CC BY
10
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 20. Выпуск 4.
УДК 511.36 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-4-226-235
Об оценках линейных форм от логарифмов некоторых
рациональных чисел1
М. Ю. Лучин, В. X. Салихов, Е. С. Золотухина
Салихов Владислав Хасанович — доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры высшей математики, Брянский государственный технический университет (г. Брянск).
e-mail: svdhMramMer.ru
Золотухина Екатерина Сергеевна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Брянский государственный технический университет (г. Брянск). eszolotukhina@mail.ru
Лучин Михаил Юрьевич — Брянский государственный технический университет
(г. Брянск).
т. у. luchinQmail. ги
Аннотация
В настоящее время одним из широко применяемых подходов при нахождении оценок показателя иррациональности является использование симметризованных интегралов. Они рассматривались и ранее (см., например, [1]), но наиболее динамичное развитие это направление приобрело в работах В. X. Салихова и его учеников (см., например, [2]-[5]).
Отправной точкой стала статья В. X. Салихова [6], в которой была усилена оценка меры иррациональности числа ln3: ^(ln3) < 5.125. В 2014 г. К. By и Л. Ванг в [7] улучшили результат В. X. Салихова, получив оценку ^(ln3) < 5.1163051. В их работе применялись симметризованные многочлены первой степени. С помощью интегральной конструкции, основанной на симетризованных многочленах первой и второй степени, И. В. Бондарева, М. Ю. Лучин и В. X. Салихов в [8], уточнили предыдущий результат К. By и Л. Ванга: ^(ln 3) < 5.116201.
Впервые квадратичные симметризованные многочлены были использованы в работе И. В. Бондаревой, М. Ю. Лучина и В. X. Салихова [9]. Используя подобные многочлены, но рассматривая комплексный интеграл (модифицированный интеграл Е.Б.Томашевской) В. X. Салихов и Е. С. Золотухина в [10] незначительно усилили оценку меры иррациональности числа ln |: ^(ln |) < 5.119417____Предыдущие результаты принадлежали Е. Б. То-
машевской [11], Е. С. Золотухиной [12], К. Ваананену, А. Хеймонену и Т. Матала-ахо [13].
1 ln 2
ln3, ln5 и чисел 1, ln2, ln3, ln5, ln7, основываясь на интегральной конструкции, содержащей многочлены первой и второй степени.
Ключевые слова: мера иррациональности, совместные приближения, симметризованные многочлены.
Библиография: 15 названий. Для цитирования:
М. Ю. Лучин, В. X. Салихов, Е. С. Золотухина. Об оценках линейных форм от логарифмов некоторых рациональных чисел // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 4, с. 226-235.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 18-01-00296 А
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 4.
UDC 511.36 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-4-226-235
On astimate of irrationality measure of the logariphms of some
rational numbers
M. Y. Luchinn, V. H. Salikhov, E. S. Zolotukhina
Salikhov Vladislav Khasanovich — doctor of physical and mathematical Sciences, Docent, Professor of department "Higher mathemathics", Bryansk State technical university (Bryansk). e-mail: svdh@rambler.ru
Zolotukhina Ekaterina Sergeevna — candidate of Phvsico-mathematical Sciences, docent of department "Higher mathemathics", Bryansk State technical university (Bryansk). e-mail: eszolotukhina@mail.ru
Luchin Mikhail Yurevich — Bryansk State technical university (Bryansk). e-mail: m.y.luchin@mail.ru
Abstract
At present the use of symmetrized integrals is one of the approaches to obtain estimates of irrationality measures. They were considered in the past (see [1]), but the most dynamic development of this direction acquired in the articles of V. H. Salikhov and his students (see PH5]).
The beginning was V. H. Salikhov's article [6], in which the estimate of irrationality measure of the number ln 3 was improved: ^(ln3) < 5.125. In 2014 Q. Wu and L. Wang improved on this result and received the estimate ^(ln3) < 5.1163051. In their work symmetrized polynomials of the first degree were used. With help of the integral construction based on symmetrized polynomials of first and second degree I. V. Bondareva, M. Y. Luchin and V. H. Salikhov in [8] improved the result of Q. Wu and L. Wang: ^(ln3) < 5.116201.
For the first time quadratic symmetrized polynomials were used in [9]. Using similar polynomials in the complex integral (modified Tomashevskay integral) V. H. Salikhov and E. S. Zolotukhina improved the estimate of the irrationality measure of the number ln |: ^(ln |) < 5.119417.... Previous estimates were found by E. B. Tomashevskay [11], E. S. Zolotukhina [12], K. Vaananen, A. Heimonen, T. Matala-aho [13].
The aim of this article is to obtain a new estimate of join approximations by the numbers 1, ln2, ln3, ln5 mid 1, ln2, ln3, ln5, ln7 using polynomial of first and second degree in the integral construction.
Keywords: irrationality measure, join approximations, symmetrized integrals.
Bibliography: 15 titles.
For citation:
M. Y. Luchinn, V. H. Salikhov, E. S. Zolotukhina, 2019, "On astimate of irrationality measure of the logariphms of some rational numbers" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 4, pp. 226-235.
1. Введение
В 2002 г. в работе [15] были получены следующие оценки:
\р + qi ln 2 + q2 ln 3 + q3 ln 5| > H-J1,
(1)
где р, ql, <?2, Чз е Ъ Н = тах(||<й|, |<7з|), Н > Н0, 71 = 15.27049,
|р + 911п2 + ц_21п3 + ц_з 1п5 + 1п7| > Н-72, (2)
где р, д1,..., д4 е Ъ, Н = тах(| д1|,..., | д4|), Н > Но, 72 = 256.865. В настоящей работе мы улучшим оценки (1) и (2).
71 = 14.5640221
72 = 135.898431
Отметим, что для доказательства оценки (1) в работе [15] был использован интеграл вида ь
(х - 15)"1га(х - 16)"2га(х - 18)"зга(х - 20)"4™ (87х2 - 3024х + 25920)а&п
-йх. (3)
I хга+1
а
В нашей работе вместо интеграла (3) применяется интеграл вида
Г (х - 36)^1"(х - 40)^2га(х - 45)^зга(х - 48)^4" (Р1(х))^Бга ^(х))^6" (Р3(х))^7П ] хп+1 X, ■ '
а
где Р1(х) = 2х - 75 Р2(х) = х2 - 84х + 1740 Рз(х) = 3х2 - 242х + 4860, £1 = 0, 430511, $2 = 0.580022 £з = 0.379311 £4 = 0.33961 £5 = 0.020431 = 0.020157, £7 = 0.000079; п е N п ^ ж, п кратно 106, пределы интегрирования а, Ъ см. ниже.
Наконец, для получения оценки (2) в работе [15] применялся интеграл вида
ад
Г (х - 35)"1га(х - 36)"2га(х - 40)"зга(х - 42)"4га(х - 45)аБга^ з5
В настоящей работе для доказательства теоремы 2 вместо интеграла (5) применяется интеграл вида
ад
Г (х - 56)^га(х - 60)^2"(х - 63)^зга(х - 70)^4"~(х - 72)^Б"(2х - 135)^га
J х™+1
56
где £1 = 0, 244553 £2 = 0.648682, £з = 0.432262 $4 = 0.323185, £5 = 0.215264, $6 = 0.028133; п е N п ^ ж, п кратно 106, ■ е {60, 63, 70, 72}.
2. Доказательство теорем 1 и 2
Доказательство теорем 1 и 2 аналогично выводу оценок (1) и (2) работы [15]. Мы для полноты изложения приведем доказательство теоремы 1 и краткую схему доказательства теоремы 2.
Начнем доказательство теоремы 1 со следующей леммы, доказанной К. Ву в работе [15] (лемма 1).
Лемма 1. Пусть т е N71,...,7т е М; для всех п е N существуют целые числа,
(1) Ы (») (») / п • 1
1"п, Рп ,..., Рп такие, что ега = - Рп =0 г = 1,..., т,
п^-те п п^-те п
где г(1),..., т(т) - поло:
11т — 1п |гп| < 5, 11т — 1п е^ = -т(7)
Пусть также т = min (г(1),... ,т(т)), т(г) = тдля всех i = j. Тогда числа 1, 71,... ,r)m линейно независимы над Q и для люб ого е > 0 существует Но(е) £ N такое, что
b + Ч111 + ... + q.rnlm |> Н Т е (8)
для любых целых чисел р, ... и Н = max1<,¿<m, # > Н0(е).
Лемма 1 обобщает лемму 2.1 работы [14], в которой был рассмотрен случай т = 2. Определим для несократимой дроби где а € Ъ, а = 0, Ь € N показатель ир = ир £ Ъ простого числа р так, что | = где а1 € Ъ, 61 € N (аъР) = (Ь1,р) = 1.
Пусть, наконец, для аналитической в точке х = 0 функции /(ж) ^о(/(ж)) = /(0),
^(/(я)) = Ж € N.
Определим для многочлена Р = Аж — В, А € N ^ € N из(Р) = min(2, и3(В)), и5(Р) = min(1,и5(В)), а для многочлена Р* = А2х2 + А1х + А0, где А0, А1, А0 € Ъ, ¿2 = 0 (Л2, Л) = 1 (Р*) = min(8, ^(Л), ^1) +4) и3(Р*) = min(4, и3(Ао), ^3(^1) +2), (Р*) = min(2, ^(Л), ^5(^1) + 1).
Лемма 2. Справедливы следующие оценки для т € Ъ+ :
V3 (DN((Р(х))т) > ти3(Р) - 2Ж; (9)
(^n((Р(х))т) > (Р) - -Ж; (10)
(Dn((Р*(х))т) > ти2(Р*) - -4N; (11)
^э (Dn((Р*(х))т) > ти3(Р*) - -2Ж; (12)
^з (Dn((Р*(х))т) > mv5(P*) - N. (13)
Доказательство. Имеем
(р (Х)г = (^ - вг = Е (™) (-в г2 =
= ^^ {т\ ( — 1)т2^т-2Жт1
т1 ,т,2 , Ш1+т2 =т
Ои ((Р(х))т) = ^ (—1)т"М1 вт~М1,
у-3, (Вм (Р(х))т) > Ыиз(А) + (т — Ж)из(В) > ) — ^з(^) > т^з(Р) — 2Ы,
и неравенство (9) доказано.
Далее V5 (Ом (Р(х))т) > N^5(А) + (т — ) > т^В) — ) > т»5(Р) — и
неравенство (10) доказано.
Пусть далее т = (т0, т1,т2) € (Ъ+)3, |т| = т0 + т1 + т2,
,_. |т|! ,_. ^
7(т) = —;-;-г, 7(т) € N.
т0!т1!т2!
Тогда для Р*(х) = А2х2 + А1х + А0 имеем
(Р*(х))т = ^ 1(т)А™2 А™1 А™0 жт1+2т2,
|т|=т,
^ ((р *(х))г = Е 1 (щ)^г1 ,
|т|=т, т1 +2т,2=М
(Р*(х))т) > Ш2^2) + Ш1^2(^1) + ^0^2(^0) > > Ш2 (^2 (Р*) — 8) + Ш1 (У2 (Р*) — 4) + Ш0ТУ2 (Р*) = (Р*) — 4(2Ш2 + Ш1) = (Р*) — 4Ы,
и неравенство (11) доказано. Аналогично,
Ы^м (Р*(х)Г) > т2^з(^2) + т11/з(^1) + то^з(Ао) >
> т2 (!/з (Р*) - 4) + т1 (г/з (Р*) - 2) + тог/з (Р*) = тг/з (Р*) - 2(2т2 + т1) = тщ (Р*) - 2Ж,
и неравенство (12) доказано. Наконец,
(Р*(х)Г) > т2^5(^2) + т^А^ + то^(Ао) >
т2 (г/5 (Р*) - 2) + т1 (^ (Р*) - 1) + то^5 (Р*) = тг/5 (Р*) - (2т2 + т^ = т^ (Р*) - Ж,
и неравенство (13) доказано.
Это завершает доказательство леммы 2.
Отметим, что для параметров £1,(62,.. .£7 интеграла (4) справедливы следующие соотношения:
£1 + £2 + £з + £4 + £5 + 2£б + 2^7 = 1.790357; (14)
2£1 + 3£2 + 4^4 + 2£б + 2^7 = 4; (15)
2£1 + 2£з + £4 + £5 + Аз + 2£7 = 2; (16)
£2 +£з +£5 +£б +£7 = 1. (17)
Обозначим Рп(х) - многочлен, стоящий в числителе подынтегральной функции интеграла (4). Разложим рр+г в сумму простейших дробей:
Ррх)=Р^га-1(х)+ Е^, (18)
3 = 1
где все а3- е ^ й = 0.790357 degР(íгa-1(х) = йп - 1 (см. (14),
Лг— 1
Р(йг—1 (х) = ^ , (19)
и=о
все е Ъ.
Лемма 3. Справедливы следующие соотношения для ] = 1,..., п + 1
а3 = 24з—432з—253—, А3 е Ъ.
Доказательство. Пусть т = (т1,..., т7) е (Ъ+)7, т = т1 + ... + т7. Имеем стандартным образом
аз = £ ((х - 36)Ага) ((х - 40)^га) Бтз ((х - 45)^) ^ ((х - 48)^)
т€(Ъ+)7, т=га+1—3
Х^ШБ ((2х - 75)^Бга) ((Р2(х))^га) Отг ((Рз(х))^га) , (20)
где т^ < Дп, г = 1,..., 5, т6 < 2£6п, т7 < 2£7п.
Из определений показателей г/р(Р) и ^р(Р*) следует ^з(2х - 75) = 1, г/5(2х - 75) = 1, ^( Р2(х)) = 2, г/з(Р2(х)) = 1, г/5(Р2(х)) = 1, г/2(Рз(х)) =2, ^з( Рз(х)) = 2, ^(Р5(х)) = 1.
По лемме 2 из равенства (20) получим
у2((1у) > 2^1п — 4ш1 + 3@2п — 4ш2 + 4^4п — 4ш4 + 2^6п — 4ш6 + 2@7п — 4ш7 = (2Д + 3^2
+ 4/34 + 2^6 + 2@7)п — 4(ш1 + т2 + т4 + т6 + т7) > 4п — 4(п + 1 — ]) = 4(з — 1),
(21)
и мы воспользовались равенством (15). Аналогично
) > 2^1 п — 2т1 + 2^3п — 2т3 + @4п — 2т4 + — т5 + — 2т6 + 2^7п — 2т7 = (2Д + 2^3 + р4 + £5 + & + 2р7 )п — 2(Ш1 + Ш3 + Ш4 + Ш5 + Ш6 + Ш7)
> 2п — 2(п + 1 — ]) = 2(] — 1),
(22)
и мы воспользовались равенством (16). Наконец, с помощью равенства (17),
V5(aj) > @2П — Ш2 + @3П — Ш3 + — Ш5 + — Ш6 + — Ш7 = (& + & + ^5 + ^6 + @7)п — (Ш2 + Ш3 + Ш5 + Ш6 + Ш7)
> П — (п + 1 — ^) = ^ — 1,
(23)
Полученные выше неравенства (21)—(23) равносильны утверждению леммы. Теперь можно закончить доказательство теоремы 1. Обозначим (С0,С1,С2,С3) = (36, 40, 45, 48) дп = НОК(1, 2,...,п);
=
Яп
Рп(х)
п+1
йх, г = 1, 2, 3;
Сг-1
(24)
, С1 10 С2 .9 С3 .16
71 = 1П — = 1П —, 72 = 1П — = 1П -, 73 = 1П — = 1П —. с0 9 с1 8 с2 15
Покажем, что
= ГпЪ — р®, г = 1,2,3,
.(1) „(2) „(3)
где Гп, Рп), Рп), Рп) € Ъ.
Вычислим последовательно интегралы (24). Имеем из (18)
(25)
40
е^ = Яп ! Рап-1(х)йх + а1Яп 1П х 36
40
п+1
+ Т
36
=2
] — 1 Xj-1
40
36
40
Очевидно, дп / Р^п-1(х)йх € Ъ; то лемм е 3 а1 € Ъ, дп т^ € N 3 = 2,... ,п + 1,
36 7
-г € Ъ, поэтому еп1) = гп^1 — рп), где гп = а1дп € Ъ, рп) € Ъ. Аналогично
(1)
(1)
36^-
40^-
Ъ
45
г(2) =
Яп Рап-1(х)йх + Гп 1П х
40
45
п+1 а
1 „.7-1
1
40
=2
1 — 1 Х7~
45
45
1
Ъ;
(2) п
= Тп12 — Р^, р™ € Ъ; = ГпЪ — ^п3), ^п3) € Ъ ввиду 48-1 € Ъ.
п
а7 1
а
1
а
а
п
п
Найдем асимптотику гп и maxj^{1,2,3}
е(г)
п
стандартным образом. Пусть (см. (4))
/ (ж) =
(ж - 36)^(ж - 40)/2(ж - 45)/з(ж - 48)/4 (Р1(ж))/Б (Р2(ж))/б (Рз(ж))/?7
ж
Тогда
lim — in |гп| = lim — in qn + ln |/(-52.415787)| = 1 + 4.183111 = 5.183111;
п^те n п^-те n
lim - ln
п^-те n
(1)
= lim 1 ln qn + ln |/(37.740884)| = 1 - 1.356279 = -0.356279;
п^-те n
аналогично
lim 1 ln
п^те n
lim — ln
п^те n
(2)
(3)
= 1 + ln |/(42.861134)| = 1 - 1.362953 = -0.362953; = 1 + ln |/(46.661613)| = 1 - 1.3562281 = -0.3562281.
В обозначениях леммы 1 (см. (7)) получим 5 = 5.183111, т(1) = 0.356279, т(2) = 0.362953, т(3) = 0.356281 т = min (т(1), т(2), т(3)) = т(1), все т(1), г(2), г(3) различны. По лемме 1 из (25)
следует
Но
9 8 15
(26)
10 9 16
<?11п — + 1п - + <?з 1п — = ( я 1 - 3<?2 + 4(?з) 1п 2 + (-2+ 2^ - <?з) 1п3 + ( д 1 - <?з) 1п 5; 9 8 15
10 9 16
1п 2 + <?2 1п 3 + <?з 1п 5 = (2 + 3 д' + 5 ^) 1п — ■+ (3 д[ + 5 ^ + 7 ^) 1п - + (2 д' + 3 ^ + 4 д'3) 1п —.
9 8 15
Но тогда из (26) следует утверждение теоремы 1.
Доказательство теоремы 2 совершенно аналогично, поэтому ограничимся краткой схемой. Для параметров £1,... ,£6 интеграла (6) справедливы соотношения
£1 +£2 + ... + £б = 1.892079;
(27)
3£1 + 2 £2 +£4 + 3Ä = 3;
£2 + 2£3 + 2£б + 2£б = 2;
(28)
£2 + £4 + = 1;
£1 + £з + £4 = 1.
Аналогичное (18) соотношение для подынтегральной функции интеграла (6) выполняется при й = 0.892079 (см. (27)).
Наконец вместо леммы 3 из равенств (28) получим соотношение вида
= 23j-332j-25j-17j-1Aj, Aj е Z, j = 1,..., n + 1.
(29)
Обозначим (со, с1, с2, сз, с4) = (56, 60, 63, 70, 72). Рассмотрим вместо интегралов (24) следующие интегралы
^п') = 9п
ж
п+1
-^ж, i = 1, 2, 3, 4.
<Ч—1
п
п
п
а
Пусть 71 = 1п | = 1п {§, 72 = 1п = 1п 20, 73 = 1п % = 1п § = 1п ъ = 1п | =
= 1п 72 = 1п 36 1п 70 1п 35 •
Как в доказательстве теоремы 1 с помощью соотношений (29) получим, что
= ГпЪ - Р^, г = 1, 2, 3, 4,
(1) (4) ^ ^
где Гп, рП ,... ,Рп е 2.
Пусть (см. (6))
(х - 56)31 (х - 60)32 (х - 63)33 (х - 70)134 (х - 72)35 (2х - 135)/Зв
/(ж) =
х
Тогда
S = lim 1 ln |г„| = 1 + ln |/(-70.793856)| = 6.027489;
га^те п
т = -(1 + ln |/(71.386304)1) = 0.044353,
и с помощью леммы 1 получаем оценку теоремы 2.
3. Заключение
В работе усилены оценки совместных приближений чисел 1, ln 2, ln 3 ln 5 и 1, ln 2, ln 3 ln 5, ln 7.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Rhin G. Approximants de Padé et mesures effectives d'irrationalité // Progr. in Math. 1987. Vol. 71. P. 155-164.
2. Салихов В. X. О мере иррациональности числа ■к // Успехи математических наук. 2008. Том 63, № 3. С. 163-164.
3. Сальникова Е. С. О мерах иррациональности некоторых значений функции Гаусса // Чебышевский сборник. 2007. Том 8, № 2. С. 88-96.
4. Башмакова М. Г. О приближении значений гипергеометрической функции Гаусса рациональными дробями // Математические заметки. 2010. Т.88, № 6. С. 785-797.
5. Лучин М. Ю. Оценка меры иррациональности числа ln 4 // Чебышевский сб. 2013. Том 14, № 2. С. 123-131.
ln 3
№ 6. С. 753-755.
7. Wu Q, L. Wang. On the irrationality measure of log3 // Journal of Number Theory. 2014. Vol. 142. P. 264-273.
8. Бондарева И. В., Лучин M. Ю., Симметризованные многочлены в задаче оценки меры
ln 3
ln 7
тические заметки (в печати).
10. Салихов В. X., Золотухина Е. С., Томашевская Е. Б. О показателе иррациональности ln | // Чебышевский сборник (в печати).
11. Томашевская Е. Б. О диофантовых приближениях значений функции log ж // Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Том 16. № 6. С. 157-166.
12. Сальникова Е. С. Диофантовы приближения log 2 и других логарифмов // Математические заметки. 2008. Том 83. № 3. С. 428-438.
13. Heimonen A., Matala-aho Т., Vaananen К. On irrationality measures of the values of Gauss hvpergeometric function // Manuscripta Math. 1993. Vol. 81. P. 183-202.
14. Hata M. Rational approximations to ж and some other numbers // Acta Arith. 1993. Vol. LXIII. № 4. P. 325-349.
15. Wu Q. 2002, "On the linear independence measure of logarithms of rational numbers", Math. Comput., vol. 72, № 242, pp. 901-911.
REFERENCES
1. Rhin G., 1987, "Approximants de Pade et mesures effectives d'irrationalite", Progr. in Math., vol. 71, pp. 155-164.
2. Salikhov, V. H., 2008, "On the irrationality measures of ж", Russian Mathematical Surveys, vol. 63, № 3, pp. 163-164. (Russian)
3. Salnikova, E., S. 2007, "On irrationality measures of some values of the Gauss function", Chebvshevskii Sbornik, vol. 8, № 2, pp. 88-96. (Russian)
4. Bashmakova M.G.,2010, "Approximation of values of the Gauss hvpergeometric function by rational fractions", Mathematical Notes, vol. 88, no. 6, pp. 785-797. (Russian)
5. Luchin M. Yu.,2013, "The estimate of the irrationality measures of number ln Chebvshevskii Sbornik, vol. 14, no. 2, pp. 123-131. (Russian)
6. Salikhov, V. H. 2007, "On the irrationality measures of ln3", Dokladv Mathematics, vol. 417, № 6, pp. 753-755. (Russian)
log 3
vol. 142, pp. 264-273.
8. Bondareva I., Luchin M., Salikhov, V. H., 2018, "Symmetrized polvnimials in a problem of
ln 3
pp. 15-25. (Russian)
9. Bondareva I., Luchin M., Salikhov, V. H., "On the irrationality measure of ln7", Mathematical Notes (in print) (Russian)
10. Salikhov, V. H., Zolotukhina E.S., "On the irrationality measure of ln |", Chebvshevskii Sbornik (in print) (Russian)
11. Tomashevskava E. В., 2012, "On Diophantine approximations to log ж", J. Math. Sci., vol. 182, № 4, pp. 552-559.
log 2
matical Notes, vol. 83, № 3, pp. 428-438. (Russian)
13. Heimonen, A., Matala-aho, T., Vaananen, K. 1993, "On irrationality measures of the values of Gauss hyper geometric function", Manuscripta Math., vol. 81, pp. 183-202.
14. Hata M. 1993, "Rational approximations to k and some other numbers", Acta Arith., vol. LXIII, № 4, pp. 325-349.
15. Wu Q. 2002, "On the linear independence measure of logarithms of rational numbers", Math. Comput., vol. 72, № 242, pp. 901-911.
Получено 25.06.2019 г. Принято в печать 20.12.2019 г.
