Цифровая упрощенная фильтрация электрических сигналов промышленной частоты в переменном окне данных Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.314

Цифровая упрощенная фильтрация электрических сигналов промышленной частоты в переменном окне данных

А.Л. Куликов, В.А. Фальшина ФГБОУВПО «Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева», г. Нижний Новгород, Российская Федерация E-mail: [email protected]

Авторское резюме

Состояние вопроса: Цифровая фильтрация токов и напряжений промышленной частоты применяется при построении различных измерительных органов электротехнических комплексов и систем. Перспективным методом повышения быстродействия цифровых измерительных органов является использование техники переменного окна данных.

Материалы и методы: В исследованиях использованы структурные схемы вычислительных алгоритмов, модельные эксперименты по реализации цифровых фильтров, амплитудно- и фазочастотные характеристики, натурные эксперименты по обработке осциллограмм аварийных событий.

Результаты: Предлагаются алгоритмы упрощенной цифровой фильтрации сигналов токов и напряжений промышленной частоты, обладающих малыми вычислительными затратами при высокой точности вычислений. Разработаны новые алгоритмы цифровой фильтрации токов и напряжений промышленной частоты в переменном окне данных.

Выводы: Техника переменного окна данных является эффективным средством повышения быстродействия цифровой фильтрации токов и напряжений промышленной частоты. Перспективно применение предлагаемых новых алгоритмов упрощенной цифровой фильтрации как в существующих, так и в разрабатываемых устройствах измерения и управления электроэнергетических комплексов и систем.

Ключевые слова: цифровая фильтрация электрических сигналов, метод переменного окна данных, релейная защита, электроэнергетическая система, амплитудно- и фазочастотные характеристики.

Simplified digital filtration of mains-frequency signals in data variable window

A.L. Kulikov, VA Falshina Nizhny Novgorod State technical University, Nizhny Novgorod, Russian Federation E-mail: [email protected]

Abstract

Background: Digital filtration of current and voltage signals of mains frequency is applied to construction of various measurement devices of electrical engineering complexes and systems. A promising method to improve the performance of digital measuring instruments is the data variable window technique.

Materials and methods: Block diagrams of digital filtration algorithms; model experiments for implementation of digital filters, amplitude- and phase-frequency characteristics, actual disturbance event oscillogram processing experiments. Results: The authors suggest simplified digital filtering algorithms of mains-frequency current and voltage signals. The algorithms have low computational costs and are highly precise. We developed new algorithms of digital filtration of current and voltage signals in a data variable window.

Conclusions: The technique of data variable window is an effective means of improving the performance of digital filtering mains-frequency current and voltage signals. The developed digital filtration algorithms and the method of simplified digital filtration can be used both in the measurement and control devices used in electrical power complexes and systems now and in those being developed.

Key words: digital filtering of electrical signals, data variable window method, relay protection, electrical power system, amplitude- and phase-frequency characteristics.

Развитие электроэнергетических систем и их усложнение приводит к повышению требований к быстродействию средств защиты и автоматики. Одним из перспективных методов повышения скорости цифровой обработки сигналов промышленной частоты в устройствах управления и измерения электротехнических объектов является использование переменного окна данных [1-4].

В частности, в [1, 2] предлагаются варианты быстродействующей цифровой дистанционной защиты, основанной на технике пере-

менного окна данных. Следует отметить, что точность и скорость цифровой фильтрации сигналов промышленной частоты определяют характеристики измерительных органов защиты, в том числе динамическую устойчивость [5], обеспечиваемую качеством фильтрации в условиях переходного процесса при повреждении оборудования ЛЭП и подстанций. При этом наряду с основной компонентой частоты (50 Гц) сигналы токов и напряжений содержат кратные и некратные гармоники, а также постоянную составляющую.

В связи с этим разработка точных и мало затратных с вычислительной точки зрения алгоритмов цифровой фильтрации сигналов промышленной частоты в условиях переменного окна данных является актуальной задачей.

Наиболее популярным алгоритмом цифровой фильтрации сигналов промышленной частоты и часто используемым в стандартных устройствах измерения и управления является дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Расчетные формулы ДПФ имеют следующий вид:

2 Л . (2пі)

у±п = - N Е хі 'в|П [й-1;

і=п-(й-1) [ '

2 Л (2 пі 'ї

уп = N Е х 'сов1-й-1'

і=п-(й-1) [ '

(1)

где N - число отсчетов на период промышленной частоты; х, - /-е выборочное мгновенное значение сигнала тока или напряжения; уп, у1п -квадратурные (ортогональные) составляющие гармонического сигнала в результате фильтрации.

В [6] предлагается упрощенный алгоритм ДПФ, соответствующий выражениям

2 Л . (2п/ ^ у1п = N X х> •5|ПЫ;

і=п-(й-1)

2п

N

Уп = с%\й I'У±п-"

в1П

у ±п-1

(2)

и обладающий аналогичными характеристиками и свойствами.

Точность и скорость ДПФ-фильтрации зависит от длины окна данных. Алгоритмы «короткого» окна быстро формируют результат, однако такой результат обладает низкой точностью, определяемой амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) ДПФ-фильтра. В качестве примера на рис. 1 приведены АЧХ полного и полупериодного ДПФ фильтров.

ч:

с;

с

2

<

О 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Частота, Гц

Рис. 1. Амплитудно-частотные характеристики ДПФ (1) или упрощенного ДПФ (2): поз. 1 - полного периода; поз. 2 -половинного периода

Очевидно (рис. 1), что полупериодное ДПФ быстро реализуется, но плохо отфильтровывает постоянную составляющую и кратные гармоники, поэтому его применение существенно ограниченно. Например, для релейной

защиты крайне важно построение измерительного органа, подавляющего постоянную (апериодическую) составляющую в сигнале промышленной частоты [7], интенсивность которой бывает существенна и влияет в конечном итоге на правильность действия защиты.

В [5, 8] исследовались алгоритмы квадратурной фильтрации «короткого» окна. В частности, были проанализированы двухвыборочные алгоритмы:

Уп =----Т^т(п + хп-1);

2сов\ NN

У± п =-

1

2вт\ N

(п - хп-1)

(3)

где хп - входные отчеты сигнала тока (напряжения).

При этом, согласно выражению (3), одна из ортогональных составляющих (у1п) обладает свойством полного подавления постоянной составляющей (рис. 2).

ГО

сї

с;

с

2

<

Рис. 2. Амплитудно-частотные характеристики квадратурных фильтров двухвыборочного алгоритма (3): поз. 1 - уп;

поз. 2 - у 1п

Однако в целом алгоритм (3) не пригоден для фильтрации апериодической составляющей, поскольку вторая ортогональная компонента (уп) не обладает отмеченным свойством (рис. 2). Желаемого свойства фильтрации можно достичь путем модификации алгоритма по выражению (3) и приведения его к виду рис. 3,а с АЧХ рис. 3,б.

Модифицированный двухвыборочный алгоритм (рис. 3,а) включает наряду с квадратурным фильтром специальный фильтр подавления постоянной составляющей.

Предложенную модификацию можно обобщить на окно данных любой длины с использованием произвольной задержки соответствующим подбором параметров р и д в выражениях квадратурной фильтрации:

2sin| q

ГГтХ - Xn-q):

N

Уп = TT\Xn + zn-p ):

2cos| p

N

(4)

У in = TTT Xn - zn - p ).

2sin| pN

Частота, Гц б)

Рис. 3. Структурная схема модифицированного алгоритма «короткого» окна (а) и его АЧХ (б): поз. 1 - уп; поз. 2 - у1п

Следует отметить альтернативный вариант построения вычислительного алгоритма согласно выражениям:

1

Уп =-

2cosy qN

1_____

2cos( pN

У in =

1

2sin| pN

Xn + Xn-q ): (n + zn-p ); (n - zn - p ^

(б)

обладающим, однако, ухудшенными свойствами фильтрации постоянной составляющей в обрабатываемом сигнале промышленной частоты.

Рассмотрим отдельное приложение нового алгоритма фильтрации. В [3] предложен алгоритм простейшего неадаптивного фильтра, состоящего из двух каскадно включенных заграждающих фильтров, реализуемых путем преобразования действительного входного сигнала хп в комплексную форму

Хп = Р пХп , рп = 2~1ап. (6)

В последующем осуществляется ортогональная обработка путем применения децимации и подавления боковых частот, описываемая уравнениями каскадов с нормировкой на нулевой частоте:

2 j ap .

zpn

pqn

1 - e-2 j ap (Xn

—L- (.

1 - e-і aq V

- e

xn-p),

(У)

zpn - e

j aq-

pn-q

где р и д - параметры децимации каскадов заграждающих фильтров; а = юоМ юо - промышленная угловая частота, At - интервал дискретизации.

В технических решениях, предполагающих использование переменного окна данных, возможно применение как алгоритма по выражениям (4), так и алгоритма по совокупности формул (6) и (7). Расчетные и модельные эксперименты свидетельствуют об идентичности результатов фильтрации и АЧХ соответствующих фильтров.

Однако следует отметить, что, несмотря на обозначенную простоту фильтрации, авторы [3] усложняют алгоритм, перемножая входной действительный сигнал хп на комплексную составляющую 2]в~уап для получения опорного комплексного сигнала хп . При этом в процессе цифровой обработки предполагается комплексная арифметика, что дополнительно приводит к увеличению вычислительных затрат. Сравнение вычислительной сложности алгоритмов (5), (6) с (7) приведено в табл. 1.

Принимаем предположение, что комплексное умножение эквивалентно четырем действительным, комплексное сложение содержит два действительных сложения, а одно действительное умножение по затратам соответствует четырем действительным сложениям [9]. Тогда получаем, что известный алгоритм [3] требует вычислительных затрат, соответствующих 1оо действительным сложениям, а новый алгоритм (5) - всего лишь 15 действительных сложений. Таким образом, на реализацию разработанного алгоритма требуется в 6-7 раз меньше вычислительных операций при сохранении прочих характеристик фильтрации.

Таблица 1. Вычислительные затраты алгоритмов

Вычислительные операции Алгоритм (4) Алгоритм (6), (У)

Действительное сложение З

Комплексное сложение 2

Действительное умножение З

Комплексное умножение 6

Несмотря на простоту, алгоритмы (4), (5) и (6) с (7) имеют недостаток в применении с использованием техники переменного окна данных. Поскольку в знаменателях, например, (4)

З

находится гармоническая функция ^2э1п^ р—

то при определенном параметре р функция принимает нулевое значение. Поэтому в реализации алгоритмы (4), (5) и (6) с (7) имеют некоторые ограничения при определенных размерах окна данных.

Следует отметить, что характеристики рассматриваемых алгоритмов по подавлению высокочастотных помех иногда могут не удовлетворять требованиям электротехнической практики. Например, при параметрах N = 80, р = 1 и д = 20; 39; 60 результирующая АЧХ цифрового фильтра (рис. 4) имеет явное усиление нежелательных высокочастотных составляющих, что может сказаться на точности оценки составляющих сигналов токов и напряжений промышленной частоты.

ГО

с;

с

2

<

1,3

\

О 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Частота, Гц

Рис. 4. Амплитудно-частотные характеристики алгоритмов (4) и (6) с (7) при N = 80, р = 1: поз. 1 - q = 20; поз. 2 -д = 39; поз. 3 - q = 60

Значительно лучшими точностными характеристиками обладает модифицированный алгоритм ДПФ с применением метода наименьших квадратов [4]. Операции цифровой обработки по этому алгоритму реализуются на основе расчетных соотношений

п

Е хі-і

і=п-(К-1) п

Е х,- -

і=п-(К-1)

где К - количество отчетов в окне данных (К = 1,2...);

" Уп ' " М1 М2'

_У±п _ М2 М3 _

2пі

N

2 пі

N

(8)

л п 1 ^ ■ 2 (2пі ^

М1 = — Е віп2 \-I;

1 А і=п-К-1) [ й 1

М2 =-1 Е сов (^

2 А і=п %-1) [ й

.. 1 Л 2 (2пі

М3 = — Е сов2 \ —

3 А ^ I N

віп

2пі

N

і=п-(К-1) п

А= Е сов2 (N

і=п-(К-1)

Е

і=п-(К-1)

віп

2пі

N

Хі 2пі ^ . ( 2пі

_Г [ NІН-

N

уп = уп - ^1п.

При этом вводится коррекция для подавления апериодической составляющей на основе выражений

а = е ; Ь = уп - ауп-1 ; Ап = уп-1 ~ Ь^-2 , (9)

у „ - ау ■, а - Ь

—п-1 ——п-2 — —

где а и Ь - коэффициенты, используемые для коррекции апериодической составляющей; Ап -выходной сигнал обычного ДПФ уп , но не содержащий погрешности от апериодической составляющей.

Амплитудно-частотные характеристики цифрового фильтра сигналов промышленной частоты по алгоритму [4] имеют вид, показанный на рис. 5, а их анализ свидетельствует о достижимых малых ошибках.

Рис. 5. Амплитудно-частотные характеристики алгоритма фильтрации (8) при N = 80: поз. 1 - К = 20; поз. 2 - К = 40; поз. 3 - К = б0; поз. 4 - К = 75

Нами был разработан упрощенный аналог модифицированного алгоритма, включающий меньшее число вычислительных операций и соответствующий следующим равенствам:

1. При 2 < К < N2

1

Е

і=п-(К-1) п

2 ( 2 - п ( К-1 .

сов2 \----\-------1

N [ 2

(10)

< Е

і=п-(К-1)

2 - п ( К-1 .

сов \----\-------1

N [ 2

2

гп =

Уп =

1

2cos| pN

У in =-

1

(rn + rn-1):

(n - rn-1).

2sln| p—

| N

2. При N4 < К < УВN

1

Е cos2[N

i=n-(N/ 2-1) [

n

< Е

i=n-(N/ 2-1)

2 Г 2 'ПГ N 2 -1

-1

2 'пГN2-1

cos| N [2----i II' xn-'

Вводится дополнительное сглаживание:

• если і - четное число, то

п

Е хп-і

с = і=п-(і-1)___________;

2' Е cos

i=n-(L/ 2-1)

• если L - нечетное число, то

(11)

Е xn-i

i=n-(L-1)

1 + 2' Е cos

i=n-((L-1)/2-1)

где К = N/ 2 + L:

Уп =---------(П + sn-1):

2/ -П

N

2cos(p—) N

~{sn sn-1).

Уіп =-----

2sln(p—)

N

3. При УВЫ < К < N 1

. 2Г2'пГК-1

i=П-(К-1) n

--i

* Е

i=n-(К-1) Уп =-------

. Г2'пГК-1

sin| N[“Г-i II'xn

(12)

1

2cos| pN

(n + rn-1):

Уіп =-------1—ГГ (n - rn-1).

2віп[ pN

Согласно предлагаемому алгоритму, при любом значении К должна быть реализована коррекция результата фильтрации по выражению (9).

Амплитудно-частотные характеристики

предлагаемого алгоритма фильтрации сигналов промышленной частоты при К = 20, 40, 60, 75 приведены на рис. 6

Сопоставительный анализ АЧХ (рис. 5 и рис. 6) свидетельствует о повышенных точностных характеристиках разработанного варианта цифровой фильтрации.

Проведем сравнение вычислительной сложности (табл. 2) предложенного алгоритма фильтрации с алгоритмом (8) [4].

Учитывая ранее принятые допущения относительно вычислительной сложности отдельных операций, при К = 20 можно считать, что алгоритм по (8) эквивалентен 626 операциям действительного сложения, а алгоритм по (11), соответственно, 300 операциям действительного сложения. Таким образом, разработанный алгоритм фильтрации сигналов промышленной частоты (11) требует в 2,09 раза меньше вычислительных затрат.

Частота, Гц

Рис. 6. Амплитудно-частотные характеристики разработанного алгоритма фильтрации сигналов промышленной частоты при N = 80: поз. 1 - К = 20; поз. 2 - К = 40; поз. 3 -К = 60; поз. 4 К = 75

Таблица 2. Вычислительные затраты на реализацию алгоритмов фильтрации

Вычислительные Алгоритм (В) Алгоритм (10)-

операции (12)

Действительное сложение бК+4 2К

Комплексное сложе- 4 4

ние

Действительное умножение бК+6 2К+3

Комплексное умно- б б

жение

Натурное исследование качества цифровой фильтрации сигналов промышленной частоты, в том числе и динамических свойств [5], производилось путем оценки параметров токов короткого замыкания по осциллограммам реальных повреждений на ЛЭП 220, 500 кВ филиала ОАО «ФСК ЕЭС» - Нижегородское ПМЭС.

ГП =

sn =

ГП =

б

Таблица 3. Характеристики осциллограмм токов короткого замыкания, привлекаемых для натурных экспериментов

Наименование поврежденной ВЛ Оценочное время затухания апериодической составляющей Оценочные уровни сигналов кратных гармоник Визуальное отображение осциллограммы

2-я 3-я 4-я б-я

ВЛ б00 кВ Ар-замас-Радуга Южная 0,072 с 0,33б % 0,33б % 0,В9У % 0,217 % Рис. 7,а

ВЛ 220 кВ Сер-гач-Сеченово 0,091 с 1,096 % 0,371 % -,05- % 0,32б % Рис. 7,б

ВЛ 220 кВ Ар-замас-Сергач 0,088 с 0,949 % 1,011 % 2,069 % 0,66В % Рис. 7,в

Эксперименты проводились с пятью алгоритмами фильтрации:

• традиционное ДПФ (1), упрощенный вариант (2);

• согласно выражению (8) с коррекцией (9);

• по разработанному составному алгоритму (10)-(12) с коррекцией (9);

• по алгоритмам (4) или (6) с (7);

• по алгоритмам (4) или (6) с (7) с коррекцией (9).

Результаты обработки и анализа осциллограмм сведены в табл. 4 и проиллюстрированы рис. 7.

Анализ осциллограмм (рис. 7), результатов их обработки и оценочных параметров (табл. 4) свидетельствует о том, что разработанные упрощенные алгоритмы обеспечивают высокую точность цифровой фильтрации сигналов промышленной частоты при малом числе вычислительных операций. Они характеризуются улучшенными АЧХ (рис. 6), а также обладают хорошими динамическими характеристиками (табл. 4; рис. 7,г,д,е, поз. 2), поэтому перспективны для применения в программных и аппаратных устройствах измерения и управления электрических сетей и систем.

Таблица 4. Анализ обработки осциллограмм токов короткого замыкания

Наименование поврежден-ной ВЛ Алгоритм Время, необходимое для получения корректной величины амплитуды после начала переходного процесса (с погрешностью не более 15 %), с Максимальная ошибка в вычислениях амплитуды сигнала тока КЗ, % Визуальное отображение оценки амплитуды

ВЛ 500 кВ Алгоритм (1) или (2) 0,019 9,5 Рис. 7,г, поз. 1

Арзамас- Алгоритм (8) с (9) 0,011 9,6 Рис. 7,г, поз. 3

Радуга Алгоритм (10)-(12) с (9) 0,009 8,1 Рис. 7,г, поз. 2

(рис. 7,а) Алгоритм (4) или (6) с (7) без (9)* 0,0116 15 Рис. 7,ж, поз. 1

Алгоритм (4) или (6) с (7) с (9)* 0,0116 9,2 Рис. 7,ж, поз. 2

ВЛ 220 кВ Алгоритм (1) или (2) 0,02 12,7 Рис. 7,д, поз. 1

Сергач- Алгоритм (8) с (9) 0,008 6,4 Рис. 7,д, поз. 3

Сеченово (рис. 7,б) Алгоритм (10)-(12) с (9) 0,008 6,5 Рис. 7,д, поз. 2

Алгоритм (4) или (6) с (7) без (9)* 0,011 11,2 Рис. 7,з, поз. 1

Алгоритм (4) или (6) с (7) с (9)* 0,0116 10,3 Рис. 7,з, поз. 2

ВЛ 220 кВ Алгоритм (1) или (2) 0,018 14 Рис. 7,е, поз. 1

Арзамас- Алгоритм (8) с (9) 1,7 10'3 11,2 Рис. 7,е, поз. 3

Сергач (рис. 7,в) Алгоритм (10)-(12) с (9) 0,0022 0,1 Рис. 7,е, поз. 2

Алгоритм (4) или (6) с (7) без (9)* 0,01 15 Рис. 7,и, поз. 1

Алгоритм (4) или (6) с (7) с (9)* 0,01 15 Рис. 7,и, поз. 2

* - из обработки исключены точки, соответствующие нулевому значению функций cos I p— I и sin I p—

I N) I N

Рис. 7. Осциллограммы тока короткого замыкания (а, б, в) и оценка его амплитуды (г-и)

Заключение

Эффективным средством повышения быстродействия цифровой фильтрации сигналов токов и напряжений промышленной частоты является техника переменного окна данных.

Предложенные новые упрощенные алгоритмы цифровой обработки информации в переменном окне данных не уступают по точности фильтрации, но обладают меньшим количеством вычислительных операций.

Перспективно применение алгоритмов упрощенной цифровой фильтрации сигналов промышленной частоты как в существующих, так и в перспективных программных и аппаратных средствах измерения и управления электрических сетей и систем.

Список литературы

1. Li K.K., Lai L.L. An adaptive window length algorithm for digital distance protection // Proceedings of the 4th International Conference on Advances in Power system Control, Operation and Management, APSCOM-97. - Hong Kong, November, 1997. - Р. 83-88.

2. Ha Heng-xu, Zhang Bao-hui, Yuan Wen-guang, Li Wei-shuo. Novel algorithm of variable-window Fourier transform based high-speed distance relay for EHV transmission lines // International Conference on Power System

Technology - PowerCon 2004. 21-24 November 2004. - Singapore, 2004. - Р. 6-11.

3. Лямец Ю.Я., Романов Ю.В., Широкин М.Ю.

Быстрое оценивание периодической составляющей тока короткого замыкания // Электричество. - 2012. - № 4. -С. 9-13.

4. Ching-Shan Chen, Chih-Wen Liu, Joe-Air Jiang.

Application of Combined Adaptive Fourier Filtering Technique and Fault Detector to Fast Distance Protection // Transactions on Power delivery. - April 2006. - Vol. 21, no. 2. - Р. 619-626.

5. Шнеерсон Э.М. Цифровая релейная защита. -М.: Энергоатомиздат, 2007. - 549 с.

6. Фальшина В.А., Куликов А. Л. Алгоритмы упрощенной цифровой фильтрации электрических сигналов промышленной частоты // Промышленная энергетика. -2012. - № 5. - С. 39-46.

7. Gabriel Benmouyal. Removal of DC-Offset in current waveforms using digital mimic filtering // Transactions on Power delivery. - April 1995. - Vol. 10, no. 2. - Р. 621-630.

8. Куликов А.Л., Мисриханов М.Ш. Введение в методы цифровой релейной защиты высоковольтных ЛЭП: учеб. пособие. - М.: Энергоатомиздат, 2007. - 198 с.

9. Макклеллан Дж.Х., Рейдер Ч.М. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов. - М.: Радио и связь, 1983. - 264 с.

References

1. Li, K.K., Lai, L.L. An adaptive window length algorithm for digital distance protection. Proceedings of the 4th International Conference on Advances in Power system Control, Opera-tion and Management, APSCOM-97. Hong Kong, November, 1997, pp. 83-88.

2. Ha Heng-xu, Zhang Bao-hui, Yuan Wen-guang, Li Wei-shuo. Novel algorithm of variable-window Fourier trans-

form based high-speed distance relay for EHV transmission lines. International Conference on Power System Technology -PowerCon 2004, 21-24 November 2004. Singapore, 2004, pp. 6-11.

3. Lyamets, Yu.Ya., Romanov, Yu.V., Shirokin, M.Yu. Bystroe otsenivanie periodicheskoy sostavlyayushchey toka korotkogo zamykaniya [Fast evaluation of periodic component of short circuit current]. Elektrichestvo, 2012, no. 4, pp. 9-13.

4. Ching-Shan Chen, Chih-Wen Liu and Joe-Air Jiang. Application of Combined Adaptive Fourier Filtering Technique and Fault Detector to Fast Distance Protection. Transactions on Power delivery. April 2006, vol. 21, no. 2, pp. 619-626.

5. Shneerson, E.M. Tsifrovaya releynaya zashchita [Digital relay protection]. Moscow, Energoatomizdat, 2007. 549 p.

6. Fal'shina, V.A., Kulikov, A.L. Algoritmy uproshchen-noy tsifrovoy fil'tratsii elektricheskikh signalov promyshlennoy chastoty [Simplified digital filtering algorithms of mains-frequency electrical signals]. Promyshlennaya energetika, 2012, no. 5, pp. 39-46.

7. Gabriel Benmouyal. Removal of DC-Offset in current waveforms using digital mimic filtering. Transactions on Power delivery, April 1995, vol. 10, no. 2, pp. 621-630.

8. Kulikov, A.L., Misrikhanov, M.Sh. Vvedenie vmetody tsifrovoy releynoy zashchity vysokovol'tnykh LEP [Introduction into methods of digital relay protection of high voltage transmission lines]. Moscow, Energoatomizdat, 2007. 198 p.

9. Makklellan, Dzh.Kh., Reyder Ch.M. Primenenie teorii chisel v tsifrovoy obrabotke signalov [Application of the number theory to digital signal processing]. Moscow, Radio i svyaz', 1983. 264 p.

Куликов Александр Леонидович,

ФГБОУВПО «Нижегородский государственный технический университет имени Р.Е. Алексеева»,

доктор технических наук, профессор кафедры электроэнергетики, электроснабжения и силовой автоматики,

e-mail: [email protected]

Фальшина Вера Анатольевна,

ФГБОУВПО «Нижегородский государственный технический университет имени Р.Е. Алексеева», аспирант кафедры электроэнергетики, электроснабжения и силовой автоматики, e-mail: [email protected]