CC BY
7
ЧЕБЫШЕВСКИИ СБОРНИК
Том 20. Выпуск 1.
УДК 511.9
DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-1-307-312
Функция качества для приближения квадратичных алгебраических сеток1
1
А. В. Михляева
Михляева Анна Владимировна — аспирант кафедры алгебры и дискретной математики, Оренбургский государственный университет, г. Оренбург. e-mail: white.background.invisible@mail.ru
Данная работа посвящена вопросам построения быстрых алгоритмов вычисления функции качества рациональных сеток, приближающих квадратичные алгебраические сетки.
Показано, что обобщённая параллелепипедальная сетка, приближающая квадратичную алгебраическую сетку, является параллелепипедальной. Как следствие построен алгоритм вычисления функции качества за О (1п N) арифметических операций.
Ключевые слова: квадратичные поля, приближение алгебраических сеток, функция качества, обобщённая параллелепипедальная сетка.
Библиография: 27 названий. Для цитирования:
А. В. Михляева. Функция качества для приближения квадратичных алгебраических сеток // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 1, с. 307-312.
Quality function for the approximation of quadratic algebraic nets2
A. V. Mikhlyaeva
Mikhlyaeva Anna Vladimirovna — Postgraduate Student, Department of Algebra and discrete mathematics, Orenburg state University, Orenburg. e-mail: white.background.invisible@mail.ru
Аннотация
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 1.
UDC 511.9
DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-1-307-312
Abstract
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №19-41-710004^р^а.
2 Acknowledgments: The reported study was funded by RFBR, project number 19-41-710004_r_a.
This work is devoted to the construction of fast algorithms for calculating the quality function of rational grids approximating quadratic algebraic nets.
It is shown that the generalized parallelepipedal net approximating the quadratic algebraic net is parallelepiped.As a consequence, an algorithm for calculating the quality function for О (ln N) arithmetic operations is constructed.
Keywords: quadratic fields, approximation of algebraic grids, quality function, generalized parallelepipedal grid.
Bibliography: 27 titles. For citation:
A. V. Mikhlyaeva, 2019, "Quality function for the approximation of quadratic algebraic nets" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 307-312.
1. Введение
Для произвольного вектора х его дробной частью называется вектор
{Х} = ({X1},..., {ж,}).
В работе [2] рассматривалось квадратичное поле F = Q(^p), где р — простое число и р = 2 или р = 3 (mod 4). Для него кольцо целых алгебраических чисел Ър имеет вид: Ър = {п + k^pln, к £ Ъ}.
Через Л(^) обозначается алгебраическая решётка поля F:
Л(^ ) = {(в(1), в(2))|в = в(1) £ Ър }
и в(1), в(2) — целые алгебраически сопряжённые числа.
Таким образом, eW = п + ку/р, в(2) = п — кт/р п,к £ Ъ и
в(1) в(2)
— корни уравнения
х2 — 2пх + п2 — рк2 = 0 Базис решётки Л(^) имеет вид: Л1 = (1,1) Л2 = (^р, —^р), а детерминант решётки de^(F) = 2Базис взаимной решётки Л*(^) имеет вид: А1 = (2, 2), А* = , — if) и детерминант взаимной решётки de^*(F) = Рассмотрим разложение р в цепную периодическую дробь:
1
VP = Qo + [(<71, ...,Qn, 2qo)} = qo +--
Q1 +-
•• +
1
2qo +-
1
41 + —
с периодом (д\,..., дп, 2д0). Через обозначается т-ая подходящая дробь к у/р. Таким об разом,
Рш + (-1)^
Через Лт(Р) обозначается алгебраическая решётка, заданная равенствами:
Vp = 7^ + Л ' , 0 <вт < 1 (т = 0,1,...). (1)
Лт(^) = {(Qm(n + к^р), Qm(n — к^р))1п, к £ Ъ} а через Лт(р) — целочисленная решётка, заданная равенствами:
Лт(р) = {(Qmn + кРт, Qmn — кРт)1п, к £ Ъ} .
1
1
Базис решётки Лт(Р) имеет вид Атд = (Ят,Ят), \т,2 = (Яту/р, —Ят^/р), а детерминант решётки ) = 2^т/Р- Базис взаимной решётки Л^(Р) имеет вид:
д* = (А X* = (
т т
/Р /Р
2рЯ т т
и детерминант взаимной решётки detЛт(F) = ^гпт
Для целочисленной решётки Лт(р) базис имеет вид Ат,1,г = (Ят,Ят) А —Рт), а детерминант решётки ёе^т(р) = 2фтРт. Базис взаимной решётки Лт(р) имеет
вид:
Л*
т,1,г
М , М , д^ = М_, — М
\2Ят 2Ят ) , , \2Рт 2Рт)
и детерминант взаимной решётки ёе^т(р) = 2р ^ • Рассмотриваются следующие две сетки:
М1(Лт(Р)) = Л*т(Р) П [—1; 1)*, М(Лт(Р)) = Л*т(Р) П [0; 1)а
Нетрудно видеть, что
М1(Лт(Р)) = А(п) = ^ к
К—
I V 2Qт
+
л/рк
п
/рк_\ 2рЯт/
к е А(п), \п\ < 2Ят — 1
2Я т ' 2Ря т 72Я т
—2Рт < к < 2Рт, при п = 0,
—2Рт + р^ < к < 2Рт — р^П, при П = 1,... 2Ят — 1,
Яг,
—2Рт — р^ < к < 2Рт — р^, при П = —1,... — 2Ят + 1;
М (Лт(р)) =
I V 2Qт
+
к
п
2Рт 2Яг,
В (п) = < к
2Я
к = 0,
_рт п ^ Ь. ртП
—^ К ^ ТПТ,
т Ят
к
2Р
т
к е В(п), 0 < п < 2Ят — 1 при п = 0,
при п = 1,... Qт — 1, —2Рт + < к < 2Рт — р^, при п = Ят,--- 2Ят — 1
Яг,
Я
Хорошо известно, что граничной функцией класса Е£ Для параллелепипедальных
сеток является функция Н(х, у) = 9(1 — 2{х})2(1 — 2{у})2, поэтому для оценки качества сетки М(Лт(р)) в работе [2] предложено использовать функцию
Н (М (Лт(р))) =
9
2 <Эт-1
2РтЯг,
ЕЕ 0—+ 4)) (1—2(
п
к
п=о кев(п)
2Ят
2 Р
2± т
которая для краткости названа функцией качества. Для вычисления функции качества обобщённой параллелепипедальной сетки М(Лт(р)) требуется 0(К(Рт,Ят)) арифметических операций, где N(Рт, Ят) — количество точек сетки М(Лт(р)). В работе [2] найден алгоритм вычисления функции качества за 0(\/N(Рт, Ят)) арифметических операций и сформулирована гипотеза, что можно построить алгоритм вычисления значений функции качества за 0(1пN(Рт,Ят)) арифметических операций.
Цель данной работы — построить такой алгоритм.
2
2. Преобразование функции качества
Для количества слагаемых в выражении для функции качества, которое обозначим через N = N(Р. где Р = Рт, = справедливо равенство N = N(Р. О) = 2Р<^. Наряду с обозначением Н(М(Лт(р))) будем использовать Н(Р. О):
^)=¿Щ, I1 -2 +*)У -2 - Ь
Нетрудно видеть, что
-<™ = ££' Е((1 -1)2 - (I)У
п=о кев(п) \ 4 ^7 4 7 /
Обозначим через Т(та) величину Т(та) = ^ . Ясно, что Т(та + О) = Р + Т(та). В работе [2] доказана теорема.
Теорема 1. Справедливо равенство
* С.« = £ (+ - + 2Е (1 + 2Т („) - 2 Т '">'Т "ПГ (") + 1) +
\ п=1 4
Т(п)(Т(та) + 1)(2Т(та) + 1)(3Т2(та) + 3Т(та) - 1) + 15Р4
-4^ (1 + 2Т(та.) - Т(")<Т(") +^)<2ТС) + 1>) +
+(I)2 (б(1+2Т (п)) - 2
Чта)3 4(1+2Т та)4 (1+2Т Н) ■
Это выражение и даёт алгоритм вычисления функции качества за (Рт. фт)) ариф-
метических операций.
3. Новое выражение для функции качества
В данном разделе покажем, что обобщённая параллелепипедальная сетка М(Лт(р) является параллелепипедальной сеткой.
Положим Ыт = 2Рттат и целое ат зададим равенством
ат — ^
2Рттат-1 - 1. при т— нечётном
2Рт(Ят - Ят~ 1) - 1. при т— чётном.
Теорема 2. Справедливо равенство М(Лт(р)) = М(ат.Мт), где параллелепипедальная сетка М(ат.Мт) задаётся равенством
»{■£. {ас})
та = 0,...,Мт - 1
т
Пусть т — нечётное число, тогда Рт^т-1 - Рт—1Ят = 1. Положим та = ЬРт + к(^т, где 0 < г < 2^т - 1 и к е В (та). Тогда
та = __к / атта\ = / (2РтЯт—1 - 1)(£Рт + к<тат)\
Мт 2^ т 2Рт I ^т I I ^т I
Преобразуем выражение под знаком дробной доли, получим:
J (2 Рт^т-1 - 1)(^Рт + = ^ (1 + 2-Рт-1^т)^Рт -
\ ^т /\ Nт / 2^т 2Рт'
т
Перейдем к случаю чётного т, тогда Рт^т-1 - Рт-1^т = -1. Далее имеем:
атта\ I (2Рт(тат ^т—1) 1)(^Рт + ктат)\ \ ( 2-Рт^т-1 Рт к {
ат та 1 Г (2Рт(^ т тат— 1 ) - 1)(* Рт + к та т)
I } = V
/V 2 Р
1ут 21 т
(-2(Рт— 1<2т - 1) - 1)^т к
т т
т— 1^т
— - > _ _ —
^ ^т 2Рт ) 2^т 2Рт
т
Теорема полностью доказана. □
Рассмотрим разложение Цр- в цепную периодическую дробь:
ат 1
Мт 1
Я1,т +--—
+ -
1
Ш—1,т +
Ш,т = ( т)
Для дальнейшего нам потребуются скобки Эйлера [61..... Ьп] (п), которые определяются рекуррентно
[]( —1) =0, [](0) = 1 [Ъ1..... Ьп\(п) = Ьп[Ь 1..... Ъп— 1](п— 1) + [ Ъ1..... Ъп—2](п—2) (та ^ 1).
В работе [1] для величин Нк, заданных равенствами
^ 2_!1 V2 Л_2Г
1 / \ 2 / Нк=«к^!1 - I1 - пж!
доказана теорема
Теорема 3. Справедливо равенство
щ = 1 + __! 10 + 5к ^ й---тар- +
^10 + 5 к +
V Л=1
1 /к к—1 ^ + тт 2£ 9Л (ЯлТк ,Л+1 + ^Л—2Тк,Л+1 + Ял—2Тк,Л—1) - 10 @Л—1 Тк,Л+1 \ Л=1 Л=1 /
Здесь через Тк,и обозначены величины Тк,и = [Ци+1..... Цк](к—и)-
к
Теорема 4. Для функции качества Н(М(Лт(р))) справедливо равенство
4 (________3(р2,ш + 0:1-1^+
т QH
1
+
Qi,
4 ( 1
Н (М (Лт (р))) = 1 + -10+ 51 + £ ql
01 т \ Х=1
( \+1 + Qx-l,mTi*x+1 + Qx-l,mTi*X-i) - X] Tl,X+1 ) 1 ,
V \=1 X=1 J J
где — \-ая подходящая дробь к числу (X = 0,1,..., I), Т*и = ^+1т,..., Я1,т](1 -и)-
Доказательство. В силу теоремы 2 утверждение теоремы следует из теоремы 3 заменой к на I, на , подходящих дробей и неполных частных к на соответствующие подходящие дроби и неполные частные к □
4. Заключение
Теорема 1 из работы [2] позволяет вычислять значение функции качества за
О (^Ы(Рт, Ят))
арифметических операций. Доказанная теорема 4 позволяет это сделать за
0(1п N(Рт,Ят))
арифметических операций.
Основным моментом в нашей работе было доказательство, что обобщённая параллелепи-педальная сетка, приближающая алгебраическую квадратичную сетку, является параллеле-пипедальной сеткой.
На тот факт, что сетка М (Лт (р) является параллелепипедальной, обратил внимание А. В. Родионов, за что выражаю ему свою благодарность.
Также выражаю свою благодарность научному руководителю профессору Н. М. Добровольскому за постановку задачи, полезное обсуждение и постоянное внимание к работе.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вронская Г. Т., Добровольский Н. Н. Отклонения плоских сеток, монография / под редакцией Н. М. Добровольского. Тула, 2012.
2. А. В. Михляева. Приближение квадратичных алгебраических решёток и сеток целочисленными решётками и рациональными сетками // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 3. С. 241-256.
REFERENCES
1. Vronskava, G. Т., Dobrovol'skii, N. N. 2012, "Deviations of flat grids, monograph edited by N. M. Dobrovol'skii. Tula.
2. A. V. Mikhlvaeva, 2018, "Approximation of quadratic algebraic lattices and nets by integer lattices and rational nets", Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 241-256.
Получено 15.11.2018 г. Принято в печать 10.04.2019 г.
