Преобразование Радона на плоскости над кольцом классов вычетов Текст научной статьи по специальности «Математика»

V. F. Molchanov. An overgroup and a Poisson transform for a para-Hermitian space

For canonical representations on the para-Hermitian space G/H, G = SL(2,M), H the diagonal subgroup (so that G/H is a hyperboloid of one sheet in M3), we determine explicitly the interaction of Lie operators of the overgroup G x G with Poisson transforms related to canonical representations

Keywords: para-Hermitian spaces, canonical representations, overgroups, Poisson transforms УДК 517.43

Преобразование Радона на плоскости над кольцом классов вычетов 1

© В. Ф. Молчанов, С. В. Кольцова

Мы изучаем преобразование Радона на плоскости над кольцом классов вычетов по модулю 6, полагая в определении прямой, что хотя бы один из коэффициентов при неизвестных не был делителем нуля. Это преобразование имеет ядро. Изучение использует описание сверточной алгебры функций на плоскости, инвариантных относительно группы порядка 8.

Ключевые слова: кольца классов вычетов, свертка, инвариантные алгебры функций, преобразование Радона

В работе |1] мы рассмотрели задачу Радона на плоскости над кольцом Zn = Z/nZ классов вычетов по модулю п. При этом мы исходили из следующего определения прямой на плоскости ZJ: прямая - это множество t точек z с координатами х, у, удовлетворяющих уравнению

ах + by = с,

где а, 6, с - элементы из Zn и элементы а, b взаимно просты, т. е. не имеют общих делителей, отличных от 1. Решение обратной задачи Радона в [1] опиралось на описание структуры алгебры функций на Z£, инвариантных относительно группы GL(2,Zn).

В настоящей работе мы используем другое определение прямой (подсказанное случаем поля): в нем условие взаимной простоты элементов а, b заменяется тем, что а, b не должны быть одновременно делителями нуля. Для п = рк, р - простое, эти два определения дают одно и то же, но для п с различными простыми множителями они не эквивалентны. Определение, принимаемое в настоящей работе, приводит к более сложной задаче. В ней количество прямых

'Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.1.1.2.1474, ФЦП 14.740.11.0349 и Темпланом 1.5.07.

уменьшается, сопутствующая группа тоже уменьшается. В некотором смысле этот случай оказывается менее естественным. Мы решили все же его изучить, поскольку здесь возникают интересные задачи для структуры некоторых алгебр функций на 2^;.

Мы ограничиваемся случаем п = 6 = 2-3. Кольцо состоит из чисел

0,1,2,3,4,5, арифметические действия производятся по модулю 6. Обозначим через Н и Но множества всех прямых и прямых, проходящих через начало координат, соответственно. Количества элементов в них равны 60 и 10, соответственно. Для конечного множества X мы обозначаем через Ь(Х) пространство функций /(х) на X со значениями в С. Положим V =

Преобразование Радона Я : V —> Ь(Н) сопоставляет функции / 6 V ее

"интегралы" по прямым

(я/)М = £/(*).

Сопряженный оператор Я* : Ь(Н) —¥ V дается формулой

(Я'ЛМ = £*■(*)•

гЫ

Оператор 5 = Я* Я действует в V:

(5/)(г) = ^5(г,ш)/(ад),

его матрица 5(г, ъи) есть матрица инциденций: число Б (г, и)) равно количеству прямых, проходящих через точки г и и) (для и) = г - это количество прямых, проходящих через г). Матрица Б (г, гп) инвариантна относительно сдвигов, т. е. 3(г+и, и)+и) = 5(г, ги), поэтому зависит только от разности: 5(г, и;) = Т(г — и>). Число Т(г) есть количество прямых из Я0, проходящих через точку 2.

Функция Т(г) инвариантна относительно группы (7 порядка 8, состоящей в перестановке координат и перемене знака у любой из координат. Плоскость распадается на 10 орбит Л0, Л1,...,Л9 относительно С. Две орбиты Л0 и А\ содержат по одной точке: (0,0) и (3,3), соответственно, орбита А2 состоит из двух точек (3,0), (0,3), орбиты Л3,..., Лв содержат по 4 точки (мы выписываем представителей): А3 = {(2,2),...}, А4 = {(3,2),...}, Л5 = {(2,0),...}, Л6 = {(1,0),...}, А7 = {(1,1),...}, Л8 = {(3,1),...}, наконец, Л9 состоит из 8 точек (2,1)....

Пространство V является коммутативной алгеброй над С относительно свертки. Множество функций из V, инвариантных относительно (7, образует подалгебру, обозначим ее через М.. Базис в М образуют дельта-функции, сосредоточенные на орбитах Л*. Каждую такую дельта-функцию мы будем обозначать тем же символом Л*. Свертку Аг * Л? будем записывать в виде AiAj, она разлагается по Л*:

в

А*А1 = £4Л-к=1

Структурные константы алгебры Л4 равны кратностям точек из А* в арифметической сумме А.1 + Амножеств Л* и Aj. Дельта-функция Ло служит единицей в Л4, поэтому мы обозначаем ее и через Е.

Функция Т есть

Т = 10Е + 4А\ + ЗА2 + ЗЛз + 0 • Л4 + 2А$ + Аб + Л7 + А% 4- Ад.

Построим в Л4 базис, состоящий из ортогональных идемпотентов, см. (1). Сначала выделим в Л4 две подалгебры Л' и У: координаты точек первой из них делятся на 3, второй - на 2. Их размерности в V равны 4 и 9, базисы состоят из Е, А\, А2 и Е, Л3, Л5, соответственно. Умножения задаются формулами

А1 — Е, Л2 — 2Е -I- 2А\) А1А2 = Л2,

Л3 = 4Е + Аз + 2^4.5, А5 = 4Е + 2Лз -Ь Л5, Л3Л5 = 2Л2 + 2Л5.

Следующие базисы {Х1,ЛГ2,Х3} в Л' и {У^, У2, Уз} в

Л', = 1(Я + Л! + Л2), Х2 = - ЛО, Х3 = + Ах - А2),

У\ = + А3 + А$), Уг = — + ^б); Уз = д(4-£' + А3 — 2Л5),

состоят из ортогональных идемпотентов. Следовательно, они состоят из общих собственных векторов для операторов умножения на элементы из X и У, а собственные числа равны коэффициентам разложений элементов по этим базисам.

Следы операторов умножения на и У* в X и У равны коэффициентам при Е, умноженным на 4 и 9, соответственно (поскольку следы операторов умножения на Л* равны нулю). Поэтому размерности подпространств в V, на которые проектируют умножения на Х{ в X и У* в У, равны соответственно 1,2,1 и 1,4,4.

Произведение в Л4 подалгебр X и У есть подалгебра М! с базисом (всего 9 элементов) Е, Ах, А2, Аз, Л5, Л4+Л6, А7, Л8, Ад и умножениями (дополнительно к предыдущему):

^1-^3 = Л7, А1А5 — Л8, Л2Л3 = Лд, Л2Л5 = А\ + Лб-

Произведения 2^ = Х^У}, г, 7 = 1,2,3, образуют базис в .А/Г, состоящий из ортогональных идемпотентов.

Для М. остается указать произведения элемента В = (1/6)(Л4 — Лб) на элементы Хг, Yj, А\ + Л6. Мы имеем

вх2 = в, ву2 = в, в2 = г

остальные произведения равны нулю. Обозначим

Яи = \(%22 ± В).

Базис в М, состоящий из ортогональных идемпотентов, есть

%12, ¿'із, ¿21, %221 ^22, %23, ¿'ЗЬ ^32, ^33- (1)

Разложение элемента Т по этому базису имеет коффициенты (они же - собственные числа умножения на Т) 60, 12, 18, 18, 0, б, б, 24, 6, б. Следовательно, преобразование Радона обращается в нуль на подпространстве размерности 4, порожденном сдвигами функции

Литература

1. В. Ф. Молчанов, С. В. Кольцова. Алгебры функций и преобразование Радона на конечной плоскости. Вестник Тамбовского унив. Серия: Ест. техн. науки, 2010, том 15, вып. б, 1716-1723.

V. F. Molchanov, S. V. Koltsova. Radon transform on a plane over the ring of residue classes

We study the Radon transform on a plane over the ring of residue classes modulo 6, setting in definition of a line that at least one coefficient in front of variables is not a zero divisor. This transform has a null-space. We use a description of a convolution algebra of functions invariant with respect to a group of order 8.

Keywords: residue class rings, convolution, invariant algebras of functions, Radon transform