CC BY
30
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Навигация и УВД
УДК 629.735
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧИ ОЦЕНИВАНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СТОЛКНОВЕНИЯ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ИЗМЕНЕНИЙ ПЛАНОВЫХ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ РАССТОЯНИЙ ВС
В.Б. СПРЫСКОВ
В работе излагается постановка задачи оценивания вероятности столкновения пары ВС при прямолинейном движении с изменением трех проекций планового (номинального) относительного расстояния. Исследования позволяют обосновать аналитическую модель вероятности столкновения, необходимую для решения проблем управления безопасностью полетов в аэродромном воздушном пространстве.
Важность и актуальность
В последнее время наблюдается определенный прогресс в работах, связанных с оценкой безопасности полетов при ОВД, так как положение в мире меняется в пользу не декларативного, а фактического обеспечения безопасности полетов. В этой связи важной задачей является разработка и доказательство адекватности модели оценки вероятности столкновения при произвольном прямолинейном движении ВС, для которого проекции траекторий в горизонтальной и вертикальной плоскостях пересекаются в общем случае в разных точках.
Актуальность заявлений темы определяется тем, что опубликованные в ICAO Doc 9689 [1] модели рисков рассматривают случаи, когда плановые относительные расстояния между ВС изменяются либо по одному направлению, например, при оценке риска катастроф при движении по параллельным линиям пути или по одной линии пути на одной высоте, либо по двум направлениям, например, при движении по пересекающимся линиям пути без изменения высоты. В рассматриваемой работе меняются все три компоненты вектора планового относительного расстояния между ВС.
Система модельных допущений при оценивании вероятности столкновения в трехмерном пространстве изменений плановых относительных расстояний ВС
Известно, что “правильные” модельные допущения являются важнейшим (может быть самым важным) условием разработки “хорошей” математической модели сложного явления. При моделировании вероятности столкновения ВС традиционно используется система модельных допущений P.G.Reich’a [2]. При решении задачи оценки риска в трехмерном пространстве неопределенности положений ВС систему модельных допущений P.G.Reich’a следует частично изменить на столько, на сколько условия полета ВС с изменением высоты отличаются от условий горизонтального полета.
Установим следующие модельные допущения. Будем считать, что:
1. Число ВС, вовлеченных в отдельный конфликт, равно 2.
2. Ошибки выдерживания плановой (номинальной) траектории отдельным ВС в продольном направлении, в поперечном направлении и в вертикальной плоскости являются независимыми.
3. Ошибки выдерживания плановой траектории одного ВС не зависят от ошибок другого ВС.
4. Ошибки выдерживания плановых траекторий ВС по трем ортогональным направлениям могут быть описаны симметричными унимодальными функциями плотностей вероятностей отклонений от номинальных положений.
5. Номинальные высоты траекторий ВС меняются во времени по линейным законам. Плановые путевые скорости и угол их пересечения остаются постоянными за рассматриваемое время.
6. Диспетчер управления воздушным движением не вносит изменений в плановые траектории ВС в течение времени, за которое оценивается вероятность перекрытия ВС.
7. Отсутствует внешняя информация о фактических положениях ВС и пилоты не выполняют никаких корректирующих действий в процессе движения за рассматриваемое время.
8. ВС не выполняют маневров предотвращения столкновения в течение рассматриваемого интервала времени.
9. Характеристики отклонений ВС от планового положения являются постоянными в течение рассматриваемого интервала времени.
Заметим, что большинство допущений являются слишком упрощенными по сравнению с реальными условиями полета. Однако большинство из них являются допущениями Р.О.ЯеюЬ’а и тем самым обеспечивают постоянную базу исследования проблемы оценки риска столкновения в пространствах неопределенности положения ВС различной размерности.
Оценка вероятности столкновения ВС при движении в трехмерном пространстве изменений плановых относительных расстояний ВС методом Монте-Карло
Пусть пара ВС движется по прямолинейным номинальным траекториям с плановыми путевыми скоростями и Ж2. Проекции этих траекторий на горизонтальную плоскость оху пересекаются под углом у в точке 0. Проекции этих траекторий на вертикальную плоскость ох2 имеют углы наклона к плоскости оху: Д для плановой траектории первого ВС и Ь - для плановой траектории второго ВС.
Не снижая общности рассуждений положим, что ВС1 по плану первым достигает точки 0, при этом ВС2 (по плану) находится от него на расстоянии 5 в горизонтальной плоскости, угол Д - положительный (ВС1 набирает высоту), угол Д - отрицательный (ВС2 снижается). Пусть Н1 - плановая высота ВС1 при х = 0 ; Н2 - плановая высота ВС2 при х = 0 .
( 2 • 5 ^
Рассматривается плановое движение ВС в интервале времени 0,Т +--------, который выбран таким
V ^2 )
образом, что в начальный момент времени ВС номинально расположены на больших расстояниях в горизонтальной плоскости оху от точки 0, в середине интервала каждый из ВС по плану пересекает точку
0, а номинальные положения ВС в конце интервала находятся также достаточно далеко от точки 0. Как правило, значение Т лежит в диапазоне нескольких минут.
Плановые траектории и фактические положения ВС в момент времени (=0 показаны на рис.1.
Ставится задача оценить вероятность полного перекрытия ВС в интервале времени
0,Т + -
Рассмотрим проекции положений ВС на горизонтальную и вертикальную плоскости. Номинальные положения ВС в горизонтальной плоскости oxy в момент t=0 равны
I Х° = —dj; Х20 = - J2 cos g;
1У10 = 0; У2 = -d° sin g
Номинальные положения ВС в плоскости oxz в момент t=0 равны
I Х,° = —а
—d0; x°0 = — d0
H0; z2 11 0
Фактические положения ВС момент t=0 равны — в плоскости oxy:
I х0 = — d0 + ej; I x20 = — cosg+ Є cos g—e^T sing;
1yj = e1c; 1 y2 = —sin g+ e2 sin g+ e% cos g;
0
1
Проекции фактических
х
по скрещивающимся прямолинейным траекториям в проекциях на: а - горизонтальную плоскость; б - вертикальную плоскость
- в плоскости oxz:
I x0 — — dj0 + Єу
z0 — H0+e +eAtgPi,
x* —-
i0 cos g + eA cos g—e^ sin g;
z2 — Я2° + e2¡ + tgp2 Є cosg—e2 sin
ing).
В рамках данного раздела случайные величины e 2 характеризуют отклонения фактических полос
жений ВС вдоль проекций номинальных траекторий (along), ej 2 характеризуют отклонения фактических положений ВС от номинальных поперек проекций траектории (cross) на горизонтальную плоскость oxy, а случайные величины ej^ характеризуют фактические отклонения ВС от номинальных вертикальных профилей (height) траекторий ВС.
(
Текущие фактические положения ВС в интервале времени
0,Т +
2 • s
\
W
равны :
2 У
на плоскости oxy:
на плоскости oxz:
Xj (t) — — + eA + Wjt;
yi (t ) — eC;
x2 (t) ——(d2° —e2)cos g—e^ sing+ W2 ■ cosg-1; y2 (t) ——(d2 —e2)sing+eC cosg+ W2 ■ sing-1;
Xj (t) — —+ eA + Wjt ;
[zi (t)— #i° + eiA + e\tgP\ + WitgPi ■t;
x2 (t) ——(^2 —e^)cosg— eC sing+ W2 ■ cosg-1;
_z2 (t) — H2° + e% + (e2 cos g— eC sin g)tgb + W2 ■ tgb ■ t.
В дальнейшем при выполнении математических преобразований будем использовать соотношения:
¿2° — w2 • |+s; А0 — Hi — Wi • T• tgbi; H0 — h2 — (W2 ~+s)• tgb2
T_
2
T_
2
(
Для любого момента времени t е ВС равно
0,Т +
2 • s
W
расстояние между центрами фактических положений
2 У
D(t) — (x2 (t) — xj (t ))2 + (у2 (t) — уі (t))2 + (Z2 (t) — Zi (t ))2
Найдем минимум 0(0. Так как 0(0 при любом ( неотрицательная функция, то время (, при котором
(
D(t) обращается в минимум в интервале tє
0,Т +
2 • s
W
, будет совпадать со временем t, при котором
2 У
D (t) обращается в минимум на том же интервале времени.
Í
D (t) > 0 при tє
0,Т +
2 • s
\
. Тогда tmin является корнем уравнения
2
d (D2(t))
— 0.
Уравнение (1) приводится к виду
2(Dx° + Vx ■ t)■ Vx + 2(Dy° + Vy ■ t)■ Vy + 2(Dz° + Vz ■ t) ■Vz — °
*
или
Тогда
Дхо • Vx + Vx2 • t + Ay0 •Vy + V/ • t + Az0 V + Vz2 • t = 0
—Ax0 •Vx -ДУо Vy — Az0 V
^min
. A t A C • \ тг T
где Ax0 = e2 cosg—e +e2 sing) —Vx ■ — —s • cosg;
T 2
V2+V 2 +V 2
x y y
(2)
Ay0 =e2 sing+e2 cosg— e1 —Vy • ——s• sing;
Az0 = e% — el + tgb (eA cos g— e\ sin g) — ef1 • tgfa + (H2 — Hi) — Vz ■ — — s • tgb;
Vx = W2 • cosg— W ;
Vy = W2 • sin g ;
Vz = W2 • tg 02 — W • tgbi ;
Vx2 + Vy2 + Vz2 = ^отн) .
Искомый минимум фактического расстояния между центрами ВС будет равен
i
tel 0,T
2s
W
Ax2 +Ay2 +Az0
2, если t_„ <0;
mn
1 + V • t-n ) +(Ay +V, • t ■„ ) +1
(Ax> +Vx • tmn) +(ДЛ
0 y min
) +(Az0 +Vz • tmin)
2 S
, если 0<m <T+—;
min W2
(3)
Ax, +Vx
T+-
+
W jj
Ay0 +Vy
T+-
W2 JJ
+
Д0 +Vz
T+-
Yi W JJ
, если tnlin >T+
W2
Будем считать, что при фактическом движении относительно плановых траекторий за интервал
(
времени
0,Т +
2 • s
W
произойдет полное перекрытие ВС, если величина £>ш;п , оцененная по формуле
2J
(3), удовлетворяет условию От{п < Окр, где величина Окр зависит от формы объема, аппроксимирующего ВС. Если аппроксимирующие объемы ВС представляют собой шары с диаметрами, равными максимальным габаритам ВС, то
D = DD- + D
кр 2 2
(4)
где 0\ , Э2 - диаметры шаров, аппроксимирующих ВСХ и ВС2 соответственно.
Для фиксированных значений параметров Т,s,W]_,W2,Y,bl,b2,Н и Н2, заданных законов откло-
а С ь с ь
нений ВС от фактических положений е 8 8 ,82 ,£2 ,82 можем N раз разыграть ситуацию движения
(
ВС в интервале времени
0,Т +
2 • s
W
и оценить величину п, характеризующую количество ситуаций,
2J
при которых £>ш;п < Окр . Искомая оценка вероятности перекрытия ВС будет равна
Í
xyz
0,T +
2 • s
W
2J
п
N
(5)
2
í
í
í
s
s
s
При N ®¥ оценка (5) сходится к значению вероятности столкновения в трехмерном пространстве изменений плановых относительных расстояний ВС.
Выводы
Получено решение задачи оценивания вероятности столкновения ВС при движении с изменением трех проекций планового относительного расстояния методом Монте-Карло. Выполненные исследования являются необходимым этапом обоснования аналитической модели оценки вероятности столкновения ВС, так как позволяют обосновать её адекватность заданным условиям номинального движения и характеристикам отклонений фактических положений от плановых.
ЛИТЕРАТУРА
1. Руководство по методике планирования воздушного пространства для определения минимумов эшелонирования. ICAO Doc 9689. Издание первое, 1998.
2. Reich P.G. Analysis of long-range air traffic systems-separation standards. The Journal of Navigation (U.K.), Vol 19, № 1, 2, 3, 1966.
PRELIMINARY RESEARCH OF THE ASSESSMENT TASK OF COLLISION PROBABILITY IN THREE-DIMENSIONAL SPACE WITH THE CHANGE OF PLANNED RELATIVE DISTANCES
Spryskov V.B.
The task of the assessment of collision probability during air traffic with the change of the three projections of relative distance with the Monte-Carlo method is solved in the article.
Сведения об авторе
Спрысков Владимир Борисович, 1951 г.р., окончил МАИ (1975), МГУ им. М.В. Ломоносова (1983), доктор технических наук, главный научный сотрудник ФГУП «ГосНИИ «Аэронавигация», автор более 100 научных работ, область научных интересов - безопасность полетов при аэронавигационном обслуживании.
