CC BY
35
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Навигация и УВД
УДК 629.735
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЕРОЯТНОСТИ СТОЛКНОВЕНИЯ ПРИ ДВИЖЕНИИ ВС С ИЗМЕНЕНИЕМ ТРЕХ ПРОЕКЦИЙ ПЛАНОВОГО ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАССТОЯНИЯ
В.Б. СПРЫСКОВ
В статье представлена аналитическая модель вероятности столкновения при движении ВС с изменением трех проекций планового относительного расстояния. Адекватность модели проверена сравнением оценок вероятностей, полученных аналитическим и симуляционным методами. Поставленная задача решена впервые. Модель позволяет обосновать процедуры оценки безопасности полетов при аэронавигационном обслуживании в аэродромном воздушном пространстве.
Будем стараться найти такое аналитическое выражение аналитической модели, которое максимально соответствовало бы представленным в [1] модельным допущениям о положениях ВС в пространстве и симуляционной модели оценки Рхуг (0,0+(2^2)). Анализ указанных допущений позволяет сделать вывод о применимости формализма обобщенной нестационарной модели риска столкновения [2],согласно которой
Т+(2і/Г2 )
- | Дху* (і)Л Т + (2*/Щ )
Рху:, (0,Т + (2 • 5^ )) = 1 - * 0 @ | Л^і (1)
0
где Лхуі (і) = І /і (5х (іХ 5у (іХ ^ (іХ V )( п, V) + dsxdsydszdv ; (2)
5х (і),5у (і),sz (і)eSp v
Sp - сфера радиуса Якр =(Б1 + В2)/2 , ограничивающая шаровой критический объем столкновения [3], достаточно малый, чтобы считать плотность вероятности перекрытия фактических положений ВС номинально разделенных в пространстве на расстояние 5 (і) = ( 52(і) + s2y (і) + 52(і))2 на сфере и в шаре постоянной; /і (5Х (і), ,5у (і), (і), V) - совместная плотность вероятностей перекрытия фактических положений ВС и
относительной (трехмерной) скорости пары ВС в момент времени і; (п, V} + - скалярное произведение векторов единичной нормали к поверхности сферы (п) и вектора относительной скорости пары ВС (V), учитывающее только те скорости, которые направлены внутрь шара радиуса Якр .
В предположении о независимости позиционных и скоростных составляющих совместной плотности /і (5Х (і), яу (і), ^ (і), V) оценим Лу (і) следующим образом:
Лу (і) = Ш І /і ( 5х (і X 5у (іX ^ (іX V К п, ^ + dsxdsydszdv =
5Х (і),5у (іX Sz (і)Є Sp V
= |( п, •Ъ^ ( ^е1^ ) ^ • ІІІ СгАА ( 5х (і), 5у (і), 5г (і) ) ds xds ydsz = (3)
"У,Р1,Р2 \ х\*/’^Jy\t/’^JZ\t/J'^^Jx^lJy^lJz
Ях (і),5у (і),sz (і)^р
3ЕІІV
у V 4р з 3Е{ уге1,ху\} г| п / \
= СгЛЛ (5х ОХ Эу (0, ^ (0 )• —Якр---------—--------= П- Якр -Е{|уге/,ху2 }• С7Ль ( ^ ОХ Эу (^), (0 ),
3 4 а
кр
где Е{|Уге1 у Ц - математическое ожидание относительной скорости ВС в момент времени ^;
СГ,Д,Ь2 ( 5х ('), Эу ((), ^ (() ) - плотность вероятности перекрытия ВС в момент времени ^.
V
Плотность вероятности перекрытия ВС в трехмерном пространстве неопределенности положений при нормальных (гауссовских) отклонениях фактических положений ВС от плановых и оценка
вероятности полного перекрытия ВС при полете в интервале времени (0, Т + (28^2 ))
Рассмотрим пару ВС, совершающих полет по номинальным линиям пути, схематично показанным на рис.1 в [1]. Положим, что в момент времени t ВС номинально располагаются как показано на рис.1. Согласно предположениям раздела 2 фактические отклонения ВС от номинальных положений описываются в системах координат 01 х У1 ^ и 02 Х2 У2^2 как независимые нормальные переменные, а в системах 01Х1У1 ^1 и 02 Х2 У2 ^2 как независимые переменные У1 и У2 и зависимые переменные Х1, ^ и х2,^2 из-за того, что по условию задачи: г1 =Н1 + х1 tgp1 ; г2 =И2 + х2 tgb2.
Вектора отклонений фактических отклонений ВС от их номинальных положений описываются трехмерными нормальными плотностями. Для аналитического описания многомерной нормальной плотности необходимо задать вектор переменных, вектор математических ожиданий и матрицу ковариации переменных.
Введем следующие условные обозначения аналитических трехмерных плотностей, описывающих вектора фактических отклонений ВС, и ВС2 от их плановых положений:
/вс (хі,У\,гі) -сз
-АТВС1
/ВС2 (х2,у2,22 ) - С
ВС2
ї хі' / (о 1
Уі о
_ч *1 V / ч 0 )
' х2 1 / ґ 0 1
У2 0
ч 22 / Ч 0 V
^1
(4)
(5)
где
&х
&
Уі
& *§01 о
о
22
матрица
(6)
ковариаций фактических отклонений ВС, от плановых положений, оцененная в системе координат Оі хі уі г1 ;
(
&х
о
& <ёр2
\
&
У2
о
2$2
-матрица ковариаций фактических
отклонений ВС2 от плановых положений, оцененная в системе координат О2 Х2 У2 ^ .
Опишем плотности вероятности отклонений фактических положений ВС от плановых в единой системе координат оху2 , совпадающей, положим, с системой Оі Хі Уі ^. Очевидно, в форме плотности вероятности отклонений для ВС1 изменятся только обозначения переменных :
/вС1(х ,у ,г )-сВс
вс
Г х 1 Г 01
У 0 , 2і
ч* V / ч 0 V
(7)
о
о
о
Плотность вероятности фактических отклонений ВС2 от плановых положений, записанная в системе координат оху2 , будет значительно отличаться от (5)
Рис. 1. Номинальные положения ВС в момент времени 1 и системы координат, в которых описываются фактические отклонения ВС от номинальных при движении по скрещивающимся прямолинейным траекториям в проекциях на: а - горизонтальную плоскость;
б - вертикальную плоскость
/вс, (х ,у ,z ) = N
-ВС,
s' X / ( Sx '
у Sy * , S2
V z / v Sz У
(8)
где
- вектор математических ожиданий отклонений ВС2 , представляющих собой проекции от-
носительного расстояния между плановыми положениями ВС на оси 0х, 0у, 0z (рис. 2);
(var2(х,х) cov2(х,у) cov2(х,z) ^
S = cov, (х, у) var,( у, у) cov,( у, z)
v cov2( х, z) cov2( у, z) var2( z, z)
где var,(х, х) = sj cos2 g+ s2^ sin2 g; var,(у, у) = sj sin2 g+ s^ cos2 g; var,(z, z) = s^ + sj
(9)
2
y2 ° / ’ VCVA2V^’^/ '“'fy • У2
COV2 (x, y) = (S2 - S ) sin gCOS g; COV2 (x, z) = s2 • tgb ; COV2 (y, z) = 0.
Плотность вероятности перекрытия ВС в трехмерном пространстве представляет собой свертку плотностей (12) и (13). Следовательно, её аналитический вид можно записать как
Cggb,b2 ( 5х , Sy , sz )= N
V 0 У
(10)
где матрица ковариаций ^ определена формулой (6), а матрица ковариаций ^ - формулой (9). Мат-
рицу ковариаций аргументов плотности вероятности перекрытия ВС в трехмерном пространстве неопределенности положений следует записать как
( var(sx, 5Х ) cov(sx, 5у ) cov(sx, sz ) ^
S + S*2 = 2c =
cov(Sx, Sy ) var(Sy, Sy) cov(Sy, Sz )
cov(Sx, sz) cov( Sy, sz) var(sz, sz)
(11)
22222 22222 где: var^,Sx) = s^ + (sXi cos g+ Sy2 sin g); var Ц, Sy) = syi + (s%i sin g+ Sy2 cos g);
var (sz, Sz ) = s2 +s2
2bi+s +s -tg 2b2;
2 2 2 2
cov (5X,5y) = (SX2 - &y2 ) • sin g• cosg; cov (5X,5Z) = s tgfr +o4 • tgb ; COV fay,Sz) = 0.
Явная форма записи плотности вероятности перекрытия (10) будет представлять собой следующее выражение
( Sx ^ (0 ^
Sy 0 , 2c
V Sz У / V 0 У
1
^/(2p)3 - А
(12)
X exp
2А
AxxSx + 2 AxySxSy + 2 AxzSxSz + AyyS1 + 2 AyzSySz + AzzS2
где А = var(Sx,Sx)•var(Sy,Sy) var (Sz,Sz) + 2cov(Sx,Sy)cov (Sx,Sz)cov (Sy,Sz)-
\2 ..........................\2
- var(Sx, Sx )-(cov (sy, Sz )) - var (Sy, Sy )-(cov (Sx, Sz ) ) - var(Sz, Sz )-( cov (Sx, Sy )) ;
Axx = var(sy, sy )-var(Sz, Sz )-( cov (sy, Sz ) )2; Аху = var (Sz, Sz )-cov(Sx, Sy ) - cov (Sx, Sz )-cov (sy, Sz ); Axz = cov(Sx, Sy )-cov (sy, Sz ) - cov (Sx, Sz )•var(sy, Sy ); Ауу = var(Sx, Sx )-var(Sz, Sz )-( cov (Sx, Sz ) )2; Ayz = var(Sx, Sx )-cov (sy, Sz ) - cov (Sx, Sz )-cov (Sx, Sy ); Azz = var(Sx, Sx )•var(sy, sy )-( cov (Sx, Sy ) )2.
x
S
у
V sz У
*
0
S
у
1
Итак, определена плотность (12) вероятности перекрытия ВС в трехмерном пространстве в предположении о нормальных отклонениях фактических положений ВС от плановых. Тогда вероятность
столкновения ВС в интервале времени (0,Т + (2s|W2)) с учетом результатов (1), (2), (3) и (12) можно
оценить как
. Т+(2$/№2)
где
тготн
xyz
PXN (0,T + (2s/W2 )) = p R2Kp V™ J CfM (Sx (t), Sy (t), Sz (t)) dt, (13)
0
= E{|vrel,xyz}; Sx(t) = xn(t) - x™(t); Sy(t) = y™(t) -y™(t); Sz(t) = hn(t) -h™(t), - при условии,
что плановые траектории хП2^), уП2(^),) заданы в системе 0ху2 .
Плотность вероятности перекрытия ВС в трехмерном пространстве при БЕ отклонениях фактических положений ВС от плановых и оценка вероятности перекрытия ВС при полете в интервале времени (0, Т + ())
Задача данного параграфа полностью идентична задаче предыдущего, за исключением законов, которыми описываются отклонения фактических положений ВС от плановых. Плотность вероятности перекрытия ВС в предположении о ББ отклонениях фактических положений ВС от номинальных, записанную в системе координат о, sx, Sy, , ориентированную в пространстве также, как система координат отклонений ВС1 от планового положения в момент времени tе (0,Т + (2^2)) , следует записать в виде
|х| |у| \h-xtg Д| |(х-^с )со8^+(у-^у )8тЛ
+¥ +¥ +¥ ----------— ------------— ------------------------- — ------------------
—-— і —-— 1
ClDlbSSx.Sy,Sz) = J J J --exp ■■ X-—exp "X—
b I I I X----exp y x---------exp h ------------exp 12 X
rbb2 x v z 2- F 21v F 2- F 2— F
—, —,—, л-у lij ЛА.
|-(x—Sx )sin g+(y—Sy) cos g |h—(Sz + tg b2 (x—Sx)) I
1 — a 1 — a
x--------exp V2 x------exp 12 dxdydh. (14)
21V2 21h2
Вероятность столкновения ВС при DE отклонениях фактических положений от плановых при полете в интервале времени (0,Т + (2s/W)) по аналогии с (13) будет равна
. T+(2sjW2)
P3DE(0,Т + (2s/W-)) = Р-R-p J CgDEb (Sx (t),Sy (t),Sz (t))dt. (15)
0
Сравнение аналитических и симуляционных оценок вероятности полного перекрытия ВС в трехмерном пространстве за интервал времени (0, Т + (2s/W2))
Для проведения корректного сравнения оценок необходимо выполнить вычисления для одних и тех же условий полета ВС по скоростям, углам, плановым траекториям и характеристикам отклонений фактических положений ВС от плановых.
Зададим изменения плановых относительных расстояний, необходимых для аналитических расчетов, строго в соответствии с изменениями относительных расстояний симуляционного метода в предпо-
A C h
ложении нулевых отклонений £*1 2,^*1 2,f 2
Sx (t) = x£=0 (t) - xf=0 (t) = (W2 • cos g- W1) • (t - T/2) - S • cos g;
Sy (t) = yf=0 (t) - yf=0 (t) = W2 • sin g • (t - T/2) - s • sin g;
Sz (t) = zf=0 (t) - zf=0 (t) = (H2 - H1) + (W2 • tg02 - w • tgb) • (t - TI2)- S • tg02 .
Для нормальных отклонений фактических положений ВС от плановых сравнение симуляционных и аналитических оценок вероятности Pxyz (0, Т + ( 2s/Wj )) может получить любой заинтересованный специалист, т.к. аналитические и симуляционные модели искомой вероятности описаны в данной работе явно.
Для ОБ отклонений фактических положений ВС от номинальных выполнить сравнение значительно сложнее, т.к. плотность вероятности перекрытия пары ВС записана в общем виде. Для записи
ЗОЕ
С7Д\Дг (ях, Яу, яг) в элементарных функциях необходимо выполнить работу по взятию интеграла (14).
Для этого бесконечное трехмерное пространство должно быть разделено на трехмерные области, внутри которых подынтегральная функция в выражении (14) может быть записана без модулей в показателях степеней. Число указанных областей и математическое описание их границ зависят от соотношения
значений 5Х, яу, яг ,у1,Дх,Д2. Для задания функции Су°Ед2 (5х, яу, яг) в общем виде необходимо вычислить 3720 тройных интегралов. В том числе для наборов из 6 значений
Ф / = 0, яу Ф / = 0, яг Ф / = 0, уф 0, Д Ф 0, Д2 Ф 0 интеграл (14) может быть вычислен в общем виде как сумма 63 тройных интегралов, а для наборов, которые удовлетворяют условиям ях = 0, яу = 0, яг Ф / = 0, уф 0, Д Ф 0, Д2 Ф 0; ях Ф / = 0, яу Ф / = 0, яг Ф / = 0, у = 0°/180°, Д Ф 0,
Д2 Ф 0 ; ях Ф / = 0, яу Ф / = 0, яг Ф / = 0, у = 90° / 270°, Д Ф 0, Д2 Ф 0 - как сумма 36 тройных интегралов.
В табл. 1, 2 представлены аналитические и симуляционные оценки вероятностей столкновения ВС для фактических отклонений от номинальных, подчиненных нормальному (К) и (ББ) распределениям с одинаковыми среднеквадратическими погрешностями (ох у г ='■12 1Х у г).
Таблица 1
Симуляционные и аналитические оценки вероятностей столкновений ВС при ББ отклонениях фактических положений от номинальных для Т = 1 г ё1 .;Ж1 = 550ёг /^;Ж2 = 450ёг /^;у = 75°;Д = 3°;
Д = -2°; Н1 = Зкм; Н2 = 3.1км (число итераций К=106)
1 = 0.5[км]; 1у1 = 0.5[км]; \ = 0.3[км]; 1 = 0.4[км]; Лу2 = 0.4[км]; \ = 0.1[км]. 8[км] 0 1 2 3 4 5 6 7
РЯ А хуг 8.5 х10-3 4.3 х10-3 9.810 х10-4 1.870 х10-4 2.60 х10-5 1.000 х10-6 0 0
ра Гхуг 9.25 х10-3 4.35 х10-3 10.18 х10-4 1.630 х10-4 2.23 х10-5 2.73 х10-6 3.09 х10-7 3.23 х10-8
1 = 0.7[км]; 1 = 0.7[км]; 1ь = 0.35[км]; 1 = 0.5[км]; 1у2 = 0.5[км]; = 0.25[км]. ^[км] 0 1 2 3 4 5 6 7
РЯ А хуг 4.4 х10-3 3.0 х10-3 1.2 х10-3 3.19 х10-4 8.60 х10-5 2.20 х10-5 2.0 х10-6 0
ра Гхуг 5.00 х10-3 3.05 х10-3 1.2х 10 -3 3.58 х10-4 9.28 х10-4 2.18 х10-5 4.81 х10-6 1.01 х10-6
1 = 0.62[км]; 1у1 = 0.62[км]; 1 = 1.0[км]; 1 = 0.62[км]; 1у2 = 0.62[км]; = 0.5[км]. ^[км] 0 1 2 3 4 5 6 7
РЯ хуг 1.8 х10-3 1.2 х10-3 5.29 х10-4 1.61 х10-4 5.200 х10-5 1.5 х10-5 2.0 х10-6 0
ра хуг 1.9 х10-3 1.3 х10-3 5.24 х10-4 1.64 х10-4 4.44 х10-5 1.10 х10-5 2.54 х10-6 5.65 х10-7
Продолжение табл. 1
Л = °.62[км]; Луі = 0.7[км]; 1 = 0.5[км]; 1 = °.62[км]; 1у2 = 0.30[км]; Л^ = 0.25[км]. 8[км] 0 1 2 3 4 5 6 7
Р* ху 3.8 х10-3 2.5 х10-3 9.910 х10-4 3.085 х10-4 8.300 х10-5 1.500 х10-5 4.000 х10-6 0
ра ху 3.89 х10-3 2.5 х10-3 9.25 х10-4 2.97 х10-4 7.96 х10-5 1.955 х10-5 4.525 х10-6 1.00 х10-6
Таблица 2
Симуляционные и аналитические оценки вероятностей столкновений ВС при нормальных (К) отклонениях фактических положений от номинальных для Т = 1 г ё1 ,;Щ = 550ёг /Ж2 = 450ёг /
у= 75°; Д = 3°;Ь2 = -2°;Н1 = 3 км;Н2 = 3.1км (число итераций К=107)
Охх = 0.71[км]; Оух = 0.71[км]; = 0.42[км]; аХі = 0.57[км]; ^у2 = 0.57[км]; акі = 0.14[км]. ^[км] 0 1 2 3 4 5 6 7
р* ху 6.0 х10-3 3.8 х10-3 9.717 х10-4 1.051 х10-4 4.100 х10-6 1.00 х10-7 0 0
ра Гху 6.0 х10-3 3.8 х10-3 10.18 х10-4 1.02 х10-4 4.43 х10-6 0.76 х10-7 5.31 х10-10 1.97 х10-12
^х1 = 0.99[км]; аУх = 0.99[км]; = 0.49[км]; 0"х2 = 0.71[км]; ау2 = 0.71[км]; а^ = 0.35[км]. ^[км] 0 1 2 3 4 5 6 7
Р* хуг 3.3 х10-3 2.6 х10-3 1.2 х10-3 3.316 х10-4 5.6 х10-5 6.65 х10-6 3.0 х10-7 0
ра хуг 3.3 х10-3 2.6 х10-3 1.2 х10-3 3.47 х10-4 5.95 х10-5 6.20 х10-6 3.84 х10-7 1.45 х10-8
ах1 = 0.87[км]; ау1 = 0.87[км]; а = 141[км]; ах2 = 0.87[км]; ау2 = 0.87[км]; аи2 = 0.71[км]. ^[км] 0 1 2 3 4 5 6 7
р* А хуг 1.3 х10-3 1.0 х10-3 4.856 х10-4 1.368 х10-4 2.340 х10-5 1.900 х10-5 1.0 х10-7 0
ра хуг 1.3 х10-3 1.0х10 -3 4.778 х10-4 1.388 х10-4 2.457 х10-5 2.653 х10-6 1.746 х10-7 7.009 х10-9
ах1 = 0.87[км]; ау1 = 0.99[км]; = 0.71[км]; ах2 = 0.87[км]; ау2 = 0.42[км]; аЙ2 = 0.35[км]. ^[км] 0 1 2 3 4 5 6 7
р* А хуг 3.7 х10-3 2.8 х10-3 1.3 х10-3 3.373 х10-4 5.60 х10-5 5.1 х10-6 3.0 х10-7 0
ра гхуг 3.5 х10-3 2.8 х10-3 1.39 х10-3 4.14 х10-4 7.756 х10-5 8.984 х10-6 6.443 х10-7 2.860 х10-8
Следует отметить, что достаточно близкое соответствие симуляционных и аналитических оценок вероятностей столкновений ВС можно получить только для относительно больших параметров 1Х у г
или <зх у 2 , так как в противном случае (при Хху 2 или <уху 2 меньших 0.1 км) симуляционные оценки
вероятностей, как правило, равны нулю.
Соответствие симуляционных и аналитических оценок вероятности столкновения служит доказательством адекватности аналитического описания вероятности перекрытия ВС в схеме дискретного случайного события, описанного ранее [4]. Если эта схема случайного события адекватна процессам фактического движения ВС по стандартным траекториям прилёта/вылета по приборам, то разработанная аналитическая модель позволяет решать задачи обеспечения безопасности полетов в аэродромной зоне.
Выводы
Аналитическую модель оценки вероятности столкновения пары ВС при изменениях плановых относительных расстояний по трем независимым направлениям, полученную в данной работе, следует записать в виде
. Т+(2$/№2)
Pxyz(0,Т + (ls/W2 )) = p R2Kp VOyT J CrM (sx (t),Sy (t),sz (t))dt.
0
Для двух законов отклонений фактических положений ВС от номинальных, а именно для нормального и DE получены плотности вероятности перекрытий ВС. Плотность р2 (sx,sy,sz) записана
3DE
явно в форме (12). Плотность Cg,b b (sx, sy, sz) записана в общем виде в форме (14), так как запись в элементарных функциях занимает много места. Кроме того разработана симуляционная модель оценки P>xyz (0,0 + (2sW)). Для DE и гауссовских отклонений аналитические и симуляционные оценки вероятностей столкновений сходятся при достаточно большом числе итераций.
Решение задачи оценки вероятности столкновения для прямолинейных номинальных относительных движениях ВС с изменением всех трех компонент относительного расстояния является важным и актуальным результатом, т.к. позволяет построить корректные процедуры управления риском катастроф ВС в аэродромном воздушном пространстве и на маршруте при пересечении занятых эшелонов. Представленная модель дополняет до полного перечень моделей оценки безопасности полетов, используемых в ФГУП «ГосНИИ «Аэронавигация» при расчете рисков катастроф для всех типов относительного движения ВС, для которых в Российских нормативных документах установлены минимумы эшелонирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Спрысков В.Б. Предварительные исследования задачи оценивания вероятности столкновения в трехмерном пространстве изменений плановых относительных расстояний ВС // Статья в данном Вестнике.
2. Mehadhebi K. Proposal for a guidance material on the and implementation of CRMS in safety assessment. SASP-WG/WHL/8-WP/26, 2005.
3. Hsu D.A . Evaluation of aircraft Collision probabilities at intersection air routes. - The Journal of Navigation (U.K.), Vol.34, №1,1981.
4. Кузнецов В.Л. Марковская модель оценки риска катастроф на воздушном транспорте // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Эксплуатация воздушного транспорта и ремонт авиационной техники. Безопасность полетов, № 90, 2005.
THE ANALYTICAL MODEL OF COLLISION PROBABILITY DURING AIR TRAFFIC WITH THE CHANGE OF THE THREE PROJECTIONS OF PLANNED RELATIVE DISTANCE
Spryskov V.B.
The task of analytical assessment of collision probability during air traffic with the change of the three projections of relative distance is solved in the article.
Сведения об авторе
Спрысков Владимир Борисович, 1951 г.р., окончил МАИ (1975), МГУ им. М.В. Ломоносова (1983), доктор технических наук, главный научный сотрудник ФГУП «ГосНИИ «Аэронавигация», автор более 100 научных работ, область научных интересов - безопасность полетов при аэронавигационном обслуживании.
