Применение двумерных нелинейных фильтров Шрёдингера для улучшения фокусировки радиолокационных и оптических изображений Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ПРИМЕНЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ФИЛЬТРОВ

ШРЁДИНГЕРА ДЛЯ УЛУЧШЕНИЯ ФОКУСИРОВКИ

РАДИОЛОКАЦИОННЫХ И ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

1 2 Чапов А.А. , Григоров И.В.

1Чапов Антон Александрович - магистрант; 2Григоров Игорь Вячеславович - доктор технических наук, профессор, кафедра теоретических основ радиотехники и связи, Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики,

г. Самара

Аннотация: в статье анализируются проблемы применения нелинейных фильтров Шрёдингера для обработки радиолокационных и оптических изображений. Рассмотрены алгоритмы улучшения фокусировки точечных изображений. Исследовано влияние нелинейной обработки одномерным или двумерным НФШ, совместно с пороговой обработкой.

Ключевые слова: фильтр Шрёдингера, обработка изображений, восстановление изображений.

Задачи повышения качества изображений, в том числе и полученных с космических летательных аппаратов, остаются на сегодняшний день актуальными, т.к. из-за не идеальности канала передачи, формирующих и регистрирующих систем изображение представляет собой искаженную (нечеткую) копию оригинала. Основными причинами искажений, являются ограниченная полоса частот канала передачи, расфокусировка, наличие искажающей среды (например, атмосферы), движение камеры по отношению к регистрируемому объекту и т.п. Уменьшение искажений с целью повышения резкости относится к задаче восстановления изображений.

Большинство каналов в первом приближении можно рассматривать как линейные и инвариантные к сдвигу. Изображения, сформированные такими системами, претерпевают линейные пространственно-инвариантные искажения, характеризующиеся тем, что механизм их возникновения один и тот же для всех

точек (X, у). Линейные искажения чаще всего проявляются в ослаблении

высокочастотных составляющих спектра исходного изображения. Визуально это приводит к ухудшению его резкости. В процессе записи изображения искажаются также шумами, присутствующими в любом реальном физическом устройстве. В ряде практически важных случаев шум можно считать аддитивным и независящим от исходного изображения.

С учетом выше изложенного, наблюдаемое нерезкое изображение 2( X, у) можно

представить как выход линейной системы, показанной на рисунке 1 [1],

п{х,у)

Рис. 1. Линейная модель формирования изображения Математическая модель процесса формирования изображения имеет вид:

г(х, у) = s( х, у) + п(х, у). (1)

Изображение •(X, у) при отсутствии шума, определяется интегралом свертки:

•КX, у) = £(X, у) ® и(х, у) = Л g(х - л, у - ^Л^^ (2)

(л£)

где ® - символ двумерной свертки, £(х, у) - двумерная импульсная

характеристика (или функция рассеяния точки - ФРТ) линейной искажающей системы. Таким образом, значение функции яркости и (л, £) исходного изображения

в точке с координатами (л, «размазывается» в соответствии с видом ФРТ

£ (X, у) и искажается аддитивным шумом.

Для восстановления изображений применяются как линейные методы, такие как инверсная фильтрация, фильтрация Колмогорова-Винера, и т.д. [2], так и нелинейные, например, метод уравнивания энергетических спектров, являющийся частным случаем метода гомоморфной фильтрации [3]. Процесс искажения и восстановления изображений этими методами можно представить операторным уравнением:

£ = С = С-1 (8 + п) = С-1 (Си + п) (3)

где и - двумерный вектор отсчетов исходного изображения, 8 - вектор искаженного изображения без учета шума, п - вектор отсчетов аддитивного шума,

С - оператор, описывающий преобразование (2), С 1 - оператор, описывающий

восстанавливающий фильтр, £ - вектор отсчетов восстановленного изображения.

Оператор С 1 может быть различным в зависимости от типа восстанавливающего фильтра.

Аналогичный подход к обработке и изображений был предложен в [4] с целью решения задачи подавления импульсных помех на изображениях. Предлагаемый алгоритм цифровой обработки основывался на двумерных нелинейных фильтрах Шрёдингера (НФШ) Рассмотрим идею построения этих алгоритмов, а также возможность их применения в задачах обработки изображений с целью улучшения их фокусировки. Как было отмечено выше, нелинейные фильтры, являющиеся аналогами различных вариантов уравнений шрёдингеровского типа, не всегда являются фазовыми, а соответствующие операторы не относятся к классу операторов с унитарной нелинейностью. Поэтому будем называть их в дальнейшем двумерными нелинейными фильтрами Шрёдингера (ДНФШ).

Очевидно, что если изображение является смазанным только по одной координате, то НФШ здесь можно использовать в том же виде, что и при обработке одномерных сигналов, обрабатывая изображение по строкам или столбцам.

Больший интерес представляет двумерная реализация НФШ. Как показано в [5], в двумерной задаче уравнение Шрёдингера примет вид

ЛЩ

1 — + аДЩ + / ( Щ ) Щ = 0, (4) 5л

где ДЩ - оператор Лапласа по пространственным координатам х и у. При этом выражения для двумерных характеристик звеньев НФШ примут вид:

Ик (2) = ехр {1 / (2)} (5)

\ а((х - хо)2 +(у - уо)2 Г, (6) 2

£к(x, у) = £ о(x, у)ехР

°к (1к) = ехр

( • /] 2 ] 2 Л

1(кх +куГ

2а

У

(7)

где к = (кх, к) - вектор волновых чисел, и у о - пространственные сдвиги импульсной характеристики ЛЗ по координатам X и у .

При цифровой реализации двумерное ЛЗ (двумерное дискретное преобразование Френеля), также как и в одномерном случае, удобнее реализовать используя алгоритмы прямого и обратного двумерных быстрых преобразований Фурье (БПФ).

Рассмотрим задачу оптимизации двумерного НФШ, по аналогии с одномерным, с целью пространственного сжатия элемента расфокусированного изображения. Пусть исходный элемент изображения представляет собой одиночную точку с единичной яркостью, т.е. двумерную дельта-функцию. Если ФРТ является гауссовской, то элемент расфокусированного изображения также будет описываться двумерной гауссовской функцией:

2 (х, у) = и ехр

(х - х1) (У - У1)2

2аХ 2аУ

(8)

где ах и а - среднеквадратическая полуширина ФРТ соответственно по

координатам х и у, х и У1 - координаты центра элемента изображения. Положим для простоты ох = а = а, X = 0, У! = 0, т.е. элемент изображения будет иметь симметричную форму относительно начала координат. Тогда (8) примет вид:

2 (х, у) = 2 (0) = и ехр

' X2 + у2^

2а2

(9)

здесь 0 = (X, у) - вектор пространственных координат.

Запишем отклик НЗ на воздействие (9)

У (0) = 2 (0)Я (2 (0)) = 2 (0)ехр{1 /(2 (0))} (10)

Отклик двумерного ЛЗ на воздействие (10) найдем через двумерную свертку

V (0) = У( х, у) = \\ У (л, ?) g (X - л, у - . (11) (л,?)

Для упрощения аналитического решения задачи рассмотрим простейший НФШ с окном, не зависящим от пространственных координат

£о(0) = £о. (12)

Отклик ЛЗ при этом будет иметь вид

( Л<„ „ „ л2

У(0) = £о Ц 2(л,?)ехр] 1 /(2(л,?)) + а(х-Л- ^

(л,?)

((х-л-хо)2 + (у-?- уо)2) ^

(13)

Можно показать, что задачу минимизации длительности импульса на выходе НФШ можно свести к задаче максимизации его пиковой мощности. Аналогично можно решить задачу минимизации размера элемента изображения на выходе двумерного НФШ. Этому будет соответствовать максимум модуля отклика (13) в центре элемента изображения

(Л,§)

Г f 2 2 Л1

V(xo,Уо) = go ff Z(r\,^expji|f(Z(n,$))+ а(Л ^ ) ][d^. (14)

yj

Найдем максимум функционала (14) на множестве функций f (Z):

Vmax = ™x\V(xo=Уо^ = g0

ff Z(л,^)expji /(Z(л,£)) +

(л,« I V

а(л2 +^2) ^ 2

(15)

Для любой комплексной функции справедливо неравенство

f Q( x)dx

X

< f \Q(x)\dx,

(16)

X

(17)

которое переходит в равенство при условии

Q( x) = Q( x).

Поэтому

Vmax = \g0 \\ Z(Л, S) dлd^ . Этот максимум достигается при условии

f (Z (л, §})+ = о

Условие (19) можно записать в виде

f (Z (x, y)) =

2

а( x 2 + y2)

(18)

(19)

или

/

U exp

' x2 + y

2а2

yy

2

_ a(x + y ). 2

(20)

(21)

Очевидно, что условие (20) выполняется, также, как и при решении одномерной задачи, при логарифмической нелинейности НЗ:

/ (I ) = /ор, (I ) = 1п ( 2

U

(22)

при условии

1

а = —. (23) а 2

Рассмотренная частная задача фокусировки элемента изображения с гауссовской ФРТ может быть обобщена на более общий случай с ФРТ произвольной формы.

Рассмотренные алгоритмы улучшения фокусировки точечных изображений были реализованы в среде MatLab. Некоторые результаты проверки эффективности работы алгоритмов улучшения фокусировки изображений приведены ниже. На рисунках 2 и 3 представлены одномерные диаграммы обработки отдельных строк изображений без шума и при наличии шума соответственно. Каждая исходная строка содержит по два точечных элемента. Диаграммы отсчетов строк до и после НФШ отмечены цифрами 1 и 2 соответственно.

8 7 6

5

4

3 2 1

О'

О 200 400 600 000 1000 1200

Рис. 2. Диаграммы строк изображений до (1) и после одномерного НФШ (2) без шума 7

6

5

4 3 2 1 0'

0 200 400 600 800 1000 1200

Рис. 3. Диаграммы строк изображений до (1) и после одномерного НФШ (2) при наличии шума

Очевидно, что после НФШ объекты становятся различимыми в соответствии с критерием Релея [6] - согласно этому критерию импульсы одинаковой амплитуды считаются различимыми, если глубина «провала» между ними Д1 составляет не

менее 50% от их амплитуды 1тах - рисунок 4.

о

2

1

........Г)...

2

1

Рис. 4. Оценка степени различимости импульсов по критерию Релея

Для улучшения визуального восприятия изображений после НФШ в процедуру восстановления был добавлен алгоритм пороговой обработки, обнуляющий отсчеты элементов изображений, значение которых лежит ниже заданного порога.

Рис. 5. Исходное изображение

Рис. 6. Изображение, размытое по двум координатам по гауссовскому закону при наличии

шума

*

Рис. 7. Изображение, восстановленное с помощью алгоритма на основе двумерного НФШ с последующей пороговой обработкой

Рис. 8. Исходное изображение

Рис. 9. Изображение, размытое по двум координатам по гауссовскому закону при наличии

шума

Рис. 10. Изображение, восстановленное с помощью алгоритма на основе двумерного НФШ с

последующей пороговой обработкой

Из проведенных исследований можно сделать следующие выводы. Качественный анализ восстановленных изображений показывает, что при сильно размытых изображениях точечные объекты, расположенные близко, практически полностью сливаются и становятся неразличимыми визуально, а также в соответствии с критерием Релея. После нелинейной обработки одномерным или двумерным НФШ, совместно с пороговой обработкой, их различимость улучшается.

Список литературы

1. Ярославский Л.П. Цифровая обработка сигналов в оптике и голографии. М.: Радио и связь, 1987. 296 с.

2. ВасиленкоГ.И. Теория восстановления сигналов. М.: Советское радио, 1979. 272 с.

3. Применение цифровой обработки сигналов/ Под ред. Э. Оппенгейма. М.: Мир, 1980. 552 с.

4. Grigorov I.V. Adaptation of nonlinear phase filters to the bending around form of the signal at compensation of the dispersion in fiber optical transmission lines // Proceedings of SPIE - The International Society for Optical Engineering 6277 doi: 10.1117/12.692961, 2006.

5. Широков С.М., Григоров И.В. Метод подавления импульсных помех при обработке сигналов и изображений с использованием нелинейных фазовых фильтров // Компьютерная оптика, 1996. № 16. С. 97-102.

6. Горячкин О.В. Лекции по статистической теории систем радиотехники и связи. М.: Радиотехника, 2008. 192 с.