Вариантный анализ применения фильтрации Хартли в релейной защите Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 621.316:621.311

ВАРИАНТНЫИ АНАЛИЗ ПРИМЕНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ХАРТЛИ В

РЕЛЕЙНОЙ ЗАЩИТЕ

А.Л. КУЛИКОВ

Филиал ОАО "ФСК ЕЭС" - Нижегородское предприятие магистральных

электрических сетей

В статье рассматриваются принципы модернизации устройств цифровой релейной защиты и противоаварийной автоматики (РЗА) с применением Хартли-фильтрации. Представлены структуры и ряд усовершенствований Хартли-фильтров.

Ключевые слова: цифровая релейная защита, дискретное преобразование Хартли.

Интерес к преобразованию Хартли при цифровой обработке сигналов (ЦОС) возник в связи с возможностью проведения операций обработки в области вещественных чисел с помощью взаимно симметричных прямого и обратного преобразований. При решении задач цифровой релейной защиты и противоаварийной автоматики (РЗА) оперируют с вещественными выборками сигналов [1, 2, 3], поэтому дискретное (быстрое) преобразование Фурье (ДПФ, БПФ) оказывается, в общем случае, неэффективным методом преобразования, поскольку предназначено для обработки комплексных чисел. Информационная избыточность ДПФ вытекает из его эрмитова свойства, так как ДПФ имеет только N степеней свободы, несмотря на то что имеется 2N вещественных коэффициентов [4]. Дискретному преобразованию Хартли (ДПХ) не характерно свойство вырожденности, поэтому N его вещественным коэффициентам соответствуют N комплексных коэффициентов ДПФ.

ДПХ последовательности {хп} (п = 0,...^-1) определяется как

1 N-1 ( 2пкп хк =— I хпса« N п=0

N

, 0 < к < N -1, (1)

где саз(в) = соз(в)+ зт(в).

Традиционно при ЦОС такое преобразование используют для организации высокоскоростной фильтрации. Поэтому рассмотрим принципы модернизации алгоритмов РЗА с применением Хартли-фильтрации с двух сторон:

- ускорение вычислительных процедур;

- формирование модернизированных структур цифровых фильтров. Отмечая особенности фильтрации, следует подчеркнуть, что переменная п

интерпретируется как время, а к - как частота, но при этом частотный интервал между соседними элементами равен 1Ш, а частота равна к/Ж По мере увеличения к

© А. Л. Куликов

Проблемы энергетики, 2010, № 9-10

частота возрастает до значения к = N/2, но при дальнейшем росте к соответствующая ей частота становится равной (№к)/и и обращается в ноль при k=N.

Связь между ДПФ ¥к и ДПХ Хк последовательности {хп} определяется следующими соотношениями [4, 5]:

** = Хк + ХМ - к )/2 - (к - ХМ - к )/2.

Но с другой стороны, Хк = Re ¥к - Im ¥к.

(2)

(3)

Как правило, вещественная и мнимая часть ДПФ в явном виде требуются только в некоторых задачах релейной защиты. Чаще интересуются спектром мощности (спектральной плотностью мощности) Ок и фазочастотным спектром Фк , которые из ДПХ могут быть получены в соответствии с выражениями:

Ок = Хк + Х1 - к;

Ф к = arctg [ - к - Хк ))Хм - к + Хк )].

(4)

(5)

ДПХ имеет набор быстрых алгоритмов (БПХ), аналогичных быстрому преобразованию Фурье (БПФ), перспективность и эффективность применения которых обоснована в работах [4,5].

При реализации цифровых измерительных органов РЗА применяют цифровую фильтрацию, предназначенную для выделения составляющих промышленной частоты в обрабатываемом сигнале. Основу фильтрации, как правило, составляют процедуры формирования ортогональных составляющих токов и напряжений с использованием коэффициентов ДПФ.

Рассмотрим модификацию структур квадратурных фильтров [1,2,3] с применением ДПХ, в частности, алгоритмы «длинного окна» данных с анализом в течение полного периода промышленной частоты.

Учитывая, что квадратурные составляющие уп и уформируются суммированием и вычитанием отсчетов преобразования Хартли, имеем:

Уп =(Хп + Хм - п )/2 = 1

= N

N-1

| X хп I п=0

'2я ^

cas

ч N

N-1

+ X XN -п

cas

у±п = (хп - ХN - п )/ 2

1

\N-1

—] X хп<^

I п=0

(2п > —п

N

п=0

N-1

2п

N

Х - п)

(6)

X XN-п^ —Х - п)

п=0 4 ^

2п,

(7)

и учитывая, что

Х

N - п

= Х _

(8)

получим структуру (рис. 1) Хартли-фильтра, аналогичную структуре фильтра на основе ДПФ.

Рис. 1. Структурная схема по алгоритму ДПХ полного периода

Характеристики квадратурных фильтров сохраняются и имеют показательный вид на рис. 2, 3:

1

0,8

го

5о,б

Го 0.4

0,2

0

1 1 1 1 1 - косинусный фильтр

- / / \ \ ---- синусный фильтр

' 1 A¿ws

Частота (Гц)

50 ЮО 150 200 250 300 Рис. 2. Амплитудно-частотная характеристика квадратурного фильтра

_Частота (Гц)

_I_I_I_L^

50 100 150 200 250 300 Рис. 3. Фазо-частотная характеристика квадратурного фильтра

Для более эффективной реализации Хартли-фильтра с точки зрения аппаратурно-временных затрат возможно введение ряда усовершенствований:

- перехода к конвейерной структуре, позволяющей увеличить темп обработки информации;

- учёта одинаковых коэффициентов фильтра для сокращения числа умножений (количества умножителей) в фильтре;

- двоичной аппроксимации коэффициентов фильтра для упрощения операции умножения.

Конвейерная схема (рис. 4) Хартли-фильтра позволяет повысить темп обработки информации, поскольку последний определяется временем умножения и временем суммирования двух операндов, а не временем умножения и группового суммирования N операндов согласно схеме рис. 1.

Учёт одинаковых коэффициентов фильтра - достаточно распространённый вычислительный приём, получивший наибольшее распространение в быстрых алгоритмах и хорошо изложенный, например, в [6].

cas(-2jr'N) • • •

cas(2ît/N)r-^|cas< to'NV

• • •

cas(-2w'N)

y <e-

T

У»Х

Рис. 4. Структурная схема конвейерного фильтра по алгоритму ДПХ полного периода

Остановимся более подробно на двоичной аппроксимации коэффициентов Хартли-фильтра. Одним из распространённых методов, применяемых при построении Фурье-фильтров, является переход к целочисленным коэффициентам. Такой подход, например, изложен в [3] и применён в устройстве определения места повреждения ЛЭП типа ИМФ. В частности, вводится масштабный множитель, равный восьми для двенадцати выборочных отсчётов на период промышленной частоты.

Проиллюстрируем альтернативный приём на примере 16-точечного ДПХ. Ядром такого преобразования является функция cas(2nnk/16), где 0 < к, n < N -1. Можно ввести двоичную аппроксимацию функции cas через двоичное представление с учётом округления. Однако этот метод имеет большие ошибки. Представим значение функции cas для первого ненулевого узла (2п/16) через косинусную и синусную составляющие [7, 8]:

/• \ л/2 + 4Ï , \ л/2-42

cos(2n /16) = ^-— ; sin(2n/1б) = —-

(9)

Умножим левую и правую части выражений на 2 и обозначим, например, через а = 2со«(2я/1б)= V2 + >/2 .

При этом а является корнем уравнения

х4 - 4 х2 + 2 = 0. (10)

Введём полином 3

/ (а)=Е ^ а1, (11)

I=0

где а1 — целочисленные коэффициенты.

Вводя обозначение (0,1,0,0), имеем код для представления а, а с помощью кода (0,-3,0,1) имеем представление для 2зт(2я/16). Тогда функция 2са«(2я/16) описывается кодом (0,-2,0,1). Необходимый набор коэффициентов для полного представления 16-точечного преобразования Хартли сведён в таблицу.

Таблица

Набор коэффициентов для полного представления 16-точечного преобразования Хартли

Угол е 2соз(е) 2зт(е) 2саз(е)

а0 а1 а2 а3 а0 а1 а 2 а3 а0 а1 а2 а 3

(0п/16) 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0

(2п/16) 0 1 0 0 0 -3 0 1 0 -2 0 1

(4п/16) -2 0 1 0 -2 0 1 0 -4 0 2 0

(6п/16) 0 -1 0 1 0 -1 0 0 0 -2 0 1

Проиллюстрируем применение рассмотренного подхода. Пусть число х необходимо умножить на коэффициент 2са«(4п/16). Последний представлен

точным (без ошибок) кодом (-4,0,2,0), поэтому умножение х х 2 х са«(4п/16) заменяется действием х*(-4,0,2,0), соответствующим (-4х,0,2х,0). Умножение на -4 и 2 не требует вычислений и достигается сдвигом и инверсией. Таким же образом (сдвигом и инверсией) достигается умножение на целочисленные переменные, включённые в таблицу.

Суммирование при реализации Хартли-фильтров рис. 1, 4 можно производить параллельно для отдельных коэффициентов полинома (11), что соответствует одному из вариантов локального параллелизма (параллелизма на уровне отдельных операций алгоритма) и, в частности, макроразрядного метода [9]. Восстановление результата к традиционной числовой форме целесообразно осуществить на завершающем этапе, используя конвейерную структуру по схеме Горнера [6,10,11] для обеспечения высокого быстродействия:

/ (а )=((а + а2 )а + а1 )а + а0. (12)

Точность конечного результата фильтрации в значительной степени зависит от точности представления а. Компромисса между скоростью вычислений и точностью (ошибка до 12 бита) можно достигнуть, вводя

—3 —5 —8

двоичную аппроксимацию а = 2—2 —2 + 2 = 1,84765625 (точный результат а=1,847759065...).

Структурная схема параллельно-конвейерного цифрового Хартли-фильтра с применением рассмотренной выше обработки изображена на рис. 5. Отметим,

что фильтр имеет регулярную структуру, поэтому эффективна его аппаратурная реализация в виде специализированных сверхбольших интегральных схем (СБИС), реализованных по принципу систолических процессов [10, 11]. Рассмотренный метод локального параллелизма применим и к традиционным Фурье-фильтрам, а также может быть распространён на преобразования больших (меньших) размерностей с соответствующим изменением (или сохранением) размеров полиномиальной аппроксимации. Вычисления ДПХ фильтром (рис. 5) не требует умножений, а обозначенные на рисунке умножители реализуют эту операцию быстро путём минимального количества сдвигов и сложений. Причём специализация умножителей, представление их совокупностью сумматоров, позволяет ввести существенную экономию аппаратурных затрат при реализации фильтра в виде аппаратно-управляемого специализированного процессора с жёсткой логикой функционирования [9].

Рис. 5. Структурная схема конвейерного фильтра по алгоритму ДПХ полного периода с применением локального параллелизма

Таким образом, ДПХ - эффективное средство для реализации цифровых фильтров РЗА, составляющих достойную альтернативу ДПФ. При реализации Хартли-фильтров целесообразно применение методов ускорения вычислений. Предложена структура фильтра с применением новой разновидности локального параллелизма путём специальной кодировки коэффициентов преобразования Хартли. Рассмотренные технические решения могут найти реализацию в перспективных программно- и аппаратно- управляемых специализированных процессорах РЗА.

Summary

The article deals with the principles of modernization of digital relay protection devices using Hartley-transforms. The structures and a number of improvements Hartley filters are described in the article.

Key words: digital relay protection, discrete hartley transforms.

Литература

1. Шнеерсон Э.М. Цифровая релейная защита. М.: Энергоатомиздат, 2007. © Проблемы энергетики, 2010, № 9-10

2. Куликов А.Л., Мисриханов М.Ш. Введение в методы цифровой релейной защиты высоковольтных ЛЭП: Учеб. пособие. М.: Энергоатомиздат, 2007.

3. Аржанников Е.А., Лукоянов В.Ю., Мисриханов М.Ш. Определение места короткого замыкания на высоковольтных линиях электропередачи/ Под ред. В.А.Шуина. М.: Энергоатомиздат, 2003.

4. Брейсуэлл Р. Преобразование Хартли: Пер. с англ. М.: Мир, 1990.

5. Болд Дж. Сравнение времён вычисления БПХ и БПФ // ТИИЭР. 1985. №12. С.184-185

6. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов: Пер. с англ. М.: Мир, 1989.

7. Cozzens J.H., Finkelstein L.A. "Computing the discrete Fourier transform using residue number systems in a ring of algebraic integers", IEEE Transaction on Information Theory, vol.IT-31, no.5, p.p. 580-588, sept. 1985.

8. Dimitrov V., Jullien G.A., Miler W.C. "A new DCT algorithm based on encoding algebraic integers", in Proceedings IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, ICASSP198, Seattle, Washington, USA, vol.3., p.p. 1377-1380, May 1988.

9. Куликов А.Л., Брандис П.А., Аблехин Д.М. Макроразрядный метод реализации алгоритмов цифровой обработки сигналов // Известия вузов. Радиоэлектроника. 1995. № 12. С.51-54.

10. Кун. С. Матричные процессоры на СБИС: Пер.с англ. М.: Мир, 1991.

11. Кухарев Г.А. и др. Систолические процессоры для обработки сигналов. Мн.: Беларусь, 1988.

Поступила в редакцию 22 декабря 2010 г.

Куликов Александр Леонидович - д-р техн. наук, директор филиала ОАО «ФСК ЕЭС» -Нижегородское ПМЭС. Тел.: 8 (8312) 57-85-50. E-mail.:info@npmes.elektra.ru.