Об оценке меры иррациональности чисел вида √4𝑘 + 3 ln √4𝑘+3+1/√4𝑘+3-1 и 1/√𝑘 arctg 1/√𝑘 1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 19. Выпуск 2

УДК 511.36 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-2-15-29

Об оценке меры иррациональности чисел вида

In Mi и i arctg i1

Башмакова Мария Геннадьевна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры "Высшая математика", Брянский государственный технический университет e-mail: [email protected]

Золотухина Екатерина Сергеевна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры "Высшая математика", Брянский государственный технический университет e-mail: e-mail: [email protected]

Аннотация

Арифметические свойства значений гипергеометрической функции изучались различными методами, начиная с работы К. Зигеля 1929 г.. Это направление теории диофантовых приближений исследовалось такими авторами как М. Хата [1]-[2], Ф. Аморозо и К. Виола [3], А. Хеймопеп, В. Матала-Ахо и К. Ваапанеп [4]-[5] и многими другими. В последние десятилетия был получен ряд интересных результатов в этой области, усилено много ранее известных оценок меры иррациональности, как для значений гипергеометрической функции, так и для других величин.

В настоящее время одним из широко применяемых подходов при построении оценок показателя иррациональности является использование интегральных конструкций, симметричных относительно какой-либо замены параметров. Симметризованные интегралы и ранее использовались разными авторами, например, в работе Дж. Рина [6], но наиболее активное развитие это направление приобрело после работы В. X. Салихова [7], получившего с помощью симметризованного интеграла новую оценку для 1п 3. Впоследствии симметричность различного типа позволила доказать ряд значимых результатов. Были получены новые оценки для некоторых значений логарифмической функции, функции аг^х, классических констант (см., например, [8] - [18]). В 2014 г., используя общие симметризованные многочлены первой степени вида АЪ — В, где £ = (х — ¿)2, К. Ву и Л. Ванг

1п 3

идея симметричности была применена к интегралу Р. Марковеккио, доказавшего ранее новую оценку для 1п 2 в [21], что позволило улучшить результат для к/З.

Данная статья является продолжением работы [22], обобщающей результаты для двух типов симметричных интегральных конструкций. Первая позволяет более эффективно оцепить показатели иррациональности чисел вида т/д, 1п —при (I = 22к+1,с1 = 4к +1 для некоторых к € N (см. [22]). Используя данный интеграл, также можно получить оценки меры иррациональности чисел \/4к + 31п —' ^ € N. Вторая рассматриваемая интегральная конструкция дает возможность оценивать меру иррациональности некоторых значений логарифмической функции, используя симметричность другого типа, что было подробно рассмотрено в [22]. Данный интеграл позволяет также оценивать меру иррациональности значений —= аг<^ —=. Обобщение этого случая предлагается в данной работе.

Ключевые слова: показатель иррациональности, гипергеометрическая функция Гаусса, симметризованные интегралы.

Библиография: 25 названий.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 18-01-00296 А

Для цитирования:

М. Г. Башмакова, Е. С. Золотухина. Об оценке меры иррациональности чисел вида /4 к + 3 1п и arctg -д1 // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 2, с. 15-29.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 2

UDC 511.36 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-2-15-29

On estimate of irrationality measure of the numbers

In jgS—1 and j- arctg j-1

Bashmakova Mariya Gennadievna — candidate of phvsico-mathematical sciences, docent of department of mathematics, Bryansk State Technical University e-mail: [email protected]

Zolotukhina Ekaterina Sergeevna — candidate of phvsico-mathematical sciences, docent of department of mathematics, Bryansk state technical university e-mail: e-mail: [email protected]

Abstract

The arithmetic properties of the values of hypergeometric function have been studied by various methods since the paper of C. Siegel in 1929. This direction of the theory of Diophantine approximations was studied by such authors as M. Hata [l]-[2], F. Amoroso and C. Viola [3], A. Heimonen, T. Matala-aho and K. Vaananen [4]-[5] and other. In recent decades, a number of interesting results in this area have been obtained, many of the previously known estimates for the irrationality measures for values of hypergeometric functions, and other variables have been improved.

Currently one of the widely used approaches in the construction of estimates of the irrationality measure is the use of integral constructions symmetric with respect to replacement of parameters. Symmetrized integrals have been previously used by different authors, for example in the G. Rhin's article [6], but the most active development of this direction was acquired after the work of V. ,Kh. Salikhov [7], who received a new estimate for ln3 using the symmetrized integral. Subsequently, the symmetry of different types allowed to prove a number of significant results. New estimates for some values of the logarithmic function, the function arctgx, and classical constants were obtained (see, for example, [8] - [18]). In 2014 Q. Wu and

ln 3

symmetrized polynomials At — B, where t = (x — d)2 (see [19]). In the V. A. Androsenko's article the idea of symmetry was applied to the integral of Marcovecchio, who previously proved a new estimate for ln2 in [21], and it allowed to improve the result for -k/3.

This paper is a continuation of article [22] generalizing results for two types of symmetric integral constructions. The first allows to estimate more effectively the measure of irrationality of numbers of the form jdln —at d = 22k+1,d = 4- + 1 for some - G N (see [22]). It is also

possible to obtain estimates of the irrationality measure of numbers j 4- + 3 ln -4fc+3+1, - G N using this integral. The second considered integral construction makes it possible to estimate the measure of irrationality of some values of the logarithmic function using another type of symmetry, what was discussed in detail in [22]. This integral also allows to estimate the measure of irrationality of values arctg A generalization of this case is proposed in this paper.

Keywords: Irrationality measure, Gauss hypergeometric function, symmetrized integrals.

Bibliography: 25 titles.

For citation:

M. G. Bashmakova, E. S. Zolotukhina, 2018, "On estimate of irrationality measure of the numbers j4- + 3 ln and ^ arctg , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 2, pp. 15-29.

1. Введение

При изучении свойств иррациональных и трансцендентных чисел одним из исследуемых вопросов является возможность приближения их рациональными дробями. Одной из применяемых характеристик качества такого приближения служит мера иррациональности.

Мерой (показателем) иррациональности числа 7 будем называть величину ^(7), определяемую как нижняя граница чисел ^ таких, что для любого е > 0 существует 9о(е) > 0, такое,

7 - 2 ' я

> д ^ £ выполняется для всех целых чисел р, д при д > до(е)-

что неравенство

Неоднократно оценивались показатели иррациональности различных значений функции Гаусса, в частности ^^ = 2Р (1,1, |; ^) = /й 1п —^+1. Много конкретных оценок было приведено в работе А. Хеймонена, В. Матала-Ахо и К. Ваананена [5]. В статье авторов [22] с помощью двух типов симметричных интегральных конструкций было получено обобщение результатов об оценках мер иррациональности чисел вида 7^ при й = 2к, й = 4к + 1, к € Ми приведен обзор известных оценок. В данной работе продолжим исследование для случая й = 4к + 3.

Рассмотрим интеграл

а+1 а+1

т, 1 ^ [ (х - (« - 1))ап((а + 1) - х)ап(х - а)2Ъп ,

I(a, b, с; а, 1) = у (-(-^^ 1 (-— ^ ВД^ (1)

а а

где п € М, п —> а, Ь, с € N а + Ь - с > 0 а € К, подынтегральная функция которого обладает свойством симметрии К(х) = К(2а - х).

Выбор в интеграле (1) а = у/4к + 1 позволил получить в [22] оценки меры иррациональности чисел вида 74^+1, к € М, улучшающие при к = 5, 7, 8, 9,10 аналогичные результаты работы А. А. Полянского [24], и не указанные в [5].

Выбирая а = у/4к + 3, получим оценки показателей иррациональности чисел 74^+3, к € М, которые при к = 3, 4,..., 9 также усиливают результаты работ А. А. Полянского [23] - [24].

Во второй части работы будет использоваться другая интегральная конструкция и другой тип симметрии. В [14] был рассмотрен интеграл

1 (х2 - 1 )5га(1 - х2)гп-зпЪгп+зп+1йх 1п(Ь) = .1 (Ъ2 - Ж2)т+1 (2)

о

где 8,г € И, г, 8- чётные, г > 8. Особенностью данного интеграла является его симметрич-

1

ь,

ность относительно замены Ь на 1, что позволяет представить его в виде (см.[14])

1п(Ь) = Пп(Ь + 1) + Аш(Ъ + 1) 1п ^,

где В,п

Это представление делает удобным использование в качестве параметра значения вида Ь = у/к + у/к - 1 ,к € М,к > 2, и даёт возможность оценивать показатель иррациональности чисел /к 1п —+1. Некоторые результаты, полученные этим способом, усилили уже имеющиеся

ук—1 * *

[5] - [6], а обобщение таких оценок выполнено в [22]. Расямотрим теперь параметр вида Ь = (у/к

+ 1 + у/к)1,к € М, к > 1. Так как Ь + 1 = 2г^к = 1 для любо го а € К, то, выбирая ветвь логарифма 1п г = 1п |г| + arctg г при

а.г+1 аг— 1

-ж < arg г < ж, имеем 1п

аг+1 аг— 1

= -г arctg = -г arctg .

а2-1 о у/к'

Таким образом, эта форма параметра Ь позволяет получать оценки меры иррациональности чисел Шк = —| arctg . Значения функции arctg х ранее исследовались разными авторами. В работах М.Хуттнера [25] и позже А.Хеймонена, К.Ваананена, Т.Матала-Ахо [4] - [5]

были построены общие методы оценки значений гипергеометрической функции Гаусса вида F), (l, j;, 1 + £ lz) ,k E N и получены результаты для случая F)1 (l, ^, )1 — z2) = 1 arctg z. В 2007 г. Е.Б.Томашевская в [12] применила комплексный симметризованный интеграл для построения оценок показателя иррациональности чисел вида arctg ^,п E N,n > 2, что позволило улучшить ряд предыдущих результатов.

С помощью интегральной конструкции (2) в работе [14] было доказано неравенство ц(arctg 1) < 6.199 ..., улучшающее соответствующий результат Е.Б.Томашевской ^(arctg 1) < < 6.635 ... и приведены некоторые другие оценки, получаемые этим способом. В данной работе будет рассмотрено обобщение результатов для чисел вида arctg ,k E N,k > 2.

2. Рациональные приближения чисел вида /4к + 3 ln ^H+f—}? к E N

Теорема 1. Пусть k E N P,Q E N Q > q0(p), где q0(p) — достаточно большое число. Тогда существует такое число ^0(k) E R+ что для любого ц > ^0(k) справедливо неравенство

\/4 k + 3 + 1

л/4 k + 3 ln-

> q

V4FTf — 1 q

Для доказательства теоремы 1 в интеграле (1) выбираем а = л/ 4 k + 3:

I(a,b, с; V4k + 3, 1)

{х — {/4kk+3 — 1))ага {/4kk+з +1 — х)ап {х — /4к + 3)2Ы J хсп+1 (2/4k + 3 — х)

-4fc+3 V '

сп+1 doc. (3)

В силу симметрии подынтегральной функции К(х) справедливо следующее ее разложение в сумму простейших дробей

СП+1 , 1 1 ч

Д(х) = Р(х) + V а,- — +-; - , (4)

где

2(а+Ь-с)п-2

Р(х) = ^ hхг, bi E R, Р(2/4k + 3 — х) = Р(х), (5)

i=0

1 dcn+1-j

ai = ----^т (П(х)хт+1)

(сп + 1 — j)\ dхcn+1-:>

х=0

Структура доказательства теоремы 1 в целом аналогична доказательству теоремы 3 в [22], но есть отличительные моменты, связанные со спецификой рассматриваемых далее чисел к+>3-1 и к+23+1. Поэтоmv более подробно рассмотрим эти моменты. Птсть везде далее 6N = *{ N} - дробная доля чпела f.

Лемма 1. Справедливы следующие представления для коэффициентов разложения (4):

2(2с-а)п+2 (4k + 3)(с-b)n+1 (2 k + 1)(c-a)naj = (/4¥Гз)31 2j-1(2k + 1)j-1Aj, (6)

где j = 1,... ,сп + 1, j = j1( mod 2), Aj E Z.

Доказательство. Число 1 является шложительным корнем уравнения ¿2 +£- 2 к2+1 = 0.

По индукции можно показать, что 2^-в™ ^ —= —^+3—1 + Вш, где ш € М,

ш > 2, Аш,ВШ € Ъ. Поэтому 2т—в™+1 ( —= (/4к + 3 - 1) + 2ВШ. Аналогично,

21— ^ 0 —1Щ+1 = ^ (/41+3 + 1) + 2ВАш,ВШ € Ъ. Также 0 —Щ3—1) 0 —) = = 2й + 1.

Имеем

-:—ТТ Ч СП—тх

Ч4К + 3 -11

т1 + ...+^14-н 1+1 — J,

т,- > 0

/ /4 к + 3 + 1 \СП т2 ^ 0 ,_Лсп—т3—т4+1

I у л + 3 + \ 2«™+12сп-т1—т2—^ + 3^

где т = (т1,т2, т3, т4), ст € Ъ.

Заметим, что сп - т1 — т2 - т4 >,] - 1.

Если т1 = т2, то ^ ^ ( —т т2 = (2к + 1)сга"т1 € Ъ, так как

сп - т1 > ] - 1, и сп - т3 - т4 + 1 = ]( шоё 2).

Если т1 = т2, т = ш\п(ап - т1;ап - т2), т = max(an - т1;ап - т2), то, группируя слагаемые при сп - т2 = сп - ап + ап - т2 = сп - ап + т + р, сп - т1 = сп - ап + ап - т1 = сп - ап + т + р, р > 1, получим для них множитель 2ап+1(2к + 1)сга—'зга+т ((—4^3—1)Р + ( = (/41Гз)р1 т - ап + т > 3 - 1,

€ Ъ, р = р1( шоё 2) Так как сп - т3 - т4 + 1 = 2ап + ] - 2т + р, то (/4¥+з)р2ап+1(2к+1)сп—ап+т 00 —1 + 0 —*+3+1 = (/4кЩр (/4к + 3)р1 € Ъ, и сп - т3 - т4 + 1 - р = ]( шоё 2). Что и требовалось доказать.

Лемма 2. Справедливы следующие представления для коэффициентов разложения (5):

2Ьг = (/4ЛГЭ)4 2(а—С^^Мг+^+в^с., (7)

где г = 0,1,..., 2(а + Ь - с)п - 2, г = шоё 2) С € Ъ.

Доказательство. Из (4) и (5) следует, что Р(х) - часть разложения функции К(х) в ряд в окрестности точки х = го, содержащая все неотрицательные степени х. Имеем из (3)

ад = (-1)<-о-^м*—о-2^! -/а+3- 'У" Л - + п'

х Л ^ - 2/ЗГ+31 .

Тогда

^ , (/Ш+3 - 1\т1 //4^ + 3 + 1

^ = ^ 2 У V 2

т1+...+т4-2(а+Ь—с)п—2—г т^ >0

-\ тз+т4

- . . . .

^ ^4к + 3 - ^ ^ + 3 + ^ 2 20,5т1 +0,5т2 — вт1 — вт2

х 2°,5т1+°,5т2+т4+0^1 +0^2 (/4йГз)т3 т4 ,т = (т1,т2,тз, т4), € Ъ. Рассмотрим показатель степени с основанием 2. Так как т3 < 2Ьп, то 0, 5т1+0, 5 т2+т4+дт1 + 0т2 > 0, 5т1+0, 5 т2+0, 5т4+дт1+т2+т4 > (а-с)п-1-0, 5(г+1)+^+1. Далее доказательство леммы 2 проводится аналогично доказательству леммы 1.

Лемма 3. Пусть Q1 = тах{с, 2(а + Ъ — с)} = тах{0, с — Ъ], в2 = тах{0, с — а], тогда справедливо представление вида

да1П2(2с-а)п+З(4к + 3)31П+1(2к + 1)32П1 = А/4к + 31п ^ + 3 + 1 + в, где А, В е (8)

л/4 к + 3 — 1

Доказательство. Из (4) при ] = 1 имеем

^Дк+3+1 _

т [ (1 I 1 ^ 1 /4¥+З + 1 Ь =а1 I —+ д ==- ) ах = а11п

Кх 2^4к + 3 — х) л/4к + 3 — Г

уг44к+3

Тогда согласно (6) получим

2(2с-а)п+2 (4 к + 3)(с-ъ)п+1 (2к + 1)(с-а)пЬ = А1 /4к + 31п /4к + 3 + 1, А1 е Z.

л/4 к + 3 — 1

Далее при ] = 2,...,сп + 1

сп+1 . Сп+1

12 = ^ .1 + (2/4¥+3 — х)^ах = ^ 0' — 1)(2£ + 1)^-1

^ / /л7 , о 1 \ ^ 4

(9)

Следовательно, согласно (6) имеем

дсп2(2с-а)п+3 (4 к + 3)(С-Ь)п+1 (2к + 1)(с-а)п 12 е Z. (10)

Далее проинтегрируем (5).

-Зк+3+1 2(а+Ъ — с)п-2 -Зк+3+1

13 = Р (х)(х = 1 ^ Ьг хг(х

-Жк+3 г=0 -4^+3-1

_ 2(а+Ь-с)п-2 . . „ . „.

= 1 Е ,+г ((/«Гз + Г — (/4Ш—!)-).

г=о 4 7

Значит, согласно (7)

Ща+Ъ-с)п2(С-а)п+41з е Z. (11)

Таким образом, (8) выполняется в силу (4), (9) - (Нерассмотренные леммы позволяют доказать следующую.

Лемма 4. Пусть числа, Q1, ,з2, в3 определены, как в лемме 3, Q2 = тах{а, 2Ъ], ____ Вп (ап)\(2Ъп)\((а + Ь — с)п)! „ „ _ , „ „ ч

Q = тах{^ ^ = МКаг)^ + Ь — Ф)!' Ап, Вп е * (Ап, Вп) = 1

1п = в-1 дЯп2(2с-а)п+4(4к + 3)Я1П+1(2к + 1)°2п1 = ^/¥+3 1п + 3 + 1 + Рп.

л/4 к + 3 — 1

Тогда, дп, рп е Z.

х

Далее для линейной формы 1п применим следующую лемму:

Лемма 5. [[1], лемма 3.1] Пусть п £ N,7 £ R -иррационально, 1п = дп'у+рп, где дп, рп £ Z, lim п ln | ln\ = S, 5 > 0 limsup п ln |дп1 < т, тогда ^(7) < 1 +

п^те п^те

Рассмотрим функцию f (t(k)) = —Обозначим через t\(k) меньший корень уравне-d

ния — ln(f(t(k))) = 0, причем, t\(k) £ (0; 1), через 1к) — больший корень.

Как показали исследования, для любого к > 1 (в частности, при выборе в (3) а = 4, 6 = 5, с = 5) существуют

5(к)= — [Q — lim — lnВп + (2с — a)ln2 + (s 1 — с) ln(4k + 3) + S2 ln(2k + 1) + ln |f (ti(k))|) ,

у п^те п )

r(k) = Q — lim 1 ln Вп + (2c — a)ln2 + (s 1 — c) ln(4k + 3) + S2 ln(2k + 1) + ln |f (t2(k))|,

п^те П

a, следовательно, и ßo(k). И теорема 1 доказана.

В таблице 1 приведем некоторые частные оценки мер иррациональности чисел вида ^ = ^¥+3 ln ^¡Ш-!. Таблица 1

k ) < k ß(^k) <

1 8.1979... 6 4.4752...

2 6.1005... 7 4.3335...

3 5.3383... 8 4.2222...

4 4.9266... 9 4.1314...

5 4.6624...

k = 3

случаи более подробно:

1) выбирая в интеграле (3) k = 3, а = 6, b = 7, с = 7, имеем lim — ln Вп = 3.6928...,

п^-те п

ti = 0.5476 ..., 12 = 31.9523 ..., S = 9.8723 ..., т = 42.8298 ...;

2) при k = 4 а = 7,b = 8,c = 8: lim 1 ln Вп = 3.8353 ..., ti = 0.5405 ..., t2 = 40.1737...,

п^те п

5 = 13.0898 ..., т = 51.3998 ...;

3) при k = 5, а = 8 Ь = 9 с = 9 lim 1 ln Вп = 3.9601..., ti = 0.5352..., t2 = 48.3397...,

п^те п

5 = 16.3935 ..., т = 60.0409 ...;

4) при k = 6 а = 8 Ь = 9 с = 9 lim - ln Вп = 3.9601..., ti = 0.5343..., t2 = 56.8406...,

п^те п

5 = 17.7012 ..., т = 61.5156 ...;

5) при k = 7, а = 9,Ь = 10 с = 10 lim 1 ln Вп = 4.0711..., ti = 0.5306 ..., t2 = 64.9138 ...,

п^-те п

5 = 21.0498 ..., т = 70.1717...;

6) при k = 8, а = 10 b = 11 с = 11 lim 1 ln Вп = 4.1710 ..., h = 0.5275 ..., t2 = 72.9724...,

п^-те п

5 = 24.4946 ..., т = 78.9282 ...;

7) при k = 9, а = 10 b = 11 с = 11 lim 1 ln Вп = 4.1710 ..., h = 0.5272 ..., t2 = 81.3727...,

п^-те п

5 = 25.5910 ..., т = 80.1358 ....

=

(3). Следует отметить, что ранее при таком соотношении результаты Е. С. Золотухиной в [9] - [10] совпадали с аналогичными оценками, полученными в работах [4] и [5]. Но конкретные результаты о мерах иррациональности чисел вида ш_к в [5] не приведены.

3. Оценка меры иррациональности значений вида агС^ , к е > 3

Рассмотрим интеграл (2)

ад _ )(х2 _ *'' "+Чх _ ^+1) + ^-с+1) - г+г ■

0

где в, г е М, г, в— чётные, г > 8.

2гп+1 — о* , \

Справедливо равенство: Кп(Ь) _ - ^ —^ ((ъ+Т)7-т - (^^-т ] , Мп(Ь) <

Обозначим для всех ] _ 1, ...,гп + 1 М, _

= (т = (т1,.., т5)\та е Ъ+, а = 1,.., 5; т1,т2 < «п, т3, т4 < гп—зп, т1 + ...+т5 _ гп+1—]}. Как было доказано в [14], коэффициенты А,п(Ь) имеют вид АХп(Ъ) _

__^у(т) (Ь + тт _ Ьуп т2 (1 _ щуп—вп—тз (1 + Щт—зп—т4 • (25)-гп— 1—т5^гп+«п+1

т ем,'

где 7(гп) е ^ для любо го т е М,.

Рассмотрим параметр вида Ь _ (л/к + 1 + \/к) г, к е М, к > 1.

Лемма 6. ( Щ], лемма 7) При Ь _ (\/к +1 + л/к)г,к е М,к > 1, существуют и(к),а(к) е М+, т,акие что

qrn2v( /n(ft) = Вп + Ащarctg , Ащ, Вп е Z. (12)

Это представление интеграла в виде линейной формы даёт возможность использовать следующую лемму:

Лемма 7. [[2], замечание 2.1] Пусть п е N,7 е R -иррационально, ln = дп7 + рп, где дп,Рп е Z,

lim П ln 19п\ = S, limsup П ln 11п1 < — т, т > 0, тогда, ^(7) < 1 +

п^оо

В результате получим следующее утверждение:

Лемма 8. ([14], лемма, 8) Пусть в,г е М— чётные, к е М,к > 1, г > в, такие что

г) V ъ/к )

f > (-к + 1 — -к)2 и выполнено: —К — lnM > 0, где М = (f)8 (l — f)r 8 ()

К = г + v(k) ln2. Тогда, справедливо неравенство:

{-кarctg

,1 К + (г + s) ln(-k+1 + Vk)

М — arctg —) < 1--К+ПМ-.

Наиболее важную роль здесь играет параметр V(к), поскольку именно он отвечает за со-

2 к

водит к уменьшению коэффициентов линейной формы, что необходимо для построения луч-

к

несколько случаев.

кЛемма 9. Пусть Ь _ (л/к + 1 + у/к) г, к _ 2 т, М, т > 1, ( к) _ - .

Доказательство леммы аналогично доказательству подобного утверждения для вещественного случая [22]. Доказательство. Обозначим К— кольцо целых алгебраических чисел. 1. Докажем, что 2(г-8)п+2 ■ (= А-п— Делое алгебраическое число. Из представления А^п(Ь) имеем при ] = 1,..., гп + 1:

А]„(Ь) ^ = ^(т) (р + 1узп-т 1 (1 — -щт-т2-тз (1 + ^)гп-т2-т4—]+1<2—т—ть — 1 ^т2—ть

Так как Ь, 1 е К, то = Р^Ъ^1 , Р^Ь) е К, й1 е Ъ.

Для любого нечётного тик = 2гт выполняются соотношения: Ь + 1 = 2 г л/к = 2г ■ 2 2 ^т = 21+2 г/т; (1 ± Ь)2 = Ь- 2(2 2 г/т ± 1).

Пусть гп — т2 — т3 = 211 + к1,гп — т2 — т4 — ] + 1 = 212 + Н2,Н1,Н2 е {0,1}, ¿ь 12 е Ъ, тогда Ь > гп-т2-тз-1,12 > гп-т2-т4-з. Получаем, используя определение Mj : й1 > (1 + 2)(вп — т1) — гп — т5 — 1 + Ь +12 >

> (1 + 2).вп + (1 + 2)т1 — гп — т5 — 1 + (гп — т2 — т3 — т24 — — =

= (1 + 22) зп — (1 + 2 )т1 — т — т — т5 — 2 — (гп-т1-т2-тз-т4-тв) = = (1 + 2) зп — г-2п — (1 + 2 )т1 + т — т — 2 > (1 + 2 >п — ^ — г2 — т — т — 2 >

> зп — гп — 2, так как т1 +т5 < гп, т2 < зп.

2. Докуем, что 2(г-з)п+2 ■ (= А"п— целое алгебраическое число. Рассуждения здесь повторяют предыдущие.

Из представления А^б) имеем при ] = 1,..., гп + 1 А]п(Ь) ^ = гу(т) (Ь + 1узп-т1 (1 — щгп-т2-mз-j+1(l + щт-т^-т^2-п-т5-1 ут2-тб

(Ь-11) т еМз Ь

При этом Ь, 1 е К И = Р2(Ь) ■ 2Л2,Р2(Ь) е К, ^ е Ъ.

Пусть гп — т2 — т3 — ] + 1 = 211 + к1,гп — т2 — т4 = 212 + Н2,Н1,Н2 е {0,1}, Ь, 12 е Ъ, тогда к > ™-т2-тз-:>, 12 > то-т2-т4-1.

Тем же способом получаем: ¿2 > (1 + 2)(«п — т1) — гп — т5 — 1 + ^ + 12 > зп — гп — 2.

Дальнейшая часть доказательства полностью повторяет [14], лемма 5, следствие 1. □

( )

Таблица 2

к Значение ) < s r

2 не применимо - -

4 arctg 2 35.327... 0.328...

6 Te arctg Те 16.055... 0.277...

8 ТЕ arctg ~7S 11.878... 0.243...

10 Ш arctg Tío 9.990... 0.217...

12 273 arctg 2T73 8.891... 0.197...

к— ( к) метра к = 4т + 1 и к = 4т — 1, т е N будет отличаться.

Лемма 10. Пусть Ъ = (\/4т + 2 + у/4т + 1)г,т е N тогда можно положить в лемме 8 и(к) = ^.

Доказательство. Доказательство полностью аналогично доказательству леммы 9. Для Ь = (\/4т + 2 + ^4т + 1)г справедливы соотношения: ( Ь + 1)4 = 23Ь2(\/4т + 1г — 2 т); (Ь — 1)4 = 23Ь2(—\/4т + 1г — 2т). Применение этих соотношений к представлению коэффициентов Аjп даёт требуемое утверждение. В этом можно убедиться, рассмотрев [14], лемма 9, где эти же соотношения для степеней выражений 6 + 1, Ь— 1 выполнялись для частного случая к = 9 □

Лемма 11. Пусть Ь = (\/4т + \/4т — 1)г,т € М, тогда можно положить в лемме 8 и(к) = 0.

Доказательство данного случая хотя и аналогично предыдущему, соотношения степеней несколько иные, поэтому рассмотрим его более подробно. Доказательство. Для Ь = (\/4т + \/4т — 1)г верно Ь + 1 = 2\/4т — 1 я,

(6 + 1)2 = 2 Ъ(^4т — И + 1). Рассмотрим в = 1^42т-1~. Данное значение является корнем уравнения х2 — х + 2т = 0, то есть в2 = 0 — 2т, вм = А0 + В, А, В € Ж, N € N следовательно 2вм € К. Тогда (^4т — 1г + 1)" = 2 мвм и (Ь + 1)2 = 22Ъв.

Для значения (Ъ — 1)2 = 2Ь(у'4т — И — 1) рассуждения аналогичны, поскольку = в,

то (Ь — 1)2 = 22Ьв.

Докажем, что 2 ■ (= А'п— целое алгебраическое число. Имеем при 3 = 1, ...,гп + 1

А]п(Ь) ^ = гу(т) (Ъ + 1 узп-т1 (1 — ^)гп-т2-тз (1 + ^)гп-т2—П4—'+12-гп—П5 —1 ут2-ть рак

(Ь+1)'' ПиЕМз Ь

как Ь, 1 € К, то = Рф) ■ 2й1, Л(Ь) € К, ^ € Ж.

Пусть гп — т2 — т3 = ¿1 ,гп — т2 — т4 — ] + 1 = 12, ¿1,12 € . Тогда получаем, используя определение М' :

й1 > (зп — т1) — гп — т5 — 1 + ¿1 +12 > зп — т1 — гп — т5 — 1 + (гп — т2 — т3+гп — т2 — т4 —] + 1) = = зп — т1 — гп — т5 — 1 + гп — т2 — т3 + т1 + т3 + т5 = зп — т2 — 1 > — 1, так как т2 < зп. Доказательство того что 2 ■ (+1)(7Ь)1 = А'п € К проводится аналогично. □ Приведём

к :

к Значение Кшк) < г

3 -Тз агс^ -Тз 6.2097... 0.183...

5 -75 агс^ -75 8.4207... 0.212...

7 -77 агс^ -77 4.4802... 0.104...

9 аг^ 3 6.199... 0.1508...

11 тпагс^ -Гг 4.0077... 0.074...

13 5.4205... 0.119...

Результаты для к = 7 и к = 9 были получены в работе [14], при этом оценка для arctg | улучшает аналогичную оценку работы [12]. Некоторые другие результаты также заслуживают внимания, например при к = 25 имеем ^(агс^ 5) < 4.479854 ..., тогда как результат работы [12] ^(arcctg 1) < 4.788 .... Но большинство оценок, получаемых с помощью данной интегральной конструкции, оказывается несколько хуже известных ранее. Например, результат, приведённый в работе [25] составлял ^(л/7 arcctg -^) < 4.0298 ..., оценка ^(аг^ 2) < 11.7116... была доказана Е.Б.Томашевской в [13]. При к = 16 результат, получаемый с помощью данного интеграла: ^(аг^ 4) < 7.371..., тогда как в [12] он составил ^(аг^ |) < 5.793 ....

4. Заключение

Интерес к построению оценок мер иррациональности в настоящее время проявляется в научных школах разных стран. В последние десятилетия было получено много новых результатов в этой области, улучшены предыдущие оценки для значений логарифмической и других функций, разработаны как обобщённые подходы, так и специализированные интегральные конструкции для отдельных чисел. Многие из новых оценок были получены с помощью интегральных конструкций, обладающих симметричностью различного типа. Эта область активно исследуется, и авторы надеются, что приведённые здесь результаты будут способствовать её дальнейшему развитию.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hata M. Legendre type polynomials and irrationality measures //J. Reine Angew. Math. 1990. Vol. 407, № 1. P. 99-125. *

2. Hata M. Rational approximations to ж and some other numbers // Acta Arith. 1993. Vol. LXIII. № 4. P. 325-349.

3. Amoroso F., Viola C. Approximation measures for logarithms of algebraic numbers // Ann. Scuola normale superiore (Pisa). 2001. Vol. XXX. P. 225-249.

4. Heimonen A., Matala-aho T., Vâânânen К. On irrationality measures of the values of Gauss hvpergeometric function // Manuscripta Math. 1993. Vol. 81. P. 183-202.

5. Heimonen A., Matala-aho T., Vâânânen К. An application of Jacobi type polynomials to irrationality measures // Bull. Austral. Math. Soc. 1994. Vol. 50, № 2. P. 225-243.

6. Rhin G. Approximants de Padé et mesures effectives d'irrationalité // Progr. in Math. 1987. Vol. 71. P. 155-164.

7. Салихов В. X. О мере иррациональности ln 3 // Доклады Академии наук. 2007. Том 417, № 6. С. 753-755.

8. Салихов В. X. О мере иррациональности числа ж // Успехи математических наук. 2008. Том 63. № 3. С. 163-164.

9. Сальникова Е. С. О мерах иррациональности некоторых значений функции Гаусса // Чебышевский сборник. 2007. Том 8, № 2. С. 88-96.

10. Сальникова Е. С. Диофантовы приближения log 2 и других логарифмов // Математические заметки. 2008. Том 83. № 3. С. 428-438.

11. Сальникова Е. С. Приближения некоторых логарифмов числами из полей Q и Qy/d // Фундамент, и прикл. матем. 2010. Том 16. № 6. С. 139-155.

12. Томашевская Е. Б. О мере иррациональности числа ln 5 + ж/2 и некоторых других чисел// Чебышевский сборник. 2007.Том 8. № 2. С. 97-108.

13. Томашевская Е. Б. О диофантовых приближениях значений некоторых аналитических функций. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Брянский государственный технический университет. 2009. 99 с.

14. Башмакова М. Г. О приближении значений гипергеометрической функции Гаусса рациональными дробями // Математические заметки. 2010. Т.88, № 6. С. 785-797.

15. Башмакова М. Г. Оценка мер иррациональности логарифма "золотого сечения-// Чебышевский сб. 2010. Т.11, № 1. С. 47-53.

16. Андросенко В. А. Оценка меры иррациональности значений гипергеометрической функции Гаусса // Чебышевский сб. 2010. Т.11, № 1. С. 7-14.

17. Лучин М. Ю. Оценка меры иррациональности числа ln | // Чебышевский сб. 2013. Том 14, № 2. С. 123-131.

18. Лучин М. Ю., Салихов В. X. Приближение ln2 числами из поля Q\/2 // Изв. РАН. Сер. матем. 2018. Том 82, № 3. С. 108-135.

19. Wu Q, Wang L. On the irrationality measure of log3 // Journal of Number Theory. 2014. Vol. 142. P. 264-273.

20. Андросенко В. А. Мера иррациональности числа /д // Изв. РАН. Сер. матем. 2015. Т.79, № 1. С. 3-20.

21. Marcovecchio R. The Rhin-Viola method for ln2 // Acta Aritm. 2009. Vol. 139.2. P. 147-184.

22. Башмакова M. Г.,Золотухина E. С. О показателях иррациональности чисел вида Vd ln // Чебышевский сб. 2017. Том 18, № 1. С. 29-43.

23. Polvanskii A. On the irrationality measure of certain numbers // Comb, and Number Theory. 2011. Vol. 1, № 4. P. 80-90.

24. Полянский А. А. О показателях иррациональности некоторых чисел. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова. 2013. 138 с.

25. Huttner М. Irrationalité de certaines intégrales hvpergéométriques // J. Number Theory. 1987. Vol. 26. P. 166-178.

REFERENCES

1. Hata, M. 1990, "Legendre type polynomials and irrationality measures", J. Reine Angew. Math., vol. 407, № 1, pp. 99-125.'

2. Hata M. 1993, "Rational approximations to k and some other numbers", Acta Arith., vol. LXIII, № 4, pp. 325-349.

3. Amoroso, F., Viola, C 2001, "Approximation measures for logarithms of algebraic numbers", Ann. Scuola normale superiore (Pisa), Vol. XXX, pp. 225-249.

4. Heimonen, A., Matala-aho, T., Vâânânen, K. 1993, "On irrationality measures of the values of Gauss hvpergeometric function", Manuscripta Math., vol. 81, pp. 183-202.

5. Heimonen, A., Matala-aho, T., Vâânânen, K. 1994, "An application of Jacobi type polynomials to irrationality measures", Bull. Austral. Math. Soc., vol. 50, № 2, pp. 225-243.

6. Rhin, G. 1987, "Approximants de Padé et mesures effectives d'irrationalité", Progr. in Math., vol. 71, pp. 155-164.

7. Salikhov, V. H. 2007, "On the irrationality measures of ln3", Dokladv Mathematics, vol. 417, № 6, pp. 753-755. (Russian)

8. Salikhov, V. H. 2008, "On the irrationality measures of k", Russian Mathematical Surveys, vol. 63, № 3, pp. 163-164. (Russian)

9. Salnikova, E., S. 2007, "On irrationality measures of some values of the Gauss function", Chebvshevskii Sbornik, vol. 8, № 2, pp. 88-96. (Russian)

10. Salnikova E., S. 2008, "Diophantine approximations of log2 and other logarithms", Mathematical Notes, vol. 83, № 3, pp. 428-438. (Russian)

11. Salnikova E., S. 2010, "Approximations of some logarithms by numbers from the fields Q and Q\[d\ Journal of Mathematical Sciences, vol. 16, № 6, pp. 139-155. (Russian)

12. Tomashevskava E. B., 2007, "On the irrationality measure of the number log 5 + | and some other numbers", Chebvshevskii Sbornik, vol. 8, no.2, pp. 97-108. (Russian)

13. Tomashevskava E. B., 2009, "Diophantine approximations of a values of some analytic functions", Dissertation., Bryansk State technical University, 99 pp. (Russian)

14. Bashmakova M.G.,2010, "Approximation of values of the Gauss hvpergeometric function by rational fractions", Mathematical Notes, vol. 88, no. 6, pp. 785-797. (Russian)

15. Bashmakova M.G.,2010, "The estimate of the irrationality measures of logarithm of "Golden section"", Chebvshevskii Sbornik, vol. 11, no. 1, pp. 47-53. (Russian)

16. Androsenko V. A.,2010, "The estimate of the irrationality measures of values of the Gauss hvpergeometric function", Chebvshevskii Sbornik, vol. 11, no. 1, pp. 7-14. (Russian)

17. Luchin M. Yu.,2013, "The estimate of the irrationality measures of number ln 4", Chebvshevskii Sbornik, vol. 14, no. 2, pp. 123-131. (Russian)

18. Luchin M. Yu., Salikhov, V. H., 2018, "Approximation of ln 2 by numbers from the field Q\/2", Izvestiva: Mathematics, vol. 82, no. 3, pp. 108-135. (Russian)

19. Wu Q, Wang L. 2014, "On the irrationality measure of log3", Journal of Number Theory, vol. 142, pp. 264-273.

20. Androsenko V. A. ,2015, "Irrationality measure of the number Izvestiva: Mathematics, vol. 79, no. 1, pp. 3-20. (Russian)

21. Marcovecchio, R. 2009, "The Rhin-Viola method for ln2", Acta Aritm., vol. 139.2, pp. 147-184.

22. Bashmakova M.G., Zolotukhina E., S. 2017, "On irrationality measures of the numbers Vd ln ^+1", Chebvshevskii Sbornik, vol. 18, no. 1, pp. 29-43. (Russian)

23. Polvanskii, A. 2011, "On the irrationality measure of certain numbers", Comb, and Number Theory, vol. 1, № 4, pp. 80-90.

24. Polvanskii, A. A. On the irrationality measure of certain numbers. Dissertation. Lomonosov State University, 2013. 138 pp. (Russian)

25. Huttner, M. 1987, "Irrationalité de certaines intégrales hvpergéométriques", J. Number Theory, vol. 26, pp. 166-178.

Получено 04.07.2018 Принято в печать 17.08.2018