Упрощенная адаптивная цифровая фильтрация электрических сигналов в условиях изменения частоты Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.316:621.311

УПРОЩЕННАЯ АДАПТИВНАЯ ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ В УСЛОВИЯХ ИЗМЕНЕНИЯ

ЧАСТОТЫ

А.Л. КУЛИКОВ, В.А. ФАЛЬШИНА

Предлагается метод упрощенной цифровой фильтрации электрических сигналов, адаптивный к изменениям частоты в электрической сети. Отмечены преимущества использования предлагаемых алгоритмов в сравнении с существующим преобразованием Фурье.

Ключевые слова: электрическая сеть, частота, цифровая обработка сигналов, цифровые фильтры, дискретное преобразование Фурье, алгоритмы «короткого окна».

При производстве, распределении и потреблении электрической энергии используются цифровые системы управления и контроля. Одними из важнейших элементов таких систем являются измерительные органы, реагирующие на значения контролируемых (измеряемых) параметров токов и напряжений и базирующиеся на алгоритмах цифровой фильтрации [1-4].

Как правило, алгоритмы цифровой фильтрации синтезируются при условии установившегося режима, когда промышленная частота (/=50 Гц) остается неизменной. Однако отклонения частоты имеют место как в нормальных, так и в аварийных режимах работы электроэнергетических систем, что приводит к ошибкам цифровой фильтрации сигналов токов и напряжений.

Цель статьи - разработка алгоритма цифровой фильтрации, адаптивного к изменениям частоты и обладающего сокращенным числом операций при приемлемой точности обработки сигналов промышленной частоты.

Например, в работе [5] приводится пример потери нагрузки асинхронным генератором. В начале переходного процесса механическая движущая сила (механический момент на валу первичного двигателя) генератора остается постоянной, в то время как электомагнитный вращающий момент стремится к нулю. Из-за небаланса механической и электромагнитной сил на валу генератора турбина первичного двигателя разгоняет генератор. Происходит увеличение частоты (рис. 1), прежде чем регулятор начнет управлять турбиной. В таких режимах свойственны резкие и существенные изменения частоты в течение короткого времени. Характерность таких примеров особенно возрастает при использовании асинхронных генераторов в ветровой энергетике.

При изменениях частоты электрической сети в широких пределах традиционные алгоритмы цифровой фильтрации сигналов токов и напряжений обладают неприемлемыми ошибками. Вводят адаптивную цифровую фильтрацию [2, 6], принципы которой иллюстрирует рис. 2.

На начальном этапе (рис. 3) реализуется грубая оценка частоты входного сигнала, в качестве которого может использоваться напряжение (ток) различных узлов электроэнергетической сети. Однако предпочтение должно быть отдано тем сигналам, которые в меньшей степени подвержены искажениям (например, линейное напряжение вместо фазного).

© А.Л. Куликов, В.А. Фальшина Проблемы энергетики, 2013, № 1-2

я

и £

[2

¡Г1

75 70 65 60

55

50

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Время, сек

Рис. 1. Оцененное значение частоты по сигналу напряжения на выходе асинхронного генератора при

потере нагрузки

Входной сигнал

и(п) или г'(п) ^ Грубая оценка частоты /

■Х-

Ортогональные фильтры

Ортогональны^

составляющие

Алгоритмы измерения

Выходные

ичины

/, и, I, Я, X,

р, е

Рис. 2. Структурная схема адаптивного алгоритма цифровой фильтрации сигналов токов и

напряжений

Нет ^^ Л№>0,5

р, е

Рис. 3. Схема адаптивной цифровой фильтрации с учетом изменения длины окна данных (М

Для грубой оценки частоты сигнала электрической сети используются [2, 6] выборочные мгновенные значения напряжения и(п-т) на основе математического выражения

„ .. „ 1 ( 1 и(п - 2 • к) • и(п - т) - и(п) • и(п - 2 • к - т) )

ш = 2%/ = 2%-агеес^ —--—---——---I, (1)

к?д [ 2 и(п - к) • и(п - т) - и(п) • и(п - к - т) )

где <д - интервал дискретизации; к=Ы/4, N - количество отсчетов сигнала на период

промышленной частоты; т — произвольная задержка; / - опорная частота. В последующих расчетных экспериментах принято N=80, к=20, т=1.

Полученные оценки частоты используются для изменения частотных характеристик ортогональных фильтров при адаптации. При этом необходимо реализовать следующие операции.

Во-первых, определить приращение (М) числа выборочных отсчетов на протяжении одного измененного периода колебаний входного сигнала. Очевидно, что длина «окна данных» варьируется в зависимости от частоты ш = 2%/ анализируемого сигнала. Для вычисления M при заданном интервале дискретизации прирост (убывание) числа выборочных отсчетов Nm, попадающих в измененный период Т колебаний тока (напряжения), предварительно определяется значением

Nm = T = 4 = ^ 2%. (2)

?д / Ш

Как правило, значение ^ является дробным. Поэтому не может быть использовано в качестве размерности «окна данных». Требуется округление, причем М вычисляется путем расчетов прироста согласно выражению

^ = N - Nm, (3)

где N - длина «окна данных» при предыдуших оценках.

Поскольку мониторинг частоты электрического сигнала осуществляется непрерывно, то значение М итерационно изменяется, но не более, чем на одну единицу за итерацию:

Г(N +1) при АN <-0,5;

М = <! N при < 0,5; (4)

(N -1) при АЛ > 0,5.

Во-вторых, установить размерность «окна данных» обрабатываемого электрического сигнала равной М (рис. 3) и изменить коэффициенты ортогональных фильтров для формирования требуемой амплитудно-частотной характеристики (АЧХ).

Как правило [2, 5, 6], в качестве ортогональных фильтров в схеме адаптивной фильтрации (рис. 2, 3) используются составляющие дискретного преобразования Фурье (ДПФ), которые для принятых обозначений имеют вид:

М-1 ( 2% -)

Уп = г.™8 [м ух п-^; (5)

М-1 г 2 .

2%.

ZZ.IU

. sin J'х п . (6)

Структурная схема ДПФ-фильтра [1-5] показана на рис. 4.

У±п УП

Рис. 4. Структурная схема ДПФ-фильтра

Она представляет из себя два квадратурных фильтра (синусный и косинусный), объединенных общим входом.

Исследовались преимущества адаптивной цифровой фильтрации на основе ДПФ (рис. 2) по сравнению с неадаптивной. Для этого задавался линейный закон изменения частоты электрической сети со скоростью изменения / '(г) = 20 Гц/сек (рис. 5).

Рис. 5. Линейный закон изменения частоты, принятый при исследованиях: --опорная частота;-----грубая оценка

Сигналы напряжения и тока при моделировании имитировались согласно выражениям:

и(г) = 2 • сов(2/ • 0; ¿(0 = 2 • сов(2/ • г - 45°). (7)

По результатам цифровой фильтрации (как адаптивной, так и неадаптивной) производился расчет амплитудных значений тока I, напряжения и, а также активного Я, реактивного Х и модуля X сопротивлений. Зависимости указанных величин, полученные по результатам модельных экспериментов приведены на рис. 6. При этом зависимости рис. 6 а, б характеризуют традиционную ДПФ-фильтрацию, а зависимости рис. 6, в, г - соответственно адаптивную. Очевидно существенное уменьшение ошибок цифровой фильтрации за счет применения адаптивных алгоритмов в условиях изменения частоты (рис. 5).

Й 2,01

2,8 2,85 2,9 2,95 3 3,05 3,1 3,15 3,2 3,25

Время, сек

а)

N !

К

Ой"

—-ал/У,

2,8 2,85 2,9 2,95 3 3,05 3,1 3,15

—I

и

2,8 2,85 2,9 2,95 3 3,05 3,1 3,15 3,2 3,25

Время, сек

в)

N

¡4 1,05 ^ 1

0,95

0,9

0,85

0,8

0,75

0.7

-Я -X -2

_^

Время, сек

2,85 2,9 2,95 3 3,05 3,1 3,15 3,2 3,25

Время, сек

б)

г)

Рис. 6. Результаты моделирования традиционной (а, б) и адаптивной (в, г) ДПФ-фильтрации

Известен факт двойной избыточности преобразования Фурье, связанный с Эрмитовым свойством этого преобразования [7]. Например, ДПФ размерности М имеет М степеней свободы, несмотря на то что включает 2М вещественных коэффициентов. Двойная избыточность свидетельствует о нерациональности организации операций обработки с применением преобразования Фурье.

Экономичные, с вычислительной точки зрения, структуры алгоритмов фильтрации могут быть синтезированы с применением, например, лишь одного действительного синусного или косинусного фильтров (рис. 4). Так с использованием синусного фильтра квадратурные составляющие электрического сигнала можно вычислить на основе реализации выражений:

8т(а - Р) = 8т(а) • со8(Р) - Бт(Р) • со8(а),

ЕМ 1 . (2л' 2л 1 (2л 1 М-1 . (2л' 81ПI---I • X п-,- = С081 - I- > 81П I -

,-=0 I ММ J п 1 [м J ;=0 1М

(8)

-81П

2л

М

М 1 '=0

С08

2л'

М

2л 1 . (2л4

Х п-'" = ^ М У У±п -81П I М '• Уп ,

и конечным результатом

М-1 . ( 2%. 1

у±п = Ь ВтI м\хп-.; .=0 [ '

(2%1 1 уп = ^ I М )• ^ • ^ п-1.

81П

М

Схема цифровой фильтрации показана на рис. 7.

Рис. 7. Схема цифровой фильтрации на основе сочетания синусного фильтра и алгоритма двух

выборок «короткого окна»

Однако большего качества такой упрощенной цифровой фильтрации можно достигнуть путем объединения синусного фильтра с квадратурным фильтром «короткого окна» на базе алгоритма «трех выборок» [1, 4]:

М -1

.=0 М -1

Е. ( 2%. 4%

81п 1м-М )• хп-. =сс81М№

4%с шдонцй

.=0

%1

М '•Хп- -

.=0

. ( 4%!^ ( 2% 1 ( 4% | . ( 4%ч

- 81П I - I • > СС81 - !• Хп = СС81 - I-У1п - 81П I - I-уп ,

IМ) ^ I М ) п1 [ М ) ±п [М 1 п

(10)

отсюда

М-1 . (2%.

У±п = Ь 81п[м '•Х' .=0 [

Уп =ctg 'М^ у^

81П

4% М

• У±п-2.

(11)

Дополнительно к алгоритмам (9) и (11) был получен алгоритм «короткого окна» данных («трехвыборочный» алгоритм), у которого свойство ортогональности соблюдается на всех частотах (рис. 8 а):

М-1 . ( 2%. §п = ^ [М1-Х

У±п = 8п-1; = 1 Уп = Г"(2%

281П I -

М

' (8 п 8п-2).

Отмечаются достаточно хорошие фильтрующие свойства этого алгоритма (12) квадратурной фильтрации (рис. 8 б).

й

й ©

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

400 600 800 1000 1200 1400 1600

Частота, Гц Частота, Гц

а) б)

Рис. 8. Фазочастотная (ФЧХ) (а) и амплитудночастотная (АЧХ) (б) характеристики алгоритма «трех

выборок» (12)

Результаты моделирования синтезированного упрощенного адаптивного алгоритма цифровой фильтрации для электрических сигналов при оценке параметров I, и (рис. 9, а) и Я, X, 2 (рис. 9, б) основываются на выражении (12).

Анализ рис. 9 показывает, что ошибки фильтрации при реализации синтезированного упрощенного адаптивного алгоритма носят импульсный характер. Причем, всплески ошибок (рис. 10, а) связаны с задержкой на два отсчета (рис. 10, б) в составляющей фильтра (12), реализующей «трехвыборочный» алгоритм.

2,5 г 2,4 г 2,3 2,2 2,1 2

1,9

1

2,8 2,85 2,9 2,95

3,15 3,2 3,25 Время, сек

2,8 2,85 2,9 2,95

3,05 3,1 3,15 3,2 3,25 Время, сек

а) б)

Рис. 9. Результаты моделирования упрощенного адаптивного алгоритма цифровой фильтрации

2,4 -2,3 -2,2 -2,1 -2 -

2,876 2,878 2,88 2,882 2,884 2,886 2,888

Время, сек

а)

-1.5

Текущий сигнал (хп) с М=М1

Задержанный сигнал

(Хп-2) с М=М2

- 3'-

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02

г

б)

Рис. 10. Пояснение к возникновению ошибок (е) при реализации упрощенного алгоритма адаптивной

цифровой фильтрации

В условиях изменений частоты (табл. 1) появляется дополнительный фазовый сдвиг (р) между задержанными сигналами (рис. 10, б) с отличными окнами данных (на рис.:М\ иМ2), приводящий к возникновению импульсных ошибок.

Таблица 1

/т 50 47,6 45,5 43,5 41,2 38,1 34,8 30,8 25

м 80 84 88 92 97 105 115 130 160

в 0 4,001 8,03 12,164 17,666 28,04 46,332 88,353 160,56

Уменьшить уровень ошибок позволяет введение поправочного значения фазового угла в выражение синусного преобразования электрического сигнала:

М -1

2л'

У±п = > «ш [м + Р Г х п-к.

(13)

Зависимость поправочного значения фазового угла от частоты или от числа М (числа отсчетов сигнала на период колебаний) носит явно нелинейный характер (рис.

3

11). Она, однако, может быть аппроксимирована с достаточной точностью, например, используя зависимости:

а) (рис. 11, а)

Р = 2,5738М - 248,17 при Я2 = 0,9968 на интервале М е [110, 160]; Р = 1,1399М - 92,152 при Я2 = 0,9907 на интервале М е [80, 110];

б) (рис. 11, б)

Р = -0,00025М3 + 0,10285М2 - 11,53513М + 395,24945 при Я2 = 0,99855 на интервале М е [80, 160], где Я2 - величина, характеризующая ошибки аппроксимации.

ы в о

з

а ф(

180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

в = 2,5738М - 248,17 Я = 0,9968

в = 1,1399М -92,152 Я = 0,9907

л о

г

у

ф(

180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

в = -0,00025м3 + 0,10285М2 - 11,53513М + 395,24945 Я2 = 0,99855

М (число отсчетов на период колебаний) а)

60 80 100 120 140 160

М (число отсчетов на период колебаний) б)

Рис. 11. Пример аппроксимации зависимости Р (М): а) двумя кусочно-линейными функциями;

б) одной полиноминальной функцией

Введение поправочного значения фазового угла с расчетами согласно аппроксимирующих функций существенно усложняет алгоритм упрощенной адаптивной цифровой фильтрации. Однако более простой реализации расчетов поправочного значения фазового угла в можно достигнуть, используя итерационную непрерывную оценку в по выражению

Р = (М-к )Мл •

м

(14)

При этом, простом алгоритме также происходит снижение ошибок упрощенной адаптивной цифровой фильтрации электрических сигналов (рис. 12) по сравнению с ранее полученными результатами моделирования (рис. 9).

N 0.9

*

^ 0.8

_I_I_I_I_I_I_

2.85 2.9 2.95 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 2.8 2.85 2.9 2.95 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25

Время, сек. Время, сек.

а) б)

Рис. 12. Результаты моделирования упрощенного адаптивного алгоритма цифровой фильтрации с использованием поправочного значения фазового угла в по (14)

60

80

100

120

140

60

1.1

1

2

1.95

0.7

Возможен вариант комбинирования традиционного алгоритма адаптивной цифровой фильтрации: с применением ДПФ (рис. 4) и упрощенного (12).

Упрощенный алгоритм реализуется на всем протяжении фильтруемого электрического сигнала, а алгоритм с применением ДПФ - только в моменты возникновения импульсных ошибок. Такая комбинация позволяет достичь высокое качество фильтрации (рис. 6) с сокращением вычислительных затрат. Пример сопоставительного анализа требуемого числа операций умножения традиционного и комбинированного алгоритмов при частоте дискретизации/д=4 кГц приведен в табл. 2.

Очевидно, что с ростом скорости изменения частоты выигрыш в быстродействии (вычислительных затратах) (табл. 2) уменьшается, поскольку в комбинированном алгоритме чаще приходится применять ДПФ-фильтрацию.

Таблица 2

Сопоставленный анализ вычислительных затрат алгоритма адаптивной фильтрации с применением ДПФ и комбинированного алгоритма

Скорость изменения частоты, Гц/сек Длительность электрического сигнала, сек Диапазон изменения частоты, Гц Число операций умножения Выигрыш в быстродействии, раз

Адаптивный алгоритм с применением ДПФ Комбинированный алгоритм адаптивной фильтрации

1 1,6-4,25 48,8-51,2 1568426 804443 1,95

1 2,8-3,25 49,8-50,24 288800 148010 1,95

10 48-53 287848 148612 1,937

20 45-54,2 291496 151728 1,92

40 42-60 286066 151039 1,894

Иным, не менее важным, способом достижения высокого качества упрощенной адаптивной цифровой фильтрации в условиях изменения частоты является применение дополнительных нелинейных цифровых фильтров для подавления помех (рис. 13).

Элементы нелинейной обработки (рис. 13) могут быть выполнены по различным вариантам, например, на основе медианных фильтров [8] или альтернативных методов, основанных на процедурах ранжирования. Исследовалась нелинейная фильтрация, осуществляемая посредством движения некоторой апертуры вдоль дискретизированного электрического сигнала (последовательности выборок) и замены дискретизированного значения в центре апертуры, например, наименьшим значением внутри апертуры. При этом получается «гладкий» по сравнению с исходным, электрический сигнал и компенсируются импульсные скачки ошибок.

Рис. 13. Схема упрощенной адаптивной цифровой фильтрации с применением нелинейных фильтров

При моделировании исследовалось применение нелинейного фильтра в схеме рис. 13 с длиной апертуры три отсчета. Результаты моделирования упрощенной адаптивной цифровой фильтрации по схеме (рис. 13) показаны на рис. 14.

а) б)

Рис. 14. Результаты моделирования упрощенного адаптивного алгоритма цифровой фильтрации с

применением нелинейных элементов

Анализ рис. 14 свидетельствует о высоком качестве адаптивной фильтрации с реализацией ортогонального фильтра по схеме рис. 13. Например, при скорости изменения частоты /(?)=20 Гц/сек, в диапазоне частот 45 - 54,2 Гц, длительности сигнала 2,8-3,25 сек. и шаге грубой оценки частоты M=1 (аналог табл. 2) ошибка фильтрации не превысила 0,428 %. Такой уровень ошибки соответствует, а в некоторых случаях и превосходит, адаптивную цифровую фильтрацию электрических сигналов с применением ДПФ. Однако упрощенный алгоритм обладает практически в два раза меньшим количеством вычислительных операций.

Выводы

1. В условиях изменения частоты сигналов токов и напряжений электроэнергетических систем в широком диапазоне необходимо применять для оценки параметров адаптивную цифровую фильтрацию.

2. Предлагаемые методы упрощенной адаптивной цифровой фильтрации электрических сигналов не уступают, а в некоторых случаях превосходят существующие алгоритмы по точности, но обладают почти в два раза меньшим объемом вычислительных затрат.

3. Разработанные алгоритмы просты в реализации и могут найти широкое применение в устройствах автоматического управления и контроля электроэнергетических систем, а также в других отраслях техники.

Summary

Simplified method of digital filtering of electrical signals, adaptive to the frequency of electric networks is proposed. The advantages of using the proposed algorithms is compared with the existing Fourier transform.

Key words: electric network, frequency, digital signal processing, digital filters, discrete Fourier transform, algorithms «short window».

Литература

1. Шнеерсон Э.М. Цифровая релейная защита. М.: Энергоатомиздат, 2007. 549 с.

2. Rebizant W., Szafran J., Wiszniewski A. Digital signal processing in power system protection and control. New York: Springer, 2011. 316 р.

3. Phadke, A.G. Thorp, J.S. Synchronized phasor measurements and their applications. New York: Springer, 2011. 247 р.

4. Куликов А.Л., Мисриханов М.Ш. Введение в методы цифровой релейной защиты высоковольтных ЛЭП: учеб. пособие. М.: Энергоатомиздат, 2007. 57 с.

5. Rebizant W., Terzija V. Asynchronous generator behavior after a sudden load rejection// 2003 IEEE Bologna PowerTech Conference Proceedings. 2003.

6. Rebizant W., Szafran J. and Michalik M. Adaptive estimation of wide range frequency changes for power generator protection and control purposes// IEEE Proc. - Generation, Transmission and Distribution. 1999. № 1. Р. 31-36.

7. Брейсуэлл Р. Преобразование Хартли: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 175 с.

8. Хуанг Т. С., Эклунд Дж. О., Нуссбаумер Г. Дж. и др. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке ихображений. Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1984. 224 с.

Поступила в редакцию 17 декабря 2012 г

Куликов Александр Леонидович - д-р техн. наук, профессор кафедры «Электроснабжение и электроэнергетика» Нижегородского государственного технического университета им. Р. Е. Алексеева. Тел.: 8 (831) 436-23-04.

Фальшина Вера Анатольевна - аспирант Нижегородского государственного технического университета им. Р. Е. Алексеева. Тел.: 8 (908) 2314954. E-mail: falshina@npmes.elektra.ru.