Представления группы движений плоскости Лобачевского-Галилея Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО-ГАЛИЛЕЯ

© Ю.В. Дунин

Ключевые слова: плоскость Лобачевского; дуальные числа; представления групп; инвариантные подпространства.

Для плоскости Лобачевского-Галилея исследована структура инвариантных подпространств для представлений группы движений, действующих в пространствах быстро убывающих и финитных функций.

§ 1. Плоскость Лобачевского-Галилея и ее группа движений

Алгебра Л дуальных чисел есть двумерная алгебра над полем М , состоящая из элементов г = х + іу , х,у Є М, с соотношением і2 = 0. Она не является полем: чисто мнимые числа іу являются делителями нуля. Числом, сопряженным дуальному числу г = х + іу , называется число г = х — іу .

Определим функцию ех с помощью стандартного ряда, мы получим

ех+іу = ех(1+ іу).

Мультипликативная группа Л* алгебры Л состоит из чисел г = х+іу , х = 0 . Всякое такое число можно представить в виде г = хег1р , где р = у/х. Всякое одномерное представление Ф(г) группы Л* задается формулой:

Ф(г) = |х|^п£х ■ е^,

где Х,^ Є С, є Є 0,1.

Плоскость Лобачевского-Галилея С есть множество на плоскости Л , задаваемое неравенством:

гг < 1.

Это вертикальная полоса, ограниченная прямыми х = —1 и х = 1. Обозначим правую прямую, состоящую из точек в = 1 + іу, через 5.

Группа С движений плоскости Лобачевского-Галилея С состоит из дробно-линейных преобразований

„ аг + Ь _ -

г ^ г = --, аа — ЬЬ = 1, а,Ь Є Л. (1.1)

Ьг + а '

Группа С действует транзитивно на каждой из прямых х = —1 и х = 1 , в частности на 5.

Многообразие С обладает метрикой йв и мерой йа , которые обе инвариантны относительно группы С :

йх йх йу

йв =------------------^ , йа =

1 — х2 ’ (1 — х2)2

1708

Матрицы

а Ь \ _ г

т _ , аа — ЬЬ = 1,

Ь а )

соответствующие преобразованиям (1.1), образуют группу Яи(1,1;Л). Обозначим а = а + гр, Ь = в + гЯ. Условие аа — ЬЬ = 1 равносильно тому, что а2 — в2 = 1, так что

а2 ^ 1, т. е. а ^ 1 или а ^ —1. Следовательно, группа Яи(1,1;Л) состоит из двух связ-

ных кусков. Группа С как раз изоморфна связной компоненте единицы группы Яи(1,1; Л) . Эта компонента состоит из матриц д с условием а ^ 1. Для нее мы сохраним обозначение С. Параметры а и в матрицы д € С можно записать в виде а = сМ и в = , где

Ь € М. Следовательно, всякую матрицу д € С можно записать в виде

д = д(Ь) + гс(р,я), (1.2)

где

д<‘>=(£ :“)■ с^)=( —; -р

Алгебра Ли д группы С трехмерна, она состоит из матриц

/ гх2 Х1 + гхз \

X = . . } , х1,х2,х3 € М.

у Х1 — гх3 —гх2 )

Координаты здесь соответствуют следующему базису в д :

* = ( 0 0 ) = ( 0 .» ).* = ( .» 0

§ 2. Представления группы движений плоскости Лобачевского-Галилея

В этом параграфе мы даем описание двух серий представлений группы С, индуцированных одномерными представлениями «параболических» подгрупп Ро и Р^ . Первая подгруппа Ро есть стационарная подгруппа точки во = 1 из Б , вторая подгруппа Р^ получается предельным переходом из стационарной подгруппы точки ву = 1 + гу при у ^ ж . Подгруппа Ро состоит из матриц (1.2), для которых р = я , т. е. из матриц

Ь(Ь,Я) = д(Ь) + гс(д.д).

Ее одномерное представление и\ задается комплексным числом Л :

ш\(Н) = и\(Н(г, я)) = еЛ = (а + в)Х.

Множество классов смежности С/Ро можно отождествить с прямой Б , сопоставив точке в = 1 + гу € Б матрицу

1 + гу/2 0

0 1 — гу/2

Представление Тл группы С , индуцированное представлением и\ , действует в функциях <^(в) на Б по формуле

ав + , , ^чЛ

Т\(д)Ф) = + (а +в). Л € с

Мы будем считать, что представление Тл действует в пространстве S(Б) быстро убывающих функций <^(в) на Б класса С.

1709

Элементам Ь1 , Ь2 , Ьз базиса в д отвечают операторы:

и

ТЛ(Ь1) = —2у~йу + Л. (2.1)

и

Тл(Ь2 ) = 2- (2.2)

Иу

И

Тл(Ьз) = —2—. (2.3)

Иу

Стационарная подгруппа Ру точки 1 + гу состоит из таких матриц (1.2), для которых р = д + ву = Я + у^ЬЬ , т.е из матриц

Н(Ь, д) = д(Ь) + гс(д + увЫ, д).

Подгруппы Ру и Ро изоморфны, так что представления, индуцированные одномерными представлениями этих подгрупп, эквивалентны.

Найдем предел Р^ подгруппы Ру при у ^ ж . Для этого считаем параметры Ь и д зависящими от у : Ь = Ьу , д = ду , причем так, что существуют пределы Нш Ьу = Ь, Иш ду = д , Нш(ду + увИЬу) = р .Из этих условий следует Ь = 0 . Следовательно, подгруппа Р<х состоит из матриц

Н = Н(и, V) = Е + гс(п,ь), (2.4)

где Е - единичная матрица второго порядка. Эта подгруппа - коммутативный нормальный делитель в С , изоморфный М2 , следовательно, ее одномерные представления ш задаются двумя комплексными числами Л, ^ и имеют вид

шлАН) = еЛив^,

где Н есть матрица (2.4). Всякая матрица д € С (см. (1.2)) может быть записана в виде

д = Н(и,и)д(Ь), (2.5)

где

Н(и, V) = Е + гс(р, д)д(Ь)-1,

так что

и = р^Ь — дёЫ, V = — р$Ы + д^Ь.

Следовательно, множество классов смежности С/Р^ можно отождествить с подгруппой матриц д(Ь) . С другой стороны, эту подгруппу можно отождествить с прямой Б , сопоставив точке в = 1 + гу € Б матрицу д(у) . Представление Т\ А группы С, индуцированное представлением шлА , действует в функциях <^(в) на Б по формуле

ТлАд)(р(в) = ^(у) шл,а(Н) ,

где У = 1 + гу и Н получаются из разложения д(у) ■ д = Нд(у) . Запишем д в виде (2.5), тогда

д(у) ■ д = {Е + гg(y)c(u, %(у)-1} ■ д(у + ^

так что у = у + Ь, Н(и, V) = Е + гс(и, У), где

с(у, У) = д(у)с(и, и)д(у)-1 = д(у)с(р, д)д(у + Ь)-1,

1710

следовательно,

у = р еИ(2у + Ь) — д вИ(2у + Ь), (2.6)

у = — р вИ(2у + Ь) + д еИ(2у + Ь). (2.7)

Окончательно для д = д(Ь) + гс(р, д) получаем

Тл,а (д)р(в) = р(у + Ь)еЛУ+АУ,

где у и у даются формулами (2.6) и (2.7). Это представление действует в пространстве Р(Б) финитных функций <^(в) на Б класса СГО .

Базисным элементам Ь1 , Ь2 , Ьз в алгебре Ли д отвечают операторы:

ТЛА (Ь.) = (28)

Тл,а(Ь2) = Л еИ2у — ! $Ъ2у, (2.9)

Тл,а(Ьз) = —Л 8И2у + ! еЪ2у, (2.10)

второй и третий операторы - это операторы умножения на функцию.

В изучении структуры представлений Тл и Т\^ мы опираемся на описание пространств функций на прямой, инвариантных относительно сдвигов [1]. Этому описанию посвящен следующий параграф.

§ 3. Инвариантные относительно сдвигов пространства функций на прямой

Рассмотрим в СГО(М) подпространства Б(М) и Р(М) соответственно быстро убывающих и финитных функций на М со значениями в С .

Пространство Б(М) состоит из функций / € СГО(М) , которые для любых 1,д = 0,1, 2,... удовлетворяют неравенствам

(1+ х2)1/2|/(9)(ж)| < С1>д, (3.1)

где С\л - некоторые числа. Последовательность /п(х) называется сходящейся к функции / (х) , если производные любого порядка от функции /п(х) на любом ограниченном интервале равномерно сходятся к соответствующей производной от функции / (х) и в оценках (3.1) для /п(х) числа С\}Я можно взять независящими от п.

В пространстве Р(М) сходимость последовательности /п(х) к функции /(х) означает, что все функции /п(х) обращаются в нуль вне некоторого ограниченного интервала и равномерно сходятся к /(х) так же, как и их производные любого порядка.

На этих пространствах действует группа М сдвигами:

(Т(а)/)(х) = /(х — а), а € М.

Пусть N = {0,1, 2,...} , М+ = {1, 2,...} , N = N и {ж} , М+ = М+ и {ж} .

Пусть Е - произвольное замкнутое множество на М и т(х) - функция на Е со значениями в N+ такая, что если х - предельная точка для Е, то т(х) = ж . Обозначим

через Е(Е,т) подпространство функций / € Б(М) таких, что для всех а € Е и к < т(а)

справедливо соотношение:

/ГО

хк ешх / (х)Их = 0. (3.2)

-ГО

1711

Теорема 3.1. Подпространства E(F,m) в S(R) замкнуты и инвариантны относительно сдвигов. Обратно, всякое замкнутое инвариантное относительно сдвигов подпространство в S (R) есть одно из E (F,m) .

Пусть Z - дискретное множество в C и m(z) - функция на Z со значениями в N+ . Обозначим через E(Z,m) подпространство функций f € D(R) таких, что для всех a € Z и k < m(a) справедливы соотношения (3.2).

Теорема 3.2. Подпространства E(Z,m) в D(R) замкнуты и инвариантны относительно сдвигов. Обратно, всякое замкнутое инвариантное относительно сдвигов подпространство в D(R) есть одно из E(F,m).

§ 4. Структура представлений группы G

Теорема 4.1. Всякое замкнутое подпространство в S (S), инвариантное относительно представления Т\ группы G, есть одно из подпространств E(F,m), причем m(a) = ж для всех a € F , a = 0 .

Доказательство. Пусть V - замкнутое подпространство в S (S) , инвариантное относительно представления Т\ группы G, и потому инвариантное относительно операторов T\(L\) , T\(L2) , T\(L3), см. (2.1), (2.2), (2.3). Инвариантность относительно операторов T\(L2) и T\(L3) дает, что V инвариантно относительно сдвигов. По теореме 4.1 получаем V = E(F, m) . Оператор T\(L\) сохраняет соотношение (3.2) (с заменой x на у ) только если a = 0 или m(a) = ж . □

Теорема 4.2. Всякое замкнутое подпространство в D(S), инвариантное относительно представления T\ ^ группы G, есть одно из подпространств E(Z,m) со следующими условиями. Если X ± ц = 0, то множество Z и функция m(z) инвариантны относительно сдвигов на ±2i (то есть если z € Z, то z ± 2i € Z). Если X — ц = 0, X + ц = 0, то множество Z и функция m(z) инвариантны относительно сдвигов на 2i. Если X — ц = 0, X + ц = 0, то множество Z и функция m(z) инвариантны относительно сдвигов на —2i. Наконец, если X = ц = 0, то множество Z и функция m(z) произвольны.

Доказательство. Пусть V - замкнутое подпространство в D(S) , инвариантное относительно представления T\ ^ группы G, и потому инвариантное относительно операторов T\^(Lj) , j = 1, 2, 3 , см. (2.8), (2.9), (2.10). Инвариантность относительно оператора T\^(L\) дает, что V инвариантно относительно сдвигов. По теореме 4.1 получаем V = E(Z,m) . Это пространство V должно выдерживать умножения на функции (X — ц)е-2у и (X + ц)е2у . Если V выдерживает умножение на функцию e±2y , то по (3.2) множество Z и функция m(z) инвариантны относительно сдвигов на ±2i. □

ЛИТЕРАТУРА

1. Молчанов В. Ф. Инвариантные подпространства функций на прямой // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2002. Т. 7. Вып. 1. С. 48-49.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 0901-00325); АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» (проект № 1.1.2/1474); ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (государственный контракт № 14.740.11.0349); темплана 1.5.07.

Поступила в редакцию 25 августа 2010 г.

Dunin Yu. V. Representations of the translation group of the Lobachevsky-Galilei plane.

For the Lobachevsky-Galilei plane there is studied the structure of invariant subspaces for representations the translation group acting on spaces of quickly decreasing or finite functions.

Key words: Lobachevsky plane; dual numbers; group representations; invariant subspaces.

1712