Оптимизация параметров двумерных нелинейных фильтров Шрёдингера в задаче улучшения фокусировки точечных изображений Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДВУМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ФИЛЬТРОВ ШРЁДИНГЕРА В ЗАДАЧЕ УЛУЧШЕНИЯ ФОКУСИРОВКИ ТОЧЕЧНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ Чапов А.А.1, Григоров И.В.2

'Чапов Антон Александрович — магистрант;

2Григоров Игорь Вячеславович — доктор технических наук, профессор, кафедра теоретических основ радиотехники и связи, Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики,

г. Самара

Нелинейные фильтры Шрёдингера (НФШ) представляют собой сравнительно новый класс устройств цифровой обработки сигналов и могут использоваться для решения различных радиотехнических задач, таких как подавление негауссовских импульсных помех [1], компенсация дисперсии сигналов [2] и др. Простейший одномерный НФШ состоит из двух последовательно соединенных звеньев - нелинейного (НЗ) и линейного (ЛЗ). Эти звенья имеют соответственно коэффициент преобразования мгновенных значений по комплексной огибающей 2(1):

И(1 ) = ехр(1 / (I)) (1)

и импульсную характеристику:

g (0 = go exP

fi a (t -10)2Л 2

(2)

v J

здесь a, go , t0 - постоянные коэффициенты, f (Z) - функция, определяющая вид нелинейности фильтра. Из (2) следует, что ЛЗ реализует преобразование Френеля на временной оси. В операторной форме преобразование сигнала в НФШ можно записать:

£ = фz = GHz, (3)

где z - вектор отсчетов входного сигнала z(t) , H и G - операторы НЗ и ЛЗ, Ф = GH - оператор НФШ в целом.

На рисунке 1 изображена структурная схема простейшего двухзвенного НФШ.

Рис. 1. Структурная схема двухзвенного НФШ

Наиболее просто его можно реализовать в цифровой форме путем обработки отсчетов комплексной огибающей входного сигнала. НЗ, независимо от вида функции /(2), входящей в (1), реализуется простым умножением этих отсчетов на комплексные числа, модуль которых равен единице, а аргумент зависит от модуля входного отсчета.

Линейное звено с импульсной характеристикой (2) физически не реализуемо. Для приближенного обеспечения его физической реализуемости в (2) необходимо ввести функцию

окна (У) и задержку ^, которую обычно выбирают равной половине длительности окна

(кроме того, временную переменную X заменим на ^ ):

g (t) = go(t )exP

a (t - to)2^

(4)

V /

Для примера на рисунке 2 изображены действительная и мнимая части импульсной характеристики ЛЗ, ограниченной модифицированным окном Ханна («Иапш^») [1].

а)

б)

Рис. 2. Действительная (а) и мнимая (б) части импульсной характеристики линейного звена НФШ, ограниченные модифицированным окном Ханна

Работа НФШ основана на временном сжатии импульсных сигналов: НЗ развивает внутри импульса z(t) с комплексной огибающей Z(t) частотную модуляцию, закон изменения которой

определяется формой входного импульса и функцией /(г), а ЛЗ - сжимает во времени модулированный импульс аналогично согласованному фильтру [3].

Как показано в [4], возможна и двумерная реализация НФШ. При этом коэффициент преобразования мгновенных значений НЗ вида (1) не изменяется, а двумерный аналог импульсной характеристики ЛЗ имеет вид:

'.а ((х - х0)2 + (у - у0)2 ) >

Я(X У) = ЯоехР

2

(5)

Ч У

При цифровой реализации двумерное ЛЗ (двумерное дискретное преобразование Френеля), также, как и в одномерном случае, удобнее реализовать, используя алгоритмы прямого и обратного двумерного БПФ [5].

В [4] двумерный вариант НФШ (ДНФШ) использовался для подавления импульсных помех на изображении. В [6] рассмотрена задача улучшения фокусировки точечных изображений с применением ДНФШ и решена задача его детерминированной оптимизации при гауссовской функции рассеяния точки (ФРТ). Поскольку параметры искажающей среды не являются постоянными, а флуктуируют случайным образом, возникает задача двумерной стохастической оптимизации параметров НФШ. Решим ее методом, описанным в [4]. В этой статье показано, что для минимизации размера элемента изображения на выходе двумерного НФШ требуется обеспечить максимум модуля его отклика в центре элемента изображения

(

У(хо, Уо) = Яо Я г (л, 5) ехР] 1 /(г (л, 5))

(л,5)

+

а(л2 +5 V

(6)

Этот максимум достигается при условии

Л Л

/ (г (л, 5))+ =о

или, вводя обычные пространственные координаты,

..2 , „2^

/ (г (х, у))=- ^^. (8)

Из (8) следует, что вид оптимальной нелинейной функции /(г) зависит от параметров ФРТ г (X, у). Если они случайные, необходимо искать максимум функционала (6) путем его

усреднения с учетом их распределений. Удобнее решать эту задачу для квадрата величины (6), которая физически представляет собой пиковую мощность отклика в центре элемента изображения:

Pu = V (Уо )| =

(9)

d©,

= |gol2 Jw(©) J exp|ia(x° + Уо) + if [u(Хо,Уо,©)]| и(Хо,Уо,©)dxdy

здесь w(©) - многомерная плотность вероятности вектора случайных параметров, R -

область их определения.

В этом случае задача оптимизации сводится к вариационной задаче поиска экстремума нелинейного функционала (9). Для практических целей можно ограничиться параметрической оптимизацией. Пусть искомая функция f (Z) аппроксимирована некоторым аналитическим

выражением f (и, в) , содержащим вектор неизвестных параметров в . Подставляя указанное

выражение в (9) и приравнивая к нулю его частные производные по параметрам Р^. , получаем систему уравнений для их оптимальных значений

Jw(©)ReJ J exp^'Ф(x,©)-iФ(y,©)} V(x,©)V*(y,©)x

X Y

(10)

f [V (x, ©), в]'

Щ

dx dy d© = о,

где

(11)

ф(5, ©) = а|-+/ (v, р)+фг (t)

к = 1, 2.. .и; п - число параметров.

Одной из наиболее универсальных является аппроксимация искомой функции степенным полиномом:

f (V, в ) = ZPk\v\k

(12)

к=1

Подставляя (12) в (11) и линеаризуя полученные уравнения путем разложения экспоненты в ряд, после ряда преобразований можно получить систему линейных алгебраических уравнений вида

п

Z ajkPk = bj j = 1,2,..Л,

(13)

k=1

где

2

R

а1к =

Ке

ехр

1 а (х2 - .у2)

[ V.

1+к+2

М

1+к+2

] ёхёу

(14)

Ь = Ке

/Хехр

XY

ia (- у2)

. ёх ёу

(15)

V.+к+2

М.+к+2 (х, у) = / V (х, ®)1+кУ(х, в)кУ* (у, в) Цв) с®, (16)

я

(х, у) = | V (х, в)'V(у, в)к V(х, в) V* (у, в) ц(в) (17)

я

^■+2(х,у) = | «(х,в)«х,в)и*(у,в)ц(в)ёв. (18) я

Аналитическое вычисление указанных моментных функций и коэффициентов (14) и (15) возможны только для ФРТ простых форм (например, гауссовской), а в общем случае затруднено, поэтому для их определения необходимо использовать численные методы. Затем также путем численного решения системы линейных алгебраических уравнений (13),

определяется вектор оптимальных параметров вор^ Для решения этой задачи можно

применить классический метод градиентного поиска максимума по формуле

Р+1 = в + к (I)

ёр

(19)

где РI и Р|+1 - векторы коэффициентов нелинейной функции на предыдущей и последующей итерациях, в фигурных скобках - градиент функционала (8) на I - й итерации:

ёР,

йР ёР

ёв \ I

ёР

'Ж

(20)

к ) - коэффициент, в общем случае зависящий от номера итерации. Для простоты в программе градиентного поиска этот коэффициент нужно выбрать постоянным и достаточно малым (например 0,1), что позволяет получить решение с необходимой точностью. Недостатком такого метода по сравнению с использованием адаптивного шага является некоторое увеличение времени вычислений, что не является существенным при использовании современных компьютеров.

Проверка рассмотренного алгоритма показала, что при вычислении величины (9) для логарифмической нелинейной зависимости ^ (% ) проигрыш по сравнению с полиномиальной

составил всего 15%. Это говорит о том, что логарифмическая нелинейность близка к оптимальной не только при детерминированном характере ФРТ, но и при наличии случайных флуктуаций ее параметров. Этот же вывод подтверждает и рисунок 3, на котором видна

существенная близость графиков полиномиальной (при оптимальном векторе параметров вор/ ) и логарифмической нелинейных функциях.

Рис. 3. Графики нелинейных функций f(Z) при полиномиальной (1) и логарифмической (2) аппроксимациях

Следует отметить, что вектор в является оптимальным только по частному критерию максимума показателя селективности (9).

Список литературы

1. Григоров И.В., Широков С.М. Применение теории нелинейных волновых процессов в радиотехнике и телекоммуникациях. М.: Радио и связь, 2006. 351 с.

2. Grigorov I.V. Adaptation of nonlinear phase filters to the bending around form of the signal at compensation of the dispersion in fiber-optical transmission lines. // Optical Technologies for Telecommunications, 2005. Proceedings of SPIE. Vol. 6277.

3. КловскийД.Д. Теория электрической связи. М.: Радиотехника, 2009. 647 с.

4. Широков С.М., Григоров И.В. Метод подавления импульсных помех при обработке сигналов и изображений // Компьютерная оптика, 1996. Вып. 16. С.97-102.

5. Ярославский Л.П. Цифровая обработка сигналов в оптике и голографии. М.: Радио и связь, 1987. 296 с.

6. Григоров И.В., Абышкина К.И. Применение двумерных нелинейных фазовых фильтров для улучшения фокусировки радиолокационных и оптических изображений // Радиотехнические и телекоммуникационные системы, 2011. № 4. С. 50-53.