Давление кольцевого штампа на изотропный слой остаточными деформациями, вызванными сосредоточенным нагревом при сварке Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 539.3

Б. Г. ШЕЛЕСТОВСЬКИИ, Г. В. ГАБРУССВ (Тернопшьський нацiональний техшчний унiверситет iM. I. Пулюя)

ТИСК К1ЛЬЦЕВОГО ШТАМПА НА 1ЗОТРОПНИЙ ШАР 13 ЗАЛИШКОВИМИ ДЕФОРМАЦ1ЯМИ, СПРИЧИНЕНИМИ ЗОСЕРЕДЖЕНИМ НАГР1ВОМ ПРИ 3ВАРЮВАНН1

Отримано формули для визначення контактних напружень у шар1, в який втискуеться абсолютно гладкий штамп при наявносл в шар1 залишкових деформацш, що зумовлеш зосередженим нагр1вом при зварю-ванш. Наведено числовий приклад i показано, що наявшсть у шар1 залишкових деформацш суттево впливае на величину i характер розподiлу контактних напружень.

Ключовi слова: шльцевий штамп, залишкова деформацiя, температура, рiвняння Пуассона

Получены формулы для определения контактных напряжений в слое, в который втискивается абсолютно гладкий штамп при наличии в слое остаточных деформаций, которые обусловлены сосредоточенным нагревом при сварке. Приведен численный пример и показано, что наличие в слое остаточных деформаций существенно влияет на величину и характер распределения контактных напряжений.

Ключевые слова: кольцевой штамп, остаточная деформация, температура, уравнение Пуассона

Formulae for finding contact stresses in the layer, in which perfectly smooth punch is pressed, when residual deformations are available in the layer caused by the localized heating under welding, are obtained. A numerical example is given and it is shown that the presence in the layer of residual deformations essentially affect the value and character of distribution of contact stresses.

Keywords: rotary die, residual strain, temperature, Poisson's equation

Визначення мщносп елеменпв конструкцш при !х контактнш взаемоди знаходить широке застосування в машинобудуванш, приладобу-дуванш та шших галузях промисловосп. Вплив температурних полiв на характер контактно! взаемоди дослщжувалось в багатьох працях, зокрема в [1]. Для зварних конструкцш актуа-льними е дослщження впливу залишкових зва-рювальних напружень на величину i характер розподшу напружень контактно! взаемоди !х елеменпв з твердими жорсткими або пружними масивними тшами (штампами, бандажами) [2].

(рис. 1). Гладюсть означае, що на поверхш контакту дотичш напруження дорiвнюють нулю; вщсутшсть повороту свщчить, що зусилля, як прикладенш до штампа, зводяться до рiвнодiй-но!, спрямовано! вздовж ос штампа. В обласп контакту штамп обмежений поверхнею обер-тання, яка складаеться з трьох частин: плоско! поверхш для r1 < r < r2 та параболо!дав з вершинами в точках r1, r2.

В цитндричнш ^CT^i координат з початком на верхнш площинi шару функщю W (r),

яка описуе вертикальш перемiщення точок обласп контакту шару iз штампом, можна записа-ти так:

W (r ) = W (a) + 2r[(ri - a)2-(ri - r )2

a < r < r1;

Рис. 1. Схема взаемоди шльцевого штампа з шаром

Нехай в iзотропний шар товщиною h, який вщнесений до цилiндрично! системи корди-нат r, ф, z, який спаяний з жорсткою основою,

втискуеться поступально (без повороту) абсолютно гладкий кшьцевий штамп силою P

W (r ) = W (a )-W (r ) = W (b )-

W (r ) = W (b ) +

1

2R1 1

2R2

2R2

(r1 - a)2, r1 < r < c; ■(2 - b )2, c < r < r2;

(r2 - b )2 -(r2 - r )2

r2 < r < b,

(1)

© Шелестовський Б. Г., Габрусев Г. В., 2011

r + r

де c = 1 2 2, R1 Ta R2 - рaдiyси кривини napa-болоïдiв.

Ha верхнш noBepxHi шapy вiдбyвся зосере-джений нaгpiв при звapювaннi i в шapi виникло поле зaлишкових дефоpмaцiй, яке нa основi експеpиментaльних дaних можнa описaти виpa-зaми [З]:

„„ =-„o(1 -^p 2r2 ) exp( - p2 r2) f ( z ),

„ee=-„o(1 + r )exp(-p r )f (z),

„0 = -(„o + „0 ) „0 =„0 =„0 szz _ (Srr +see), sre _Erz _sze,

f (z) = C0 +Z Cn C0S

re _ ^rz ~ °ze>

n nz

n=1

h

+2ц

д„0

A rr b00j

= 0,

а

2 ; 2 , 2 2 a h + n n

юа

2 л

4 p2

4p J0(ar)da.

eu 1

o(r, z)=m jii1

юа

2 Л —!

+-

2 p 2Jo a ^ 4 p p

i 2 N1 œ

h Пnz f

'V Z C"c0S~ 0

4p J0(ar)da-

а

2; 2 , 2 2 a h +n n

m

^ юа2 ^

V

4 p

2

2 2 A

/

2 ; 2 , 2 2 a h +n n

юа

2

4 p2

x e 4p • J0(a r)da, V(r, z ) = o(r, z) + y(r, z ),

2 --a^

e 4p • J0(ar)da -

1 f1N юа

V1 (r, z) =--- J—I З

p2 0 al 4p2

Дифеpенцiaльнi piвняння piвновaги тiлa i3 зaлишковими дефоpмaцiями в осесиметрично-My випaдкy зaписyються y виглядк

дe u

uV 2u + (à + u)--u—r +

^ r V ^5r r 2

дr r

UV 2uz + (À + u)£ - ( + „ 0о) = 0.

Чaстинний розв'язок piвнянь piвновaги бу-дуеться 3a допомогою двох ключових фyнкцiй О Ta у яю зaдовольняють piвняння Пyaссонa

V 2у = F (r, z ) - 2 (ю0 (r, z )-„0z ),

V 2о = F (r, z), (2)

ю0(г, z) = e°r + J 1(„0r -„£e )dr, r

a фyнкцiя F (r, z) зaдовольняe piвняння

(À + 2u)V2 F =

д2

2uV2ю0 + 2(À + u)—(ю0 -„0z). (З)

Розв'язaвши piвняння (2), (З) знaйдемо фун-кцiï F, о, у :

F (r, z) = -m1 (1 + ю - юp2 r2) e-pV 2 f ( z ) -

m2 n2 N n nz

--? Z n Cn cos—— x

2 p2 n h

h2 N

--2 Z Cn C0S

p n=1

n nz

а

2 ; 2 , 2 2 , a h + n n

(З юа2

V

4p

2

/

x e 4p • J0(a r )da .

Компонента тапруженого стaнy Cj , що вщ-

повiдaють чaстинномy розв'язку piвнянь piвно-вaги визнaчaються 3a фоpмyлaми:

zz G„o

= m.

{ 2(v - 2 - v ю + ю v p2 r2) e-pV • f ( z) +

2 N œ

n V1 Пnz f

+p2 Z nCn c0S— J

p n=1 h 0

а

2;2 , 2 2 a h +n n

'Ф2 (a) + 5 - 4v-

юа

2

2 2 П n

21.2 , _2 2 2

4 p a2 h +n2 n

Ф2(а)

x e 4 p • J0(a r ) da } ;

2

a

= ZnCn ЯП-— J-^2-тг

G„o p2 h 0 a2h +n2n

2

v-2-v

юа

2 2 n n

2l„2 , J„2 2

Ф2(а)

4 p2 a2 h2 +n2n

x e 4p • J1(a r )da ;

22 ^ , ч , юа ^ „ ч „ юа Ф1 (a) = 1 + —, Ф 2(a) = З-

4p 1 - 2v 1 -v

4 p 2

1-v

Формули для визнaчення нaпpyжень y шapi зaпишемо Ta^

CJ =CJ +CJ -

x

a

a

a

X

a

1

m2

X)

де складовi а-- виражаються функцieю Лява U

L , яку у випадку осьово! симетри зручно представши через iнтеграл Ганкеля

L = |а 2 [ A (а) sha z + B (a)cha z +

0

+az(C(a)shaz + D(a)chaz)J- J0 (az)da .

í

a

2G C (a) 1 - 2v A* (a)

2G (((a) + f (a))

x J0(ar) da = 0, 0 < r < a, r > b ;

(6)

sí\ m2

yi(a) =-y

v-2 vffla

2

4 p

N,

\

C0 +Z C

n

Cnn2

2 2 21 2 2 2

p n=i a h + п n

2

r í \ m2 п ^

f2 (a)= -^-2 L

n

/ V n=1 2 N, ^Í „2

X

4 p4

V --

2 2 \ п n

2; 2 , 2 2 a h +п n

Ф2 (a) + 5 - 4v -

raa

4 p2

4 p2

A*(a) = -

(4v- 3)chah • shah + ah

22v- 12v2 -10 + (4v-3)sh2ah ' Рiвняння (6) запишемо у виглядi

H" T

2G C (a) - 2v ^ A* (a)

+ 2Gs0 (f, (a) + f (a) ) l x

Задовольняючи граничнi умови crz =0 при z = 0, uz = 0 при z = h та ur = 0 при z = h , одержимо систему трьох алгебра!чних рiвнянь вщносно функцiй A (а) , B (а) , C (а), D (а) .

2v C + B = 0, [2 (1 - 2v) C - B-а hD ] chа h + +[2(1 -2v)D - A-аhC]shаh = 0 [A + D + а hC ]chа h + +[B + C + а hD]shа h = 0 (4)

Виразимо A (а) , B (а) , D (а) через C (а) Í3 сшввщношень (4)

A 8 (T -v)' +M3-4v)sh2gh c (а),

(3 - 4v ) chа h • shа h - а h B(а) = -2v C(а) ,

D (а)= ( <V-f<4V-3) ^ C (а).

(3 - 4 v ) chа h • shа h - а h

Задовольняючи граничш умови сzz = 0 при z = 0,0 < r < a, r > b та uz = w(r) при a < r < b приходимо до iнтегральних рiвнянь задачi

ад

|C(а) J0 (аr) dа = ^2_^(r),a < r < b , (5)

xJ0 (а r)dа = X (r )[u (r - a)-u (r - b )] ,0 < r <<x>, (7)

де u (x) - одинична функщя Хевюайда.

Застосуемо до спiввiдношення (7) теорему обернення штегрального перетворення Ганкеля

•+ 2Gs0 (f (а) + f2 (а)) = 1 -2v А*(а) n^W W ))

(a)

b

írX(r)J0 (ar)dr = ¥(a) .

a

Вiзьмемо функцiю X (r) у виглядг

(8)

N

X (r ) = L

n=1

J0 V a Y n/• N0 (Y n )-

- J0 (y n )• N0 V a y n /

(9)

де N0 (x) - функщя Неймана, an - невiдомi поки що коефiцieнти, yn - додатш коренi рiв-няння:

J0I - z

N0 (z)-j0 (z )• N01 az/=0.

Вiдзначимо, що функцiя X (r) визначае

шукаш контактнi напруження пiд штампом.

Обчислимо штеграл (8), враховуючи вираз (9) для функци X ( r )

^(a) = Z-

n=1 a2 -(Yn

-J0 (aa)-J0 (ba)R(yn)

(10)

R (y n )=b y n

N0 (y n )j, (a y n )-

- J0 (y n )n, {b y n /

З (8) знайдемо

a

n

x

x

2

С (а) = - ^А*(а)^(а) +

+(1 - 2у)А»е0 (у; (а) + f2 (а)) . (11)

Щцставимо (11) в (5), одержимо вираз для Ж ( г ) через функщю ^(а)

Ж (г) = — Г

Vо

1 - 2у 2О

А* (а)¥(а) +

Ь

Ь. №

п=1 О р2 _ Уп_

у0 (ев)_^ (р)Я (у„)

_ОЬ 1 -V

2 Д

[^о (Рв)_ ^о (еР)] [ Jо (рв)_ Jо (в) \

(Х1 _е)2 _(Х1 _Р)2

dв =

-(х1 -а)2,

2 V 1 '

-(1 _*2 )2

2 Я 1

, е<р< х{, Х <р< ;

с1 <р< х2;

.2 Я Ое1 т2

(1 Х2 )2 (Х2 _Р)2 , Х2 <Р<1-

1 о

+П

;к21

Г А*(Р)| 1

V- 2 _

0„п

.=1 1 к1в2 +п2 п2

V _

уюр2 ^ 451 ,

п2 п2 ^ к22в2 + п2 п2

юр

452

2 Л

5 _ 4у

юр2

45/

\Jо (рв)_ Jо (ер)) |/о (рв)_ Jо (в) )

•• е 45 х

dр

(13)

а„ = _

°Ь уО .

У п

ОЬ (2) Уп '

(1 _у)2Я/п (1 _v)_R

еоО (з)

+

(1

У

+ (1 _ 2у)ео А* (а)у (а) J0 (а г)dа ,

а < г < Ь . (12)

З врахуванням (12) та (Ю), спiввiдношення (1), тсля переходу до безрозмiрних величин

г а р 2 2 с

Р = —, е = —, а= —, 5! = Ь р , с = — ,

КЬ Ь Ь 1 ^ ' 1 ь к

к2Р = а к, к2 = —, набувае вигляду:

та використаемо метод суперпозицп для розв'язування системи лiнiйних алгебра!чних рiвнянь. Будемо вимагати виконання рiвностi (13) в точках р1 =е + Ар, р2 =е + 2Ар , ... ,

Рп-1 =е+(п_1)АР, р_ = 1, АР= .

Отже, системи лшшних алгебра!чних рiв-нянь для визначення у^'( = 1,2,3) набудуть вигляду

N _

Е«;• уИ)=(р), (=1, _) (/=1,2,3),

де

а =

;п

| А* (р)

в2е2 _Уп

2

- Jо (ер) _ Jо (р)Я (Уп) п

dр,

Jо (р;р)_ Jо (ер)

Л (Р;р)_ Jо (р)^

(Х1 _ е)2 _ (Х1 _Р] )2 е<Р] < ^

р\(Р] )Ч(Х1 Х < Р; < ^ о, с <Р; < 1;

^2*(Р;)

о, е<р; <С1,

(1 _ Х2 ) с1 <Р ;< Х2,

(1 _ Х2 )2 _(Р; _ Х2 )2, Х2 <Р; < 1;

1 ш Г ^3*(Р; ) = 5-Г А*(р)|у_ 2-

уюр2

+

+п2к2 Е Сп • п2

+

а п 7 2п2 , _2 2

п=1 к2 р +п п

С тг2 2 \ „2

п п юр

5-V

i е основною рiвнiстю для визначення невщо-мих коефiцiентiв ап (п = 1, N) .

Для побудови розв'язку задачi покладемо

хе

1_

4512

к22р2 +п2 п2

451

Jо (Р;р)_ Jо (ер) Jо (Р;р)_ Л (р).

л р.

п=1

2

X

Враховуючи (14), формулу для обчислення контактних напружень тд штампом запишемо так:

О

агг (р ,0) = - Л Е >'11)х(р,Уп )-

1 У п=1

О

—• Е уП2)х(р, у п)+

1 У п=1

0 8* N

+Е уП3)х(р, У п), (15)

1 У п=1

тут

Л — ? Л 2 — 1 2^ 2 2Д2

г — г

}рагг (р,0)р — -Р, Ж (г ) — Ж (г2),

2п6 1 1 -V 1

Р Л*

7 2 2 1 2 *

2пЬ 1 -V

(16)

Пiдстaвляючи (16) в (15), знайдемо агг (р,0) —а£)(р) + а£>(р), де

а(Р)(Р) —- Р

2п62

N

л(р )Е уп1}х(р, У п)

п—1

-4р)Е уп2)х(Р, у п)

п—1

' (р) — -о

л(с)Е у п)-

N

N

лу безрозмiрних складових агг - пунктирна крива i а*Л - кривi 1, 2, 3 вздовж равдально! координати р.

а

V

V 1 /

р

X (р, Уп ) — Л Уп ] N0 (уп ) - Л (Уп К Уп ) .

Вимагаючи виконання умови рiвноваги штампа та умови рiвностi вертикальних пере-мiщень точок областi контакту при г — г1 та

03 0.-4 0 5 Об ОТ 0Я 0 9 I

Рис. 2. Розподш складових напружень пщ штампом для значень параметр1в:

X! = х2 = 0.7, 8 = 0.4, = 0.4, к2 = 2, у= 0.3,; 1 - 0 = 1, С = 0; 2 - с0 = 1; С1 = 0.4, 3 - с0 = 1, с = 1

2п

одержимо систему двох рiвнянь вiдносно та л2 , розв'язавши яку матимемо:

Р (р) , 80О

Л —--Л +—0-Л

03 ол

04 о.1 ое ОЙ

+4С) Е х (р, у п)- Е УпХ (р, у п)

Розглянуто приклад розв'язування систем N лiнiйних алгебра!чних рiвнянь з N невщо-

мими х^). Числовий аналiз виконано для N — 20 . На рис. 2-3 подано результати розпод>

Рис. 3. Розподш складових напружень пщ штампом для значень параметр1в х1 = 0.5, х2 = 0.9, 8 = 0.4, = 0.4, к2 = 2, у= 0.3; 1 - с0 = 1, с1 = 0; 2 - с0 = 1; с1 = 0.4, 3 - с0 = 1, с1 = 1

Залишковi напруження в шарi суттево впли-вають на контактш напруження. Тому враху-вання залишкових деформацiй е надзвичайно важливим при проведеннi iнженерних розраху-нюв, оскiльки спiвпадання знаку силово! та складово!, зумовлено! наявнiстю залишкових деформацш, може значно збiльшити абсолютне значення контактних напружень тд штампом.

Б1БЛЮГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК

1. Грилицкий, Д. В. Осесимметричные контактные

задачи теории упругости и термоупругости [Текст] / Д. В. Грилицкий, Я. И. Кизыма. -Львов: Изд-во при Львов. ун-те, 1981. - 135 с.

2. Шелестовський Б. Контактна взаемод1я штампа

з шаром 1з залишковими деформащями, зумов-леними к1льцевим зварним швом [Текст] / Б. Шелестовський, Г. Габрусев // Машинознавст-во. - 2003. - № 2. - С. 9-12.

3. Недосека, А. Я. Основы расчета сварных конс-

трукций [Текст] / А. Я. Недосека. - К.: Вища шк. Головное изд-во, 1998. - 263 с.

Надшшла до редколегп 20.06.2011. Прийнята до друку 29.06.2011.

п—1