Оптимизация параметров двумерных нелинейных фильтров Шрёдингера в задаче улучшения фокусировки точечных изображений Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

технические науки

ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДВУМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ

ФИЛЬТРОВ ШРЁДИНГЕРА В ЗАДАЧЕ УЛУЧШЕНИЯ

ФОКУСИРОВКИ ТОЧЕЧНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

1 2 Чапов А.А. , Григоров И.В.

1Чапов Антон Александрович - магистрант; 2Григоров Игорь Вячеславович - доктор технических наук, профессор, кафедра теоретических основ радиотехники и связи, Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики,

г. Самара

Нелинейные фильтры Шрёдингера (НФШ) представляют собой сравнительно новый класс устройств цифровой обработки сигналов и могут использоваться для решения различных радиотехнических задач, таких как подавление негауссовских импульсных помех [1], компенсация дисперсии сигналов [2] и др. Простейший одномерный НФШ состоит из двух последовательно соединенных звеньев -нелинейного (НЗ) и линейного (ЛЗ). Эти звенья имеют соответственно коэффициент преобразования мгновенных значений по комплексной огибающей Z(t):

И(г ) = ехр( / (г )) (1) и импульсную характеристику:

g (t) = go exp

a(t -10)2Л 2

(2)

V _ У

здесь a, g0 , t0 - постоянные коэффициенты, f (Z) - функция, определяющая вид нелинейности фильтра. Из (2) следует, что ЛЗ реализует преобразование Френеля на временной оси. В операторной форме преобразование сигнала в НФШ можно записать:

£ = фz = GHz, (3)

где z - вектор отсчетов входного сигнала z(t), H и G - операторы НЗ и ЛЗ,

Ф = GH - оператор НФШ в целом.

На рисунке 1 изображена структурная схема простейшего двухзвенного НФШ.

Рис. 1. Структурная схема двухзвенного НФШ

Наиболее просто его можно реализовать в цифровой форме путем обработки отсчетов комплексной огибающей входного сигнала. НЗ, независимо от вида функции ^Х), входящей в (1), реализуется простым умножением этих отсчетов на комплексные числа, модуль которых равен единице, а аргумент зависит от модуля входного отсчета.

Линейное звено с импульсной характеристикой (2) физически не реализуемо. Для приближенного обеспечения его физической реализуемости в (2) необходимо ввести

функцию окна ) и задержку ^, которую обычно выбирают равной половине

длительности окна (кроме того, временную переменную X заменим на ?):

ё С) = ёо({ )ехр

о (Г - 02Л

(4)

Для примера на рисунке 2 изображены действительная и мнимая части импульсной характеристики ЛЗ, ограниченной модифицированным окном Ханна («Ьапш^») [1].

а)

5)

Рис. 2. Действительная (а) и мнимая (б) части импульсной характеристики линейного звена НФШ, ограниченных модифицированным окном Ханна

Работа НФШ основана на временном сжатии импульсных сигналов: НЗ развивает внутри импульса с комплексной огибающей частотную модуляцию, закон

изменения которой определяется формой входного импульса и функцией / ), а ЛЗ -сжимает во времени модулированный импульс аналогично согласованному фильтру [3].

Как показано в [4], возможна и двумерная реализация НФШ. При этом коэффициент преобразования мгновенных значений НЗ вида (1) не изменяется, а двумерный аналог импульсной характеристики ЛЗ имеет вид:

ё (X >0 = ёо ехР

. д((х-Хр)2 + (у-Уо)2) 2

(5)

При цифровой реализации двумерное ЛЗ (двумерное дискретное преобразование Френеля), также, как и в одномерном случае, удобнее реализовать, используя алгоритмы прямого и обратного двумерного БПФ [5].

В [4] двумерный вариант НФШ (ДНФШ) использовался для подавления импульсных помех на изображении. В [6] рассмотрена задача улучшения фокусировки точечных изображений с применением ДНФШ и решена задача его детерминированной оптимизации при гауссовской функции рассеяния точки (ФРТ). Поскольку параметры искажающей среды не являются постоянными, а флуктуируют случайным образом, возникает задача двумерной стохастической оптимизации параметров НФШ. Решим ее методом, описанным в [4]. В этой статье показано, что для минимизации размера элемента изображения на выходе двумерного НФШ требуется обеспечить максимум модуля его отклика в центре элемента изображения

V ✓ 2 . г2чУ|

У(*о,>о) = ёо Я I(Л,£)ехр]1 I{I£))+ Этот максимум достигается при условии

о(Л2 + Г) 2

(6)

I (I (Л, £))

о(Л2 +^2) 2

+

= о

(7)

или, вводя обычные пространственные координаты,

О о

I (2 (х, >)) = - «ЦП.

Из (8) следует, что вид оптимальной нелинейной функции /(Х) зависит от параметров ФРТ X (х, у). Если они случайные, необходимо искать максимум

функционала (6) путем его усреднения с учетом их распределений. Удобнее решать эту задачу для квадрата величины (6), которая физически представляет собой пиковую мощность отклика в центре элемента изображения:

Р = V (Хо, Уо )|2 =

(9)

= £о

21)!

ехр

м( хо2 + Уо2)

+ г/[и(х0,у0,©) ] > и(х0,у0,0)<Лх<Лу

здесь ^(0) - многомерная плотность вероятности вектора случайных

параметров, Я - область их определения.

В этом случае задача оптимизации сводится к вариационной задаче поиска

экстремума нелинейного функционала (9). Для практических целей можно

ограничиться параметрической оптимизацией. Пусть искомая функция /(X)

аппроксимирована некоторым аналитическим выражением / (и, в), содержащим

вектор неизвестных параметров в. Подставляя указанное выражение в (9) и

приравнивая к нулю его частные производные по параметрам Р^. , получаем систему уравнений для их оптимальных значений

| w (© ) Яе | | ехр |/Ф ( х, © )- iФ ( у, © )} V ( х, © )У ( у, © )х

Е X Г

(10)

/ [V ( х, © ), в ]'

ах ау а© = о,

где

фЙ, ©)=^+/(V, р^ (4 (11)

к = 1, 2.. .п; п - число параметров.

Одной из наиболее универсальных является аппроксимация искомой функции степенным полиномом:

/ (V, р)=!Р V

(12)

к=1

Подставляя (12) в (11) и линеаризуя полученные уравнения путем разложения экспоненты в ряд, после ряда преобразований можно получить систему линейных алгебраических уравнений вида

Ё а^Рк = ] = 1,2,..я,

к=1

где

ак =

Яе ш

ехр

1 а (х2 - у2)

['

] +к+2

И

]+к+2

(13)

^ ахёу

(14)

2

Ь = Яе

1 лехр

ХУ

1а (х2 - .у2)

. ¿х ¿у

(15)

В (14) и (15) входят моментные функции

^7+*+2 (х, у) = { V (х, 0 )7 + V(х, 0)к V* (у, 0) ^(0) ¿0,

я

V.+к+2 (х, у) = | V (х, 0) V(у, 0)* V(х, 0) V* (у, 0) Ц0) ¿0

(16) (17)

£7+2(х, у) = | и (х, 0)7и(х, 0) и*(у,0) ^(0) ¿0.

(18)

я

Аналитическое вычисление указанных моментных функций и коэффициентов (14) и (15) возможны только для ФРТ простых форм (например, гауссовской), а в общем случае затруднено, поэтому для их определения необходимо использовать численные методы. Затем также путем численного решения системы линейных алгебраических

уравнений (13), определяется вектор оптимальных параметров ворг. Для решения

этой задачи можно применить классический метод градиентного поиска максимума по формуле

р,+1 = р, + * (')

V

¿в

(19)

у

где Р, и Р,+1 - векторы коэффициентов нелинейной функции на предыдущей и

последующей итерациях, в фигурных скобках - градиент функционала (8) на , - й итерации:

[ ¿Р] Г ¿Р ¿Р ¿Р ]

[ ¿в \ [ ¿Р1 ¿в 2 ¿в п \

к(,) - коэффициент, в общем случае зависящий от номера итерации. Для простоты в программе градиентного поиска этот коэффициент нужно выбрать постоянным и достаточно малым (например 0,1), что позволяет получить решение с необходимой точностью. Недостатком такого метода по сравнению с использованием адаптивного шага является некоторое увеличение времени вычислений, что не является существенным при использовании современных компьютеров.

Проверка рассмотренного алгоритма показала, что при вычислении величины (9) для логарифмической нелинейной зависимости f (%) проигрыш по сравнению с

полиномиальной составил всего 15%. Это говорит о том, что логарифмическая нелинейность близка к оптимальной не только при детерминированном характере ФРТ, но и при наличии случайных флуктуаций ее параметров. Этот же вывод подтверждает и рисунок 3, на котором видна существенная близость графиков полиномиальной (при оптимальном векторе параметров вор ?) и логарифмической нелинейных функциях.

я

Рис. 3. Графики нелинейных функций f(Z) при полиномиальной (1) и логарифмической (2)

аппроксимациях

Следует отметить, что вектор в является оптимальным только по частному

критерию максимума показателя селективности (9).

Список литературы

1. Григоров И.В., Широков С.М. Применение теории нелинейных волновых процессов в радиотехнике и телекоммуникациях. М.: Радио и связь, 2006. 351 с.

2. Grigorov I.V. Adaptation of nonlinear phase filters to the bending around form of the signal at compensation of the dispersion in fiber-optical transmission lines. // Optical Technologies for Telecommunications 2005 Proceedings of SPIE. Vol. 6277.

3. Кловский Д.Д. Теория электрической связи. М.: Радиотехника, 2009. 647 с.

4. Широков С.М., Григоров И.В. Метод подавления импульсных помех при обработке сигналов и изображений // Компьютерная оптика - 1996. Вып.16. С. 97-102.

5. Ярославский Л.П. Цифровая обработка сигналов в оптике и голографии М.: Радио и связь, 1987. 296 с.

6. Григоров И.В., Абышкина К.И. Применение двумерных нелинейных фазовых фильтров для улучшения фокусировки радиолокационных и оптических изображений // Радиотехнические и телекоммуникационные системы. 2011. № 4. С. 50-53.

ПРОПИТКА МЕДНОГО КАРКА АЛЮМИНИЕМ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА Цурихин С.Н.1, Колесник В.В.2, Никитин Е.Э.3, Утянок Е.С.4

'Цурихин Сергей Николаевич - кандидат технических наук; 2Колесник Владимир Владимирович - магистр; 3Никитин Евгений Эдуардович - магистр; 4Утянок Егор Сергеевич - магистр, кафедра машин и технологии литейного производства, Волгоградский государственный технический университет, г. Волгоград

Аннотация: в статье рассмотрено получение композиционного материала пропиткой. Ключевые слова: композиционный материал, сотовый каркас, упрочнение.

Основным классом материалов, удовлетворяющих жестким, часто противоречивым друг другу требованиям являются композиционные материалы.