

для некоторой положительной константы С. Но тогда lim П ln |An| = ln | f(s 1,

Для завершения доказательства леммы осталось вычислить предел lim 1 ln ( ) •

n^x n V /

1

n

Отметим, что lim n ln(q^n) = 56, а

n^x n

А = lim — ln An = 33.573984 ... (29)

n^-x n

был вычислен в работе [10, см. с. 118-119]. Таким образом, лемма доказана.

Лемма 7. Пусть для линейной формы (20)

7з = 140 ln(2 + л/5) + 100 ln 2 - 56 + А - ln | f( S2, ¿2) = 299.316009 ..., (30)

где функция f(s, t) определена в (21), точка (s2,12) имеет вид (23), А = lim n lnAn вычислен в (29).

Пусть далее е1, е2 > 0. Тогда существует такое N G N, N = N(е 1, е2), что при всех n > N хотя бы для одного из значений т G {n,n + 1} выполняются неравенства,

е—Ы +s1 )m < |Lm| < е—Ы—е2)т. Доказательство леммы 7 аналогично доказательству леммы 7 работы [10].

4. Вычисление константы 72. Завершение доказательства теоремы 1

Для интеграла (1) рассмотрим функцию

а(а)

(х f ds f_skth—kdt_

9(X,a) = 2d J S J ^s/(s - 1)(1 - s)k+l-+1(s - t)(t - х), ( }

0 11

где a(a) = a/(a -1) a G (0,1) lt окружность, в комплексной плоскости t диаметром которой является отрезок вещественной оси [х/2, 2x]; интегрирование по lt проходит в отрицательном направлении. Пусть далее

Dn(f(x,a)) = Nу dnfgX a), Dn(f(x)) = NУ f(N)(x), N G Z+.

Приведем леммы 8-13, доказанные в работе [10] и необходимые для дальнейших рассуждений.

Лемма 8. Для интеграла (1) и функции (31) выполняется соотношение

J = limnT (9(x,a)), а-л 1—0

где оператор Т = Dk+m—hxWh+j—k-

Лемма 9. Для функции (31) выполняется соотношение

л/а

_ 2(—1)к+1—Эх"—к [ г2к(,г2 — 1) 1—Ых

9(Х,а) = Х—1 .1 г2 —х/(х — 1) .

0

Лемма 10. Пусть I < ] . Тогда для, интеграла (1) имеет место соотношение

(к+1 -3-1 1 Хт—д+и

У -1-т~-^гг

^ 2к + 2/ — 2^ — 2 г/ — 1 (х — 1)"+1

Х"—1/2 _ \

1п (/Х + Г) . (32)

{х - 1)к+1 -+1/2

Лемма 11. Пусть M G N a, b G R. Тогда

. n m

{х - 1)V^V V ^WV M -r J {х - 1) fe+M'

) = {-1)M Г ( ! " - ',+ M - 1 ) T^W (33)

Лемма 12. Для любого N е N и произвольных аналитических функций и = и(х), V = у(х) имеет место равенство

Dn{UV) = VDn{u) + А!{Ж *——Dn-1-А (DA{U>')

А=0

Введем при х G R функцию

х ln х, если х > 0,

0, если х = 0,

кх ln{-х), если х < 0.

Лемма 13. Пусть N g N n ^ b = bon + 0{1), bo, го G R r G Z+ ^ = 0. Тогда верно равенство

lim — ln

n^x n

C)

= 0* - 0* - { 0 - 0)*

Полученные результаты применим к линейной форме (20). Вычислим сначала интеграл

. п

Jn = 2{-1)nT

(19n-£

v=0

1 1 х-12п+и

38n - 2v - 1 {х - 1)v+1

х7п-1/2 4

{х - 1) 19п+1/2

ln( ^ + , (34)

где оператор T = D^^^D^n,.

Обозначим А = {^5 + 2)-140n2-100n,

1

^ =АТ -Л2П^7 {х - 1)"+М , f = 0,1,..., 12n - 1, (35)

£ 2, у =АТ{ (ж — ^^+1) , ^ = 0, 1,..., - 1, (36)

/ Ж7п-1/2 _ \

£ 3 = АТ ^ (ж _ 1)19п+1/2 1п + J . (37)

Тогда из (20), (34)-(37) получим

/12п-1 \

Ь. = Щ2(-!)п. ( £ £ - + Е жТьГ^-г £ - £ .) ■ М

Будем комбинировать вычисление операторов Дм по формуле Лейбница и по формуле (33). В последнем случае оператор Дм обозначим Дм-Начнем с вычисления 11. Имеем, как и в [10],

20п / \/ \

п , - , - V + г1 - 1\/20п - г1 + 1

Д20п

\ = ^ /12п - V + г1 - Л /20п - г1 + Л :) = ^Л п Д 20п - П )

ж12п—V (ж- 1) "+1 I ¿-^ \ г1 )\ 20п - г1 ж12п—и+г 1(ж- 1)и+20п—г 1+1'

' Г1=0 4 7 4 7

По лемме 11

1 \ / ж26п+v-rl \

^бп

Д ж38п_^_ = Д

Д5б„ I ж , .. , , п„ .. ,1 I - Д56п

26п + и - гЛ / 50п \ ж2б^-г^-Г2

ж12п-v+rl(ж - 1^+20п—Г1 + 1у ^5бп ^ (ж - l)20п+v-rl+1 5бп

£

г2 ) \56п - г2 (ж- 1)7бп+1+1'

Г2 =0 4 2 / \ 2/ V )

Ненулевые слагаемые в последней сумме получаются лишь при Г2 е [6п, 26п+ и- п]. Далее из (2) имеем

ж

2бп+V—Г! — Г2

^5 + 2

2бп+v—rl— Г2

((Л + 2)4)7бп+гУ—г 1+1

(ж - 1)7^—гХ+1 I 4

= (^5 + 2)102п+2v—2г 1—Г2+1450п+Г2 + 1

= А-1(^5 - 2)38п—2v+2Г1+Г2 —14Г2+1 = 0, 1, . . . , 12 п - 1

= 2°п 2бп+-г1 / 12п - у + Г1 - 1\ /20п - п + Л /26п + г/ - гЛ ( 50п \ ^ = 2> 2> I п ) I 20п - п \ г 2 ) \56п - Г2У

гх=0 Г2=бп 4 /ч /ч /ч '

х (Л - 2)38п—2,"+2г 1—2+14Г2+1. (39)

Теперь вычислим ^2 ^ и = 0,1,..., 7п - 1. Заменим

Л!(20п - Л)! (20п)!

Д20п = --Д2oп-ЛДЛ,

где Л = Л0п + 0(1), Л е Z+, выберем позднее с целью оптимизации оценки 72. Имеем, как и в [10],

Дл\,_ ;;,2„+„+^ = £ (-1)Л—-(;)(12,! +"+Л-гЛ ж

(ж _ 1) 12п+v+1 I V ) \Г1) \ Л - Г1 ) (ж — 1) 12п+V+Л—г 1 + 1-

=0 1 1

, ( xv~r 1 \ л V"^ /г/ — тЛ( 32п \ xv~r 1_Г2

В20п-А [ (x — 1)12п+г,+л-П+1 J = ( —11) V Г2 J \20п — Л — rj (x — 1)з2п+^- П+1 ,

, х38п+и-П-Г2 X = з8п+--1-2 /38п + ^ — п — /50п + Г2\ х38п+—1-56п ^ (х — 1)32п+г^-г 1 + ^ jL ^ р Д 56п — р J (х — 1)88п+^-П+1 ■

Как при вычислении Хл г/> имеем х38п+и-г 1- Г2-р

х = — 2) 14п-2г^+2г 1+Г2+/Э-14Г2+/Э+1

(Х — 1) 88п+V—п+1

Поэтому из (36) получим

^ Л!(20п — Л)! ) ^ 38п+^—1—г% ПР1 (V\ (12п + г/ + Л — гЛ

= (20п)! ^ ^ (—1) иД Л — п

У ' гч =0 Г2 =0/=тах(0,6п—Г2)

(и — ГЛ / 32п \ /38п + V — г1 — г2\ /50п + г2\ Х V Г2 ) \20п — Л — Г2 Д р ) \ 56п — р)

Х (/5 — 2) 14п—2 г^+2г 1+Г2+/Э—14Г2+/Э+1 ^д^

3

Х7п—1/2 __1

и =7- +1/2 , V = 1п(^Х + л/Х — 1), V1 =

(х — 1) 19п+1/2' " Г'

Тогда

1 20п-1Л!(20п — 1 — Л)!

г, , л ^ 1 20п-1Л!(20п — 1 — Л)' / ,,

D2QQa(uV) = VÜ2QU(u) + - > , -TTTTTTi-^20п-1-Л D\(u)

2 f—' (20п)! \ \/х\/х — 1,

Л—Q

Аналогично

T(uv) = vT(u)

+ 1 56п-1 Л1!(56п — 1 — Л1)! п / (х38пп (и)) 1

+ О -(5бп)-П56п-1-Л^ПЛ1 (х п20п(и))

2^ (56п)! — -^ ^ " ^х^х—1

Л1—0

+ 1 ^ Л!(20п — 1 — Л)! /хз8пп ы 1 ^

+ -(ЗД!-П56Чх П20п-1-^ПЛ(и) фЫх—1))

Л —0

1 56п-1 1 20п-1

Е 3 = AT(uv) = AT(u)v + 2 Е ^з(Л1) + 1 Е ^3(Л). (41)

Л1—0 Л—Q

Первое слагаемое суммы (41) вычисляется аналогично ^2 гДе v = 7п — 1/2. Полуцелое

1, 2,

. 56п-1 . 20п-1

Е з = AT(uv) = AT(u)v + 1 E ^з(Л1) + 2 E Б*(Л).

Л1—0 Л—Q

а«Т<«> = еЕ- Е с-«-^7п -.1/2)

п=0 Г2=0 р=шах(0,бп—Г2)б6п

+ / 19п + Л - П - 1/2\ /7п - П - 1/2\ / 32п \ /45п - п - Г2 - 1/2\ + V Л - п ) V ^2 ) \20п - Л - г2) \ р )

.1, ^5 - 1

-р)х'~ ' 2

Вычислим теперь слагаемые 63^1) суммы в (41). Как и выше, пусть

^50п + Г2^ - 2)2п+Г2+Р4Г2+Р+111п ^ 1 ^2)

Д Л!(20п - Л)! Д Д Д20п = (20п)! Д20п—лДл.

Последовательно получаем

дл«.) = е (7п ;1/2) (19п+Л:;:;-1/2) ж7п—1/2

Л - Г1 (ж — 1) 19п+Л—г 1 + 1/2 '

=0 1 -

ж7п—п —1/2 \ л 20п—Л

Д20п—Л 77 ТТТопХЛЗГГ+Т/^ = (-1)

ж7п-1—1/2 \ = , 1)Л 7п - п - 1/2\( 32п N

20п—-Л' (ж - 1) 19п+Л—г 1+1/2 ^ ( ) ^ г2 ) \20п - Л - т2)

ж

X

7п—г\—Г2 — 1/2

(ж - 1)39п—г 1 + 1/2 ;

/ ж45п—Г1—Г2 — 1/2\ = 1)Л1 ^ /45п - п - Г2 - 1/2\ /-6п + Г2 + АЛ

Л1 у (ж - 1)39п—1+1/^ ( ) ¿=0\ Р1 ) V А1 - Р1 )

ж

X

45п—Г1—Г2—Р1 — 1/2

(ж - 1)39п+Л1 —г 1 + 1/2 ;

45п—п—Г2 —01 — 1 \ 5бп—Л1— 1

• 1 £

02=0

50п + т2 + р1 \ ж45п—Г1—Г2—01 —02—1

/ ж45п—^-2—^—1 \ = 1)Л1+1 ^—V45п - п - Г2 - Р1 - 1/2 Д5бп—Л1 — (ж - 1)39п+Лх —г 1+1 у ( 1)

р2

02=0

X

50 п + 2 + р1 56 п - А1 - р2 - 1

ч56п - А1 - р2 - V (ж - 1)95п—п

ж45п—Г1— Г2—Р1—02 — 1

_ 1)95п—Г1

(ж - 1)

= А— 1(л/5 - 2)2Г1+Г2+0! +02+14Г2+01+02+1

Поэтому

6 ) Л!(20п - Л)! А1!(56п - 1 -А1)! Л ^ ^ ^—1( 1 ^ ^3(А1) = --^-£ £ £ £ (-1)

4 ' у ' П=0 Г2=0 01=0 02=0

7 п - 1/2\ /19п + Л - п - 1/2\ /7п - п - 1/2\ / 32п

1 Л - 1 2 20 п - Л -

45п - г1 - г2 - 1/2\ /-6п + г2 + АЛ (45п - г1 - г2 - р1 - 1/2

х1

р1 А1 - р1 р2

50 п + 2 + р1 56 п - А1 - р2 - 1

х ( *«I0 п + ' 2 +Р1 ^ (^5 - 2)2г1+7-2+02+14Г2+01+02+1 (43)

Осталось вычислить 63(А). Пусть

Д (А - Л)!Л! Д _ дл =-а!-дл—лдл.

Имеем, как и в [10],

/ x7"-1/2 \ Л ,,л-Г1 Л" - 1/2\ /19n + л - П - 1/2\ x7n-'1 —1/2

(x - 1)19..+1/^ = r2=0(_1) I - Д

Л - Г1 J (x - 1)19п+Л—г 1 + 1/2 •

x7n-r1-1/2 \ ^л A_A/7n - n - 1/2\ / 12n + Л \ x7n"ri—r2—1/2

D' ( x7n-1/2 \ = ^^a-K(7n - n - 1/2\ ( 12n + Л \

DA—(x - 1)19п+Л—n+1/2 J Z-Л 1) ^ ^ J \Л - Л - T2j

(x - 1)19n+A—n+1/2 I ^ r2 J \Л - Л - r2y (x - 1)19n+A—r 1+1/2 :

D ( x7n—1—2—1 \ = 1)Л+120"^-'V7n - n - Г2 - Л/ 32n + Г2 \

D20n—1—A^ (x - 1)19п+Л—n + ^ ( 1) ¿^ ^ Г33 )\20n - 1 -Л - гзз)

r-3=0

x7n—Г1— Г2 — Г3 — 1 X-

(x - 1)39n—^1 :

, x45n—r 1—r 3 —1 X = 45n—^3 —1 / 45n - n - ,2 - Г3 - 1\ / 50n + Г2 + гз\

56n v (x - 1)39"— 1 ) l p M 56n -p )

p=max(0,6n—Г2— Г3)

x45n—r 1—Г2 — Г3 —p— 1 X-

(x - 1)95n—»"1

x45n—r 1— Г2—r3—p—1

(x - 1)95n—1 Таким образом, во втором случае имеем

= A— 1 (л/б - 2)2Г 1+г2+'"3+Р+14'"2 +Г3+Р+1

,,,„„ л\|/л лмл! Л Л—Л 20n— 1—A 45n—г1 —г2—г3 —1

S (Л) = Л!(20П - 1 -Л)! (Л - Л)!Л! ^ ^ ^ V^2 3 ( +1

6з(Л) = -(ад!--ЛУ— (-1)

Т1=0 Г2=0 Г3=0 p=max(0,6n—г2— г3)

7n - 1/2\ /19га + Л - п - 1/2\ /7n - п - 1/2\ / 12n + Л 1 Л- 1 2 Л- Л- 2

7n - r1 - r2 - 1\ / 32n + r2 \ /45n - r1 - r2 - r3 - 1\

гз Д20П -1 -Л - Г3Д P )

50n + r2 + r3 56n - p

3) (/5

(44)

Слагаемые в (38), вычисленные по формулам (39), (40), (43), (44), имеют вид (л/5 — 2)МЯ или (/5 — 2)^/5К, а в формуле (42) - вид (/5 — 2)м К 1п (/5 — 2)^Д/51п , где

+ Вм /5, (/5 — 2)* = Ам — /

R G QN G Z+. Заметим, что для N G N (/5 + 2)N = AN + BN/5, (/5 - 2)N = AN - BN/5,

где An, BN G N Соответственно, \/5(л/5 - 2)N = -5BN + An\/5. Очевидно, что lim N lnAn = lim N lnBn = \/5 + 2.

NN NN

Общее количество слагаемых в Ln оценивается как 0(n5). Таким образом, имеем для 72 оценку limsup " 1пЛ < 56 - А + lim " ln |S|, где S - максимальное по модулю слагаемое

из всех вышеуказанных сумм после замены \/5 - 2 та \/5 + 2. Асимптотика биномиальных коэффициентов вычисляется с помощью леммы 13.

Вычисления на компьютере показывают, что соответствующее максимальное слагаемое достигается в сумме (43) при следующих значениях параметров: Л = Л'п + 0(1), Г1 = r[n + 0(1), Г2 = r'2n + 0(1), р1 = p[n + 0(1), р2 = р'2 + 0(1) Л1 = Л1 + 0(1) да

(Л'; г*1; г2; р1; р'2, Л[) = (0; 0; 4.849092 ...; 0.575453 ...; 35.744108 ...; 0.575453 ...).

Следовательно, из (42) по лемме 13 получаем

limsup1 lnЛ < 56 - А + А'; + (56 - Ai)'* - 56* + (7 - п)'* - И* - (7 - п - г2)'* + 32*

-(20 - Г2)'* - (12 + Г2)'* + (45 - Г2)'* - Pi - (45 - - pi)'* + (45 - г2 - pi)'* - p? -(45 - Г2 - pi - P2)'* + (50 + Г2 + pi)'* - (56 - Ai - p2)'* - (Г2 + Pi + Ai + p2 - 6)'*

+(2n + Г2 + pi + p2) ln( V5 + 2) + (Г2 + pi + p2) ln 4 = 213.833247... = 72. (45)

Таким образом, по лемме 1 из (25), (30) и (45) имеем

V > 2(7i +73) = 9.627339 ....

7з - 72

И теорема 1 доказана.

5. Заключение

"Золотое сечение" хорошо известно в теории диофантовых приближений, как число "плохо приближаемое" рациональными дробями. Выясняется, что и логарифм "золотого сечения" достаточно плохо приближается рациональными числами.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андросенко В. А., Салихов В. X. Симметризованная версия интеграла Марковеккио в теории диофантовых приближений // Математические заметки. 2015. Т. 97, № 4. С. 483492.

2. Marcovecchio R. The Rhin-Viola method for ln2 // Acta Aritm. 2009. Vol. 139.2. P. 147-184.

3. Данилов Л. В. Рациональные приближения некоторых функций в рациональных точках // Математические заметки. 1978. Т. 24, № 4. С. 449-458.

4. Aladi К. Robinson М. Legendre polynomials and irrationality // J.Reine Angew. Math. 1980. Vol. 318. P. 137-155.

5. Chudnovskv G. V. Recurrences Pade approximations and thei applications // Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 92.

6. Дубицкас А. К. Приближение рациональными дробями // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 1987. Т. 6. С. 73-76.

7. Hata М. Legendre type polynomials and irrationality measures //J. Reine Angew. Math. 1990. Vol. 407, № 1. P. 99-125.

8. Hata M. Rational approximations to ж and some other numbers // Acta Arith. 1993. Vol. LXIII. № 4. P. 325-349.

9. Rhin G. Approximants de Pade et mesures effectives d'irrationalite // Progr. in Math. 1987. Vol. 71. P. 155-164.

10. Лучин M. Ю., Салихов В. X. Приближение ln2 числами из поля Q(\<r2) // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2018. Т. 82, № 3. С. 108-135.

11. Amoroso F., Viola С. Approximation measures for logarithms of algebraic numbers // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. 2001. Vol. 30, № 1. P. 225-249.

12. Сальникова E. С. Приближения некоторых логарифмов числами из полей Q и QVd // Фундамент, и прикл. матем. 2010. Том 16. № 6. С. 139-155.

13. Салихов В. X., Сальникова Е. С. Диофантовы приближения логарифма "золотого сечения" // Вестник Брянского государственного технического университета. 2007. № 1. С. 111-119.

14. Башмакова М. Г. Оценка мер иррациональности логарифма "золотого сечения" // Чебы-шевский сборник. 2010. Т. 11, № 1. С. 47-53.

15. Дубицкас А. К. Приближения логарифмов некоторых чисел // Диофантовы приближения. 4.2. М.:Изд-во Московского университета. 1986. С. 23-34.

16. Hata М. Irrationality measures of the values of hvpergeometric functions // Acta Arith. 1992. Vol. LX. P. 335-347.

17. Heimonen A., Matala-aho Т., Vaananen K. An application of Jacobi type polynomials to irrationality measures // Bull. Austral. Math. Soc. 1994. Vol. 50, № 2. P.'225-243.

18. Сальникова E. С. О мерах иррациональности некоторых значений функции Гаусса // Чебышевский сборник. 2007. Том 8, № 2. С. 88-96.

19. Федорюк М. В. Метод перевала // Наука, М. 1997. С. 368. REFERENCES

1. Androsenko, V. А. 2015., "Symmetrized version of the Marcovecchio integral in the theory of diophantine approximations", Math. Notes, vol. 97, № 4, pp. 483-492. (Russian)

ln 2

3. Danilov 1. V., 1978, "Rational aproximations of some funcrions in rational points", Math. Notes, vol. 24, № 4 pp. 449-458. (Russian)

4. Aladi K., Robinson M., 1980, "Legendre polynomials and irrationality", J.Reine Angew. Math., vol. 318, pp. 137-155.

5. Chudnovskv G. V., "Recurrences Pade approximations and thei applications", Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 92.

6. Dubickas, A. K. 1987, "Approximation of — bv rational fractions", Publishing Moscow University Bulletin, Math., Mech., vol. 6, pp. 73-76. (Russian)

7. Hata M., 1990, "Legendre type polynomials and irrationality measures", J. Reine Angew. Math., vol. 407, № 1, pp. 99-125.'

8. Hata M., 1993, "Rational approximations to ж and some other numbers", Acta Arith., vol. LXIII, № 4, pp. 325-349.

9. Rhin G., 1987, "Approximants de Pade et mesures effectives d'irrationalite", Progr. in Math., vol. 71, pp. 155-164.

10. Luchin M. Y., 2018, "Aproximating ln 2 by numbers in the field Q(V2)", Izv. Math., vol. 82, № 3, pp. 108-135. (Russian)

11. Amoroso F., Viola С., 2001, "Approximation measures for logarithms of algebraic numbers", Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci., vol. 30, № 1, pp. 225-249.

12. Salnikova E., S. 2010, "Approximations of some logarithms bv numbers from the fields Q and QVd", Journal of Mathematical Sciences, vol. 16, № 6, pp. 139-155. (Russian)

13. Salikhov, V. H., Salnikova E., S., 2007, "Diophantine aproximations of logarithm of "Golden section", The Bryansk State University Herald, № 1, pp. 111-119. (Russian)

14. Bashmakova M.G.,2010, "The estimate of the irrationality measures of logarithm of "Golden section"", Chebyshevskii Sbornik, vol. 11, no. 1, pp. 47-53. (Russian)

15. Dubickas, A. K. 1986, "Approximation of logarithms of some numbers", Publishing Moscow State University Diophantine approximations, 2, pp. 23-34.

16. Hata M., 1992, "Irrationality measures of the values of hvpergeometric functions", Acta Arith., vol. LX., pp. 335-347.

17. Heimonen A., Matala-aho Т., Vaananen K., "An application of Jacobi type polynomials to irrationality measures", Bull. Austral. Math. Soc., vol. 50, № 2, pp. 225-243.

18. Salnikova, E. 2007, "On irrationality measures of some values of the Gauss function", Chebyshevskii Sbornik, vol. 8, № 2, pp. 88-96. (Russian)

19. Fedorvuk M. V., 1997, "Pass method", Moscow: Science, pp. 368. (Russian)

Получено 25.06.2019 г.

Принято в печать 20.12.2019 г.