Преобразование Радона на плоскости над конечным кольцом Текст научной статьи по специальности «Математика»

БЛАГОДАРНОСТИ: Благодарю Евгения Леонидовича Тонкова за постановку задачи и полезное обсуждение результатов работы.

Abstract: Statements on continuous dependence on parameters of solutions of general boundary value problem for functional-differential equation are obtained, correctness of concrete boundary value problems for controllable systems with argument divergence is investigated.

Key words: boundary value problems; controllable systems; differential equations with argument divergence.

Бурлаков Евгений Олегович аспирант

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: eb @bk.ru

Evgeniy Burlakov

post-graduate student

Tambov State University named after

G.R. Derzhavin

Russia, Tambov

e-mail: eb @bk.ru

УДК 519.1

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА НА ПЛОСКОСТИ НАД КОНЕЧНЫМ

КОЛЬЦОМ1

© Е. В. Водолажская

Ключевые слова: преобразование Радона; конечные поля; кольца классов вычетов.

Аннотация: Преобразование Радона Д на плоскости над конечным кольцом К сопоставляет функции / на К суммы ее значений по прямым. Мы предлагаем новую формулу обращения для поля и кольца классов вычетов по модулю р .

Пусть К - конечное кольцо с д элементами, К2 = К х К - плоскость над К. Прямой на плоскости К2 назовем множество I всех точек г = (х,у) € К2, удовлетворяющих уравнению ах + Ьу = с, где а,Ь,с € К, причём а и Ь не являются делителями пуля одновременно. Пусть Н -множество всех прямых.

Для конечного множества X обозначим через Ь(Х) линейное пространство функций на X со значениями в С. Размерность его равна количеству элементов в X.

Преобразование Радона Д есть линейный оператор Ь(К2) ^ Ь(Н), который сопоставляет всякой функции / € Ь(К2) функцию Д/ € Ь(Н) - "интегралы" функции / по прямым £, то есть

(Д/)(£) = Е / (г).

1 Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, научной программой "Развитие научного потенциала выс-

шей школы" РНП 2.1.1/1474 и Темпланом 1.5.07.

Мы хотим найти формулу обращения для преобразования Радона, это все равно, что найти левый обратный оператор Ь для оператора Д, то есть ЬД = Е. Для этого рассмотрим сопряженный оператор Д* : Ь(Н) ^ Ь(К2):

(R*F)(z) = ^ F(І),

zei

и рассмотрим произведение T = R*R, оно есть оператор L(K2) ^ L(K2). Предположим, что

T

L = T-1R.

Оператор Т имеет простой смысл: его матричный элемент Т(г, ,ш) указывает количество прямых, проходящих через точки г^ € К2 (для ад = г это - количество прямых, проходящих черех г

Матрицы Д(£,г) и Д* (г, £) операторов Д и Д* получаются друг из друга транспонированием:

ЯЦ,г) = Д*(г,£) = { Ц

Пусть К - толе с д элементами. В этом случае

Т(г,ю) = { д :+1’ = = г’

[ 1, ад = г.

Следовательно, матрица Т может быть записана в виде Т = дЕ +1, где Е - единичная матрица, I обозначает матрицу , у которой все элементы равны 1. Используя 12 = д21, вычисляем обратную матрицу:

Т-' = Ш+Т)Мд + 1)Е-1} ■

Ь

, г € £,

L(z,І)= { q + 1

z / І.

+ 1)

LK

2

классов вычетов по модулю p , p - простое.

Abstract: The Radon transform R от the plane over a finite ring K ^signs to a function f on K sums of its values on lines. We write a new inversion formula for a field and the ring of cosets modulo p2.

Key words: Radon transform; finite fields; ring of cosets.

Водолажская Елена Валерьевна старший лаборант

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов

e-mail: [email protected]

Elena Vodolazhskaya

senior laboratory assistant Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov

e-mail: [email protected]