О показателе иррациональности ln 5/3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 20. Выпуск 4.

УДК 511.36 Б01 10.22405/2226-8383-2019-20-4-330-338

О показателе иррациональности 1п

В. X. Салихов, Е. С. Золотухина, Е. Б. Томашевская

Салихов Владислав Хасанович — доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры высшей математики, Брянский государственный технический университет (г. Брянск).

е-тай: svdhMramMer.ru

Золотухина Екатерина Сергеевна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Брянский государственный технический университет (г. Брянск). eszolotukhina@mail.ru

Томашевская Елена Брониславовна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Брянский государственный технический университет (г. Брянск). 1оте1е@т ail.ru

Аннотация

В данной работе уточнена оценка меры иррациональности числа 1п |.

К настоящему времени установлено достаточно много оценок мер иррациональности значений аналитических функций, в частности, логарифмов рациональных чисел.

Диофантовы приближения логарифмов рациональных чисел рассматривались в работах К. Ваананена, А. Хеймонена и Т. Матала-Ахо [1], Д. Рина [2], Е. А. Рухадзе [3], М. Хата [4]-[6] и др. В трудах этих авторов использовались интегральные конструкции, дающие малые линейные формы от рассматриваемых чисел, имеющие "хорошие"оценки знаменателей коэффициентов. Асимптотика интегралов и коэффициентов линейных форм вычислялась с помощью теоремы Лапласа, метода перевала. Обзор некоторых конструкций из теории диофантовых приближений логарифмов рациональных чисел был представлен в статье В. В. Зудилина [7]. Отметим, что в 2009 г. Р. Марковеккио в [8] с помощью двукратного комплексного интеграла получил лучшую на данный момент оценку меры иррациональности числа 1п 2.

В последнее время широко применяются симметрии функций, участвующих в интегральных конструкциях.

Использование симметризованных интегралов позволило Е. С. Золотухиной в [9] и Е. Б. Томашевской в [10] получить новые оценки показателей иррациональности некоторых логарифмов рациональных чисел. Впервые подобный интеграл был рассмотрен В. X. Са-лиховым при получении оценки меры иррациональности числа 1п 3 в [11], а затем числа я

в [12].

1п 3

улучшающую результат В. X. Салихова. В их работе впервые были применены общие симметризованные многочлены первой степени вида АЪ — В, где £ = (х — ¿)2.

В 2017 г. В. X. Салихов, М. Ю. Лучин и И. В. Бондарева в [14] улучшили результат К. Ву (см. [15]) о мере иррациональности 1п7. Здесь впервые были рассмотрены квадратичные симметризованные многочлены.

В настоящей работе также используются квадратичные симметризованные многочлены, но будет рассмотрен комплексный интеграл.

Ключевые слова: показатель иррациональности, симметризованные интегралы, симметризованные многочлены.

Библиография: 15 названий.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 18-01-00296 А

Для цитирования:

В. X. Салихов, Е. С. Золотухина, Е. Б. Томашевская. О показателе иррациональности 1п | Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 4, с. 330-338.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. N0. 4.

UDC 511.36 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-4-330-338

On irrationality measure ofln |

V. H. Salikhov, E. S. Zolotukhina, E. B. Tomashevskav

Salikhov Vladislav Khasanovich — doctor of physical and mathematical Sciences, Docent, Professor of department "Higher mathemathics", Bryansk State technical university (Bryansk). e-mail: svdh@rambler.ru

Zolotukhina Ekaterina Sergeevna — candidate of Phvsico-mathematical Sciences, docent of department "Higher mathemathics", Bryansk State technical university (Bryansk). e-mail: eszolotukhina@mail.ru

Tomashevskaya Elena Bronislavovna — candidate of Phvsico-mathematical Sciences, docent of department "Higher mathemathics", Bryansk State technical university (Bryansk). e-mail: tornele@mail.ru

Abstract

In this paper the estimation of irrationality measure of ln | is refined.

To date, a lot of estimates of irrationality measures for the values of analytic functions have been established, in particular, logarithms of rational numbers.

Diophantine approximations of logarithms of rational numbers were considered in the papers of K. Vaananen, A. Heimonen, T. Matala-aho [1], G. Rhin [2], E. A. Rukhadze [3], M. Hata [4]-[6] and other. These authors used integral constructions that give small linear forms from the numbers and have good estimates of the denominators of the coefficients. Asymptotics of integrals and the coefficients of the linear forms computed by using theorem of Laplace and the method of the pass. An overview of some constructions from the theory of Diophantine approximations of logarithms of rational numbers was presented in the article by V. V. Zudilin. Note that in 2009 R. Marcovecchio with the help of the double complex integral has received the best estimate of the irrationality measure of ln 2.

Recently, the symmetries of functions involved in integral constructions are often used. The use of symmetrized integrals allowed E. Zolotukhina in [9] and E. Tomashevskay in [10] to obtain new estimates of irrationality measures of some logarithms of rational numbers. For the first time such an integral was considered by V. H. Salikhov in obtaining an estimate of the irrationality measure of lnl in [11] and -k in [12].

ln |

which improved V. H. Salikhov's result. For the first time in their work, general symmetrized polynomials of the first degree of the form At — B,t = (x — d)2, were applied.

In 2017, V. H. Salikhov, I. Bondareva and M. Luchin in [14] improved Q. Wu's result on the irrationality measure of ln7 (see [15]). Here was first considered the quadratic symmetrized polinomials.

In this paper, quadratic symmetrized polynomials are also used, but a complex integral will be considered.

Keywords: Irrationality measure, symmetrized integrals, symmetrized polinomials.

Bibliography: 15 titles.

For citation:

V. Н. Salikhov, Е. S. Zolotukhina, Е. В. Tomashevskav, 2019, "On irrationality measure of ln |" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 4, pp. 330-338.

1. Введение

Напомним, что показатель иррациональности или мера иррациональности ^(7) вещественного числа 7 определяется как нижняя граница чисел ^ таких, что для любого е > 0 существует qo(e) > 0, такое, что неравенство 7 — | > выполняется для всех целых чисел р, q при q > qo(e).

В 1993 г. К. Ваананен, А. Хеймонен и Т. Матала-Ахо в [1], используя аппроксимации Паде для гипергеометрической функции Гаусса, доказали общую теорему об оценках мер иррациональности логарифмов рациональных чисел. В частности, была приведена оценка V (ln |) < 9.7571....

Позднее Е. С. Золотухина в [9] получила результат ц. (ln |) < 5.6514..., который затем был улучшен Е. Б. Томашевской и составил ^ (ln |) < 5.5120....

В настоящей работе эта оценка будет уточнена. Улучшение связано с использованием модифицированного комплексного интеграла Е. Б. Томашевской.

Теорема 1. Справедлива оценка

^ln0 < 5.5119417....

2. Основные конструкции

Пусть везде далее d = 31 t = (х — 31)2, А, В, С е N,

Р (t) = At2 — Bt + С = А4х4 + A3 х3 + А2Х2 + А\Х + Л, (1)

где А4 = А, A3 = —4dA,A2 = 6d2A — В, Ах = —2d (2d2А — В), Ао = Ad4 — Bd2 + С.

Рассмотрим для несократимой дроби а/Ъ, где а е Z, а = 0, b е N, показатель

ир = up(a/b) е Z простого числа р так, что a/b = pVpа1/Ьх, где а1 е Z, Ь1 е N, (а\,р) = (Ь\,р) = 1.

Пусть К = Z [л/ГЬг]. Также для а е К определим

v*(a) = maxjv|а = ^^15^ а1, а1 е К^.

Пусть для аналитической в точке х = 0 функции f (х)

Do(f (х)) = f (0), DN(f (Х)) = ^^, N е N.

Определим для многочлена Р из (1)

U3i(P) = min (4, ^31 (Ао) (Ai) + 1,^i (^2) + 2), V2(P) = min (6, ^2 (Ао) ,V2 (Ai) + 2,V2 (А2) + 4), (2)

v *(Р) = min (2, v * (А0) ,v * (Л1) + 1).

Лемма 1. Пусть т € N N € Z+ N < 4т. Тогда выполняются следующие оценки

V 31 Б (Рт)) > тг^(Р) - N, и2 (Бк (Рт)) > тщ(Р) - 2N, и* (^ (Рт)) > ти*(Р) — N.

Доказательство. Пусть далее т = (т0, т1,..., т4) € (^+)5, |т| = то + т1 + ... + т4,

/—л М!

7 (т) = —:—:-.

т0!т1! ■ ■ ■ т4!

Тогда из (1) имеем

4

Рт = £ 7 (т) ,

|т|=т, ¿=0

^^ (Рт)= Е 7 (т) П^Г.

|т|=т, ¿=0

Рассмотрим ряд случаев:

1) ^31 (Ом ( Рт)) > Е4=1 тгг/31 (А») > ти31(Р) — ^4=1 ¿т, = ти31(Р) — N, так как г/з1 ( Аг) + г > г/31(Р), г = 0,1,..., 4; для г € {0; 1; 2} это следует из определения г/31(Р) в (2), при г = 3 ^31 (А3) +3 > 4 > 1/31 (Р), при г = 4 г/31 (А4) + 4 > 4 > г/31(Р);

2) г/2 ( (Рт)) > Е4=1 тг г/2 (А») > тг/2 (Р) — 2 ^)4=1 г™« = т щ(Р) — 2^ так как (Аг) + 2г > г/2(Р), г = 0,1,..., 4; для г € {0; 1; 2} это следует го определения ь,2(Р) в (2),

при г = 3 г/2 ( А3) +6 > 6 > г/2(Р), при г = 4 г/2 (А4) + 8 > г/2(Р);

3) г/* ( Рт)) > Е4=1 тги* (А) > тг/*(Р) — £4=1 т = тг/*(Р) — N так как и * (А{) + г > ^ *(Р), г = 0,1,..., 4; для г € {0; 1} это следует из определения и*(Р) в (2), при г € {2; 3; 4} и* ( А^ + г > 2 > и*(Р), так как € и* (А{) > 0.

Таким образом, лемма доказана. Рассмотрим многочлены

Р1 = х4 — 124х3 + 5764х2 — 119040х + 922560 = 42 — 24 + 961, Р2 = 3х4 — 372х3 + 17294х2 — 357244х + 2767680 = 342 — 44 + 961.

Положим Щ = 31^31(р^)2и2(Рк) (^15г\ Тогда го (2) для Р1 и Р2 имеем

П1 = 31226 (уТбг)2 , (3)

П2 = 31224 (уТбг) . (4)

Пусть «1 = 0.9998784 «2 = 0.4998784, 0:3 = 0.0001824, 0:4 = 0.0000304.

Рассмотрим рациональную функцию

) = (х — 31)»1" (Р1 (х))а2П (Р2(х))азп 15"4п Щх)= хга+1(62 — х)™+1 , (}

где п € N п кратно 107.

Определим интеграл

и = 124 ^ К(х)йх, (6)

31

Подынтегральная функция (5) обладает свойством симметрии К(х) = К(62 — х), ввиду которого справедливо следующее разложение К(х) в сумму простейших дробей

п+1

хэ ' (62 — х)\

■и+1 /

ВД = Яап-2(Х) + £ + ) , (7)

3 = 1

^ап—2 1 к

Имеем

где а = а1 + 4^2 + 4аз — 2 = 1.0001216, Яап-2(х) = £%=-2 Ъкхк, Ък е Ъ, щ е Q (.] = 1,п + 1). 3. Вспомогательные утверждения

Рассмотрим коэффициенты разложения (7).

Лемма 2. Для всех ] = 1, ...,п + 1 имеет, место представление

62а3 = 31-122-2 (^Лг)1-1 Ау, Ау е К. (8)

Доказательство. Пусть т = (т1,т2, т3, т4), тг е Ъ+, |т| = т1 + т2 + т3 + т4. Тогда из (5) и (7) получим

а3 = Оп+1-3 (Кп(х)хп+1) = ^ Бт1 ((х — 31)а1П) Бт2 (Р1(х)а2П)

\т\=п+1-]

X Отз (Р2(х)азп) Бт4 ((62 — х)-п-1) 15а4П.

В ((х — 31)"Ш) = ^п ••• ^п — т1 + 1) 31«1га-т1.

т1!

((62 — х)-п-1) = (П + 1) ^ ^ ^ (,П + т4) 31-п-1-т42-п-1-т4. у ' т4!

Оценим снизу показатели V (а3). Применим лемму 1 и равенства (3) и (4). Имеем

и31 ) > а1п — т1 + 2а2п — т2 + 2а3п — т3 — п — 1 — т4 =

= п — (т1 + т2 + т3 + т4) — 1 = п — (п + 1 — ]) — 1 = ] — 2,

) > 6а2п — 2т2 + 4а3п — 2т3 — п — 1 — т4 =

= 2п — (2т2 + 2т3 + т*) — 1 > 2п — 2(п + 1 — ]) — 1 = 2] — 3,

V ) > 2а2 п — т2 + а3п — т3 + 2а4п = п — (т2 + т3)

> п — (п + 1 — ]) = ] — 1.

Таким образом, выполняется (8). Лемма доказана. Обозначим = НОК(1, 2,...,п).

Лемма 3. Справедливо представление вида

О = (1апш = В ( 11п1 + г аг^ап ——= ) + В0, \2 3 у11/

где В = 124йа,па1, В0 е К.

Доказательство. Вычислим инетеграл (6) и применим лемму 2:

/ 35+г/Гб

I x

danU — dan124l ai ln

V"^ 62-x

35+г\/1б

+ I Q an— 2dx I — dan124 \ ai ln —-;—+

+ y1^ (_1___1_

¿2 i - 4 (27 - —Щ3-1 (35 + —Щ3- 7

+

5 \ / _

Qan-2dx \ — dan124 ( ai ln 35 + 2 ^

27 - 15

3i

n+1 (_1___1_\

¿i- 4 ((4 + г—15) (3 -г—15))J-1 ((4 + ¿—15) ^ -г—15)Г7

35+г/15 _

/" ^ , \ , / , , 5 -i V^5

+ I Qan-2dX\ — dan2 ( A1 ln --+

31

/ Qan-2dx 31 '

+ n+ / 31 V- /7 4—15 Y- / + ¿2^'-H4 + W U(3-»—V

dan2\ А А 1 ln 5 + i arctan ■ 1

+ g Aj (4 -г—15) ^-5 + —' ^ -3 + —15^ J-J + 62 Q

a n- 2dx .

35+г/15

Очевидно, что dan f Qan-2dx £ K.

31

Также легко по индукции показать, что 2 ^ £ K, 2 ^ £ ^ где к £ N.

И лемма доказана.

Ключевое значение в дальнейших рассуждениях играет лемма доказанная в статье М. Хата [[6], замечание 2.1].

Лемма 4. Пусть j - вещественное иррациональное число, en — qnj - pn, где pn, qn £ Z для всех n £ N;

lim — ln |qnl — a, lim sup — ln |en| < -т, т > 0.

п^ж n n

Тогда, справедлива оценка, < 1 +

4. Доказательство теоремы 1

Доказательство теоремы 1 сводится к применению леммы 4 для линейной формы

5

En — ReQ — qn ln 3 - Pn, где qn — 62 dana1 £ Z, pn — -ReB0 £ Z (см. леммы 2 и 3).

Асимптотику линейной формы еп, асимптотику |gn| вычислим с помощью метода перевала. Учитывая стандартность данной процедуры (см., например, работы [6], [11], [15]), ограничимся лишь некоторыми комментариями. Рассмотрим функцию

~ _ (х — 31)»1 (Рг(х))а2 (Р2(х))аз 15"4 1(Х) = х(62 — х) '

С помощью замены t = (х — 31)2 функция f(x) может быть приведена к виду

t^ (t2 — 2t + 961)"2 (3t2 — 4t + 961)"3 15°4

f (i) = 961— •

Найдем корни уравнения — ln f (t) = 0: th2 = 0.5517696 ... ± ¿17.7275714 ..., t3,4 = 0.5595199 ... ± ¿18.0536875 ..., t5 = 2881.8773105.

Имеем

—t = 1.0001216 + Inlf (¿3,4) = —1.1944653 ... ; и = 1.0001216 + Inlf (Î5)| = 5.3893579 ...,

и мы использовали очевидное неравенство |еп| < |Q|. Из леммы 4 следует

^ln 0 < 1 + ^ = 5.5119417 ...,

и теорема 1 доказана.

5. Заключение

Улучшение оценки меры иррациональности числа ln | по сравнению с результатом Е. Б. То-машевской стало возможным за счет введения нового квадратичного симметризованного многочлена. Дальнейшее усовершенствование конструкции интеграла может привести к лучшему результату.

Замечание. Применяя лемму 4 для линейной формы еП = = ОПarctan — рп,

где Ou S Z Рп S Z получим оценку

и( —L arctan —=) < 5.5119417.... V л/15 VÏ5J <

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Heimonen A., Matala-aho Т., Väänänen К. On irrationality measures of the values of Gauss hvpergeometric function // Manuscripta Math. 1993. Vol. 81. P. 183-202.

2. Rhin G. Approximants de Padé et mesures effectives d'irrationalité // Progr. in Math. 1987. Vol. 71. P. 155-164.

ln 2

ковского университета. Cep.l, Математика, механика. 1987. № 6. С. 25-29.

4. Hata M. Irrationality measures of the values of hvpergeometric functions // Acta Arith. 1992. Vol. LX. P. 335-347.'

5. Hata М. Legendre type polynomials and irrationality measures //J. Reine Angew. Math. 1990. Vol. 407. № 1. R 99-125.

6. Hata M. Rational approximations to ж and some other numbers // Acta Arith. 1993. Vol. LXIII. № 4. P. 325-349.

7. Зудилин В. В. Эссе о мерах иррациональности ж и других логарифмов // Чебышевский сборник. 2004. Том 5. № 2. С. 49-65.

8. Marcovecchio R. The Rhin-Viola method for ln2 // Acta Aritm. 2009. Vol. 139.2. P. 147-184.

9. Сальникова E. С. Диофантовы приближения log 2 и других логарифмов // Математические заметки. 2008. Том 83. № 3. С. 428-438.

10. Томашевская Е. Б. О диофантовых приближениях значений функции log ж // Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Том 16. № 6. С. 157-166.

11. Салихов В. X. О мере иррациональности ln3 // Доклады Академии наук. 2007. Том 417. № 6. С. 753-755.

12. Салихов В. X. О мере иррациональности числа ж // Успехи математических наук. 2008. Том 63. № 3. С. 163-164.

log 3

142. Р. 264-273.

14. Бондарева И. В., Лучин М. Ю., Салихов В. X. О мере иррациональности ln7 // Математические заметки (в печати).

15. Wu Q. On the linear independence measure of logarithms of rational numbers // Math. Comput. 2002. Vol. 72. № 242. P. 901-911.

REFERENCES

1. Heimonen, A., Matala-aho, Т., Vaananen, K. 1993, "On irrationality measures of the values of Gauss hyper geometric function", Manuscripta Math., vol. 81, pp. 183-202.

2. Rhin, G. 1987, "Approximants de Pade et mesures effectives d'irrationalite", Progr. in Math., vol. 71, pp. 155-164.

ln 2

Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh., № 6. C. 25-29. (Russian)

4. Hata, M. 1992, "Irrationality measures of the values of hvpergeometric functions", Acta Arith., vol. LX, pp 335-347.

5. Hata, M. 1990, "Legendre type polynomials and irrationality measures", J. Reine Angew. Math., vol. 407, № 1, pp. 99-125.'

6. Hata M. 1993, "Rational approximations to ж and some other numbers", Acta Arith., vol. LXIII, № 4, pp. 325-349.

ж

Sbornik, vol. 5, № 2. pp. 49-65. (Russian)

ln 2

log 2

Notes, vol. 83, № 3, pp. 428-438. (Russian)

10. Tomashevskava E. 2010, "On Diophantine approximations to log ж", Journal of Mathematical Sciences, vol. 16, № 6, pp. 157-166. (Russian)

ln 3

№ 6, pp. 753-755. (Russian)

ж

vol. 63, № 3, pp. 163-164. (Russian)

log 3

vol. 142, pp. 264-273.

ln 7

Notes (in print) (Russian)

15. Wu Q. 2002, "On the linear independence measure of logarithms of rational numbers", Math. Comput., vol. 72, № 242, pp. 901-911.

Получено 25.06.2018 г. Принято в печать 20.12.2019 г.