CC BY
14
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ
ФИЛЬТРАХ ШРЁДИНГЕРА Григоров И.В.1, Акимова А.М.2, Нефедова Е.С.3, Сацута Е.С.4,
Харчилава А.З.5
1 Григоров Игорь Вячеславович - доктор технических наук, доцент; 2Акимова Анна Михайловна - студент; 3Нефедова Екатерина Сергеевна - студент, кафедра теоретических основ радиотехники и связи; 4Сацута Евгений Сергеевич - инженер-программист, управление информатизации; 5Харчилава Андрей Захарович - аспирант, кафедра теоретических основ радиотехники и связи, Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики,
г. Самара
Аннотация: в статье анализируется преобразование спектральных характеристик простейших детерминированных сигналов - гармонического и импульсных различных форм - в так называемых нелинейных фильтрах Шрёдингера (НФШ). При анализе спектра гармонического сигнала, преобразованного НФШ, используется
что
свойствами
классический метод кратных углов, а импульсного что амплитудный спектр импульсных сигналов треугольной форм, преобразованный в НФШ совпадает по форме с входным импульсом преобразования Френеля.
Ключевые слова: нелинейный фильтр Шрёдингера, оптимальная нелинейность, квадратурный расщепитель, функция Бесселя, гауссовский импульс, супергауссовский импульс, метод кратных углов, преобразование Френеля.
- прямой метод Фурье. Показано, гауссовской, супергауссовской и с оптимальной нелинейностью, обусловлено
В [1-3] рассматривается относительно новый класс фильтров, реализуемых как в аналоговой, так и цифровой формах, называемый нелинейными фазовыми фильтрами (НФФ), или нелинейными фильтрами Шрёдингера (НФШ). В общем случае НФШ состоит из последовательного соединения нелинейного (НЗ - «Н») и линейного (ЛЗ -«О») фазовых звеньев - рис. 1:
н
н
н
Рис. 1. Структурная схема многозвенного нелинейного фильтра Шрёдингера (НФШ)
Отношение комплексных огибающих сигналов на выходе У(т) и входе
НЗ будем называть коэффициентом преобразования мгновенных значений по комплексной огибающей. В общем случае он имеет вид:
(1)
где f (^) - некоторая нелинейная функция, определяющая вид нелинейности
НЗ. Ниже будем рассматривать два вида нелинейности - квадратичную и логарифмическую. Их свойства описаны в [3].
8
Каждое из ЛЗ реализует преобразование Френеля на временной оси и описывается передаточной функцией:
= ехр( -¿аДгц»2)
(2)
или импульсной характеристикой:
ё(т) = ёо ехР
С
.ат 1-
V 2 ,
(3)
где а, а, Дп и ё - постоянные коэффициенты:
1
а =
(4)
ёо
2аА^ 1 (. 3
ехр
V
(5)
В простейшем случае НФШ содержит два звена - НЗ и ЛЗ. С целью изучения общих свойств таких НФШ представляет интерес задача анализа преобразования амплитудного и фазового спектров (в первую очередь, амплитудного) простейших сигналов в НЗ и в НФШ в целом. Представим входной комплексный сигнал через действительную и мнимую части:
Щ) = Z(t)QЪ(0) = (0 + I у2 (0 , (6)
здесь
Х (г) = 1(г) СОБ ф2 (г)] уг (г) = % (г) 81п ф2 (г)
(7)
- его квадратурные компоненты. Такой сигнал соответствует узкополосному квазигармоническому сигналу, преобразованному квадратурным расщепителем [4]:
2 (г) = 1 (г )соБ (ю0 г+фг (г))
Рис. 2. Квадратурный расщепитель и сигналы на его входе и выходе Найдем комплексную огибающую сигнала на выходе НЗ:
где
х^ (г) = 1 (г )со8 [ / (1 (г) ) + Фг (г) ]] у^ (г) = 1 (г)8хп [ / (1 (г) ) + Ф2 (г) ]]
- квадратурные компоненты выходного сигнала. Рассмотрим простейшие частные случаи.
Пример 1: пусть огибающая входного сигнала <?(/) является действительной гармонической:
(9)
¿(7) = Z(t)cos(D()t = ипсоъШ созсо^, (Ю) ¿(г) = г(г) = х2(г) = ипсозПг. (11)
Рассмотрим преобразование этого сигнала в НЗ с квадратичной нелинейностью:
f ( 2 ) = у| 2, (12)
здесь у - коэффициент нелинейности. Квадратурные компоненты выходного сигнала имеют вид
%(t) = Z(t)cos Y|Z(t)|2] = Z(t)cos ^yü¡2cos2Qt], Уи (t) = Z (t )sin [ y | Z (t)|2 ] = Z (t)sin [y üQcos2 Qt ].
(13)
(14)
Найдем амплитудный спектр компоненты (?) методом кратных углов [5]: X; (^) = 2 ^ )ео8
U + U cos2Qt'
Yü2
= Z (t) cos—- cos
U cos2Qt
Yü2
- Z (t) sin-—-sin
yuQ
cos2Qt
(15)
Обозначим Y ü¿/2 = M и воспользуемся известными разложениями косинуса и синуса по функциям Бесселя [5]:
w
cos(z cose) = J0 (z) + J2i (z)cos2k9 > (16)
K=1
w
cos (Mcos2Qt) = J0 (M ) + 2^(-1)k J2/t (M ) cos4kQt =
K=1
= J0 (M) - 2J2 (M) cos4Qt + 2J (M) cos8Qt - 2J6 (M) cos12Qt +... (17)
sin ( zcos9) = -2^(-l)k ( z ) cos ( 2k -1)9
(18)
K=1
sin (M cos 2Qt) = -2¿ (-l)k ! (M ) cos(2k - 1)2Qt =
K=1
= 2J (M) cos2Qt - 2J3 (M) cos6Qt + 2J (M )cos10Qt - 2J (M )cos14Qt +. Обозначим:
(19)
^Qcos
Yü,
Q
Л;
^Qsin
Yü,
Q
5 .
(20)
2 Q 2 хи (t) = Л cosQt cos (M cos2Qt) - B cosQt sin (M cos2Qt) =
= Л J (M) cosQt - Л J (M) cos3Qt - Л J (M) cos5Qt + Л J4 (M) cos7Qt +
+AJa (M) cos9Qt - AJ6 (M) cosí 1Qt - AJ6 (M) cos13Qt + . - BJ1 (M) cosQt --BJ (M) cos3Qt + BJ3 (M) cos5Qt + BJ3 (M) cos7Qt - BJ (M) cos9Qt --BJ (M) cos11Qt + BJ (M) cos13Qt + BJ (M) cos15Qt - . (21)
Таким образом, спектр квадратурной компоненты Xц (t) содержит бесконечный ряд гармоник с нечетными номерами, амплитуды которых зависят от амплитуды
2
2
2
входного сигнала и^ и параметра нелинейности у . Выпишем значения их частот и соответствующих амплитуд:
1) | АЗ0 (М) — ВЗ (М)| - амплитуда 1 гармоники;
2) 3^: |—АЗ2 (М) — ВЗ (М)| - амплитуда 3 гармоники;
3) 5^: |—АЗ (М) + ВЗ (М)| - амплитуда 5 гармоники;
4) 7^: | АЗ4 (М) + ВЗ (М)| - амплитуда 7 гармоники;
5) 9^: | АЗ4 (М) — ВЗ (М)| - амплитуда 9 гармоники;
6) 1Ш: |—АЗ (М) — ВЗ (М)| - амплитуда 11 гармоники;
7) 13^: — АЗ (М) + ВЗ (М)| - амплитуда 13 гармоники (22) и т.д.
Аналогично можно показать, что спектр квадратурной компоненты уи (?) также содержит бесконечный ряд гармоник с нечетными номерами:
1) |ВЗ0 (М) + АЗ (М)| ;
2) 3^: |—ВЗ (М) + АЗ (М) ;
3) 5^: |—ВЗ (М) — АЗ (М)|;
4) 7^: |ВЗ4 (М) — АЗ (М)|;
5) 9^: |ВЗ4 (М) + АЗ (М)|; 6) 1Ш: |—ВЗ (М) + АЗ (М)|;
7) 13^:
—ВЗ (М) — АЗ (М)| (23)
и т.д.
Очевидно, что фазы гармоник квадратурных компонент или равны нулю, или равны , в зависимости от знаков перед коэффициентами А и В и знаков значений функций Бесселя.
Зная амплитуды гармоник квадратурных компонент, можно найти амплитуды гармоник действительной огибающей и(? ) :
1) АЗ (М) — ВЗ (М)]2 + [ВЗ (М) + АЗ (М)]2 =
= ^А2З\ (М) — 2АВЗ (М)З (М)+ВгЗ\ (М)+ВгЗ\ (М) + 2АВЗ0 (М)З, (М)+А2З\ (М) = = А2 + В2) З \ (М) + (А2 + В2) З \ (М).
Поскольку
А2 + В2 = и2соб2М + и^т2М = и2,
искомая амплитуда первой гармоники огибающей:
1) Q: UJ0 (M) + J2 (M) .
Аналогично можно найти амплитуды высших гармоник:
2) 3Q: U(1У] J2 (M) + J22 (M) :
3) 5Q: U^ J\ (M) + J2 (M) :
4) 7Q: U^ J2 (M ) + J2 (M) :
7)
13Q: UQ>/ J2 (M) + J2 (M)
(24)
и т.д.
Амплитуды и фазы гармоник комплексной огибающей (/(/) можно найти сразу
без разложения на квадратурные компоненты используя разложение комплексной экспоненты в ряд по функциям Бесселя [6]:
U{t) = Z(0exp(iy[/^cos2Q?) = Z(0exp(iM)exp(iMcos2Q?);
да
exp(i z cos(t)) = J0 (z) + kJk (z)cos(kt);
k=1
да
exp (i M cos(2(t) ) = J0 (M ) + 2^ikJ (M ) cos ( k 2(t) =
k=1
Щ) = иа ехр(1М)с08О? [(М) + 2их (М)со$(2Ш) -...] =
Таким образом, амплитудный спектр комплексной огибающей (/(/) содержит гармоники с частотами и амплитудами:
1) О: и^З02 (М) + З2 (М) ~
2)3О: и^З2 (М) + З22 (М) (25)
7)13ОТ: ип д/З2 (М) + З2 (М) а ее фазовый спектр:
1) : М + аг^
2)3^: М - аг^
7)13^: М + аг^
Л (м)л Л (м), Л (м)л /2 (М),
/ 7 (М )
/ 6 (м)
На рисунках 3 - 6 показаны соответственно гармонический сигнал на входе НЗ с квадратичной нелинейностью, действительная часть сигнала на выходе НЗ и амплитудные спектр огибающей этого отклика при разных коэффициентах нелинейности у.
-1 0.3 а о.5
Рис. 3. Гармонический сигнал на входе НЗ с квадратичной нелинейностью
Рис. 4. Действительная часть сигнала, преобразованного в НЗс квадратичной нелинейностью
(У = 1) 13
1т
Рис. 5. Амплитудный спектр огибающей сигнала, преобразованного в НЗ с квадратичной
нелинейностью (у = 1)
1 Тт».
Рис. 6. Амплитудный спектр огибающей сигнала, преобразованного в НЗ с квадратичной
нелинейностью (у = 2)
На рисунках 7-9 приведены аналогичные сигналы и спектры для НЗ с логарифмической нелинейностью при разных коэффициентах а.
Рис. 7. Действительная часть сигнала, преобразованного в НЗ с логарифмической
нелинейностью (а = 1)
Рис. 8. Амплитудный спектр огибающей сигнала, преобразованного в НЗ с логарифмической
нелинейностью (а = 1)
Рис. 9. Амплитудный спектр огибающей сигнала, преобразованного в НЗ с логарифмической
нелинейностью (а = 2)
Приведенные результаты описывают преобразование спектра гармонического сигнала только в нелинейном звене НФШ. Но, поскольку линейное звено является фазовым, то амплитудный спектр сигнала на его выходе будет таким же, как и на выходе НЗ, а изменится только фазовый спектр.
Пример 2: рассмотрим теперь преобразование спектров непериодических импульсных сигналов в НФШ. Как было показано в [3], НФШ может быть использован для сжатия во времени таких сигналов. Нелинейность НЗ, обеспечивающее наилучшее сжатие, называется оптимальной. При этом, отклик НЗ с оптимальной нелинейностью на произвольный сигнал имеет вид [3]:
Г аГ2Л
У(/) = 2(/)ехр -1 —
V 2 У
Найдем комплексный спектр такого сигнала:
^ (¿ю) = | У(/)ехр(—= | ¿(7) ехр
-1 —
ехр(-1 со/)*// =
= | ¿(/)ехр
-1
V
аГ
+ ю/
& •
После приведения выражения в квадратных скобках к полному квадрату суммы получим:
(1 ю) = ехр
ю 2 а
| ¿(7) ехр
-1
2Л
& •
(27)
У
Интеграл, входящий в преобразованием Френеля
полученное выражение, совпадает по форме с функции Аналитически этот интеграл
вычислить сложно. Поэтому для анализа спектров различных сигналов его проще вычислить численно. На рисунке 10 приведена временная диаграмма супергауссовского импульса
Г
2 (г) = и ехр
^ t
\Хш у
(28)
^ V <* У J
(Ц - показатель супергауссовости; при Ц = 1 импульс переходит в гауссовский)
на входе НЗ, на рисунке 11 - диаграмма действительной части сигнала, преобразованного НЗ с оптимальной нелинейностью, а на рисунке 12 приведен амплитудный спектр этого сигнала. Очевидно, что этот спектр совпадает по форме с входным импульсом, что обусловлено известным свойством преобразования Френеля [7]. Как уже было отмечено, амплитудный спектр сигнала на выходе НФШ будет таким же, как и на выходе НЗ, так как линейное звено НФШ является фазовым.
ад
ад
Рис. 10. Супергауссовский импульс (показатель супергауссовости д = 4) на входе НФШ
Рис. 12. Амплитудный спектр супергауссовского импульса на выходе НФШ с оптимальной
нелинейностью
На рисунках 13 - 15 приведены аналогичные графики для треугольного импульса.
Рис. 14. Действительная часть треугольного импульса на выходе НЗ с оптимальной
нелинейностью
Рис. 15. Амплитудный спектр треугольного импульса на выходе НФШ с оптимальной
нелинейностью
Для нелинейности НЗ другого вида задача спектрального анализа отклика НФШ решается сложнее. Поэтому здесь также целесообразнее использовать численные методы. На рисунках 16 - 18 приведены аналогичные графики для гауссовского импульса, преобразованного в НФШ с квадратичной нелинейностью.
-4-2 0 2 4
Рис. 16. Гауссовский импульс на входе НЗ с квадратичной нелинейностью
-4-3 0 2 4
Рис. 17. .Действительная часть гауссовского импульса на выходе НЗ с квадратичной
нелинейностью
Рис. 18. Амплитудный спектр гауссовского импульса на выходе НФШ с квадратичной
нелинейностью
Как и следовало ожидать, последний график аналогичен спектру оптического импульса, преобразованного оптическим волокном, работающем в нелинейном режиме [8].
Список литературы
1. Григоров И.В., Широков С.М. Применение теории нелинейных волновых процессов в радиотехнике и телекоммуникациях. М.: Радио и связь, 2006. 351 с.
2. Бурдин В.А., Григоров И.В. Электронная компенсация в волоконно-оптических линиях передачи на основе нелинейных фазовых фильтров // T-Comm. Телекоммуникации и транспорт, 2013. № 5. С. 18-24.
3. Григоров И.В. Применение нелинейных унитарных преобразований в задачах обработки сигналов // Успехи современной радиоэлектроники. Сер. Зарубежная радиоэлектроника, 2007. № 4. С. 13-21.
4. Прокис Д. Цифровая связь: пер. с англ. под ред. Д.Д. Кловского. М.: Радио связь, 2000. 800 с.
5. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука, 1965. 780 с.
6. Маделунг Э. Математический аппарат физики. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961. 620 с.
7. Залманзон Л.А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применения в управлении, связи и других областях. М.: Наука, 1989. 496 с.
8. Ахманов С.А., Выслоух В.А., Чиркин А.С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. М.: Наука, 1988. 312 а
