CC BY
10
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 20. Выпуск 1.
УДК 511.9 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-1-298-306
О неполных частных одной цепной дроби1
А. Н. Кормачева
Кормачева Антонина Николаевна — аспирант кафедры алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, г. Тула.
e-mail: juska789@mail.ru
Аннотация
Данная работа посвящена вопросам вычисления неполных частных разложения в
^ » т
цепную дробь, где ат и Кт параметры параллелепипедальной сетки, которая является приближением квадратичной алгебраической сетки рациональной сеткой.
Результаты данной работы позволяют реализовать быстрые алгоритмы вычисления функции качества этих рациональных приближений.
Ключевые слова: квадратичные поля, приближение алгебраических сеток, функция качества, обобщённая параллелепипедальная сетка.
Библиография: 27 названий.
Для цитирования:
А. Н. Кормачева. О неполных частных одной цепной дроби // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 1, с. 298-306.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 1.
UDC 511.9 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-1-298-306
About the partial quotients of one of the continued fractions2
A. N. Kormacheva
Kormacheva Antonina Nikolaevna^ Postgraduate Student, Department of Algebra, mathematical analysis and geometry, Tula State L. N. Tolstoy Pedagogical University, Tula. e-mail: juska789@mail.ru
Abstract
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №19-41-710004^р^а.
2 Acknowledgments: The reported study was funded by RFBR, project number 19-41-710004_r_a.
This paper is devoted to the computation of partial quotiens of decomposition of into a continued fraction, where am mid Nm are parameters of a parallelepipedal grid, which is an approximation of a quadratic algebraic grid by a rational grid.
The results of this work allow us to implement fast algorithms for calculating the quality function of these rational approximations.
Keywords: quadratic fields, approximation of algebraic grids, quality function, generalized parallelepipedal grid.
Bibliography: 27 titles. For citation:
A. N. Kormacheva, 2019, "About the partial quotients of one of the continued fractions" , Cheby-shevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 298-306.
1. Введение
В работе [3] рассматривалось квадратичное поле F = Q(V0> где р — простое число и р = 2 или р = 3 (mod 4). Для него кольцо целых алгебраических чисел Ър имеет вид: Ър = [п + k^pln, к £ Ъ}.
Через Л(^) обозначается алгебраическая решётка поля F:
Л(^) = [(в(1), в(2))|в = в(1) £Ър}
и в(1), в(2) — целые алгебраически сопряжённые числа.
Таким образом, eW = п + ку/р, в(2) = п — к^р п,к £ Ъ и в(1), в(2) — корни уравнения х2 — 2пх + п2 — рк2 = 0. Базис решётки Л(^) имеет вид: Л1 = (1,1) Л2 = (^р, —^р), а детерминант решётки de^(F) = Базис взаимной решётки Л*(^) имеет вид: АЦ = (2, 2), А* = , — и детерминант взаимной решётки de^*(F) = Рассмотрим разложение sjp в цепную периодическую дробь:
VP = Qo + [(91, ...,Qn, 2qo)} = qo +-^-.
Q1 +-
1
+-
1
2qo +-
1
41 + —
с периодом (q1,..., qn, 2q0). Через ^ обозначается m-ая подходящая дробь к yjp. Таким образом,
Рт ( 1)
л/р = 7Г + П2 " , 0 <вт < 1 (т = 0'^
Vт Vт
Через Лт(Р) обозначается алгебраическая решётка заданная равенствами: Ат(^) = {(Ят(п + к^р), Ят(п - к^р))\п, к £ Z} , а через Лт(р) — целочисленная решётка заданная равенствами:
Лт(р) = {(ЯтП + кРт, ЯтП - кРт)\п, к £ Z} .
Базис решётки Лт(Р) имеет вид Атд = (<^т,Ят), \т%2 = (Яту/р, —Ят^/р), а детерминант решётки ) = 2^т/Р- Базис взаимной решётки Лт(Р) имеет вид:
= {— —) * = (
1 \2Я т т
\* — лт1 =
/Р /Р
2Я т т т т
и детерминант взаимной решётки ((еЛЛт(Р) =
Для целочисленной решётки Лт(р) базис имеет вид Ат,1,г = (Ят,Ят), А —Рт), а детерминант решётки ёе^т(р) = 2фтРт. Базис взаимной решётки Лт(р) имеет вид:
1 1 \ ^ ( 1 1
лт
—, —) , ={ —, — — ) , \2Ят 2Ят / ' ' \2Рт 2Рт)
и детерминант взаимной решётки ёе^т(р) = 2р я • Рассмотриваются следующие две сетки:
М1(Лт(Р)) = Л*т(Р) П [—1; 1)*, М(Лт(р)) = Л*т(Р) П [0; 1)а
Нетрудно видеть, что
М1(Лт(Р)) =
-2Р,
{(
п
+
/рк
п
А(п) = М (Лт(р)) = В (п) = < к
2Я т т т
< к < 2Рт,
/рк\ 2рЯт/
к е А(п), \п\ < 2дт — 1
_2 р I РтП < Ь. < 2 Р _ Рт'п
21 т + я < ™ < 21 т я ,
Ят Яп
-2Рт-^ < к < 2Рт-КИ
О» _ Р-т'п
21 т я
Ят
{У
т
к
п
2Рт 2Яг,
2Я
к = 0,
Ртп ^ ъ ^ Ртп
т'
_к_ 2Р
т
при п = 0,
при п = 1,... 2Ят — 1, при п = —1,... — 2Ят + 1;
к е В(п), 0 < п < 2<^т — 1
Яп
—2Р
2± т
+ р^п < к < 2Р„
при п = 0,
при п = 1,... — 1, — Р^п, При П = Ят,... 2Ят — 1;
Хорошо известно, что граничной функцией класса Е2 для параллелепипедальных
сеток является функция Н(х, у) = 9(1 — 2{х})2(1 — 2{у})2, поэтому для оценки качества сетки М(Лт(р)) в работе [3] предложено использовать функцию
2 <?т-1
Н (М (Лт(р))) =
2РтЯг,
ЕЕ 0—^ + £)) (1—2(
п
к
п=о кев(п)
2Ят
2 Р
т
которая для краткости названа функцией качества. Для вычисления функции качества обобщённой параллелепипедальной сетки М(Лт(р)) требуется 0(К(Рт^т)) арифметических операций, где N(Рт, Qт) — количество точек сетки М(Лт(р)). В работе [3] найден алгоритм вычисления функции качества за О(у/М(Рт0т)) арифметических операций, а в работе [4] построен алгоритм вычисления значений функции качества за 0(1п N(Рт^т)) арифметических операций. Центральным моментом в этой работе было доказательство, что обобщённая параллелепипедальная сетка, приближающая алгебраическую квадратичную сетку, является параллелепипедальной сеткой. Оптимальный коэффициент ат по модулю Мт = 2PтQт в этой работе задавался по формуле
—
2PтQт-l — 1, при т— нечетном
2Рт(Ят — Qт-l) — 1, при т— четном.
)
2
9
Цель данной работы — найти неполные частные разложения в цепную дробь:
_ 1
^ =
длины I = 1(т).
Qi,m +
1
+
1
Ql-\,m +
Qir
2. Сведения из теории цепных дробей квадратичных иррацио-нальностей
В этой работе нас будет интересовать только цепная дробь для ^Jp. Согласно теории (см. [2], стр. 104, 111,112) для простых вида р = 3 (mod 4) цепная дробь для ^Jp имеет вид
VP = Qo,qi,...,Qk,qk+i,qk,
,qi, 2qo
шп = 2к + 1 где к может быть любым целым числом к ^ 0. Отсюда следует, что произвольная подходящая дробь ^^ к числу /р имеет вид
Ei
Q
т т
[q0^ qm\m+l)
[qi^..,, qm] (т)
где скобки Эйлера [Ь]^,..., Ьп](п), определены рекуррентно
[](-i) = 0, [](о) = 1 [bi,...,bn\(n) = bn[bi,...,bn-i\(n-i) + [bi,...,bn-2](n-2) (п ^ 1)
и неполные частные qu заданы равенствами
qv
qo, при v = 0
qv, при 1 ^ v ^ 1 + к
qn+i-u, при 2 + к ^ v ^ п
2qo, при V = п + 1
q(™+i){ ^r }, при {Т+Л } > 0 f
2qo, при ш=0.
Напомним, что справедливо равенство
Qm-i _ . . . ,qm-i](m-i)
Qn
[qi,qm}(m)
qm +
+
1
1
q2 +--
ql
3. Случай нечетного номера подходящей дроби
Если т, — нечетное, то
N.~
2PmQm-i — 1 Qm-1 2Рт
2PmQr,
Qn
1
1
1
Положим Ки = Ят-и + ( ^ ч™ 1р-,Ят+2 и!); (0 у т + 1). Ясно, что
К0 = Qт, К1 = Ят-1 — 771-, = К,
2-Тт Мт К
„ [ Ят, Ят-1 ..., Я2 ](т-1) „ _ [Ят,, Ят-1 ..., Я1](т) _ Яг, Кт = 1---, Кт+1
2Рт 2 Рт 2Рт
Лемма 1. Справедливы равенства Ки = ят-иКи+1 + Ки+2, (0 ¡у ^ т — 1). Доказательство. Действительно, при у = 0 имеем:
К0 = Ят = ЯтЯт-1 + Ят-2 = Ят — —+ К2 — --^-— = ЯтК1 + К2
2 Р
т 21 т
и утверждение верно при у = 0. Далее имеем при у > 0:
К =п +( — 1У [Qт, Ят-1 ..., Ят+2-и ](и-1)
2±т
и Г
= п +г ( — 1)и Ят-1 ..., Ят+2-и ](и-1)
— Ят-и^т-и-1 + ^т-и-2 +
2 Р
21 т
( —1) U+1[Qт, Ят-1 ..., Ят+1-и](иЛ ( —1) U+'2[Ят, Ят-1 ..., Ят-и](и+1)1 = Ят-и I Ки+1--2р- I + Ли+2----г
-V \ ± + 1 „ 7-, I I — -V +2 ^ т-у
т I 2-^т
( — 1)и [ Ц_т,, Ят-1 ..., Ят+2-и \(и-1) „ , „ +--72~Б- = Ят-иКи+1 + Кv+2,
2 ¿т
так как
□
Ят-и[ Ят, Ят-1 . . . , Ят+1-и\( и) + [ Ят, Ят-1 . . . , Ят+2-и](и-1) = [Ят, Ят-1 . . . , Ят-и ](и+1).
Лемма 2. Справедливо равенство
2 РтЯт-1 1 1
2РтЯт
т+
т- 1 +
1
+ -
Кт+1
Я1 +
Кт
Доказательство. Так как
2РтЯт-1 1 _ Ят-1 2Рга
2РтЯт Ят К0
1
1
то по лемме 1 последовательно получим:
2РтЯт—1 1 2РтЯт
1
Я2
Ят +
Щ
дт +
1
+ Ка
Ят-1 + -ТГ-Щ2
Ят +
1т-1 +
+
Чт—и +
Щи+2
Ят +
(1т— 1 +
+
1+
Щт+1
и лемма полностью доказана. □
Лемма 3. Справедливо равенство
Щт+1
2 до +
1+
0_т
Доказательство. Действительно, Ят = [д 1,..., дт](т), Р„ ЦоЯт + [ <12, дт\(т—1)-Отсюда следует, что
= [ q0, .. дт](т+1) И Рт =
Щт+1
Qm 2Рт
Яп
Яп
т 1 _ [дт,дт-1...,д2](т-1) 2Рт - [ дт, qm—l..., д2](т—1) 2 доЯт + [ дт, дт—1 ..., Ч2](т—1)
2Рт
Далее получим:
Щт+1 = _1_ = _
Щт [ дт-, Ят—1 0.2](т—1) п
2 до +--;-;- 2 до +
[ gm, дт—1 Ч1\(т)
1+
1
1
+ -
дт
□
Теорема 1. При нечетном т справедливо равенство
Ж
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
т+
т 1 +
+
1+
2 +
1+
т
□
4. Случай четного номера подходящей дроби
Если т — четное, то
2РтЯт — 2РтЯт-1 — 1 Ят Ят-1 2Рт
мп
2 РтЯг,
Ят
1+
Ят— 1 + 2Р
Ят Ят— 1 21
2 рт.
т = 1 т > 1
т>1
1
Ят— 1 + 2 Р
1 + _2 рт_
Ят Ят— 1 2Рт
1+
т 1 +
о о__
Чт~2 2Рт
Ят— 1 + ор
Продолжая разложение, получим
П 0__2ш_
Чт~2 2Рт
Ят-1 + 2Р^
0>т
ж.
1+
^ + [ ^^m, Чт-1 ] (2) 1
Чт— 3 + 2Р
2 Рт.
т 1 +
п о__2ш_
Чт~2 2Рт
т 1 +
п о__2ш_
Чт~2 2Рт
Ят-1 + 2Р.~
1+
т 1 +
^ + [Ят ,дт-1](2) Чт— 3 + 2Р
2 Рт.
т 1 +
о о__2ш_
Чт~2 2Рт
т=1
&т
Ж,
Qт— 1 + 21
2 Рт
1+
Qт—2 21
2 Рт
1 + т 1 +
Ят-3 +
1+дт-1
2 Рт
Qт—2 2Р
2 Рт
1 + т 1 +
^ + [Чт ,дт-1] (2) ' Чт-3 + 2Рт
о О__2ш_
Чт~2 2Рт
1
1
1
1
1
1
1
1
1
а
т
1
а
т
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Положим К* = Ят—и _ ( ^ V(2 ^ у ^ т + 1). Ясно, что
Ят
К* = 1 -
А. Ьгт -1-
К* = Ят-2 _ 2р , 2 Рт
[Ят- Ят-1 . . . , Я2](т-1)
К* = Ят-3 +
[Ят, Ят-1] (2)
2 Р
ту* _
Кт+1 =
[Ят- Ят-1 Я1](т) _ Яг,
ор ' Ш+1 пр 9р
2гт 2гт 2гт
Лемма 4. Справедливы, равенства К* = Ят-иК*+1 + К*+2, (2 ^ у ^ т — 1). Доказательство. Действительно, при у > 1:
К* — Ят—и
( — 1)и [Ят- Ят-1 . . . , Ят+2—и](и—1)
2 Р
2Р п
— Ят—иЯт—и—1 + Ят—и—2
( —[Ят-, Ят-1 . . . - Ят+2—и](и—1)
(
( — 1)и+1[Ят- Ят-1 . . . - Ят+1—и](и)
Ят—и К*+1 +
2 Р
)
2 Р
А! ю
+ К+2 +
( —+2[Ят- Ят-1 . . . - Ят-и](и+1)
2 Р
2Р п
( —[Ят- Ят-1 . . . - Ят+2—и](и—1)
2 Р
= Ят—иК*+1 + К*+2-
так как
□
Ят-и[ Ят- Ят-1 . . . - Ят+1—и ](^) + [ Ят- Ят-1 . . . - Ят+2—и ](и—1) = [Ят- Ят-1 . . . - Ят-и +1).
Нетрудно видеть, что справедливы равенства
1
-, при Ят > 1
1+
Ят — 1 +
=
I 3
Ят-1 + "Т^Т
Ко
1
К*'
1 + Ят-1 + К* К*
при Ят = 1.
Ясно, что второе получается из первого при Ят = 1- Повторяя дословно рассуждения из предыдущего раздела, получим следующую теорему.
Теорема 2. При четном т справедливо равенство
Ят — 1 +
Ят-1 +
1
+
2 Я0 +
Ят
1
1
а
т
1
1
1
1
1
1
1
5. Заключение
Пусть а — произвольная вещественная иррациональность и решётка Л(а) задана равенством
Л(а) = {(п + ка, п — ка)\п, к е Z}.
Пусть обозначает т-ю подходящая дробь к а. По аналогии с квадратичным случаем можно рассмотреть сетку
М (Лт(а)) =
{(
п
+
к
п
2Qm 2Рт 2Qm
2 Р
2 Р т
к е в(п), 0 < п < 2Qm — 1
В (п) = < к
к = 0,
ртп < к < РтП
— < к < тпт,
т'ь < к < гт
Qm Qm
-2Рт + Q1 < к < 2Рт - Q1, при п = Q.
Q
п = 0, при п = 1,... Qm — 1,
. . 2Qm 1;
Из результатов А. В. Михляевой [4] следует, что это всегда будет параллелепипедальная сетка. Качество этой сетки можно рассчитать с помощью быстрого алгоритма из работы [1]. Доказанные теоремы 1 и 2 дают всю необходимую информацию для этих алгоритмов.
Выражаю свою благодарность научному руководителю профессору Н. М. Добровольскому за постановку задачи, полезное обсуждение и постоянное внимание к работе.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОИ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вронская Г. Т., Добровольский Н. Н. Отклонения плоских сеток, монография / под редакцией Н. М. Добровольского. Тула, 2012.
2. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. — М.: Наука. 1965 г. — 176 с.
3. Михляева А. В. Приближение квадратичных алгебраических решёток и сеток целочисленными решётками и рациональными сетками // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 3. С. 241-256.
4. Михляева А. В. функция качества для приближения квадратичных алгебраических сеток // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 1. С. 307-312.
REFERENCES
1. Vronskava, G. Т., Dobrovol'skii, N. N. 2012, "Deviations of flat grids, monograph" , edited by N. M. Dobrovol'skii. Tula.
2. Davenport, H., 1965, "The higher arithmetic" , Moscow, Nauka — pp. 176.
3. Mikhlvaeva, A. V., 2018, "Approximation of quadratic algebraic lattices and nets by integer lattices and rational nets", Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 241-256.
4. Mikhlvaeva, A. V., 2019, "Quality function for the approximation of quadratic algebraic nets" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 307-312.
Получено 25.12.2018 г. Принято в печать 10.04.2019 г.
