Преобразование Хартли в задачах квадратурной фильтрации сигналов релейной защиты Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.316:621.311

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАРТЛИ В ЗАДАЧАХ КВАДРАТУРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ СИГНАЛОВ РЕЛЕЙНОЙ ЗАЩИТЫ

А.Л. КУЛИКОВ *, А.С. СВЕЧНИКОВ *, В.А. ФАЛЬШИНА **

• Филиал ОАО "ФСК ЕЭС" - Нижегородское предприятие магистральных

электрических сетей ** НГТУ им. Р.Е. Алексеева

В статье рассматриваются цифровые фильтры на основе дискретного преобразования Хартли и особенности их применения в цифровой релейной защите. Представлены сравнительные результаты расчетов амплитудно-частотных характеристик фильтров по алгоритмам дискретного преобразования Фурье и дискретного преобразования Хартли.

Ключевые слова: цифровая релейная защита, дискретное преобразование Хартли, квадратурная фильтрация.

Квадратурная цифровая фильтрация токов и напряжений широко применяется в различных электроэнергетических задачах [1-5]. В частности, на основе квадратурных фильтров выполняются измерительные органы цифровой релейной защиты. Такие фильтры могут реализовываться по различным алгоритмам, наиболее употребительными из которых являются [1,3,5]:

• дискретное преобразование Фурье (ДПФ);

• дискретное преобразование Уолша (ДПУ);

• алгоритм «короткого окна» данных.

В работе [7] рассматривалась возможность замены ДПФ дискретным преобразованием Хартли (ДПХ) без увеличения времени обработки, а также обсуждались особенности и достоинства такой замены. Сочетание ДПУ с ДПХ нецелесообразно, поскольку существует их однозначная связь через ДПФ. Целью настоящей статьи является проработка вариантов интеграции алгоритмов «короткого окна» данных с ДПХ для формирования новых алгоритмов квадратурной фильтрации.

В число методов «короткого окна» данных, как правило, включают двух-, трёх-выборочные алгоритмы, а также алгоритм четвертьпериодной выборки [1, 3, 5]. Их реализация отличается повышенным быстродействием, так как в вычислениях используются лишь два или три отсчёта сигналов тока и напряжения промышленной частоты. В результате плохо отфильтровываются высокочастотные составляющие шума, поэтому предпочтительно применение алгоритмов «короткого окна» в комбинациях с другими фильтрами (например, рис. 1).

© А.Л. Куликов, А. С. Свечников, В.А. Фальшина Проблемы энергетики, 2011, № 7-8

Рис. 1. Сочетание алгоритмов «короткого окна» с другими вариантами фильтров

Для улучшения качества подавления нежелательных сигналов целесообразно введение, например, ДПФ-фильтрации. Однако в качестве альтернативы может быть рассмотрено ДПХ, что приводит к формированию новых алгоритмов и структур квадратурных фильтров. При этом для сокращения вычислительной сложности совокупности операций целесообразно перейти к схеме рис. 2.

[ х/цифровой обработки

Косинусным фильтр

х( п-N)

Х( п) _

у( п)

_Квадратурные фильтры

у1 (п)

«короткого окна»

Рис. 2. Сочетание ДПХ с квадратурной фильтрацией «короткого окна»

В таком случае квадратурная фильтрация уже несёт другую алгоритмическую нагрузку, её целью становится получение квадратурных комплексных составляющих токов и напряжений из действительной выборки Хартли-фильрации. Учитывая, что основные вычислительные затраты состоят в реализации операций ДПХ или, например, ДПФ (рис. 1), то вариант рис. 2 позволяет практически вдвое сэкономить число операций по сравнению с традиционным способом на основе ДПФ, в том числе и по схеме рис. 1. Сокращение числа операций объясняется действительной арифметикой ДПХ по сравнению с комплексной арифметикой ДПФ [6].

ДПХ последовательности х (/) = {х (0), х (1),..., х (N-1)} отсчётов

синусоидального сигнала с учётом обозначений, принятых в литературе [4], определяется соотношением [6]

X

(п)

= N ? х (/)'

cas(-), п - N + 1 < I < п ,

N

где соу(а) = cos(а) + sin(a). Известна связь между ДПФ (п)) и ДПХ (X(п)), определяемая формулами:

¥(п п) =

Х( п) + Х( - п)

Х(п) - Х(- п)

х(п) = Re(п)) - !ш(F(п)), © Проблемы энергетики, 2011, № 7-8

ДПХ

Кш

фильтра

2

2

причём X (-п) = х (N-п).

Для реализации квадратурных фильтров в сочетании с ДПХ воспользуемся свойством [6, 8]

саз(а + в) = соз(в) • саз(а) + зт(в) • саз(-а).

п

Выберем, например, в = —, тогда

2

п п п

саз(а + —) = соз(—) • саз(а) + 8!п(—) • саз(-а) = саз(-а).

С учётом фильтрации гармоники промышленной частоты и принятых ранее обозначений ДПХ последовательности, задержанной на N/4 - отсчётов имеет вид

Х (п-

(п-N/4)= N.

1 п

=- X

АТ ¿—I

п г2%1 ^ Х(|' )са*

'=п-N+1

ч N N • 4 ,

= /2) X х(|')са8(^п^) - /2) X

Принимая значения со«(п / 2) = 0 и зт(л / 2) = 1, получаем

Х (п-

(п-N /4)

1 п

=-- X

кг

Х(: )са«

N ~ -С('') I=п-N+1

2пг

N

= - Х (-п) = - Х ( N-,

(N-п) •

Таким образом, для формирования квадратурных составляющих по алгоритму четвертьпериодной выборки [1,3,5] необходима реализация выражений

У(п) =-

У ± (п)

Х (п) - Х (п-

N.

2

X(п) + X

(п)+ х (п-

N.

2

При этом схема фильтрации выглядит следующим образом (рис. 3).

Рис. 3. Сочетание ДПХ с алгоритмом четвертьпериодной выборки © Проблемы энергетики, 2011, № 7-8

Операции деления на два в схеме рис. 3 реализуются простым сдвигом разрядов, носят условный характер и не требуют аппаратурно-временных затрат.

Несмотря на простоту схемы (рис. 3) и значительную экономию вычислений, такая фильтрация имеет существенный недостаток -

N • I д

дополнительное увеличение задержки в структуре фильтра на время - (где

4

* д - интервал дискретизации сигнала) по сравнению с фильтрацией посредством

^точечного ДПФ (ДПХ). Дополнительная задержка может оказаться неприемлемой при реализации быстродействующих цифровых устройств релейной защиты.

В этих условиях целесообразно получение хотя и несколько усложнённых, но более быстродействующих технических решений с использованием ДПХ. Реализовать возможности по построению «быстрых» процедур позволяют методы двух- и трёх выборок.

Двухвыборочный алгоритм использует два последовательных отсчёта и существует в двух вариантах [1,3,5]. Применительно к решаемой задаче учитываем, что

,2пг 2пч ,2лч ,2пг\ . ,2п. , 2пг\ саз(---) = соз(—) • саз(-) - зт(—) • саз(--),

N N N N N N

отсюда

Х(и-1) = ^^)Х(и) - ^^Т)Х(-и).

Тогда, например, квадратурный фильтр может быть реализован согласно выражениям:

(2п)

Х (и) + Х(-и) = Х(и) + С1й( N 'у___1

2 2

_ У") У ") _ У") ,__N V ■ V —

У(и) =-2-= ~Г~ + Х(и) " . ,2п Х(и-1) =

)

1 + ctg(^П) 1

= 2 Х(и)--Х (и-1);

2 2з1п(—)

N

Х (и) - Х (- и) Х (и) С1ё(1\Г) Х 1 Х

УЧи) = 2 = "2 Г" Х (и) + Х (и-1) =

)

1 - ) , N 1

= 2 Х (и) + Х (и-1).

)

При этом возможные структуры квадратурных фильтров принимают вид рис. 4.

Х( п—N)

М п)

а)

1+< А

.х-А

)

N

1 -

! у(п)

рпх

^ ( п)

б)

Рис. 4. Сочетание ДПХ с двухвыборочным алгоритмом

Очевидно, что структуры рис. 4, а и рис. 4, б отличаются незначительно в быстродействии и аппаратурных затратах. Так, например, для варианта рис. 4, а требуется лишь два умножения вместо трёх (рис. 4, б), но это компенсируется дополнительными сложениями.

Отметим важный частный случай двухвыборочного алгоритма, когда задержка в структуре квадратурного фильтра составляет N /8 отсчётов сигнала. При этом

Х(п-у8) = со8(^4) • Х(п) - • х(-п) = ^ (Х(п) - Х(-п))

Тогда уравнения квадратурного фильтра принимают вид:

у х(п) + х(-п) х 1 х / . У(п) =-;-= х(п) -~гТ Х(„-N1);

ДПХ

2

^ (-N8)'

Х(п) - Х(-п) 1

У±(п)= 2 ' ' =ТгХ(п-N8),

а его структура существенно упрощается (рис. 5).

1

х(п- N )

ДПХ Х(п) - N/ Z /8

1

л

.12 V

Квадратурный фильтр

•И(п)

Л(п)

Рис. 5. Сочетание ДПХ с N / 8 - выборочным алгоритмом

Алгоритмы трёх выборок используют три последовательных отсчёта для получения квадратурных составляющих.

Для формирования наиболее эффективного трёхвыборочного алгоритма (с меньшим числом вычислительных операций) воспользуемся следующими соотношениями:

х(п-1) = сИ^х (п)- «1п(2т >х (-п); Х (п+1) = с0«(^)Х (п) + *»П(^)Х (-п)'

N

тогда

Х (п+1) - Х (п-1) = 'Х (-п) .

Таким образом,

результат вычитания х(п+1) - х(п—1) можно использовать

для получения последовательности Х(-п), необходимой при формировании

квадратурных составляющих.

Наиболее простая структура квадратурного фильтра выглядит согласно рис. 6.

Рис. 6. Сочетание ДПХ с одним из алгоритмов трёх выборок

Отметим, что вариант построения квадратурного фильтра (рис. 6) для алгоритма трёх выборок не является единственным, возможные технические © Проблемы энергетики, 2011, № 7-8

+

х

решения могут быть реализованы с учётом [5]. Однако представленная структура (рис. 6) обладает наименьшими вычислительными затратами.

Сравнительный анализ качества фильтрации, как правило, осуществляют на основе построения амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) фильтров. Именно АЧХ позволяют в основном оценить динамическую и статическую устойчивость измерительных органов устройств релейной защиты при воздействии различного рода помех и участвуют в формировании комплексного показателя - отношения «сигнал/шум» [4].

Сопоставление полученных новых вариантов квадратурных фильтров произведём с аналогичными вариантами на основе ДПФ.

Размерность N ДПХ (ДПФ) выберем из ряда N=8, 16 и 20 и сравним АЧХ соответствующих фильтров.

Для сравнительного анализа ДПФ полного периода и ДПХ фильтрации в сочетании с квадратурными фильтрами «короткого окна» результаты расчетов АЧХ представлены на рис. 7 и 8.

Т

/

/ - дих в сочетали е

/ ,Л!УЧЕИ.ПКЬ|>»ЧЛЫМ ИЛГО-

/ рмтчом

/ — ДПФ

/

/

/

/ ✓ N

г / \

1 1

/ Л—8 — ДПХ в гшетип с рН1МОЧ1 - ДПФ

/

/

/

/

/

/

/

Т

(

1111!

\ Л—20 --ДПХ в сспсташш с двухвыборочним 1-М о рю нн - ДПФ -

И

1

Л

'г 1 V Л л А Л Л

А ! 1 1 1 ( 1 1 1 \ \

I 1 1 1 1

л=го --ДПХ в соч(мянии с ■ рсчвыйирошшч влго-рц 1МОЛ1 - ДПФ -

1

Л

Л

Лл

^ Ч^ч

О 50 1110 150 2011 250 300 550 -100 450 500 Частота, Гп

(I 30 Ш 150 100 2511 300 350 400 450 5«! Частота. Гц

Рис. 7. Результаты расчетов АЧХ фильтров ДПФ и ДПХ в сочетании с двух- и трёхвыборочным

алгоритмами

1-1 1

0-9 0.В 1 0.7 É" 0.« - o.s

i 0.4 0.3 0.1 o.t o

У/ Í4 Л-8

1 [ \\ — ДПХ в сочетании с

■ \y алгоритмом четверть-

¡1 периодной выборки

и \\ — ДПФ

t¡ n

tj

\\

j

1 А

100

Частота. Гц

1.1

]

0.9

0.8

£ 0,7

■ 0.6

= 0.S

< 0.4

0.3

0.2

0.1

1)

I 1

/ Л'=8 --ДПХ Б сочетании с

/

Л-Я - i.: ■: II ■ ■ : > ■. II ым ал ю

1 рн i

/ - ДПФ

/

/

/

/ S N

/ / \

им

Чип rn л, Гц

1.1 1

0.9 0.8

В И Е о .6

I 05

< 0.4 0.3

о.г 0.1 о

IIII

Л-16 --ДПХ в сочетании с Л-8 - выборочным ал го ритмом - Д[[ф -

О.

100 1SÜ 2UU 25U Частота, Ги

300 350 4Ü0

Рис. 8. Результаты расчетов АЧХ фильтров ДПФ и ДПХ в сочетании с N / 8 - выборочным алгоритмом и с алгоритмом четвертьпериодной выборки

Анализ рис. 7 и 8 позволяет сделать следующие выводы:

1. Сочетание ДПХ и квадратурных фильтров «короткого окна» приводит к характеристикам, отличающимся в ряде случаев от ДПФ полного периода. При малых значениях N (например, N=8) АЧХ полученных фильтров с использованием ДПХ совпадают с АЧХ ДПФ полного периода. В ряде случаев (рис. 7, N=8 трёхвыборочный алгоритм) наблюдаются улучшенные свойства подавления нежелательных высоких частот. С другой стороны, при возрастании размера выборки N на период промышленной частоты, как правило, происходит общее ухудшение фильтрующих свойств рассматриваемых алгоритмов ДПХ в сочетании с фильтрами «короткого окна». Исключение составляет вариант, предполагающий использование алгоритма «четвертьпериодной выборки» (рис. 8), у которого характеристики несущественно изменяются при возрастании N и обеспечивают несколько лучшее подавление высокочастотных помех.

2. С увеличением числа выборочных отчётов N на период промышленной частоты экстремум АЧХ ДПХ в сочетании с квадратурными фильтрами «короткого окна» смещается относительно частоты У=50 Гц. Указанное явление оказывает негативное влияние при фильтрации апериодической составляющей, вызывая дополнительные ошибки.

Поскольку в алгоритмической схеме ДПХ и квадратурные фильтры «короткого окна» соединены последовательно (рис. 3-6), то результирующая АЧХ определяется произведением АЧХ этих звеньев. Неравномерность АЧХ квадратурных фильтров «короткого окна» в зависимости от частоты (рис. 9) приводит к смещению максимума результирующей характеристики относительно значения У=50 Гц.

-

—

У

1 р

** алгорн гвд ннусный фнль

--ко

-синусный филмр

II 511 10(1 1511 2(10 250 301) 350 400 450 500 Чиспи !. Гц

1.2 1.1

0.9

I 0.8

1-0.7

: о.б

; 0.5 : 0.4

Он) 0.2

0.1 «

/

N

/ \

\

/ \

/ Ч

/ ч

л ■20, алгоритм грек выборок

--ыпсннусовМ! фн 11.11> - СННуСИММ ф|1ЛЫ|>

О 50 ¡00 150 200 350 300 350 400 450 500 Части Гц

/ \ \

/ Г \

/ / \

/ / \

/ / Л=| 6, Л /8 иыбо ричны и ал го ¡>МТМ \ \

синусный фильтр

II 50 100 150 200 250 300 350 400 Часг&гз. Гц

Рис. 9. АЧХ квадратурных фильтров

Целесообразны следующие методы корректировки результирующей АЧХ.

Вариант 1. Смещение максимума АЧХ посредством дополнительного умножения отсчётов фильтруемого сигнала на тригонометрический коэффициент («цифровое гетеродирование»).

Воспользуемся тригонометрическим равенством

зт(а) • соз(Р) = — • (ш(а - в) + зт(а + в)).

2

Используя это равенство и зная разность частот (А/) между промышленной частотой и частотой, при которой наблюдается максимум амплитуды, получим выражение

sin(2п/пТ + ф) • о(2пА/ПТ) = - • (т(2п(/ - А/)пТ + ф)+ sin(2^к(/ + А/)пТ + ф)).

2

Таким образом, возможен сдвиг на А/ характеристики фильтра по оси

частот в требуемом направлении. Однако такая операция предполагает применение дополнительного полосового фильтра.

Расчётные значения частотного сдвига А/ в зависимости от количества N отсчётов приведены на рис. 10, б. На рис. 10, а показана амплитудная ошибка, компенсирующаяся в результате частотного сдвига.

Заметим, что операция смещения характеристики фильтра (рис. 11) сопровождается изменением его свойств во всём диапазоне частот, в частности в области нулевых частот и кратных основной частоте. Указанный эффект нежелателен при фильтрации постоянной (апериодической) составляющей и электрических сигналов, включающих кратные гармоники. Отметим, что такая обработка связана с незначительным увеличением вычислительных операций.

1,04

Я

& 1,03

1 1,02 И

Я

S 1,01

я

й 1

н

| 0,99 < 0,98

Я -

« §

я ST

Количество отсчётов (N)

16 20 32 64

Количество отсчётов (№)

а) б)

Рис. 10. Кривые изменения значения первого экстремума АЧХ (а) и частоты (б), на котором он наблюдается, в зависимости от N для ДПХ с двухвыборочным алгоритмом

L1

i

0,9

о.в

§ 0.7 = 0.6

I В'5

•Í 0.4 0J 0.2 0.1 О

№

1.1

0.9

0.8

л 0 7

- 0.6

= 0.5

■5 0.4

0.J

0,2

0.1

0

0

ñ

а

ш

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Частота, Гц

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Частота. Гц

а) б)

Рис. 11. АЧХ ДПХ с двухвыборочным алгоритмом до (а) и после (б) смещения по частоте

Вариант 2. Применение дополнительного сглаживающего фильтра («алгоритм скользящего среднего»).

Пример характеристики сглаживающего фильтра, содержащего М=6 последовательных отсчётов, изображён на рис. 12, а. Характеристика сглаживающего фильтра определяется выражением

1 п

Уп = а X xk,

А k=п-(M-1)

M = 6,

где Л=5,172 - относительный коэффициент, выбирается из необходимости неискажённой передачи гармоники У=50 Гц.

На рис. 12, б иллюстрируется процесс смещения АЧХ фильтра.

1,2

l.¡

1

0,9

В о.я

fft.7

= O.f,

г I 0.5

< 0.4

0.2

0.1

0

3v

Sp

-X

V-

-V

—\ — N

100 15(1 200 250 300 350 400 450 500 Частота, Гк

1.1 1

0,9 0.» Э 0.7 = 0.Ú в 0.Í < 0.4 0.3 0.2 0.1 О

iiiiii

\ Л-20 --ДПХ в сочетании с твухвыбороч н ы м а. i горитмом и сглаживающим фильтром — ДПФ

i \

/

/

I I

A

/Оч,

50 100 150 200 250 300 J50 400 450 500 Частота, Гц

а) б)

Рис. 12. АЧХ сглаживающего фильтра, М=6 (а), а так же АЧХ ДПХ с двухвыборочным алгоритмом N=20 и сглаживающим фильтром в сравнении с ДПФ полного периода (б)

Хотя применение сглаживающего фильтра улучшает его итоговые характеристики в области высоких частот, но и требует дополнительных вычислительных операций. Также увеличивается продолжительность переходного процесса в результирующем фильтре (рис. 13).

Рис. 13. Переходные характеристики фильтра при подаче гармонического сигнала

ампл итуды

Таким образом, технические решения измерительных органов цифровой релейной защиты на основе ДПХ с последующей квадратурной фильтрацией обеспечивают выделение компоненты промышленной частоты не хуже фильтра на основе ДПФ. Применение ДПХ фильтрации характеризуется практически в два раза меньшим количеством вычислительных операций, хорошей статистической и динамической устойчивостью и может быть реализовано в существующих и перспективных устройствах цифровой релейной защиты.

Summary

Digital filters on the basis of the discrete Hartley transform and features of their application in digital relay protection are considered in the article. Comparative results of calculations of amplitude-frequency characteristics of filters by algorithms of the discrete Fourier transform and the discrete. Hartley transform are presented.

Key words: digital relay protection, the discrete Hartley transform, quadrature filtering.

Литература

1. Phadke A.G., Thorp J.S. Computer relaying for power systems. New York: Research studies press limited, John Willey & Sons, 2009.

2. Phadke A.G., Thorp J.S. Synchronized phasor measurements and their applications. New York: Springer science + business media, 2008.

3. Johns A.T., Salman S.K. Digital protection for power systems. London: Peter Perigrims Ltd/IEE, 1995.

4. Шнеерсон Э.М. Цифровая релейная защита. М.: Энергоатомиздат, 2007.

5. Куликов А.Л., Мисриханов М.Ш. Введение в методы цифровой релейной защиты высоковольтных ЛЭП: учеб. пособие. М.: Энергоатомиздат, 2007.

6. Брейсуэлл Р. Преобразование Хартли: Пер. с англ. М.: Мир, 1990.

7. Куликов А.Л. Вариантный анализ применения фильтрации Хартли в релейной защите// Известия вузов. Проблемы энергетики. 2010. №9-10. С. 123-129.

8. Jones K. The Regularized Fast Hartley Transform. Optimal Formulation of Real-Data Fast Fourier Transform for Silicon-Based Implementation in Resource-Constrained Environments. London, New York: Springer science + business media, 2010.

Поступила в редакцию 28 февраля 2011 г

Куликов Александр Леонидович - д-р техн. наук, директор филиала ОАО "ФСК ЕЭС" -Нижегородское ПМЭС. Тел.: 8 (831) 257-85-50. E-mail: [email protected].

Свечников Артём Сергеевич - инженер в филиале ОАО "ФСК ЕЭС" - Нижегородское ПМЭС. Тел.: 8 (831) 296-01-40. E-mail: [email protected].

Фальшина Вера Анатольевна - магистрант кафедры «Электроснабжение и электроэнергетика» НГТУ им. Р.Е. Алексеева. E-mail: [email protected].