CC BY
10
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 20. Выпуск 2.
УДК 511.9 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-2-366-373
Приближение квадратичных алгебраических решёток
1
целочисленными решетками
А. Н. Кормачева
Кормачева Антонина Николаевна — аспирант кафедры алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула).
e-mail: juska789@mail.ru
Аннотация
Данная работа посвящена вопросам приближения квадратичной алгебраической решётки целочисленной решёткой. В ней вычисляются расстояния между квадратичной алгебраической решёткой и целочисленной решёткой, когда они заданы числителем и знаменателем подходящей дроби к корню квадратному из простого числа р гада р = 2 или р = 4 к + 3.
Результаты данной работы позволяют изучать вопросы о наилучших приближениях квадратичных алгебраических решёток целочисленными решётками.
Ключевые слова: квадратичные поля, приближение алгебраических решёток, метрическое пространство решёток.
Библиография: 6 названий. Для цитирования:
А. Н. Кормачева. Приближение квадратичных алгебраических решёток целочисленными решётками // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 2, с. 366-373.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 2.
UDC 511.9 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-2-366-373
Approximation of quadratic algebraic lattices by integer lattices2
A. N. Kormacheva
Kormacheva Antonina Nikolaevna^ Postgraduate Student, Department of Algebra, mathematical analysis and geometry, Tula State L. N. Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: juska789@mail.ru
_ Abstract
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №19-41-710004^р^а.
2 Acknowledgments: The reported study was funded by RFBR, project number 19-41-710004_r_a.
This paper is devoted to the approximation of a quadratic algebraic lattice by an integer lattice. It calculates the distances between a quadratic algebraic lattice and an integer lattice when they are given by the numerator and denominator of a suitable fraction to the square root of a Prime p of the form p = 2 or p = 4k + 3.
The results of this work allow us to study questions about the best approximations of quadratic algebraic lattices by integer lattices.
Keywords: quadratic fields, approximation of algebraic lattices, metric space of lattices.
Bibliography: 6 titles.
For citation:
A. N. Kormacheva, 2019, "Approximation of quadratic algebraic lattices by integer lattices" , Che-byshevskii sbornik, vol. 20, no. 2, pp. 366-373.
1. Введение
В работе f5] рассматривалось квадратичное поле F = Q (■/>), где р — простое число и р = 2 или р = 3 (mod 4). Для него кольцо целых алгебраических чисел Ър имеет вид: Ър = [п + k/pln, к £ Ъ}.
Через Л(^) обозначается алгебраическая решётка поля F:
Л(^) = [(в(1), в(2))|в = в(1) £Ър}
и в(1), в(2) — целые алгебраически сопряжённые числа.
Таким образом, eW = п + ку/р, в(2) = п — к/р п,к £ Ъ и в(1), в(2) — корни уравнения х2 — 2пх + п2 — рк2 = 0. Базис решётки Л(^) имеет вид: Л1 = (1,1) Л2 = (/р, — /р), а детерминант решётки de^(F) = 2^/р.
Рассмотрим разложение /р в цепную периодическую дробь:
/р = qo + [(91, ...,qn, 2q0)] = qo +--
q1 +
•• +
1
2qo +-
1
q1 + —
с периодом (q1,..., qn, 2q0). Через ^ обозначается m-ая подходящая дробь к /р. Таким образом,
Ргп ( — 1Гдт Q /_ = р + (-1)^ п + П2 , Чтл/ Р = + _ Vm Wт Щт
Через Лт(Р) обозначается алгебраическая решётка заданная равенствами:
VP = ТТ + П2 т, Qmy/P = Рт ' ' , 0 < вт < 1 (ш = 0, 1,...). (1)
Щт Vт ^т
1
1
1
Лт(^) = {(Ят(п + ку/р), Яш(п - ку/р))\п, к £ Z} ,
а через Лт(р) — целочисленная решётка заданная равенствами:
Лт(р) = {(Ятп + кРт, Ятп - кРт)\п, к £ Z} .
Базис решётки Ат(^) имеет вид \т>1 = (Ят,Ят), = (Ят^р, -Ят^р), а детерми-
нант решётки detЛm(F) = 2Ят^Р-
Для целочисленной решётки Лт(р) базис имеет вид Лm,i,z — ( Qm,Qm), Л m,2,Z — (Pm, —Рт), а детерминант решётки de^m(p) — 2QmPm.
В работах [1], [4]-[6] двумерные решётки изучались с точки зрения построения двумерных парраллелепипедальных сеток для квадратурных формул. В данной работе нас будет интересовать вопрос о приближении квадратичных алгебраических решёток целочисленными решётками в метрическом пространстве решёток.
ческое пространство относительно метрики р(Л, Г), которая задана равенствами
р(Л, Г) — max(ln(1 + ß), ln(1+ !/)), ß — inf \\A — Ea\\, и — Inf \\B — Ea\\,
Ея =
( i ... 0 \
/ с ч с- I 1, при г = 7, ,, ,,, , ,
= (Öij )к,- ,•<, , Öij = in ■ -L ■ \\A\\ = S ■ max Ki |.
j у о, при г = J, i<i,j<s
V0 ... \j
Цель данной работы — найти расстояние p(Am(F), Лт(р)) для любого натурального т и простого р гада р = ^и р = 3 (mod 4).
2. Сведения из теории решёток
Так как все рассуждения мы проводим для двухмерных решёток, то и необходимые сведения из геометрии чисел мы сформулируем только для размерности s = 2. Для удобства записи мы будем отождествлять вектор-строку х = (xi,x2) и транспонированный вектор-столбец
хТ =
С2) •
Целочисленная решётка 12 называется фундаментальной решёткой. Обозначим через и2 множество унимодулярных целочисленных матриц:
U2 = \а = ( 011 012 ) ац,а\2, a,2i,a,22 е Z, detA = аца2 2 -^12^21 = ±1 ?. [ \ 021 022 J )
и2 является группой автоморфизмов фундаментальной решётки 12:
А12 = 12 для любой матрицы А £ и2. Тем самым задается бесконечное множество базисов фундаментальной решётки 12:
А1 а = ( 011,021), А2^ = (а12, о22) для любой матрицы А £ и2. Векторами такого типа исчерпываются все базисы фундаментальной решётки 12.
Через М2 обозначим кольцо вещественных квадратных матриц второго порядка, а через М2 — мультипликативную группу этого кольца.
Через М2(1) обозначим кольцо целочисленных квадратных матриц второго порядка, а через М2(1) — мультипликативный моноид этого кольца, состоящий из невырожденных целочисленных матриц. Очевидно, что и2 С М2(1) и это максимальная мультипликативная группа кольца М2(1).
Рассмотрим произвольную двумерную решётку Л с базисом А1 = ( А11, А21), А2 = (А12, А22),
А
а = (А11 А121, л=А12=/(А11 А12V™11=(Ш1А11+Ш2А121^1,^2£ 1).
V А21 А22 ) IV А21 А22 )\т2 ) V ™1А21 + Ш2А22 ) )
Ясно, что решётка Л задается бесконечным множеством базисов, для которых соответствующая базисная матрица А' имеет вид А' = АВ, где В — произвольная унимодулярная матрица из и2.
Если через Аи^Л) обозначить группу автоморфизмов решётки Л, то нетрудно видеть, что Аи^Л) = Аи2А-1, где А — произвольная базисная матриц а решётки Л.
Любые две двумерные решётки Л и Г изоморфны как абелевы группы. Обозначим множество изоморфизмов решётки Л в Г через 1во(Л,Г). Если А — произвольная базисная матрица решётки Л и В — решётки Г, то 1во(Л, Г) = Ви2А-1, а 1во(Г, Л) = Аи2В-1.
Отсюда следует, что расстояние между двумя решётками можно записать следующим образом:
р(Л,Г) = тах(1п(1 + у), 1п(1+ !/)), у = ш? ||А - Е2\\, V = М ||В-Е2Ц.
Ае1во(г,Л) Бе1во(л,г)
3. Вычисление расстояния
Обозначим через Ат базисную матрицу решётки Лт(Р):
А =
(
Ят Яту/р Ят Ят\[Р
У Ат1 = ( V
/ V 2((т^Р )
а через Вт — базисную матрицу решётки Лт(р):
Вт =
(Яш Рщ А В—1 = ( 2(т 2((™ А . V Ят -Рт / т V 2РО - 2Р>Т /
Пусть Ст = ВтАт, Вт = С--1 = А—В—1, I— = 1бо(Лт(^), Лщ(р)) И Зт = !&о(Ат(р), Лт(^)). Тогда Ст е 1т, Вт € З-- ПОЛОЖИМ V— = \\Ст - Е2Ц, Ут = \\Вт - Е2Ц.
Лемма 1. Справедливы равенства
т
ит —
(-1) т
' вт + РтЯт
ут —
РтЯ-
Доказательство. Действительно,
Ргг,
11
Ргг
С _ Е = 2((т^р 2 2
т 2 I 1 _ Рт Рт _ 1
\ 2 2 ((
V. 2((
VР 2
Отсюда следует, что
Рт 1 Рт Ят у/Р
2Ят^Р 2 2Ят^Р
т
(~1)твп
2(Р + (~1)тм
2 \рт + Ят )
V т —
(-1)т вт + РтЯ-
так как 0 < вт < 1.
Аналогично получаем:
И— - Е2 =
( ( и
Ят^Р 1 1 _ ЯтУР
2 Рт 2 2 2Рт
__Яту/Р Яту/Р _
2 2 Рт 2 Рт 2
Ят^Р 1 2 Рт 2
Яту/Р - Рт 2 Р
т
(~1)тв„ Ят
2 Р
т
Отсюда следует, что
Рт Я т
□
т
т
Лемма 2. Если решётки Л = А12 и Г = В12 с базисными матрицами А и В, соответственно:
А = (я р +< ^ А-1 =( ^ ^ А Чя —р-$), А =
Ь ) \ 2(Р+ъ) 2(Р+§)
В =( Я —Р), В-1 = ( Ф —21 ), 0 < |0| < 1, р,я £ м, р,я > 2
связаны соотношениями
1 + 6 6
Л = В*Г, В* = АВ-1 = ( в - 1 ч
/ 1 + __Ч_ \
1 + 2РЬ 2РЬ
__Ч_ 1 + _Ч_ ,
\ 2РЬ 1 + 2РЬ )
( 1__?_ _?_ \
1 = 1 2(Ч+Р<) 2(Ч+Р<)
= _в__1__ч_
\ 2(Ч+Р<) 1 2(Ч+Р<)
Г = А*Л, А* = ВА-1 =
г/с = ||А* — ^И = ^+ря, ^ = ||В* -Д2|| = Р|, ^с = тах(^о) < 1,
то для расстояния между этими решётками справедливо равенство
р(Л, Г) = 1п(1 + в0).
Доказательство. Пусть
^__ч_ \ 1
В* = ^2 + М, М = ( 2Р< 2Р< ), 1|М|| = ^о< 4,
(2Р< , им|=*,< 4
V 2РЬ 2РЬ ) 4
А* = ^2 + Ж, Ж = ( -2(ЧЧЧрЬ) 2(Ч+РЬ) У ||ЖИ =г/о< 1.
V 2(Ч+Р<) 2(Ч+РЬ) ) 3
Из условия следует, что 1во(Л, Г) = В^А 1 и 1во(Г, Л) = Аи2В К Пусть С — произвольная унимодулярная матрица из П2:
С = ( ^ ) , С = * + СЬ С! = (0 ^ ) , аДМ £
тогда det С = 1 + а + ^ + а^ — Ьс = ±1, и, значит,
а + ^ + а^ — Ь с = |
0, если det С = 1, —2, если detС = —1.
Рассмотрим матрицы Б = ВСА"1 = ^2 + М + В^А"1 и - = АСВ-1 =^2 + Ж + АС1В-1. Нас интересует вопрос: при каких матрицах С £ и2 будет тах(||Б — ^||, И— — ^2И) < Имеем:
Б1 = ВС1А-1 = аВц + ЬВ12 + СВ21 + ^В22, -1 = АС1В-1 = аАц + ЬА12 + СА21 + ^22,
в,-,- = в( ^ма-1, а,-,- = аг ^^ 1В-1
Отсюда следует, что
В11 + В22 = А* = ^2 + Ж, А11 + А22 = В* = ^2 + М.
Матрицы Ау, Ву легко вычисляются:
А11 =
(И)
А21 =
ч+РЬ ч+РЬ
2<2 2<2
ч+РЬ ч+РЬ
2<2 2<2
А12 =
А22 =
о_
2 Р 2 Р
1 + _ч_
2 + 2Р<
2 Р
_<Р
2 Р
ч
2 Р<
_1__ч_
2 2 Р<
1 + -ч-
2 + 2 Р<
В11 =
В21 =
_Р_
2<Р 2<
( 1 1 )• В'2 =(
В22 = ^ —^2
Ь
2 _Р_
2<Р "2 <
2(ч+Р<) <2
<2
" 2(ч+Р<) <2
2(ч+Р<) 2(ч+Р<)
ч
2(ч+Р<)
_1 +_ч_
2 + 2(ч+Р<)
—2 + 1 2
2(ч+Р<) ч
2(ч+Р<)
)
Будем рассматривать квадратные матрицы второго порядка как вектора в четырёхмерном векторном вещественном пространстве Е4, тогда матрицы Ац, А12, А21, А22 образуют ортогональный базис в евклидовом пространстве Е4. И матрицы Вц, В12, В21, В22 образуют ортогональный базис в евклидовом пространстве Е4.
Рассмотрим скалярные квадраты матриц О1 и —1. Из разложения по ортогональным базисам следует, что:
<°-^ = а2 +"2(ёгУ + НВ + ё+Рё) •
Я
( —1,—1)=а2 + Ь2 ^ +с
(Я)2+-2(
Я
2 /0 + РЯV
я2 )
+ ¿2 1 +
1
0 + РЯ,
АУ
РЯ/
Если
.1
/ ¿11 ¿12 А — = / /11 /12 А V ¿21 ¿22 / , 1 V /21 /22 / ,
то
( Б1, Б1) = 1 + ¿22 + ¿21 + ¿22, (-1,-1) = /121 + /12 + /221 + /22.
Для дальнейшего нам потребуются неравенства ИО1И ^ л/(.1,01), ||—1|| ^ \/(-—1,-1)) которые следуют из определения матричной нормы и скалярного квадрата. Действительно,
А
А =
а1 1 а1 2 а21 а22
( А, А) = а21 1 + а21
2 + а2 1 + а2 2 ^ 4(тах( 1 а111, |а1 2|, 1 а2 11, |а22|)) =
то есть
Отсюда следует, что
ИО1И = тт 1,
я2
Р
■77, 1 -
+ Р я я + Р я
Проверим, что р1 ^ 2^0, р2 ^ 2г/0.
),
И—1И = тт 1,^
я + Р я
я2
,РЯ
) •
Действительно, 1 ^ 2^0 = Р«, ч+рь ^ Р«
Ь2
г\2 \ л \ 2(Р<+1) Р . 2|ч| так как Я2 ^ 4 ^ Р< > Ь ^ РЬ так как
Р2 ^ 2 1-
^ Р« так как (РЯ)2 ^ 2(РЯ + 1). Тем самым первое неравенство доказано.
Р<
ч+ Р Ь Р Ь
Аналогично, 1 ^ 2 г/0 = ч+_1Рч><, < ^ ч+Р« так как Я(РЯ — 1) ^ 2Р, ч+Р2< ^ ч+Р<
2|ч|
ч+Р<э
2|ч|
так как
(РЯ — 1)2 ^ 2Я2, 1 + Р< ^ ч+Р« так как (РЯ — 1)2 ^ 2РЯ- Тем самым и второе неравенство доказано.
(
(
2
Далее имеем:
\\D -Е2\\ = ||М + All ^ Pi|| - УМ II ^ ||М II, ||F -Е2\\ = ||N + Fl У ^ ||Fi|| - ||N || ^ что и доказывает утверждение леммы. □
Теорема 1. При Рт ^ 2, Qm ^ 2 справедливо равенство
p(Am(F), Лт(р)) = + ma^ ,т/т+р Q , -^Qt)
\ \ ( 1) ит + р mQm р mQm /
Доказательство. Положим в лемме 2 Л = Лт^), Г = Лт(р), А = В = Бт, тогда
□
4. Заключение
Для решения вопроса о наилучших приближениях квадратичной алгебраической решётки целочисленной решёткой необходимо вычислить расстояние от произвольной решётки QЛ(F) до целочисленной решётки Л(Р, Q), заданной базисом А1 = (Q,Q), Л2 = (Р, —Р), где р — ^р < По аналогии с наилучшими приближениями второго рода, можно высказать гипотезу, что наилучшие приближения даются решётками из доказанной теоремы.
Выражаю свою благодарность научному руководителю профессору Н. М. Добровольскому за постановку задачи, полезное обсуждение и постоянное внимание к работе.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вронская Г. Т., Добровольский Н. Н. Отклонения плоских сеток, монография / под редакцией Н. М. Добровольского. Тула, 2012.
2. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. — М.: Наука. 1965 г. — 176 с.
3. Касселс Д. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965. 422 с.
4. Кормачева А. Н. О неполных частных одной цепной дроби // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 1, с. 293-301.
5. Михляева А. В. Приближение квадратичных алгебраических решёток и сеток целочисленными решётками и рациональными сетками // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 3. С. 241-256.
6. Михляева А. В. функция качества для приближения квадратичных алгебраических сеток // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 1. С. 302-307.
REFERENCES
1. Vronskava, G. Т., Dobrovol'skii, N. N. 2012, "Deviations of flat grids, monograph" , edited by N. M. Dobrovol'skii. Tula.
2. Davenport, H., 1965, "The higher arithmetic" , Moscow, Nauka — pp. 176.
3. Kassels, D. 1965, Vvedenie v geometrivu chisel, [Introduction to the geometry of numbers], Mir, Moscow, Russia.
4. Kormacheva, A. N., 2019, "About the partial quotients of one of the continued fractions" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 2, pp. 293-301.
5. Mikhlvaeva, A. V., 2018, "Approximation of quadratic algebraic lattices and nets by integer lattices and rational nets" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 241-256.
6. Mikhlvaeva, A. V., 2019, "Quality function for the approximation of quadratic algebraic nets" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 302-307.
Получено 18.05.2019 г. Принято в печать 12.07.2019 г.
