О корректности краевых задач для управляемых систем с отклоняющимся аргументом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Филиппова Ольга Викторовна Olga Filippova

аспирант post-graduate student

Тамбовский государственный университет Tambov State University named after

им. Г.Р. Державина G.R. Derzhavin

Россия, Тамбов Russia, Tambov

e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

УДК 517.927.4, 517.929, 517.977.1

О КОРРЕКТНОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ 1

© Е. О. Бурлаков

Ключевые слова: краевые задачи; управляемые системы; дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом.

Аннотация: Получены утверждения о непрерывной зависимости от параметров решений общей краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения, исследована корректность конкретных краевых задач для управляемых систем с отклоняющимся аргументом.

В работах [1, 2] найдены условия непрерывной зависимости периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений от управления. Широкое применение уравнений с отклоняющимся аргументом для описания управляемых систем потребовало исследования корректности таких систем и, в частности, нахождения условий непрерывной зависимости периодических решений функционально-дифференциальных уравнений от значений управления и других параметров. Как известно, задача о периодических решениях уравнений эквивалентна краевой задаче.

В данной работе получены утверждения о непрерывной зависимости от параметров решений общей краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения. Результаты применены к исследованию конкретных краевых задач для управляемых систем с отклоняющимся аргументом. Доказаны утверждения, аналогичные результатам работ [1, 2].

Обозначения: Кп - пространство векторов, имеющих п действительных компонент, с нормой

| • |; ц - мера Лебега на [а,Ь]; Ь([а,Ь], ц, Кп) - пространство измеримых суммируемых функций

ь

у : [а,Ь] ^ Еп с нормой ||у||ь=/ 1у($)138] Ь^([а,Ь], ц, Кп) - пространство измеримых существенно

а

ограниченных функций у : [а, Ь] ^ Кп с норм ой ||у||ь^,= уггйвир 1у^)1; С ([а, Ь], Кп) - пространство

Ь€.\а,Ь]

1Работа поддержана грантами РФФИ (№ 07-01-00305, 09-01-97503), научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы"(РНП № 2.1.1/1131) и включена в Темплан № 1.6.07.

непрерывных функций x : [a,b] — Rn с нормой \\x\\c = max |x(t)|; AC([a,b], ß, Rn) - простран-

te[a,b]

ство таких абсолютно непрерывных функций x : [a,b] — Rn, что X E L([a,b], ß, Rn), с нормой \\x\\ac = |x(a)| + \\X||^; для произвольных банахова пространства E, eo E E, A С E, r > 0 обозначим Be (eo, r) = {e E E, \\e — eo|E < r} - открытый шар в пространстве E с центром в eo радиуса r, A - замыкание множества A в пространстве E.

Пусть Л - некоторое банахово пространство. Рассмотрим краевую задачу:

x = F (x, X); (1)

p(x, X) = 0;

где F : AC([a, b], ß, Rn) x Л — L([a, b], ß, Rn), p : AC([a, b], ß, Rn) x Л — Rm.

Пусть при X = Xo E Л задача (1) имеет решение x = xo E AC([a,b], ß, Rn). Применительно к краевой задаче (1) теорема о неявной функции (см. [3], с. 332) имеет вид:

Теорема 1. Пусть

1) существуют такие öo > 0 °о > 0, что операторы F, p непрерывны и имеют, непрерывные производные Фреше F'x,p'x при всех (x,X) E Вас(xo,vo) x B\(Xo,öo);

2) определяемый равенством Lz = z — F'x(xo, Xo)z оператор L : AC([a, b], ß, Rn) — L([a, b], ß, Rn) сюръективен и dimKerL = m;

3) задача | ^ = Ц’ где l = p'x(xo,Xo), l : AC([a,b], ß, Rn) — Rm, имеет только тривиальное решение z = 0.

Тогда, найдутся такие ö > 0 а > 0, что для любого X E B\(Xo,ö) в шаре Вас(xo,v) существует единственное решение x = x(X) задачи (1), причем отображение x( ) : B\(Xo,ö) —

— AC([a, b], ß, Rn) непрерывно.

Замечание 1. В случае m = и, выполнение условия 2) теоремы 1 следует, например,

(•)

из фредгольмовости оператора Q : L([a, b], ß, Rn) — L([a, b], ß, Rn), Qz = z — F'x(xo, Xo) f z(s)ds -

a

L

Пусть теперь при X = Xo в некотором открытом множестве M С C([a,b],Rn) существует решение xo = x(Xo) задачи (1) и это решение единственно в M. Обозначим Х\ - множество реше-(1) X M

свойства множеств Х\ при значениях X, близких к Xo.

Теорема 2. Пуст,ь

1)выполнены условия теоремы 1;

2) существует такое ö > 0, что при всех X E B\(Xo,ö) оператор F(-,X) допускает расширение до оператора F(-,X) : C([a,b],Rn) — L([a,b], ß, Rn);

3) для, любого числа, r > 0 существует такая функция gr E L([a, b], ß, R), что для всяких (x, X) E E (Вс(xo, r) П M) x B\(Xo,ö) выполнено l(F(x, X))(t)| ^ gr(t) при почти всех t E [a,b];

4) оператор F(-, ■) непрерывен на M x {Xo};

5) для некоторой последовательности {Xi} С B\(Xo,0), ||Xi — Xo||a — 0, множестea X\i содержат по крайней мере два элемента.

Тогда, множество M неограничено, и при каждом i можно так выбрать xi E X\i, что \\xi — xo||ас — 0, а при выборе любых xi E X\it xi = xi, имеет место ||xi||c — ж.

Замечание 2. Если m = и и оператор F'x (xo, Xo) : AC ([a, b], ß, Rn) — L([a, b], ß, Rn) допускает продолжение до ^-ограниченного оператора (см. [3], с. 157), действующего из пространства C([a, b], Rn) в пространство L([a, b],ß, Rn), то в теореме 1 требование сюръективности оператора L : AC([a,b], ß, Rn) — L([a,b], ß, Rn) излишне (см. замечание 1), так как его «главная часть» Q : L([a, b],ß, Rn) — L([a, b],ß, Rn) в данном случае будет фредгольмовой.

Далее рассмотрим задачи

х(г) = /(г,х(Ъ1(г)),... ,х(Ът(г)),ио(г)), г е [0,ш], х(0) ± х(ш) = 0;

х(г) = /(г,х(ни(г)),...,х(нтг(г)),щ(г)), г е [0,ш],

х(0) ± х(ш) = 0;

(2)

(2г)

Здесь функции Ъз: [0,ш] — [0, ш] измеримы и ш-иериодичны, ] = 1, 2, ... ,т; г = 1, 2, ... ; управления по,Щ : [0, ш] — Кк измеримы, существенно ограничены и ш-иериодичны, г = 1, 2, ... ; функция / : [0,ш] х Ктп+к — Кп удовлетворяет условиям Каратеодори: к1) при любых у е Етп, и е Кк функция /(•,х,и) измерима;

^2) при почти всех г е [0, ш] фупкция /(г, •, •) непрерывна по совокупности 2-го и 3-го аргу-

МбНТОВ^

йз) для любого ч исла г > 0, существует такая функция дг е Ь([0,ш], ¡1, К) что доя в сех у е е Ктп, и е Кк, удовлетворяющих условиям 1у1 ^ г, |и| ^ г, выполнено I/(г,у,и)1 ^ дг(г) при почти всех г е [0,ш].

Пусть задача (2) имеет решение хо е АС([0, ш], ц, Кп).

Обозначим уо = (хо(Л,1^)),..., хо(Ът( ))) е £те([0, ш], ц, Ктп).

Теорема 3. Пусть

1) найдутся такие оо > 0 ^о > 0 С е ¿([0, ш], ц, Я), что при почти всех г е [0, ш], произвольных

у е Битп (уо(г),ао), и е БКк (ио(г),5о) существуют частные производные др-(г, у, и), измеримые

по г, непрерывные по (у, и) и удовлетворяющие неравенству др-(г, у, и) ^ С(г), 1,р = 1, 2, ... ,п, ] = 1, 2, ... , т;

2) задача { ^ 1 е ^ А(г)={ ЩР (г,уо(г),ио(г)) пхпт> име-

ет единственное решение . = 0.

Далее, предположим, что при г — ж:

4) — Ъз (•) по мере на [0,ш], (] = 1, 2, ... ,т);

5) щ() — ио(•) по мере на [0,ш].

Тогда, найдутся такие номер I и положительное число о, что при всех г > I в шаре Бас(хо, о) существует единственное решение х. е АС([0, ш], 1, Кп) задачи (2г) и имеет мест,о Цхг - х11ас — 0.

Пусть решение хо задач и (2) принадлежит некоторому открытому множеству М С С ([0, ш], Кп) и единственно в М. Обозначим Х. - множество решений задачи (2г), отвечающих значению параметра А и принадлежащих множеству М.

Теорема 4. Пусть

1) выполнены условия теоремы, 3;

2) для, некоторой подпоследовательности {гя} множества Х.ч содержат, по крайней мере два, элемента.

Тогда, множество М неограничено, и для каждого ^ ^^^^^^ся такое х.ч е Х.ч, что ||Xiq —

- хо IIас — 0, если же Xiq е X., Xiq = х. то ||xiq ||с — ж.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тонкое Е.Л. Оптимальные периодические движения управляемой системы // Мат. физика. 1977. Вып. 21. С. 45-59.

2. Тонкое Е.Л. Оптимальное управление периодическими движениями // Мат. физика. 1977. Вып. 22. С. 54-64.

3. Крейн С. Г. Функциональный анализ. М.: Наука, 1987. 544 с.

4. Азбелее Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы теории функционально-дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1987.

БЛАГОДАРНОСТИ: Благодарю Евгения Леонидовича Тонкова за постановку задачи и полезное обсуждение результатов работы.

Abstract: Statements on continuous dependence on parameters of solutions of general boundary value problem for functional-differential equation are obtained, correctness of concrete boundary value problems for controllable systems with argument divergence is investigated.

Key words: boundary value problems; controllable systems; differential equations with argument divergence.

Бурлаков Евгений Олегович аспирант

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: eb @bk.ru

Evgeniy Burlakov

post-graduate student

Tambov State University named after

G.R. Derzhavin

Russia, Tambov

e-mail: eb @bk.ru

УДК 519.1

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА НА ПЛОСКОСТИ НАД КОНЕЧНЫМ

КОЛЬЦОМ1

© Е. В. Водолажская

Ключевые слова: преобразование Радона; конечные поля; кольца классов вычетов.

Аннотация: Преобразование Радона Я на плоскости над конечным кольцом К сопоставляет функции / на К суммы ее значений по прямым. Мы предлагаем новую формулу обращения для поля и кольца классов вычетов по модулю р .

Пусть К - конечное кольцо с д элементами, К2 = К х К - плоскость над К. Прямой на плоскости К2 назовем множество I всех точек г = (х,у) е К2, удовлетворяющих уравнению ах + Ьу = с, где а,Ь,с е К, причём а и Ь не являются делителями пуля одновременно. Пусть Н -множество всех прямых.

Для конечного множества X обозначим через Ь(Х) линейное пространство функций на X со значениями в С. Размерность его равна количеству элементов в X.

Преобразование Радона Я есть линейный оператор Ь(К2) — Ь(Н), который сопоставляет всякой функции / е Ь(К2) функцию Я/ е Ь(Н) - "интегралы" функции / по прямым £, то есть

(К/)(£) = Е / (г).

1 Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, научной программой "Развитие научного потенциала выс-

шей школы" РНП 2.1.1/1474 и Темпланом 1.5.07.