О непрерывной зависимости от параметров решений краевых задач для управляемых систем с отклоняющимся аргументом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927.4, 517.929

О НЕПРЕРЫВНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПАРАМЕТРОВ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ

АРГУМЕНТОМ

© Е.О. Бурлаков

Ключевые слова: нелинейная управляемая система; общая линейная краевая задача; дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом; непрерывная зависимость решений от параметров.

Рассматривается общая линейная краевая задача для нелинейной управляемой системы с сосредоточенным отклонением аргументов. Предлагаются условия, гарантирующие непрерывную зависимость решения от значений управления и отклонения аргументов.

Обозначим: Кп - пространство векторов, имеющих п действительных компонент, с нормой

| • |; ц - мера Лебега на отрезке [а, Ь]; Ь - пространство измеримых суммируемых функций

ь

у : [а,Ь] д Кп с нормой \\у\\ь = / 1у(8)1Л^ Ь^ - пространство измеримых ограниченных в

а

существенном функций у : [а,Ь] д Кп с нормой ||у||ьп = уга18ир 1у^)1; Сп - пространство

Ь€.[а,Ь]

непрерывных функций х : [а,Ь] д Кп с нормой ||х||с" = тах |х(г)|; АСп - пространство таких

ге[а,ь]

абсолютно непрерывных функций х : [а,Ь] д Кп, что X € Ьп, с нормой ||х|Цсп = |х(а)| + \\Х\\ьп-Для обозначения сходимости по мере последовательности измеримых функций ^ : [а, Ь] д Кп к функции V используем обозначение Рг Д V. Для произвольных банахова пространства Е, элемента ео € Е, множества А С Е и числа г > 0 обозначим Ве(ео,г) = {в € Е | ||е — во||е < г} - открытый шар в пространстве Е с центром в во радиус а г, А - замыкание множества А в Е

Рассмотрим краевые задачи

х(г) =/{ь,х(ь,1 (г)),х(н2(1)),х(нт(г)),по(г)), г € [а,Ь],

х(£) = в(£), если £ € [а,Ь\, (^

фох = 0;

х(г)=/(г,х(Нц(г)),х(Н2г(г)),... ,х(Нтг(г)),щ(г)), г € [а,Ь],

х(£) = в(£), если £€ [а,Ь], (1г)

фгх = 0, г = 1,2,... ,

где функции : [а, Ь] д К, ] = 1, 2, ... ,т; г = 1, 2, ... измеримы, функции ио,щ : [а, Ь] д Кк,

г = 1, 2, ... измеримы и существенно ограничены, функция в : (—ж, а)[](Ь, ж) д Кп равномерно

непрерывна и ограничена, линейные функционалы ф,фг : АСп д Кп, г = 1, 2, ... в совокупности

ограничены, функция / : [а, Ь] х Ктп+к д Кп удовлетворяет условиям Каратеодори: к1) при любых и € Кк, у € Ктп функция /( •,у,и) измерима;

^2) при почти всех г € [а, Ь] функци я / непрерывна по совокупности 2-го, ... , ш+2-го аргу-

МбНТОВ^

кз) для любого числа г > 0 существует такая суммируемая функция дг € Ь, что для всех и € Кк, у € Ктп, удовлетворяющих условиям и ^ Г, у ^ г, выполнено / (г,у,и) ^ дг (г) при почти всех г € [а, Ь].

Пусть задача (1) имеет решение хо € АСп. Обозначим уо = (хо(Ъ1(•)),... ,хо(Ът( ))) € Ь™п).

ГЛ ъл у Ь ^ [ и ) Ъ(г) = а, Ъзг(Ь) < а; \ .

Определим множества Мг = у € [а,Ь] < /(.) = ! г/ (.) 7 п г = 1,2, ... .

2_1 I I (г) — Ь, nji(t) > Ь; J

Теорема 1. Пусть

1) найдутся та кие ¿о > 0, ао > 0, что при почти всех г € [а, Ь], любых та ких у € Ктп и и € Кк, что ^ — уо(г) < со, и — ио(г)| < §о, существуют частные производные дур-(г,у,и), удовлетворяющие условиям к1), к2), к3), 1,р = 1, 2, ... ,п 3 = 1, 2, ..., т;

2) ц(Мг) д 0;

3) иг Д ио, hji Д ^ при любом з = 1, 2, ..., т;

4) при всяком х € АСп) имеет место сходимость фгх д фох;

5) .^аш {т = г<.кш г € [°м- где т = (Ж ,

фог — 0; V / пхпт

имеет единственное решение г = 0.

Тогда, найдутся такие номер I и положительное число а, что при всех г > I в шаре Вас п (хо, а) существует единственное решение хг € АСп задач и (1г) и имеет место сходимость ||хг — хо||аС" Д 0.

Пусть теперь решение хо задач и (1) принадлежит некоторому открытому множеству О С С и единственно в М. Обозначим Хг - множество решений задачи (1г), принадлежащих множеству О.

Теорема 2. Пусть

1)

2) для некоторой подпоследовательности {гя} множества Хгд содержат по крайней мере два элемента.

Тогда, множество О неограничено, и для, каждого ^ ^^^^^^ся такое хгд € Хгд, что ||хг<г — хоЦасп Д 0, если же хгд € Хгд и начиная с некоторого номера, хгд = хгд, то ||хг?||сп Д ж.

Следует отметить, что теоремы 1 и 2 для периодической краевой задачи обыкновенного дифференциального урванения (то есть в случае ^г(г) = г, фох = фгх = х(а) — х(Ь)) равносильны утверждениям, полученным Е.Л. Тонковым в [1, 2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Тонкое Е.Л. Оптимальные периодические движения управляемой системы // Мат. физика. 1977. № 21. С. 45-59.

2. Тонкое Е.Л. Оптимальное управление периодическими движениями // Мат. физика. 1977. № 22. С. 54-64.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантами Российского Фонда Фундаментальных Исследований (№ 07-01-00305, 09-01-97503), Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы"(РНП № 2.1.1/1131), и включена в Темплан № 1.6.07.

Поступила в редакцию 12 ноября 2009 г.

Burlakov E.O. On continuous dependence on parameters of solutions of a boundary walue problems for contrôlable systems with argument divergence. General linear boundary value problem for nonlinear controllable system with concentrated argument divergence is under discussion. Conditions for continuous dependence of solution on control and argument divergence values are obtained.

Key words: nonlinear controllable system; general linear boundary value problem; differential equation with argument divergence; continuous dependence of solutions on paremeters.