CC BY
7
УДК 539.3
Д. М. МАКСИМЧУК
Хмельницький нащональний ушверситет
ПРЕДСТАВЛЕННЯ РОЗВ'ЯЗК1В ДЛЯ КОНТАКТУ ПРУЖНОГО ШАРУ ТА СП1ВВ1СНИХ ПРУЖНИХ ЦИЛ1НДР1В З ПОЧАТКОВИМИ (ЗАЛИШКОВИМИ)
НАПРУЖЕННЯМИ
В рамках лтеаризованно'1 теорП пружностг представлена осесиметрична задача про тиск двох спгввгсних цилгндричних штампгв на шар з початковими (залишковими) напруженнями. Дослгдження та результати поданi в загальному виглядг для теорП великих початкових деформацш та двох варгантгв теорП малих початкових деформацш при довшьнш структурi пружного потенщалу.
Ключовi слова: лтеаризована теорiя пружностi, початковi (залишковi) напруження, перетворення Ханкеля, iнтегральне рiвняння типу Фредгольма, метод по^довних наближень, потенцiал Бартенева-Хазановича.
Д. Н. МАКСИМЧУК
Хмельницкий национальный университет
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ ДЛЯ КОНТАКТА УПРУГОГО ШТАМПА И СООСНЫХ
УПРУГИХ ЦИЛИНДРОВ С НАЧАЛЬНЫМИ (ОСТАТОЧНЫМИ) НАПРЯЖЕНИЯМИ
В рамках линеаризованной теории упругости рассмотрена смешанная задача о давлении упругих цилиндрических штампов на слой с начальными (остаточными) напряжениями. Исследования выполнены в общем виде для теорий больших начальных деформаций и различных вариантов теорий малых начальных деформаций при произвольной структуре упругого потенциала.
Ключевые слова: линеаризированая теория упругости, начальные (остаточные) напряжения, преобразования Ханкеля, интегральное уравнение типу Фредгольма, метод последовательных приближений, потенциал Бартенева-Хазановича.
D.N. MAKSYMCHUK
Khmelnytskyi National University
PRESENTATION OF SOLUTIONS FOR CONTACT PROBLEM FOR CYLINDRICAL PUNCHES WHICH INTERACT WITH THE LAYER WITH INITIAL (RESIDIAL) STRESSES
The paper deals with the mixed type task of measuring pressure of an elastic cylinders dies upon a layer with initial (residual) stresses within the framework of linear elasticity theory. In general, the research was carried out for the theory of great initial deformations and different variants of the theory of small initial deformations with arbitrary structure of elastic potential.
Key words: the linearized elasticity theory, initial (residual) tension, Henkel integrals, the task to Fredholm equations, the method of consecutive approximations, the potential of Bartenev-Khasanovich.
Постановка проблеми
Актуальною проблемою фундаментальних розробок з мехатки деформ1вного твердого тша е дослвдження впливу початкових напружень на контакта характеристики пружних тш, яю взаемодють мтж собою, що важливо для практичного використання у р1зних галузях промислового комплексу. Незважаючи на юнуюч1 досягнення у теорП контактно! взаемодп пружних тш, все ще залишаеться недостатньо розроблений ряд моменпв, серед яких - врахування залишкових напружень у тшах на закон розпод1лу тиску в м1сцях !х дотику, що дозволить бшьш ефективно враховувати зносостшшсть матер1ал1в шляхом правильно! оцшки запаав мщносп та достатньо знижувати !х матер1алоемшсть, збер1гаючи у цшому потр1бш функцюнальш характеристики. Тому е досить актуальним проведення нових теоретичних дослщжень впливу початкових (залишкових) напружень на контактну взаемодш пружних тш.
Аналiз останшх дослвджень та публiкацiй
На даний час проблеми, що ввдносяться до контактних задач пружних тш, представлен! у численних публжац^ях перюдичних видань. Вплив початкових напружень на закон розподшу контактних зусиль у пружних швплощиш та п!впростор! при !х контактн!й взаемод!! з пружними штампами досл!джено у статтях [1, 2] i подано загальний метод розв'язку контактних задач для твплощини та твпростору з початковими напруженнями, що взаемодшть з пружними тшами. Детальний огляд задач контактно! взаемодп пружних
тш з початковими напруженнями представлений у роботах [3 - 5]. Вплив початкових напружень у пружному шарi при його контактнш взаемодп з пружними спiввiсними штампами детально розглянуто у монографiях [6, 7]. Детальний огляд дослвджень з контактно! взаемодп пружних тiл з початковими напруженнями представлений статтями О. М. Гузя, В. Б. Рудницького, С. Ю. Бабича.
Мета дослщження
Метою дано! роботи е розв'язок осесиметрично! статично! задачi про контактну взаемодш двох спiввiсних пружних цил1ндричних штамтв з початковими напруженнями на пружний шар з початковими напруженнями. Розглядаеться випадок деформацi! шару пiд дiею тиску двох спiввiсних кругових штамтв рiзних радiусiв i висоти без врахування сил тертя пiсля виникнення у них початкового деформованого стану. Використовуючи сшввщношення лiнеаризовано!' теорi!' пружносп в данiй роботi представлено розв'язок змшано! осесиметрично! задачi контактно! взаемодп двох сшввюних пружних цил1ндричних штамтв з початковими напруженнями i пружного шару з початковими напруженнями. Дослвдження виконано у загальному виглядi для стисливих i нестисливих тiл для теорп великих початкових деформацiй та двох варiантiв теорi! малих початкових деформацш при довiльнiй структурi пружного потенщалу.
Викладення основного матер1алу дослвдження Припускаемо, що початковi стани у шарi та штампах однорiднi та рiвнi, а пружнi потенцiали - двiчi неперервно-диференцiйовнi функцi! алгебра!чних iнварiантiв тензора деформацiй Грiна :
У = hxi, h = const> У = xi + Ui, = (hi -1)xi (i,n = 1, 2, 3) де bin - символ Кронекера, hm - коефщент видовження вздовж координатно! оа. Також дiя штампiв викликае в шарi мале збурення основного напруженого стану, для якого виконуються умови:
iSq1 = S22 Ф 0; SQ3 = 0; h =h<2 Ф h Розглядатимемо пружш iзотропнi тiла з довiльною формою пружного потенщалу, а у випадку ортотропних тiл, вважатимемо, що пружно-екывалентш напрямки спiвпадають iз напрямком осей координат у деформiвному станi. Припускаеться, що пружнi (скiнченнi) цилiндричнi штампи та шар виготовленi з рiзних iзотропних, трансверсально-iзотропних або композитних матерiалiв, як1 взаемодiють на плонц основ штампа.
Пружний необмежений шар з початковими напруженнями деформуеться тд дiею тиску двох спiввiсних попередньо напружених цилiндричних штампiв (рис. 1.) рiзно!' висоти i радiусiв. Товщина шару в початковому деформованому станi пов'язана з товщиною у недеформованому сташ ввдношенням h =h h.
Зовнiшне навантаження Р викликае перемiщення вiльних торцiв в напрямку оа симетрi!' Oy3. Боковi
поверхш штaмпiв, а також поверхнi шару за межею контакту вшьш вщ зовнiшнiх зусиль, а в обласп
(1) (2)
(3)
(4)
контакту тш дотичними зусиллями нехтуемо. Вважатимемо, що поверхш поза дшянкою контакту залишаються вiльними вiд впливу зовтштх сил.
У системi кругових цилiндричних координат (г, в, ) (1 = 1,2) такш постановщ задачi
вiдповiдають граничнi умови:
1) на торцях пружних штампiв з початковими напруженнями:
п® = -8+ ; г™ = 0; У(г) е [0,у3 = к + Я,,
п\(2) =-8-; Т2) = 0; У (г) е [0,Я2], у3 =-к-Н2,
2) на боковш поверхнi пружних штампiв
^ = 0; г™ = 0; У(уэ) е [0,Н1], г = Я„
а™ = 0; = 0; У^) е [0,Н2], г = Я,,
3) на межi пружного шару в обласп контакту
п3 = п2(1); 033 = ^; (~3г = $ = 0, У(г) е [0, >3 = , (5)
п3 = п2(2); 033 =^22); 03г = = 0, У(г) е [0, >3 = -«2 (6)
4) на межi пружного шару поза областю контакту
033 = 03г = 0, У (г) е [г,+ад], У3 = ±к (7)
Умови рiвноваги приводять до сшвввдношення:
Я1 I Я2 I
|р-033(0,Р) . ¿Р= I Р-033(0,Р) . ¿Р-
0 '>3=к 0 '>3 =«2
А рiвнодiюча зовнiшнiх сил визначаються рiвнiстю:
Р = -2 пI1 р- 033 (0, р)| йр = -2п]2 р- 033 (0, р)| « ¿р.
0 '>3 =«1 0 '>3 =«2
Крiм того, у випадку осесиметрично! задачi використовуемо цилiндричнi координати
(г, в, гг) (/ = 1,2), де =
Загальний розв'язок X(г) =5X1' + V2XX2) поставлено! задачi для випадку рiвних коренiв п1 = п 2 будемо шукати у виглядг
XX(г) =8±(V21(1 + 21)[к -1)-1 +x0г)((1 -т2)-1 -2Е(г)(3Н()в2г))-1(3г2 -2г2))'
+Я(г)^) ^э(акгК1 (^(ак)О + *Д (а?)) +
к=1
( („ (Л т Е>0' )Ук ^ ^
+ Я1 )(2у к )-1 ¿(к)
Н(г)
V V
1+ .0(1 - /р( ^У Я))) ^ кЯ( 1) ЛС^У Я(г))
+ 21 ) )
/0(У к^1г)^1(У 21)
(8)
X ® =
Для випадку нерiвних коренiв п1 Ф п 2:
(21 +1 (3Г2 - 2(- 2122 + 222))Х0') + 2 У»
Н ' к=1 I
11 (У кУ2Я(,))
КУк^Я0)
+ /0(ак')г)[Ш'Ч) + ^(а®х2)М0, (1=1, 2).
1 (Tkvlг) ятСТк^) - /0 (Уку2г) э1п(Ук-г2у2)
(9)
Напружено - деформiвний стан у пружному шарi з початковими (залишковими) напруженнями для нерiвних коренiв п1 Ф п2 визначимо через гармонiйнi функцп у виглядi iнтегралiв Ханкеля.
Врахувавши граничнi умови запишемо:
и3 = в3
ад ад
033 =30 (р)р де
6 = сАА1х (1 + « )к, И(г ] = 63 =
к
т (л - ^)
15о - 51з для п, = п2,
Р В
2
Я(г)
к I 0 - 1 - /Р) =_
11 + для п * п. (я{'))3(1 - Е£))
З граничних умов визначаемо невiдому функщю у(р) iз парних iнтегральних рiвнянь:
ад / ад
№ Jо (р)р = *(р), при р< Д(г), (г = 12)]>(£)л (рРр^р = о, при р> Д(г), (г = 12)
о р
де при п1 = п2
£)
* (р) = -ТГ
1 2 т-ф^Х )+6 ¿Х )Jо («2-1)£ Х )/о (№)!++! ^Т Е(£к(г ^
дев = Е()
- «.(1 + Н{г ))
4Н
(г)
п
+ (1 - «2 )
(^ )) ^
Н(
в4 = — (4П1 («2 - 1) - «150 ), ( = 1,2)
п
р = -тт, о <р< 1
Я{г)
при п1 * п2:
Х
63 ад / (р)
-1 -64)JоМ + 61Рф('^(р^ , (г = 1,2)
к=1 £ о р
Визначимо невiдомi коефщенти Д^г) , АкЦ), С^г) , В^) , Ек(г) , Ек(г) , Nк) ,через константи Хк (к = о,1,2,...) для п1 = п2:
Тодi отримаемо iнтегральне рiвняння Фредгольма11 роду вщносно функци / (р):
ир) = _ А р(
р 6
т+ 2 Г/У(к)к(Р,*)^ г=1,2)
п{ *
1
у/п (х, у)= Г*п соб х* соб у*&, для п1 * п2:
Р 6
Х(Р,о)-в4 ¿^Уо (Р, ^ )+6 ^ Е (к }Уо Р * )*
к=1 £ о *
(г = 1,2)
Пропускаючи деяк1 викладки, матимемо у результат^ що неввдома функцiя, яка входить у вирази вектора перемщень i тензора напружень для попередньо напруженого шару, визначаеться шляхом зведення задачi до парних iнтегральних рiвнянь типу Фредгольма другого роду iз застосуванням методу послiдовних наближень при 1ц > 1кг • Враховуючи що даний метод збiжний, розв'язок представлено у виглядi рядiв через несшнченну систему констант, як1 визначаються з системи регулярних лiнiйних алгебра!чних рiвнянь виду:
ХХ) +£ ПХП) = в), (г = 1,2; к = о,1,2,...)
г )Х) = в) (г =
(11)
Визначивши невiдомi константи х (г = о,1,2,..), можна обчислити силу, перемiщення i напруження у пружних штампах [6, 7] та шарi з початковими напруженнями по формулах (8-9).
При обчисленш напружень та перемiщень для шару з початковими напруженнями б№шють iнтегралiв у концевому виглядi не обчислюються. Тому, починаючи iз другого наближення, пiдiнтегральнi
функци розкладаемо у ряди за степенями к-1, що дозволяе обчислити коефщенти (8) наближено [8].
Система була розв'язана методом редукци, числовi значення для потенцiалiв конкретно! структури представленi в таблищ 1
Таблиця 1
Значения для потенцiалiв конкретно! структури
\ k Гармошчний Потенщал Потенщал
потенщал Трелоара Бартенева-Хазановича
0.595 œ - -
0.667 1.739 œ -
0.693 1.541 4.160 œ
0.7 1.506 3.448 19.791
0.9 1.116 1.077 1.165
1 1 1 1
Висновки
Вплив початкових напружень на напружено-деформований стан шару i сшввюних штампiв, а також рекомендацп щодо застосування отриманих результапв полягають у наступному:
1) початковi напруження при стиску призводять до зменшення сили напружень у цилiндричних штампах, а при розтягненнi - до ïx збiльшения (для перемщень все вiдбуваeться навпаки);
2) найб№ший вплив початкових напружень вiдзначений на бiчнiй поверxнi штампiв у зрiзаx 0<£<1.
3) вплив початкових напружень для пружного шару аналогiчний, причому на характер дiï початкових напружень його товщина не впливае, а впливае лише на ïx значення;
4) наявшсть попередньо напруженого стану шд час контактно! взаемодiï пружних тiл дае змогу регулювати контактш напруження та перемiщення при розрахунках на мiцнiсть деталей машин та конструкцш;
4) початковi напруження бшьш суттево у кiлькiсному планi, дшть у високоеластичних матерiалаx в порiвняннi з бiльш жорсткими, але якюно ïxнiй вплив буде збережено;
5) небезпечною е ситуацiя, коли початковi напруження наближаються до значень поверхнево1' нестiйкостi, оск1льки контактнi напруження i перемщення рiзко змiнюють сво1' значення.
Отже, вплив початкових напружень, що виявлений при дослвдженш, е суттевим для стисливих та нестисливих тш. Це пiдтверджено одержаними анал1тичними, графiчними та числовими результатами i дае можливють використовувати 1'х в шженерних розрахунках.
Список використано'1 лiтератури
1. Гузь А.Н. Контактные задачи для упругих тел с начальными напряжениями применительно к жестким и упругим штампам / А. Н. Гузь, В. Б. Рудницкий // Прикл. механика - 2004. - 40, № 7. - С.41- 69.
2. Гузь А. Н. Контактная задача о давлении упругого штампа на упругое полупространство с начальными напряжениями / А. Н. Гузь, В. Б. Рудницкий // Прикл. механика. - 1984. - 20, № 8. - с. 3 - 11.
3. Guz, A.N. Contact problems for elastic bodies with initial stresses. Focus on Ukrainian research / A.N. Guz, S.Y. Babich, V.B. Rudnitsky // Apple Mech. Rev. Vol. 51, nos May 1998. - Р. 343 - 371.
4. Александров В. М. Контактная задача для предварительно напряженного физически нелинейного упругого слоя / В. М. Александров, В. С. Порошин//Инж. журн. «Механика твердого тела».-1984. - № 6. - с. 79 - 85.
5. Гузь А. Н. Контактное взаимодействие упругих тел с начальными (остаточными) напряжениями / А. Н. Гузь, С. Ю. Бабич, В. Б. Рудницкий // Развитие идей Л. А. Галина в механике. - М. - Ижевск. Институт компьютерных исследований, 2013. - 480 с.
6. Гузь А. Н. Контактные задачи для упругих тел с начальными (остаточными) напряжениями / А. Н. Гузь, В. Б. Рудницкий. - Хмельницкий, изд. I II I Мельник. - 2004. - 682 с.
7. Гузь А. Н. Основы теории контактного взаимодействия упругих тел с начальными (остаточными) напряжениями / А. Н. Гузь, В. Б. Рудницкий. - Хмельницкий, изд. IIII Мельник, 2006. - 710 с.
8. Максимчук Д. М. Розв'язання контактно1' задачi для попередньо напруженого шару та двох сшввюних пружних штамтв з початковими (залишковими) напруженнями / Д. М. Максимчук // Доповщ Нацюнально!' Академи наук Украши : Науково-теоретичний журнал. - 2015. - № 4. - С. 49-55
