Алгебры функций и преобразование Радона на конечной плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.43

АЛГЕБРЫ ФУНКЦИЙ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА НА КОНЕЧНОЙ ПЛОСКОСТИ © В. Ф. Молчанов, С. В. Кольцова

Ключевые слова: кольца классов вычетов; свёртка; инвариантные алгебры функций; преобразование Радона.

Пространство функций на плоскости 1}п, инвариантных относительно группы БЬ(2, Zn) , образуют алгебру. Мы изучаем структуру этой алгебры и применяем наши результаты к решению обратной задачи для преобразования Радона на 1?п .

Пространство функций на плоскости Zn, инвариантных относительно группы ЯЬ(2, Zn) , образуют алгебру (коммутативную) М(п) . В настоящей работе мы описываем структуру этой алгебры, находим собственные векторы и собственные числа операторов умножения и применяем эти результаты к решению обратной задачи для преобразования Радона на Ъ2п.

Задача обращения преобразования Радона для проективного пространства над конечным коммутативным кольцом с единицей (в частности над Ъп) была изучена в работе [1].

§ 1. Плоскость над конечным кольцом

Для конечного множества X мы обозначаем через Ь(Х) пространство функций /(х) на X со значениями в С и через |Х| количество элементов в X . Размерность Ь(Х) равна |Х | .

Пусть К - конечное коммутативное кольцо, К2 = К х К - плоскость над К. Пространство Ь(К2) есть алгебра (над С) относительно свёртки:

(/ * Щ(г) = ^ /(и)Н(г - и) =

пеК 2

= ^ /(г - у)Н(у).

ьеК 2

Единицей в этой алгебре служит дельта-функция 5 , сосредоточенная в начале координат, т. е. 5(г) = 1 при г = 0, 5(г) = 0 при г = 0.

Пусть С = ЯЬ(2,К) - группа матриц второго порядка над К с определителем 1:

д = ( ^ в ) , а5 - ^7 = 1-

Она действует на К2 линейно: элемент д Є С сопоставляет точке г = (х, у) точку г =

^ У) :

( х = ах + ву \ у = 7х + 5у ‘

1716

Мы получаем представление и группы С сдвигами в пространстве Ь(К2) :

(и (д)/)(г) = / (д-1г).

Плоскость К2 распадается на С -орбиты А1,...,А5 . Обозначим через М(К) подпространство функций из Ь(К2) , инвариантных относительно С , т. е. постоянных на орбитах группы С . Это пространство является подалгеброй в Ь(К2) .

Дельта-функцию, сосредоточенную на орбите Аг (т. е. характеристическую функцию этой орбиты), будем обозначать тем же символом Аг. Свёртку Аг * Aj будем записывать в виде AiAj , она разлагается по Ак :

АА = £ Ак. к=1

Структурные константы е^ алгебры М(К) равны кратностям точек из Ак в арифметической сумме Аг + Aj множеств Аг и Aj . Точка 0 = (0, 0) € К2 является орбитой, скажем А1 , относительно С , поэтому дельта-функция А1 служит единицей в М(К) .

§ 2. Преобразование Радона

Назовём прямой на плоскости К2 множество I точек г = (х, у) , удовлетворяющих уравнению

ах + Ьу = е,

где а, Ь, е € К и элементы а, Ь взаимно просты, т. е. не имеют общих делителей, отличных от 1. Обозначим через Н множество всех прямых и через Но - множество всех прямых, проходящих через начало координат: ах + Ьу = 0 .

Преобразование Радона К : Ь(К2) ^ Ь(Н) сопоставляет функции / € Ь(К2) её «интегралы» по прямым I:

(К/)(1) = Е / (г).

Сопряжённый оператор К* : Ь(Н) ^ Ь(К2) даётся формулой

(К*^ )(г) = £ ^ (I).

Оператор Б = К*К действует в Ь(К2) :

(5/)(г) = £ Б (г, ад)/(ад),

его матрица Б(г,'ш) есть матрица инциденций: число Б (г, ад) равно количеству прямых, проходящих через точки г и ад (для ад = г - это количество прямых, проходящих через г ). Она инвариантна относительно сдвигов: Б (г + и, ад + и) = Б (г, ад) , поэтому зависит только от разности: Б (г, w) = Т (г — w) . Число Т (г) есть количество прямых из Но , проходящих через точку г . Действие группы С на К2 порождает сопряжённое действие группы С на Н0 : элемент д € С переводит пару (строку) (а, Ь) в строку (а, Ь)д-1 . Это действие транзитивно, поэтому функция Т(г) инвариантна относительно С, следовательно, она входит в М(К) .

1717

Предположим, что оператор 5 обратим. Тогда К обладает левым обратным Ь = Б-1Е* . Матрица 5(,г,-ш) оператора Б-1 тоже зависит только от разности: 5(,г,-ш) = Т(г — ад) . Равенство Б-1Б = Е на языке матриц имеет вид

Т(х — и)Т(и — ад) = 5(г — w).

пеК 2

Полагая w = 0 , получим ^ Т(г — и)Т(и) = 5(£) , или

Т * т = 5,

т. е. Т есть элемент алгебры М(К) , обратный к Т в смысле свёртки.

Это сводит задачу об обращении преобразования Радона к нахождению обратного элемента Т-1 для Т в алгебре М(К) .

§ 3. Алгебра М.(Ъп)

Пусть п - натуральное число ^ 2 , пусть

п = Ш\ . ..Ша = (3.1)

= РІ1 ■■■рк (3.2)

- его разложения на примарные и простые множители, пусть V - количество делителей !

числа п (имеем V = (кі + 1)... (ка + 1)).

Следующие три теоретико-числовые функции - мультипликативные функции:

^ = п (1 — рт)--- (1 — р;)- (3-3)

Лп) = ”2(1 — Р?) -(1 — Р?

“(п) = ш = п( 1+Рд'і 1+Ра) • (3-4)

Первая из них - функция Эйлера, ^>(п) указывает количество натуральных чисел ^ п, взаимно простых с п .

Кольцо Zn состоит из чисел 0, 1, 2, ..., п — 1, арифметические действия производятся по модулю п .

Для делителя ! Є {1, 2, ..., п} числа п обозначим через А^ множество точек г = (ж, у) из Ъ2п = Zn х Zn , для которых наибольший общий делитель из множества {1, 2, ..., п} координат ж, у равен !. В частности Ап состоит из одной точки 0 = (0, 0) . Множество А^ с ! < п содержит, в частности, точки (!, 0) и (0,!) .

Теорема 3.1. Количество точек в А^ равно ^(п/!) :

|Ad=^n).

В самом деле, достаточно показать, что |Ai| = ^(п) . Последнее утверждение доказывается аналогично формуле (3.3) для функции Эйлера.

Из теоремы 3.1 следует, что

^да= п2. (З^

й| n

1718

Теорема 3.2. Каждое из множеств Ad, d|n, есть орбита группы G = SL(2, Zn) на плоскости ZП , так что количество орбит равно v .

Из этой теоремы, в частности, следует, что порядок группы G равен

|G| = п0(п).

В самом деле, стационарная подгруппа точки (1, 0) € Ai состоит из матриц

1 в

0 1 I , в Є

Алгебру M(Zn) обозначим для краткости через М(п) . Базис в этой алгебре образуют дельта-функции Ал, !|п (как и в § 1 мы обозначаем дельта-функцию, сосредоточенную на орбите, тем же символом, что и саму орбиту). Умножение базисных элементов Ал мы дадим ниже, см. теорему 3.6.

Перейдём к другому базису {Вл} в М(п) :

Вл = ^] Ас. (3.6)

Л|с

Заметим, что матрица перехода от базиса {Ал} к базису {Вл} есть дзета-функция частично упорядоченного множества, состоящего из делителей числа п, отношение порядка — отношение делимости.

Теорема 3.3. Количество точек в Bd равно (n/d)2 :

|Bdi = (n )2 •

В самом деле, множество В^ состоит из точек г = (ж, у) , координаты ж, у которых делятся на ^, т. е. В^ = ^ ■ Zn. Заметим, что эта формула следует также из (3.6) и (3.5).

Теорема 3.4. Умножение базисных элементов В^ алгебры М(п) даётся следующей формулой:

\ 2

П

BdBc =V[d,c]J B(d’c)’ (3.7)

где [d, с] и (d, с) обозначают наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель чисел d и с, соответственно.

Теорема следует из того, что арифметическая сумма d ■ Zn + с ■ Zn есть (d, с) ■ Zn с кратностью n/[d, с] .

В частности, Bd = (n/d))2 Bd , так что элементы (n/d)-2Bd образуют базис, состоящий из идемпотентов.

Вспомним разложения (3.1), (3.2) и возьмём примарный множитель m = pk (m = mi, p = pi, k = ki). Элементы

Bn, Bn/p, Bn/p2 , • • • , Bn/pk (3.8)

порождают в M(n) подалгебру. Назовём её примарной подалгеброй и обозначим M(n, m) . По (3.7) умножение её базисных элементов даётся формулой

Bn/pa Bn/pe p Bn/pa , a ^ в (3.9)

l7l9

С другой стороны, рассмотрим алгебру M(rn) с базисом

Cm, Cm/p, Cm/p2 , . . . , Cm/pk , (3.l0)

где Cr обозначает дельта-функцию в M(ш) с носителем rZm . Умножение элементов (3.10) в алгебре M(rn) даётся точно такой же формулой, что и (3.9), с заменой B на C . Поэтому примарная подалгебра M(n, ш) алгебры M(n) изоморфна алгебре M(rn). Мы получили следующий результат.

Теорема 3.5. Алгебра M(n) разлагается в тензорное произведение своих примар-ных подалгебр:

M(n) = M(n, ш1) ® ® M(n, ш8),

так что M(n) изоморфна тензорному произведению:

M(n) = M(ш1) ® ® M^s).

Для примарной подалгебры М(п, т) элементы базиса (3.8) выражаются через элементы Ал следующим образом

к

Вп/рв ^ , Ап/ра . (3.11)

а=в

Следовательно, элементы Ап, Ап/р, ..., Ап/рк образуют базис в М(п, т), он выражается через базис (3.8) следующим образом:

Ап/ра = Вп/ра — Вп/ра — 1 , 0 < Л ^ к , (3.12)

Ап = Вп. (3.13)

Теорема З.б. Умножение элементов Ad из одной примарной подалгебры M(n, ш), ш = pk, даётся следующими формулами:

An/pa = ^(p0) S p2 _ An/pa + ^ An/pe, (3.l4)

[p в<а J

An/pa An/pe *0(p )An/pa, a > в (3.l5)

Всякий элемент Ad разлагается в произведение элементов из примарных подалгебр:

A. і ai a, == A. і ai A. / a, (3 1б)

An/p11 ...pas An/pi1... 'An/ps . (3.1б)

Формулы (3.14), (3.15) получаются из (3.11), (3.12), (3.13), для разложения (3.1б) надо ещё использовать (3.7).

Для элемента F из M(n) обозначим через F оператор умножения на F в M(n) . Все эти операторы коммутируют между собой. Найдём их общие собственные векторы и найдём собственные числа для операторов B .

Сначала рассмотрим примарную подалгебру M(n, ш), ш = pk (ш = ші , p = pi, k = ki), с базисом (3.8). Возьмём в ней ещё один базис:

Vn, Vn/p, Vn/p2 , •••, Vn/pk , (3.l7)

1720

где

^П/ра

П//ра 2 П//ра+1, ^< ,

Р

У,П/рк Вп/рк •

Базис (3.17) является собственным базисом для операторов Вп/рт , г = 0,1, ...,к , (это проверяется с помощью (3.7)), а именно

Вп/рг ^п/ра Мат Уп/ра ,

^ат —

где

2т

р, а ^ г,

0, а < г.

Составим матрицу ^ — (-шат) порядка к + 1:

W —

/ 1 0 0 • •• 0 0 \

1 р2 0 • •• 0 0

1 р2 р4 . •• 0 0

1 р2 р4 . 2 •- • •2 р 0

V 1 р2 р4 • • • р2к-2 р2к /

обратная матрица есть

W-1 —

V

1 0 0 • •• 0 0 \

1/р2 1 /р2 0 • •• 0 0

0 -1/р4 1/р4 • •• 0 0

0 0 0 • • 1/р2к-2 0

0 0 0 • • —1/р2к 1/р2к /

Это можно выразить следующим образом. Возьмём элемент ^ Є М(п,т) и разложим его по базису (3.8): ^ ^ /тВп/рг , тогда собственное число оператора I7 , отвечающее Уп/ра ,

есть

Обратно, мы имеем

А« — ^ Р2т /т

(3.18)

т=0

/т — р1' (Ат - Ат-і), г > 0,

/о — А0 •

(3.19)

(3.20)

Теперь образуем произведения векторов РП/ра по всем примарным подалгебрам алгебры М(п) , т. е. возьмём векторы

V(а1, ..., а^) = Уп/р*1 уп/ра22 • • • уп/ра°,

где а* = 0, 1, • • • , кг .

1721

Теорема 3.7. Векторы V(а1,... ,as) образуют базис в M(n), собственный для всех операторов F . Собственное значение оператора F для «чистого тензора»

F — Bn/p11 . . . Bn/p? ,

отвечающее вектору V(а1,..., as), равно произведению p2ri .. .p2rs , если ai ^ ті для всех i — І, ..., s , и равно О в противном случае.

§ 4. Преобразование Радона для Zn

Теорема 4.1. Количество прямых из Н0 ( т. е. прямых ax + by — О), проходящих через всякую из точек множества Ad, равно ( функцию w(n) см. (3.4)) :

i(”’d) = • (4Л)

Доказательство. Группа G действует транзитивно на Ad и на H0. Всякая прямая из H0 пересекается со всеми Ad (например, через точку (d, О) проходит прямая у — О), в частности с Ai . Поэтому количество всех прямыхв H0 равно

|A1|/^(n) — ^(n)/^(n) — w(n) . На каждой прямой имеется ровно <^(n/d) точек из Ad (например, на прямой у — О лежат точки (vd, О) , где v — І, 2, ..., n/d — І ,и v взаимно просто с d ). Поэтому

( Л t(n, d)^(n/d)

W(n) — p(n/d) ,

откуда получаем (4.1). □

Функция t(n, d) , определённая (4.1), удовлетворяет условию

t(n, n/pa1 .. .pas) — t(m1, m1/pai)... t(ms, ms/p°as). (4.2)

Для m — pk мы имеем

,/ / 1 Pk r, О < r ^ k, , .

t(m,m/p)^ pk + pk-l, r — О. (4.3)

По теореме 4.1 элемент Т из М(п) (см. § 1) есть

Т = ^ і(п, ^)АЙ.

^|п

Теорема 4.2. Элемент Т Є М(п) разлагается в произведение элементов из при-марных алгебр:

Т = Т (ті) ...Т (ш8), Т (ші ) еМ(п,т;),

где

кі

Т (ші) = ^ і(ші, т^/ра)Ага/ра.

а=0

Теорема следует из формул (4.2) и (3.16).

Разложение Т(т) по базису (3.8) таково:

T(m) — X] b(m/pa)Bn/pa , (4.4)

a=0

1722

где

( рк, г = 0,

Ь(т/рг) = < рк-г — рк-г-1, 0 < г < к, (4.5)

[ 1, г = к.

Эти формулы вытекают из (4.3) и (3.12), (3.3).

Найдём собственные числа А(т/ра) операторов Т(т) . По (4.4), (4.5) и (3.18) мы находим

, , ач Г рк+а, 0 ^ а < к,

А(т/р ) = ( р2к + р2к-1, „ = к.

Эти числа положительны. Следовательно, Т(т) имеет обратный элемент Т(т)-1 с собственными числами Л =1/А:

w / ^ f p-(k+a), О ^ а < к,

(m/p ) — j p-2k+l(p + і)-1, а — к.

По (3.19), (3.20) находим координаты b(m/pa) элемента T(m) 1 в базисе (3.8):

p-k, а — О,

b(m/p") — { —p-k-3a(p — 1), О < а < к, (4.6)

—p-4k+2(p + і)-1, а — к,

так что

-1 —

a=0

Окончательно получаем

T (m) 1 — ^ ^m/pa)Bn/pa. (4.7)

Теорема 4.3. Элемент Т из алгебры М(п) имеет обратный ( в смысле свёртки) элемент Т-1, последний разлагается в произведение элементов из примарных подалгебр:

Т-1 = Т(т1)-1... Т(ш8)-1, Т(ш,)-1 € М(п, ш,),

множители Т(ш,)-1 даются формулами (4.7) и (4.6) .

ЛИТЕРАТУРА

1. Граев М.И., Павленко Н.В. Преобразование Радона в пространстве Pn(A), где A - конечное коммутативное кольцо с единицей // Докл. АН СССР. 1972. Т. 207. № 2. С. 270-273.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 0901-00325); АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» (проект № 1.1.2/1474); ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (государственный контракт № 14.740.11.0349); темплана 1.5.07.

Поступила в редакцию 25 августа 2010 г.

Molchanov V. F., Koltsova S. V. Algebras of functions and Radon transform on a finite plane.

The space of functions on the plane invariant under the group SL(2, Zn) is an algebra with respect to the convolution. We study a structure of this algebra and apply our results to solve an inverse problem for the Radon transform.

Key words: residue class rings; convolution; invariant algebras of functions; Radon transform.

1723