CC BY
8
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 20. Выпуск 4.
УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-4-58-68
Об оценке меры иррациональности arctg 2 1
М. Г. Башмакова, В. X. Салихов
Салихов Владислав Хасанович — доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры Высшей математики, Брянский государственный технический университет, (г. Брянск).
e-mail: svdhMramMer.ru
Башмакова Мария Геннадьевна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры Высшей математики, Брянский государственный технический университет, (г. Брянск). e-mail: mariya-bashmakova@yandex.ru
Аннотация
Оценка меры иррациональности различных трансцендентных чисел является одним из направлений теории диофантовых приближений. Начиная с работ Э. Бореля конца 19 века, разрабатывались как общие методы получения оценок для классов значений некоторых функций, так и специализированные подходы для оценки отдельных величин. Различные методы, в частности, применялись для исследования арифметических свойств значений функции arctg х.
Для получения оценок показателя иррациональности значений arctg х многими авторами эта функция рассматривалась как частный случай гипергеометрической функции Гаусса. Одной из первых работ, в которой были получены такие оценки, стала работа М. Хуттнера 1987 г. [1], доказавшего общую теорему об оценках мер иррациональности значений гипергеометрической функции вида F2 (1, ^, 1 + ^ |exfc) ,к g N, к > 2, е = ±1. Большую роль в развитии темы сыграли работы А. Хеймонена, Т. Матала-Ахо и К. Ва-ананена [2], [3] в которых также был построее метод, позволявший получать оценки по-казетеля иррационадьности для значений F^ (1, 2, 1 + ^, к g N,k > 2, в том числе для Fj (1, 2, 31 — я2) = 2 arctg z. Рассмотренный ими подход использовал приближение гипергеометрической функции полиномами Якоби и дал много конкретных результатов.
В последние десятилетия для построения оценок широкое распространение получили методы, использующие интегралы, симметричные относительно какой-либо замены параметров [4], [5],[6]. Впервые интеграл, принципиально использующий свойство симметричности, был применён в работе В.Х.Салихова [4] и позволил получить новую оценку показателя иррациональности для ln3. Чуть позже В. X. Салихов [7], применив аналогичный симметризованный комплексный интеграл, получил новую оценку меры иррациональности числа я. В этой работе было использовано классическое равенство | = arctg 2 + arctg 3. Таким же способом, то есть с помощью комплексного симметризованного интеграла, в работе Е. Б. Томашевской [8] были оценены значения вида arctg ^,п g N, п > 2, и улучшены некоторые предыдущие результаты для таких величин. Позднее, Е. Б. Томашевской [9] был разработан аналогичный интеграл для оценки arctg 2, который позволил доказать результат ^(arctg 2) < 11.7116..., остававшийся лучшим до настоящего времени.
ln 3
рассмотрев другой тип интегральной конструкции, также использующей симметричность. В данной работе идея К. By и Л. Ванга применена для изменения интеграла Е. Б. Томашевской, что позволило улучшить его арифметические свойства и усилить предыдущий результат для меры иррациональности числа arctg 2-
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ (грант 18-01-00296-а).
Ключевые слова: мера иррациональности, гипергеометрическая функция, симметризо-ванный интеграл.
Библиография: 15 названий. Для цитирования:
М. Г. Башмакова, В. X. Салихов. Об оценке меры иррациональности arctg 2 // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 4, с. 58-68.
СНЕВУЗНЕУБКИ ЗВОЮТК
Уо1. 20. N0. 4.
UDC 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-4-58-68
On irrationality measure arctg 2
M. G. Bashmakova, V. Kh. Salikhov (Bryansk)
Salikhov Vladislav Khasanovich — doctor of physical and mathematical Sciences, Docent, Professor of department Higher mathemathics, Bryansk State technical university. e-mail: svdh@rambler.ru
Bashmakova Mariya Gennadievna — candidate of Phvsico-mathematical Sciences, docent of department Higher mathemathics, Bryansk State technical university. e-mail: mariya-bashmakova@yandex.ru
Abstract
An evaluation of irrationality measure for various transcendental numbers is one of the field in diophantine approximation theory. Starting with the works of E. Borel at the end of 19th century, were developed both general methods of evaluation for classes of some functions values and specialized approaches for estimating peculiar numbers. Diverse methods particularly were practiced for the investigating of arithmetic properties of the function arctg x values .
For getting evaluation on irrationality measure of arctg x values many authors regarded them as particular case of Gauss hypergeometric function. One of the first such kind of papers was the article of M. Huttner 1987 fl], who proved a generalized theorem about estimation on irrationality measure of the Gauss hypergeometric function values F2 (1, ^, 1 + ^ |exfc) ,k € N, k > 2, e = ±1. A big role in progress of theme have been played by-works of A. Heimonen, T. Matala-aho, K. Vaananen [2], [3], in which was also constructed a method for evduation on irrationality measure of the Gauss hypergeometric function values of the form F22 (1, 2, 1 + 21z) ,k € N, k > 2, including F22 (x 2, 31 — z2) = 2 arctg z. The approach considered by them had used approximation of the Gauss hypergeometric function by Jacobi type polynomials and gave a lot of concrete results.
Last decades for evaluation of various numbers were broadly spreading methods, which used symmetric on some changes of variable integrals [4],[5],[6]. Originally, integral qualitatively using the property of symmetry was applied by V.Kh.Salikhov [4], who used it to got the new estimate for ln 3. A little later V. Kh. Salikhov [7] had applied similar symmetrized complex integral for obtaining new evaluation of n. In that work he put to use classical equality 4 = arctg 2 + arctg 2. The same method, i.e. complex symmetrized integral was used by E. B. Tomashevskaya [8], who had estimated values of arctg ^ ,n € N, n > 2 and some of previous results for such numbers were improved by her. Later on E. B. Tomashevskaya [9] had elaborated analogical integral for estimation of arctg 2, which one had allowed to prove the best result until now ^(arctg 2) < 11.7116____
ln 3
new type integral construction, which also had used a property of symmetry. In present paper
we took the idea of K. Wu and L. Vang and applied it to the integral of E. B. Tomashevskaya. It allowed us to improve arithmetic properties of integral and obtain better result for extent of irrationality arctg 2-
Keywords: irrationality measure, hypergeometric function, symmetrized integral.
Bibliography: 15 titles.
For citation:
M. G. Bashmakova, V. Kh. Salikhov, 2019, "On irrationality measure arctg 2", Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 4, pp. 58-68.
1. Введение
При изучении свойств иррациональных и трансцендентных чисел одним из исследуемых вопросов является возможность их приближения рациональными дробями. Множество рациональных чисел всюду плотно в М, поэтому его элементы находятся в сколь угодно малой окрестности любого вещественного числа 7, но вопрос становится содержательным, если го-
применяемых характеристик качества такого приближения служит мера иррациональности.
Мерой (показателем) иррациональности числа 7 будем называть величину ^(7), определяемую как нижняя граница чисел у таких, что для любого е > 0 существует <?о(е) > 0, такое,
что неравенство
7-2 ' я
> д ^ £ выполняется для всех целых чисел р, д при д >
Получение оценок мер иррациональности связано с построением приближения рассматриваемого значения. Обычно для этого используются вещественные или комплексные интегралы, бесконечные суммы, аппроксимации Паде и др. Исследование получаемой линейной формы позволяет построить оценку, которая будет тем лучше, чем удачнее подобрано приближение. В этом смысле общие методы обычно уступают специализированным конструкциям, разработанным для конкретного числа. Так было, например, для 1пЗ [4]д [7], 1п2 [11] и др.
Оценки показателя иррациональности значений функции arctg х были получены разными авторами [1], [2], [6], в основном общими методами. Для числа arctg 2 наилучшая на данный момент оценка 2) < 11.7116... принадлежит Е.Б.Томашевской [9]. Этот результат был
доказан с помощью специально разработанного интеграла
16+4г
' (х - 18 - 4 г)3га(х - 16 + 4 г)3га(х - 18 + 4г )3га(х - 16 - 4 г)3га(х - 17)4га^х = ' х5га+1(З4 - х)5га+1 ' ( '
16-4г
подынтегральная функция которого 5(х) такова что 5(З4 - х) = 5(х), то есть обладает свойством симметричности относительно точки х = 17. Именно это свойство сыграло ключевую роль при построении оценки. С использованием этого типа симметричности были получены и другие результаты [5],[8]. Много новых оценок было также получено с применением симметричности других видов. Одним из недавних результатов применения симметризованного интеграла стало улучшение показателя иррациональности числа 3 [12], [13], которое было достигнуто за счёт объединения интеграла Р.Марковеккио [11], получившего ранее новую 1п 2
= ( х - 17)2
й(*)(/(■£))", где
Ш) =_1_ т = (*2 + З0^ + 289)^2 (2)
^ = 2^(289 - *)' Л^= (289 - ¿)5 . ^
Изменение данной интегральной конструкции путём введения дополнительных множителей, аналогичных рассматриваемым в [10], позволило улучшить её приближающие свойства и получить новую оценку для arctg 2. Основной результат данной работы заключается в следующем утверждении:
Теорема 1. Справедлива следующая оценка меры, иррациональности:
^(arctg 1) < 9.272044...
Доказательство данного утверждения будет основываться на исследовании интеграла вида 4
1б+4г( П (х - Xj))аоп(х - 17)2агп(7х2 - 238х + 2040)"2п(39ж2 - 1326ж + 11560)азпс1х
/ = ! / _
г J жп+1(34 - х)'п+1
16-4 г
(3)
где х1 = 16 - 4г, х2 = 16 + 4г, х3 = 18 - 4г, х4 = 18 + 4г, ajп £ N,j = 0,.., 3. Эта интегральная конструкция была построена на основе интеграла (1), при помощи добавления дополнительных множителей, улучшающих арифметические свойства. Будем в дальнейшем обозначать подынтегральную функцию (3) как R(x).
Стандартная схема, применяемая для исследования показателя иррациональности, использует классический подход, принадлежащий М.Хата [14]:
Лемма 1. Пусть п £ N,7 £ R -иррационально, 1п = gnj + рп, где дп,рп £ Z,
lim п ln |#п| = ö, limsup п ln |/п| < -т, т > 0, тогда ß(j) < 1 +
Заметим, что в работе [15] было доказано более общее утверждение. Применение леммы 1 к интегралу (3) позволит получить заявленный результат.
2. Доказательство основного утверждения
Рассмотрим интеграл (3). Подынтегральная функция обладает свойством симметричности, так что замена переменной £ = (х — ^)2, где й = 17, позволяет привести интеграл к виду
-15+8г
т. 1 Г (¿2 + 30£ + + 17)а2""(39£ +289)азга (И 1 (^ = ТУ -2^(289 — -, (4)
—15—8г
где а = {а0, а2, а3}. Обозначим
, (Ь2 + 30^ + 289)а° Г1 (74 + 17)"2 (394 + 289)"3 9(',й) =-(280—1)-, (5)
тогда
— 15+8г
'^ = 1 / ^Ь)<«>
—15—8г
Дополнительные множители, отличающие функцию д(Ь, а) интеграла (5) от /(¿) из интеграла (2), улучшают арифметические свойства интеграла Е.Б.Томашевской, уменьшая значение подынтегральной функции и добавляя сокращение простых множителей.
Исследуем свойства многочленов, входящих в подынтегральную функцию (4). Введём необходимые обозначения. Пусть А £ М, В £ Z+, (А, В) = 1 при В = 0.
Для £ = (х - ^)2 будем рассматривать многочлены вида
Р(*) = А + В = Ах2 - 2А^х + Аг2 + В = ^2х2 + Л1х + Ао = Р(х) и
р *С0 = а2 + в£ + с = Ах4 - 4(Мх3 + (6^2а + в)х2 - (4^3а + 2сш )х + (а^4 + в^2 + с) =
= £ А*х7 = Р*(х).
.7=0
Для любой несократимой дроби |,а € 2, а = 0,6 € N рассмотрим показатель ир = ир для простого числа р такой, что | = , (а1,61) = 1, (а1,р) = 1, (61, р) = 1. Для каждого многочлена Р(¿) определим величину г/р(Р(¿)) при р € {2, 5,17} как ^2(Р) = ш1п(З, ^2(Ао)), 1/5(Р) = ш1п(1, 1/5(Ао)), ^1т(Р) = ш1п(2, ^(Ао)).
Для каждого многочлена Р*(£) определим ^р(Р*(£)) при р € {2, 5,17} как г/2( Р*) = ш1п(6, !/2(Ао), 1/2(А1) + 2, 1/2(А2) + 4), 1/5(Р*) = ш1п(2,1/5(Ао), 1/5(^1) + 1), ^17(Р*) = ш1п(4, г/17(Ао), 1/17(^1) + 1, ^17(^2) + 2).
Для любой функции /(х), аналитической в точке х = 0, обозначим Оо(/(х)) = /(0); (/(х)) = € N.
Лемма 2. Пусть т € N, Ж € < 2т. Тогда выполняются следующие оценки:
^2( (Рт)) > тг/2(Р) - 2Ж, г/5(Ом(Рт)) > т 1/5(Р) - Ж, г/^—м(Рт)) > тг/^(Р) - Ж.
Доказательство. Имеем
Рт(х) = ^ 7(т)А™°А™1А™2хт1+2т2,
|т, |=т
т = (то, т1, т2) € (2+)3, |т| = то + т1 + т2,7(т) = € N.
Тогда (Рт(х)) = £ 7(т)А™%¿т12™1, А3 = (-1)™1Ат1+™2.
|т, |=т
т\ +2т2=М
При р = 2 :
г/2( (Рт(х))) > тог/2(Ао) + т1 = (тог/2(Ао) + Зт1 + Зт2) - 2т1 - Зт2 >
> (Р)(то + т1 + т2) - (т1 + 2т2) - (т1 + т2) > тг/2(Р) - 2Ж.
При р = 5 : ^(—м(рРт(х))) > тог/5(Ао) = (то^(Ао) + т1 + т2) - т1 - т2 >
> г/5( Р)(то + т1 + т2) - (т1 + т2) > тг/5(Р) - Ж.
При р = 17 : г/17(Ом(Рт(х))) > тог/17(Ао) + т1 = (тог/17(Ао) + 2т1 + 2т2) - т1 - 2т2 >
> ^17(Р)(то + т1 + т2) - (т1 + 2т2) = тг/17(Р) - Ж. □
Лемма 3. Пусть т € ^ Ж € < 4т. Тогда выполняются следующие оценки:
^2(Ом((Р*Г)) > тг/2(Р*) - 2Ж, ^(—м((Р*Г)) > т 1/5(Р*) - Ж, г/17(—м(( Р*Г)) > тг/17(Р*) - Ж.
Доказательство. Имеем (Р*(х))т = £ 7*(т)А*т°А1т1А*т2А3тзА4т4х4т4+3тз+2т2+™1,
|т, |=т
4
Где т = (т0, ..., т4) € |т 1 = Е т7, 7*(т) = !^Г2!!Ш3!Ш4! € N.
7=о
Тогда Ом((Р*(х)т)) = Е 7*(т) П (А*)т^'.
|т, |=т 7=о
т1+2т2 +3т,з+4т4=м
44
При р = 2 имеем г/2(Ом(Р*(х)т)) > £ т.^(А*) = £ т.(1/2(А*) + 2^) - 2Ж > т 1/2(Р*) - 2Ж,
7=о 7-о
так как неравенства ^(А*) + 2^' > 1/2(Р*) для ^ € {0,1,2} следуют го определения ^2(Р*), а для € {З, 4} выполняются ввиду г/2(Р*) < 6, ^(А*) > 0.
При р = 5 : V5(DN(Р*(х)т)) > Е т,^(А*) = Е т,(^(А*) +.]) — N > т^Р*) — М,
3=0 3=0
так как неравенства ^(А*) + ] > V5(Р*) при ] £ {0,1} следуют из определения ^(Р*), а для ] £ {2, 3, 4} выполняются ввиду V5(Р*) < 2, V5(А**) > 0. р = 17
V17(Им( Р*(х)т)) > Е т,^17(Л*) = Е т,МА*) + з) — N > тVl1(Р*) — N. □
3=0 3=0
В соответствии с определением интеграла (4) имеем многочлены:
Р0* (*) = ¿2 + 30^ + 289 = х4 — 68х3 + 1764ж2 — 20672ж + 92480 = Р0* (ж), Р1 (í)=í = ж2 — 34ж + 289 = р1(х), (7)
Р2 (*) = 7^ + 17 = 7х2 — 238х + 2040 = РДж), Рз (*) = 39£ + 289 = 39ж2 — 1326ж + 11560 = Рз(х).
Обозначим Щ = р/3 ^ к^)) для Р^(t), Щ = П р/3^ к ^ ^ для P*(t) при р1 = 2, j=1 j=1
Р2 = 5, рз = 17. Из определения Vp(Р*(£)), Vp(Р(£)) для многочленов (7) получим:
П* = 2651172, П1 = 172, П2 = 2351171, П3 = 2351172. (8)
В силу симметричности, для подынтегральной функции (3) справедливо представление:
п+1 , ч
ВД = От <*) + £( | +(34^), №
т
где т = 2п(2а0 + а1 + а2 + а3) — 2п — 2, Qт(x) = Е Кх", все Ьи £ Ъ[х].
"=0
Возьмём а0 = 0.53819, а1 = 0.21230, а2 = 0.13580, а3 = 0.18161 и п кратное 105. Рассмотрим коэффициенты а, в разложении (9).
Лемма 4. Для любого ] = 1, ...,п + 1 справедливо представление:
а, = 21.18137п+2з—35—0.1444п+3—117—2+ЗА,,где А. £ ^
а3
4
Рассмотрим т = {т0,..., т4}, т £ (Ж+)5|, тт| = Е т,.
=0
Имеем
а, = Ип+1-з(хп+1К(х)) = Е Ит°(рР0*(^))а°п П °тк(Рк(х)ТкпОт,(34 — х)—п—1.
|т|=п+1 —з к=1
Ясно что Ит4 (34 — х)-'п—1 = ( П + тМ 2—п—т4—117—п—т4—1. Тогда в силу (8) и лемм 2,3
4 V т4 )
v2(аj) > 6 а0п — 2т0 + 3а2п — 2т2 + 3а3п — 2т3 — п — т4 — 1 = п(6а0 + 3а2 + 3а3) — — ( т0 + т2 + т3 + т4) — (т0 + т2 + т3) — п — 1 > 4.18137п — 2(п + 1 — ]) — п — 1 = = 1.18137п + 2^ — 3;
v5(аj) > а0п — т0 + а2п — т2 + а3п — т3 > п(а0 + а2 + а3) — п — 1 + ] = = —0.1444п — 1 + з;
v17( а,) = 2а0 п — т0 + 2а1п — т1 + а2п — т2 + 2а3п — т3 — п — т4 — 1 > > (2а0 + 2а1 + а2 + 2а3)п — 2п — 2+з = —2 + □
Пусть далее А = 1.18137п,^ = ЪЩ — кольцо гауссовских чисел, многочлен Qт(х) определён в равенстве (9).
т
Лемма 5. Пусть ^т(х) = ^ , где в = х - 16 + 4г, все € К. Тогда для всех
,=о
^ = 0,1,..., аоп - 1 справедливо: = 2А-2гУ-3/г,, € К.
Доказательство. Применим схему, впервые использованную в работе [5]. Из вида Д(х) в интеграле (3) имеем для в таких что |0| < 116 + 4г| = \/272
те
Д(х) = £ , (Ю)
и=а°п
где все 7, € Q + Qг. Далее для ] = 1,..., п + 1
1 1 1_ ^ (-1)^/
I -г' )7
х7 (16 - 4г + 0)з (16 - 4г)7 ^ (16 - 4г)
где = 7(7+1).;(!7+гУ-1) € 2
1 1 1_ ^
I -г' )7
(З4 — х)7 (18 + 4г - 6) (18 + 4г)7 ^ (18 + 4г)"'
Из (9) и (10) получим
те га+1 те / / \ га+1 те > т
Е7 Д, = ^ а7 У^ I А-1 + X4 а7 У^ ^ л, + ^ 0 №
Ъ = ¿-(16 - 4г )7^Д(16 - + ^ (18 + 4). ^ (18 + 4г + 2^ .
;=а°га 7 = 1 ,=о 7=1 ,=о ,=о
,=а°п 77 = 1 ,=о 7=
Поэтому для г/ = 0,1,..., аоп - 1
"+1 / (-1), 1 \ & = - Е (16 - 4г)7+ + (18 + 4г)7+- ) ' (И)
Из леммы 4 и равенства (11) получим представление:
= 2А-2гУ-3(8|)^^де Д, € К, Ж, € N. Но € К, поэтому = 2А-2гУ-3/,, где € К, а □
Обозначим теперь ^ = ДОК(1, 2,..., Ж).
16+4г
Лемма 6. Имеет место соотношение <?т+1-1 / ^т(х)дх = 2ЛА, где А € 2,
16-4г
Л = ш1п(А, Зао п).
Доказательство. Имеем
16+4г>
(х -16 + 4?;
1 16+4г А / то \
л = <?т+11 ^т(х)дх = <?т+1 I 1 ПТ -+Г (х - 16 + 4^+4
г16-4 V' ^=о "+1 /
/а°п-1 „ т „ \
у 8й+1 ^ + у 8"+1гЧ .
\ ^ г/ + 1 ^ V + 1 )
\ ,=о и=а°п /
16 4
= *т+1 ( >: ^ 8й+н-+ ^ 8^+4-
,=«° п
Очевидно, что <?т+1 € N, г/ = 0,1,..., т.
Для слагаемых первой суммы ввиду леммы 5 имеем: 8,+1 = 2А-2гУ-323,+3/, = 2А/,', где все € К.
Для слагаемых второй суммы: ßu £ К, 8гУ+1 = 23одп23гУ+3-3а°п, где 3и + 3 - 3а0п £ N, поэтому Л = 2 ХА, где А £ К. Из (9) имеем
16+4» т
т
Л = дт+11 Qт(x)dx = дт+1 т V —¡^г((16 + 4г)"+1 — (16 — 4г)"+1) £ Ъ, 1 г7=0 г/ + 1
16—4г "=0
поскольку Ьи £ Ъ.
Следовательно А £ Ъ, что и требовал ось. □
Теперь, используя представление (9), получаем для интеграла (3) 16+4г 16+4г 16+4»п+1
М / ^(х)ах+1 / (т+34—^+т / "н+ь+13.
16—4 16—4 16—4 =2
По лемме 6 имеем <?1.21218п 11 = 2—1Л8137пд ^ £ ъ. 2
1 „ л , . чм16+4г 1 Л 16 + 4 г , 18 — 4г\ . 1 2,
12 = 7 а1(1пж — 1п(34 — ж))|16+4^ = 7а1 1п ——- — 1п1С , ,, = 2а1(агс^- + агс^-) =
г v v "'16-4 j М 16 - 4г 18 + 4 г/ v °4 °9
= 2а\ arctg1.
3
1 "-+1 / 1 1
z = 1V aj (—1
3 ^¿2 — + 1
16+4г
- j + 1 Vxj-1 (34 -x)j-1/
16 4
- 1 V ( (4 - i)j-1 (4 + j)j-1 (9 + 2j)j-1 (9 - 2j)j-1 \ _
= ~i - j + 1 V 22j-217j-1 - 22j-217j-1 - 2j-185j-1 + 2j-185j-1 / = j=2 J 4 7
1 п+1 а • / ß'- \
= 1 E -7+1(2^-^^-1 + 2j-15j-?117j-0 , £К,!=2,...,П + 1
1 , 2 , 3
2-1.18137п+1 ■ 50.1444п ■ 17 ■ (?1.21218п J(i, а) = Ап arctg 1 + Бп, (12)
где Ап, Бп £ Z, /(i,(5) определён равенством (6). Применим к данной линейной форме лемму 1.
Для исследования асимптотики интеграла (6) используем метод перевала. Этот подход хорошо известен и постоянно применяется при исследовании подобных линейных форм, более подробное изложение можно найти, например, в [5], [6].
Рассмотрим подынтегральную функцию g(t, а). Уравнение — lng(t, а) = 0 имеет пять корней, максимальное значение функции ln |g(t, <5)| достигается в точке to = -11.70909 - 2.58761г, при этом ln Ig(t0, ä)| = -1.36036... = т*.
Ап
в данном случае является ¿1 = 784.15031..., и ln |g(t 1,<5)| = 5.45126... = 5*. Учитывая, что lim п ln дсп = С, из представления (12) и леммы 1 получаем заявленную оценку
п^те п
1Ч S* + 0.1444 ln 5 - 1.18137ln2 + 1.21218
u(arctg-) < 1 --=-=-= 9.272044...
m 62; < т* + 0.1444ln5 - 1.18137ln2 + 1.21218
Сравнение подынтегральных функций интеграла Е.Б.Томашевской (1) и интеграла (3) позволяет оценить эффективность дополнительно введённых многочленов í2(í) = 7í + 17 и Ps(í) = 39í + 289. Вносимые ими степени простых чисел 2, 5,17 помогают компенсировать эти множители в знаменателе коэффициентов линейной формы. Выбор оптимальных параметров aj осуществлялся с помощью компьютерной программы.
3. Заключение
В последние десятилетия в области построения оценок мер иррациональности было получено много интересных результатов. С помощью интегральных конструкций такого типа как в данной работе, с дополнительными многочленами, в последнее время было улучшено несколько предыдущих оценок для различных величин. Хотя данная интегральная конструкция не может быть обобщена, рассмотренный метод позволяет построить аналогичные интегралы для других чисел. Учёт индивидуальных особенностей интеграла позволяет лучше приблизить исследуемое значение и получить новые результаты. Эта область исследований в настоящее время развивается и интерес к ней проявляется в научных школах разных стран.
Авторы выражают признательность Е.Б.Томашевской за глубокую проработку темы по оценке значений функции arctgx.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Huttner М. Irrationalité de certaines intégrales hypergéométriques // J. Number Theorv. 1987. Vol. 26. P. 166-178.
2. Heimonen A., Matala-aho Т., Vaananen K. On irrationalitv measures of the valúes of Gauss hvpergeometric function // Manuscripta Math. 1993. Vol. 81. P. 183-202.
3. Heimonen A., Matala-aho Т., Vaananen K. An application of Jacobi tvpe polvnomials to irrationalitv measures // Bull. Austral. Math. Soc. 1994. Vol. 50, № 2. P. 225-243.
4. Салихов В. X. О мере иррациональности ln3 // Доклады Академии наук. 2007. Том 417, № 6. С. 753-755.
5. Сальникова Е. С. Диофантовы приближения log2 и других логарифмов //Математические заметки. 2008. Т.83. №3. С. 428-438.
6. Башмакова М. Г. О приближении значений гипергеометрической функции Гаусса рациональными дробями // Математические заметки. 2010. Т.88, №6. С. 785-797.
7. Салихов В. X. О мере иррациональности числа к // Успехи математических наук. 2008. Том 63, № 3. С. 163-164.
8. Томашевская Е. Б. О мере иррациональности числа ln 5+к/2 и некоторых других чисел// Чебышевский сборник. 2007.Том 8. №2. С. 97-108.
9. Томашевская Е. Б. О диофантовых приближениях значений некоторых аналитических функций. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Брянский государственный технический университет. 2009. 99 с.
log 3
С. 264-273.
11. Marcovecchio R. The Rhin-Viola method for ln2 // Acta Aritm. 2009. Vol. 139.2. P. 147-184.
12. Андросенко В. А., Салихов В. Х.Симметризованная версия интеграла Марковеккио в теории диофантовых приближений//Матем. заметки. 2015.Том 97, №4, С. 483 - 492.
13. Андросенко В. А. Мера иррациональности числа Изв. РАН. Серия математическая. 2015. Том 79, №1, С. 3 - 20.
14. Hata М. Irrationality measures of the values of hvpergeometric functions // Acta Arith. 1992. Vol. LX. P. 335-347.'
15. Wu Q. On the linear independence measure of logarithms of rational numbers// Math. Of computation. 2002. Vol. 72, №242. P. 901-911.
REFERENCES
1. Huttner, M., 1987, "Irrationalité de certaines intégrales hvpergéométriques ", J. Number Theory, vol. 26, pp. 166-178.
2. Heimonen, A., Matala-aho, T., Vâânânen, K., 1993, "On irrationality measures of the values of Gauss hvpergeometric function ", 1993, Manuscripta Math., vol. 81, pp. 183-202.
3. Heimonen, A., Matala-aho, T., Vâânânen, K., 1994, "An application of Jacobi type polynomials to irrationality measures ", Bull.Austral. Math. Soc., vol. 50, no 2, pp. 225-243.
4. Salikhov, V. Kh., 2007, "On the irrationality measures of ln ?il,Doklady Mathematics, vol. 417, no 6, pp. 753-755.
5. Salnikova, E. S., 2008, "Diophantine approximations of log 2 and other logarithmsa,Mathematical Notes, vol.83,no.3, pp. 428-438.
6. Bashmakova M.G.,2010," Approximation of values of the Gauss hvpergeometric function by rational fractionsll,Mathematical Notes, vol. 88, no. 6, pp. 785-797.
7. Salikhov, V. Kh., 2008," On the irrationality measures of ,Russian Mathematical Surveys vol. 63, no. 3, pp. 163-164.
8. Tomashevskava E. B., 2007, "On the irrationality measure of the number log 5 + 2 and some other numbers", Chebyshevskii sbornik, vol. 8, no.2, pp. 97-108.
9. Tomashevskava E. B., 2009, "Diophantine approximations of a values of some analytic functions", Dissertation., Bryansk State technical University, 99 pp.
log ?
142, pp. 264-273.
ln 2
12. Androsenko, V. A., Salikhov, V. Kh.,2015, "Symmetrized version of the Markovecchio integral in the theory of Diophantine approximationsll,Mathematical Notes, vol.97, no.4, pp. 483-492.
13. Androsenko, V. A.,2015."Irrationality measure of the number ,Izvestiya: Mathematics, vol. 79, no. 1, pp. 3-20.
14. Hata, M., 1992, "Irrationality measures of the values of hvpergeometric functions ", Acta Arith., vol. LX, pp. 335-347.
15. Wu, Q.,2002, "On the linear independence measure of logarithms of rational numbers",Math. Of computation., vol. 72, no. 242, pp. 901-911.
ФГБОУ ВО Брянский государственный технический университет Получено 21.06.2018 г. Принято в печать 20.12.2019 г.
