Преобразование Хартли в задачах цифровой обработки двумерных сигналов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАРТЛИ В ЗАДАЧАХ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ ДВУМЕРНЫХ СИГНАЛОВ

1. ОДНОМЕРНОЕ ДПХ

Важное место в задачах обработки сигналов занимает дискретное преобразование Фурье (ДПФ) N-точечной последовательности у(п), которое определяется по формуле

М-1 _

Y(k) =Jo у (n) exp(-i nk), k = 0, 1......N—1. (1)

Исходная последовательность y(n) может быть единственным образом восстановлена из ее спектра Фурье Y(к) с помощью обратного преобразования

N-1

У(п) - Н'1 к£о Y(k)exp(i^-nk). п = О, 1.......... N-1. (2)

Как следует из формул (1) и (2), последовательность коэффициентов ДПФ Y(k), а также последовательность у(п), восстановленная из Y(k) обратным преобразованием Фурье, могут рассматриваться как периодические с периодом N [1], т. е. для любых целых кип

х<*> = *<*..„>• У(»> = *<"««>•

Наличие быстрых методов реализации ДПФ [2-4] делает его эффективным средством для вычисления свертки, корреляции двух функций целочисленного аргумента, оценки спектральной плотности и решения других задач, связанных со спектральным разложением сигналов.

Если последовательность у(п) вещественна, то преобразование Фурье является информационно избыточный, а именно: вещественная часть Y (к)

четная функция, мнимая - нечетная [1], т. е. с учетом периодичности

Y(N-k) = Y*(k), (3)

где звездочка означает комплексное сопряжение. Для использования указанной симметрии в целях ускорения вычислений может быть применен алгоритм совмещенного ДПФ [5], что примерно вдвое сокращает временные затраты.

Более эффективным средством (чем алгоритм совмещенного ДПФ) обработки вещественных сигналов является дискретное преобразование Хартли (ДПХ) [б], которое при введенном определении дискретного преобразования Фурье

представляет собой разность действительной (четной) и мнимой (нечетной) частей преобразования Фурье, ДПХ можно записать в виде [7]:

и -1

YH(k) =nZo y(n)cas(-jp-nk), k = О, 1.N-l, (4)

где casa = cosa + sina. Обратное преобразование Хартли совпадает с прямым с точностью до масштабного коэффициента N”1:

М-1

У (n) = N"‘kIo YH(k)cas( -22-nk), n - о, l.N-l.

ДПХ связано с ДПФ следующими формулами [8]:

2Re[Y(k)) = YH(k) + YH(N-k);

2Im[Y(k)] = ~YH(k) + YH(N-k). (5)

Заметим, что для четной функции у(п) выполняется соотношение Y (N-k) =

н

Yu(k), и тогда из (5) следует, что Y(k) = Y ík), т. е. ДПФ совпадает с ДПХ. н н

Известны быстрые алгоритмы вычисления ДПХ [7, 9, 10]. Их применение с

последующим выполнением операций (5) позволяет, так же как и использование алгоритма совмещенного ДПФ, сократить затраты времени на вычисление дискретного спектра Фурье почти вдвое.

Но преобразование Хартли имеет ряд дополнительных преимуществ. Во-первых, ядро обратного ДПХ совпадает с ядром прямого преобразования, во-вторых, при реализации ДПХ используется только вещественная арифметика. Кроме того, нет необходимости всегда вычислять действительную и мнимую часть преобразования Фурье по формулам (5), многие задачи можно решить, непосредственно используя значения спектра Хартли, определяемые формулой (4). Рассмотрим возможность использования ДПХ в некоторых конкретных задачах.

2. ОДНОМЕРНАЯ СВЕРТКА

Циклическая свертка z(n) двух вещественных периодических (с периодом N) последовательностей х(п) и у(п) определяется соотношением

И-1

z(n) =к£0 х(к)у (n-k), п = О, 1.........N-1. (6)

непосредственное вычисление свертки по формуле (6) является весьма трудоемкой операцией для больших N, и при расчетах на ЭВМ выражений типа (6) используется метод ДПФ, который основан на известном соотношении [1] для Фурье-спектров сигналов:

____ Z(k) = X(k) • У(к),

где Z(k), Х(к), У(к) - дискретные преобразования Фурье последовательностей z(n), х(п), у(п) соответственно. При этом вычисление свертки сводится к вычислению трех ДПФ (двух прямых и обратного), а также к перемножению спектров входных сигналов х(п) и у(п).

В работе [7] показана связь между спектрами Хартли последовательностей, участвующих в свертке:

2ZH(k) = xH(k)[YH(k) + YH(N"k)] + VN~k) [YH(k) “ YH(N-k)], (7)

где Z (k), X (к) и У (к) - ДПХ последовательностей z(n), х(п) и у(п) н н н

соответственно. Выражение (7) показывает, что вместо ДПФ для реализации циклической свертки может быть применен аппарат ДПХ.

Если одна из функций, например у(п), является четной, то ее ДПХ -также четная последовательность: YH(N-k) = Ун(к), и равенство (7) сводится к умножению спектров Хартли:

ZH(k) = XH(k)YH(k)-

В этом случае применение ДПХ эквивалентно применению ДПФ.

3. ОЦЕНКА СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ МОЩНОСТИ

Спектральная плотность мощности периодического сигнала у(п) определяется как взвешенный квадрат модуля его Фурье-спектра:

Фу(к) - N'11У(к) I2.

Так как для вещественного сигнала у(п) выполняется равенство (3), то IY (N-k) |2 = IY (k) |2, ■ тогда «з формул (5) следует, что

2íy(k) = 2*y(N-k) = N-‘[IYH(k)|2 + IYH(N-k)|2]. (8)

Равенство (8) означает, что спектральная плотность мощности сигнала может быть рассчитана непосредственно на ДПХ.

- 170 -

B(n) = М_1Ю?0 y(ra)y(m+n), n = О, 1.............N-l

4. ОЦЕНКА АВТОКОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИИ Автоковариационная функция (АКФ) периодического сигнала у(п)

н-i

(n) = 1Г

У

может быть представлена в виде циклической свертки

N -1

У") = N‘‘kZo y(k)y(n-k), n = 0, 1.....N-l,

где y(k) = y(-k), и вычислена методом ДПФ.

В соответствии с дискретной формой теоремы Винера-Хинчина, АКФ связана со спектром мощности следующим соотношением:

1N - i

В (n) = N"1 Z Ф (k)exp( ^-nk), п = 0, 1_________ N-1.

у к=о у N

В силу четности спектральной плотности МОЩНОСТИ Фу(к) вещественной функции для вычисления АКФ вместо обратного ДПФ можно использовать обратное ДПФ:

N-1

By(n) = N_1kZ:o фу(к)саэ(-jp-nk), п = 0, 1.........N-1.

Во всех описанных вьше задачах использование ДПХ вместо классического ДПФ позволяет добиться существенного (примерно в два раза) сокращения вычислительной сложности.

5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАРТЛИ ДВУМЕРНЫХ СИГНАЛОВ

Двумерное ДПФ функции y(nif п2) целочисленных аргументов и обратное ДПФ определяются по формулам:

N-l N-1 2п

Y(kt, k2) -z nr=0 y(n,, n^expt-i^ (niki + ryyi,

k , k = 0, 1....N-l?

1 2

(9)

N-l N-l

У(n , n ) = N"2 Z_o kZ=0 У(кг, k2)exp[i N (niki + n2k2)]

1 ¿ 12

n , n = 0, 1....N-l.

i 2

Обычно для эффективной реализации ДПФ используют свойство разделимости преобразования (9), т.е. тот факт, что

expC-i-fLfnk + n2k2)] = ехрС-і-ІП-п^ЗехрС-і-^п^].

Двумерное ДПФ выполняется с помощью последовательности одномерных преобразований: сначала осуществляется ДПФ по строкам с помощью ядра

-171-

ехр(-1 -§^п2к2), а затем с помощью ядра ехр(-1 п^) - по столбцам.

Двумерное ДПХ может быть задано двумя способами [11]. Во-первых, по

аналогии с одномерным ДПХ как сумма действительной и мнимой частей

двумерного ДПФ, и тогда

хн(к1'к2) = Ао Ао У("1.пг)сав[|2-(п1к1 + пЛ)], (10)

1 2

к2 = 0, 1.....N-1.

Это преобразование, в отличие от двумерного ДПФ, не является

разделимым, что затрудняет его эффективную реализацию. Можно определить двумерное ДПХ и по-другому, как разделимое преобразование

*»<*.• V * А Ао *<",• п2>саа<|^пЛ>са8(-в2-пЛ>>

1 2

к^ к2 = 0, 1.....N-1.

При этом выполнение двумерного преобразования (как и двумерного ДПФ) сводится к последовательности 2Ы одномерных преобразований.

Обратные преобразования для введенных ДПХ совпадают с прямыми с точностью до масштабирующего коэффициента Ы-2.

Неразделимое ДПХ (формула (10)) по аналогии с одномерным случаем связано с ДПФ следующими формулами [11]:

2Не[У(к, к2)] = Ун(к1, к2) + У^Н-к^ Н-к2); (11.1)

21т[У(к, к2)] = -Ун(к1# к2) + Ун(Н-к1, Н-к2). (11.2)

Непосредственной проверкой можно убедиться, что для разделимого ДПХ справедливы соотношения

2Ее[У(к, к2) ] = Уя(Н-к1, к2) + Ув(к1. Н-к2)? (12.1)

21т[У(к, к2)] = -Ун(к1, к2) + Уд (Н-к1, Н-к2). (12.2)

Из формул (12) следует, что элементы разделимого ДПХ могут быть получены из комплексных коэффициентов ДПФ следующим образом:

¥н(к1’ к2) - Кв[У(м-к1,ка)] - 1т[У(к, к2)]. (13)

Вычитая равенство (11.2) из (11.1) и равенство (12.2) из (12.1). легко убедиться в справедливости приведенного в работе [11] соотношения для пересчета спектров Хартли:

2№ V - № *2>+*я<Н—V кг>+№ И-к2)-Ув(М-к, Н-к2). (14)

Складывая попарно равенства (11.1), (11.2) и (12.1), (12.2). получаем аналогичную формулу для расчета разделимого преобразования из ДПХ с неразделимым ядром:

Известно несколько способов [12] вычисления двумерного неразделимого преобразования Хартли, но, по-видимому, наиболее эффективным является способ, связанный с предварительным вычислением разделимого ДПХ, а затем пересчетом спектра по формуле (14).

ей: у(Н-п1, М-п2) = у(п1,п2), то ее преобразования (как Фурье, так и Хартли в обеих формах) также центрально-симметричны. Тогда выражения (11)-(15) значительно упрощаются и вместо них мы имеем:

Из равенств (16)* и (17) следует, что для осесимметричной (по обеим осям) функции у(п , п2) все три преобразования тождественны.

Пусть г (п ,п ) - циклическая свертка двух вещественных последовательностей х(п , п^) и у(п1(п2). В работе [1] приведена формула для расчета ДПХ функции г(п1»п2) через ДПХ последовательностей х(п1,п2) и у(п1(п2).

При этом вычисление свертки сводится к вычислению трех преобразований Хартли (двух прямых и одного обратного) и расчету спектра Хартли функции г(п , п ) по формуле (18).

Поскольку спектры X (к, к) и У (к, к) пересчитываются из ДПХ с

г1 1 2 Н 1 2

разделимым ядром X (к , к ) и Уд(к1,к2) соответственно, то вычисление ДПХ последовательности г(п , п ) можно сделать более эффективным. Заметим, что из формул (11), (12) следует, что

Если уСп^п) - четная функция, т. е. обладает центральной симметри-

У(к,к2) = ун(кг* к2); У(к,к2) = Уи(К-кг,к2).

(16)

(17)

6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ СВЕРТКИ ПРИ ПОМОЩИ ДПФ

(18)

Тогда

Применение формулы (20) для расчета разделимого ДПХ последовательности z (п^, п^) позволяет избежать пересчета спектров Хартли последовательности y(nit п2). Пересчет спектров Хартли функций x(nifn2) и z(nitn2) целесообразно производить по схеме, изложенной в [12]. С учетом домножения на масштабирующий множитель процедура вычисления спектра ZR(kit kg) из разделимых ДПХ Хв(к. к) и УГк.к) с использованием формулы (20)

1 2 R 1 2 ^

включает в себя 3,5 N умножений и 5,5 N сложений.

Из равенства Z(kt,k2) = Х(к}, к2)Y(kjt к2) с помощью формул (12) и (13) можно получить выражение, непосредственно связывающее элементы

разделимых ДПХ:

Расчет ДПХ гв(к1Э к2) непосредственно по формуле (21) может быть выполнен с использованием б№ умножений и 5И2 сложений. Таким образом, способ вычисления разделимого ДПХ свертки г(п1Э п2) из разделимых ДПХ ХИ^к1,к2^ * УИ^к1,к2^ С ПРОМ0ЖУТОЧНЫМ вычислением НвДвЛИМЫХ ДПХ Хн(к1*к2^

* ^н^к1,кг^ (Формула (20)) представляется более эффективным, чем непо-

средственный расчет ги(к1,к2) по формуле (21).

Если одна из функций, участвующих в свертке, например у(п1Эп2) четная, то выражения (18) и (21) упрощаются и принимают соответственно вид:

(21)

и

(22)

В случае, когда функция у(п1, п2) обладает свойством осевой симметрия (по обеим осям), Ун(Н-к1,к2) = ^(к^к^ и равенство (23) может быть записано как

Ук,Л> - х„<к,-кг>ув<к1'к2>- <24>

Равенства (22) и (24) означают, что если одна из функций, участвующих в свертке, обладает свойством какой-либо симметрии, то для вычисления свертки вместо ДПФ может быть использовано преобразование Хартли без

дополнительных затрат при вычислении спектра свертки: для центральной

симметрии - ДПХ с неразделимым ядром, для осевой симметрии - разделимое ДПХ.

Равенство (23) может быть использовано при применении разделимого преобразования Хартли для вычисления свертки двух функций, одна из которых центрально-симметрична.

7. ОЦЕНКА СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ И АКФ ДВУМЕРНОГО СИГНАЛА

С учетом формул (11) легко получить выражение для спектральной плотности мощности двумерного сигнала:

4Фу( к^к.,) = 4М-2|У(к1,к2)|2 = Н-2|[ун(к1,кг) + »„(Н-к,. Н-к2)]

і 2

+

[*„(кГ V - ГН<"-*Г Н-к2>]2}'

откуда

2*„(к1. к2) = м-г[ї2(к. к2) + **(*■*,. Н-к2>]. Аналогично для разделимого ДПХ с помощью формул (12) получим:

[V *»•к2>-ув(',-к,- и-к,>]*+[ї,(»-к,.кг>+їв<к,-н-к2»]2}.

4Ф (к , к ) = N *

у' 1 2

АКФ двумерного сигнала у(п , п > может быть вычислена как обратное ДПФ функции фу(к1»к2)» Т- е-

в (П,.п ) = н-2 I I; * (к к )ехр[1^-(п к + пк )1.

у V ь =п ' I- -I

к =0 к =0 1 2

Спектральная плотность * (к^ к2) - центрально-симметричная функция,

поэтому для нее ядро обратного ДПФ совпадает с ядром прямого

преобразования, и тогда, воспользовавшись формулами (16) и (17) для четной функции, получим:

Таким образом, для оценки АКФ двумерного вещественного сигнала следует вычислить обратное неразделимое ДПХ его спектральной плотности.

Использование разделимого преобразования для этой цели приводит, в соответствии с формулой (25), к необходимости перестановки результирующей матрицы для размещения отсчетов АКФ на своих местах.

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В статье была рассмотрена возможность применения, дискретного

преобразования Хартли вместо ДПФ при вычислении свертки, оценке

спектральной плотности мощности и автоковариационной функции цифрового

сигнала. Исследовано различие двух форм ДПХ: с разделимым и неразделимый ядром. Показано, что оба варианта преобразования Хартли равно применимы в указанных задачах. Приведены формулы для пересчета спектров в различных базисах. Сделан вывод о целесообразности использования разделимого ДПХ при обработке двумерных сигналов.

Литература

1. Оппенгейм A.B., Шафер Р. В. Цифровая обработка сигналов / Пер. с англ. - М. : Связь, 1979. - 416 с.

2. Рабинер Л. , Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов / Пер. с англ. - М: Мир, 1978. - 848 с.

3. Burrus C. S., Eschenbasher Р.W. An in-place, in-order

prime factor FFT algorithm. - IEEE, Trans. Acoust., Speach, Signal Processing, 1981, ASSP-29, N 4, p. 806-817.

4. Капорин U.E. Новый алгоритм БПФ. Журнал вычислительной

математики и математической физики, 1980, т. 20, N 4,

с. 1054-1058.

5. Ярославский Л. П. Введение в цифровую обработку изображений. - М. : Советское радио, 1979. - 312 с.

6. Сороко Л.М., Стриж Т. А. Спектральные преобразования на ЭМВ. - Дубна: ОИЯИ, 1972. - 136 С.

7. Брейсуэлл Р.Н. Быстрое преобразование Хартли. ТИИЭР, 1984, Т. 72, N 8, С. 19-28.

8. Bracevell R.N. Discrete Hartley Transform. JOSA, 1983, v. 73, N 12, p. 1832-1835.

9. Прадо Ж. Замечания к статье «Быстрое преобразование

Хартли». ТИИЭР, 1985, т. 73, N 12, С. 182-183.

10. Сергеев В.В., Усачев A.B. Новый алгоритм быстрого пре-

образования Хартли. - В наст, сборнике.

11. Кумарсен Р., Гупта П. К. Алгоритм с векторным основанием

для вычисления двумерного дискретного преобразования Хартли. ТИИЭР, 1986, т. 74, N 5, с. 149-151.

12. Брейсуэлл Р-Н., Бъюнеман О., Хао X. , Вилласенор Дж.

Быстрое двумерное преобразование Хартли. ТИИЭР, 1986, т. 74, N 9, с. 128-129.