Сжатие предварительно напряженного изотропного слоя двумя соосными кольцевыми штампами Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 539.3

I. Ю. ГАБРУССВА (Тернопшьський нацiональний технiчний унiверситет iM. I. Пулюя)

СТИСНЕННЯ ПОПЕРЕДНЬО НАПРУЖЕНОГО 1ЗОТРОПНОГО ШАРУ ДВОМА СП1ВВ1СНИМИ К1ЛЬЦЕВИМИ ШТАМПАМИ

Побудовано розв'язок контактно! задач1 про стиснення попередньо напруженого 1зотропного шару дво-ма жорсткими к1льцевими штампами складно! конф1гураци. Розглянуто числовий приклад побудови функци розпод1лу контактних напружень. Проанал1зовано вплив залишкових деформацш у шар1, а також форми штамтв на розподш контактних напружень.

Ключовi слова: 1зотропний шар, штамп, пластичшсть, повзучють, деформащя, контакт

Построено решение контактной задачи о сжатии изотропного слоя с начальными деформациями двумя жёсткими кольцевыми штампами сложной конфигурации. Рассмотрено числовой пример построения функции распределения контактных напряжений. Проанализировано влияние остаточных напряжений, а также формы штампа на распределение контактных напряжений.

Ключевые слова: изотропный слой, штамп, пластичность, ползучесть, деформация, контакт

The solving of tasks on the contact interaction of two annular punches and isotropic layer with residual deformations is built. Numerical example of searching components of contact strain under the punch is considered. The effect of parameters of the field of residual deformations and form of punch on distributing contact stresses tensions is analyzed.

Keywords: isotropic layer, die, plasticity, creep, deformation, contact

Щцвищення надшносп та довговiчностi конструкцш i механiзмiв е одним iз найактуа-льшших завдань сучасного будiвництва та ма-шинобудування. Як вщомо [2], у елементах конструкцш та деталях машин майже завжди наявш залишковi деформаци. Природа !х вини-кнення може бути дуже рiзною: незворотш деформаци (пластичшсть, повзучють), структурш перетворення в матерiалi, змiна агрегатного стану в окремих мюцях конструкцш, мехашчш, хiмiчнi та технологiчнi процеси тощо. Напру-ження, що при цьому виникають, так само як i будь-якi iншi, можуть викликати руйнування, прискорити певнi фазовi переходи, корозiю. Врахування залишкових деформацш при роз-рахунку важливих елемеш!в конструкцiй, машин та споруд дозволяе бшьш точно оцiнювати запас мщносп матерiалу, а отже суттево змен-шити його витрати, збертаючи при цьому не-обхiднi функцюнальш характеристики елемен-тiв в цшому.

Саме тому дослiдження контактно! взаемо-дi! пружних тiл iз залишковими деформащями е надзвичайно актуальним завданням сьогоднi та залишатиметься таким у майбутньому.

Дослщження проблем контактно! взаемоди попередньо напружених тiл у нашш кра!нi та закордоном появились, у достатнш кiлькостi, лише наприкiнцi минулого столотя. В першу чергу це пов'язано iз тим, що лшшна теорiя пружностi не враховуе наявшсть у тiлах залиш-

кових напружень. У загальному випадку, строга постановка таких задач потребуе застосуван-ня апарату нелiнiйно! теорi! пружностi, проте, при достатньо великих значеннях початкових напружень, можна обмежитись !! лшеаризова-ним варiантом.

Сучасний рiвень лшеаризовано! теорi! пру-жностi та математичних методiв, у сукупностi iз бурхливим розвитком комп'ютерно! технiки, дають можливють ефективно формувати рiзно-манiтнi розрахунковi моделi стосовно широкого кола задач. Так у працях [5, 6] апарат лшеаризовано! теори пружносп успiшно використо-вуеться для побудови тривимiрно! моделi скiн-ченого елемента та вивчення з !! допомогою ефекпв взаемодi! волокон пiдчас мшродефор-мацш у з'еднаннях, пiдсилених iзотропними та ашзотропними волокнами.

Достатньо повний опис та класифшащю ро-бiт присвячених теорi! контактно! взаемодi! попередньо напружених тш iз жорсткими штампами можна знайти у статп [1]. Проте недоста-тньо вивченим залишаеться питання взаемоди кшьцевих штамтв складно! конф^ураци iз пружним твпростором та шаром у якому наяв-нi залишковi деформацi!.

Розглянемо осесиметричну задачу про стиснення попередньо напруженого iзотропного шару товщиною 2h двома жорсткими кшьце-вими штампами.

© Габрусева I. Ю., 2011

Розв'язання задачi проводитимемо у рамках лшеаризовано! теорп пружностi, iз використан-ням термшологп та позначень монографп [3]. Вважатимемо, що пружнi потенцiали е непере-рвними, двiчi диференцiйованими функщями алгебра!чних iнварiантiв тензора деформацiй Грша [3].

Усi викладки проведено у координатах де-формованого стану у1, що пов'язаш iз лагран-жовими координатами (якi в початковому, не деформованому сташ спiвпадають iз декарто-вими) спiввiдношеннями у{ = Хх ( = 1,2,3), де Х - коефiцiенти видовження лiнiйного елемен-та направленого вздовж декартово! ос xi. Та-кож вважатимемо, що дiя штамшв викликае у шарi малi збурення основного однорiдного на-пружено-деформованого стану, для якого вико-нуються умови:

Х1 = Х2 ^ Х3 ; ^ = ^ ^ ^ ;

(1)

Граничнi умови поставлено! задачi мати-муть вигляд:

сгг (г,И) = 0,0 < г < а, Ь < г ; (2)

сгг (г,И) = 0,0 < г <<х> ; (3)

иг (г, И ) = w1 (г), а < г < Ь ; (4)

сгг (г, -И) = 0,0 < г < с, а < г ; (5)

сгг (г, -И) = 0,0 < г <<х>; (6)

и2 (г, -И) = w2 (г), с < г < а . (7)

Функци w1 (г) та w2 (г), що описують форму верхнього та нижнього штампiв вiдповiдно, мають вигляд:

1

w

0 (г ) = W1 (а )-~ (га - а) -(га - г)

2К,

а < г < га ;

w,

оп

де Л0 - склaдовi тензора початкових напру-жень.

Штампи втискуються у шар поступально без обертання та тертя шд дiею постiйно! сили Р . 1х утворено обертанням навколо спшьно! осi двох вiток парабол, спряжених у вершинах вщ-рiзком прямо!, перпендикулярно! до ос обертання. Ос парабол, що обмежують штампи, пaрaлельнi до спiльно! осi обертання, яка ств-падае iз лшею дi! сили Р .

Виберемо цилшдричну систему координат (О, г, 9, г) так, щоб координатна площина

(О, г, 9) ствпадала серединною площиною шару, а вюь Ог - iз лiнiею ди сили Р (рис. 1).

0 (г ) = W1 (а)-— (га - а )2, га < г < г1;

2К, 1

wl (г )=^ (Ь )^Т1Т(гь - Ь ) г1 <г < гь; 2К2

W1

(г) = W1 (Ь)- — (гь - Ь)2 -(гь - г)2

2К2

гЬ < г < Ь,

1

(8)

Щ (г) = W2 (С) + ^Т- С) - (гс - г)

с < г < гс;

1

^ (г ) = W2 (с )+Т^(гс - с )2, гс < г < г2; 2К3

1

Wn

(г) = W2 (а)+—( -а) ,г2 < г < га ;

1

W2 (г) = W2 (а) + ТК" ( - а)2 - г) 2К4 ь

га <г <<

(9)

га + гЬ

^^; К1, К2, К3 та К4 -

дег1 = ~^ = 2 рaдiуси кривини парабол, якими обмежено штампи.

Компоненти тензора контактних напружень та вектора перемщень точок шару в осесимет-ричному випадку можна записати у вигщщ [2]:

Рис. 1. Схема контактно!' взаемодп

ад

с(г, г) = с33п {а3 {Л1ск (аг) +

о

+Л2 [ 5 • ск (аг) + аг^к (аг)] + Б^к (аг ) + +Б2 [5 • 5к(аг) + агск(аг)]} J0 (аг)йа

ад

сгг (г, г) = -с31 {а3 {Л15к (аг) +

о

+Л2 [50 • 5к (аг) + агск (аг)] + Б1ск (аг) + +Б2 [50 • ск (аг) + аг5к (аг)]} J1 (аг)йа . (10)

ад

иг (г, г) = -{а2 {Л1ск (аг) +

0

+Л2 [ск (аг ) + аг^к (аг )] + Б^к (аг ) + +Б2 [5к(аг) + агск(аг)]} J1 (аг)йа

ад

иг (г,г) = т1 {а2 {Л^к(аг) +

0

+Л2 [ 51 • 5к (аг ) + агск (аг)] + Б1ск (аг ) + +Б2 [5 • ск (аг) + аг5к (аг)]} J0 (аг)йа . (11)

Сшввщношення (10) - (11) записано у зага-льному виглядi для випадку теори великих (скшчених) деформацiй, а також рiзних варiан-тiв теори малих початкових деформацш та вра-ховують наявнють пружного потенцiалу дов> льно! структури. Вони побудованi для стиску-ваних та нестискуваних тiл без будь-яких об-межень. Коефiцieнти с31 , с33 , т1 , ^П , 5 , 50, 5*1 залежать вiд характеру пружного потенщалу i пiдбираються у кожному випадку окремому, вщповщно до [3].

На верхнш граничнiй площинi шару, при г = к , iз сшввщношень (10) - (11), отримаемо:

ад

с= с33п1 {а3 {Л1ск(ак) +

0

+Л2 [5 • ск (ак) + ак*к (ак)] + Б1*к (ак) + +Б2 [5 • 5к(ак) + акск(ак)]} J0 (аг)йа , (12)

ад

сгг =-с31 {а3 {Л15к(ак) +

0

+Л2 [50 • 5к (ак) + акск (ак)] + Б1ск (ак) + +Б2 [ 50ск (ак ) + ак • 5к (ак )]) J1 ( аг)йа , (13)

ад

иг = т {а2 {Л15к(ак) +

0

+Л2 [51 • 5к (ак) + акск (ак)] + Б1ск (ак) +

+Б2 [51ск (ак) + ак • $к (ак)]} J0 (аг)йа . (14)

Аналопчно, на нижнiй граничнiй площинi шару, матимемо:

ад

с гг = с33п1 {а3 {Л1ск (ак ) +

0

+Л2 [5 • ск (ак) + ак^к (ак) - Б^к (ак) --Б2 [5 • 5к(ак) + акск(ак)]} J0 (аг)йа , (15)

ад

сгг =-с31 {а3 {-Л15к(ак)-

0

-Л2 [50 • 5к (ак) + акск (ак)] + Б1ск (ак) + +Б2 [^0ск (ак) + ак • 5к(ак)]} J1 (аг)йа , (16)

ад

иг = т {а2 {-Л15к(ак)-

0

-Л2 [51 • 5к (ак) + акск (ак) + Б1ск (ак) +

+Б2 [51ск (ак) + ак • 5к (ак)]} J0 (аг)йа . (17)

Вимагаючи виконання граничних умов (3) та (6), iз рiвностей (13) та (16), одержуемо ви-рази для функцш Л1 та Б1 через Л2 та Б2 вщ-повщно:

Л1 = — (2 ) [50 • 5к (ак) + ак • ск (ак) , зк\ ак I

Б1 =—Б |~50 • ск (ак) + ак • 5к (ак)] . (18) ск(ак ) л

Вимагаючи виконання граничних умов (2) та (5), iз рiвностей (12) та (15), одержуемо:

ад

с33{а3 {Л1ск(ак) +

0

+Л2 [5 • ск (ак) + ак^к (ак) + Б^к (ак) +

+Б2 [5 • 5к(ак) + акск(ак)]} J0 (аг)йа = 0

0 < г < а, Ь < г ; (19)

ад

с33{а3 {Л1ск(ак) +

0

+Л2 [5 • ск (ак) + ак^к (ак) - Б^к (ак)--Б2 [5 • 5к (ак) + акск (ак)]} J0 (аг)йа = 0

0 < г < с, й < г . (20)

Введемо невiдомi функци x (г ), a < г < Ь та у (г ) , c < г < d , за допомогою яких продовжи-

мо спiввiдношення (19) та (20) на промiжок

0 < г < да .

Функщя x (г ) визначае розподiл контактних напружень пiд верхнiм, а у (г ) - пiд нижнiм

штампом. Врахувавши !х неперервнiсть, а та-кож рiвнiсть нулю на границ областi контакту представимо x(г) та у (г) у виглядi вiдрiзкiв узагальненого ряду Фур'е за функцiями

¿1 (г) = j0 )7 (уп ) - 7 (^г)j0 (уп) та

^ (г) = j0 )7 (п) - 70 ^jo (Хя) , де Уп та Яп

J0 (ах]^0 (x)-70 (^) J0 (x) = 0

Jo ( dx 170 (х) - 70 ( dx | Jo (х) = 0 вщповщно:

■¿у , ,

х (г )=°гг (г,к )=У апч'(г),

П=1

N

у (г ) = агг (г,-к ) = У ьпь(П](г )

(21) (22)

п=1

де ап та Ьп - невiдомi коефiцiенти.

Застосувавши формулу обернення штегра-льного перетворення Ганкеля до спiввiдношень (19) - (20), врахувавши представлення (21) -(22), та використавши вирази (18) одержу емо:

а2 А2 = -

1

С33 П]

а2 В2 = -

-4-т£ап Ф^а)"

А3 (-) П=1

Т7-^ЬпФ(п2)(а) Аз (а) П=1

А4 (а)п=?

1 N

--— УЬ Ф( 2)(а)

А4(а)У=1 п п{ [

А3 (а) = (5 - 50)ск(ак) -А4 (а) = (5 - 50 )к (ак) +

(23)

ак

5к(ак) ак

ск(ак)' Фп1)(а) = |г • ¿«(г)J0 (аг)dr ,

фп

' (а) = |г • -2п\г)J0 (аг^г .

Вимагаючи виконання гранично! умови (4), iз сшввщношення (14), врахувавши рiвностi (18) та (23), матимемо:

-ю

— / N N

11| Ф1 (а)У аф(п1)(а) + ф2 (а)УЬяф(2>(а)

п=1 п=1

xJ0 (аг)dа = w1 (г), а < г < Ь , (24)

Ф1 (а) = А5 (а) + А6 (а) ,

Ф2 (а) = А5 (а)-А6 (а)

т (50 - 51 )

додaтнi коренi рiвнянь

та

А5 (а) = А6 (а) =

2С33 п ( 51 - 50) 5к2 (ак )

(5 - 50 )ск (ак )ик (ак )-ак (51 - 50)ск2 (ак)

(5 - 50 )ск (ак )ик (ак ) + ак Помноживши лiву та праву частини сшввщ-ношення (24) на г • ¿^ (г) та проiнтегрувaвши одержaнi вирази по г вiд а до Ь , отримаемо:

У аКщ (а) + У ЬК(а) =

(25)

1 , 1 ^(2)

2ю1^1 ; 2ю1Я2 4

Г1 га

Т(1) = (Га - а)2 } — (г ) ^ - | Г (Га - Г ) (г )^ :

а а

Т(2) = ( - ь)21(г)dr -1 г ( - Г)2 (Г^Г :

Г1 Гь

да

К^/ф^ф (а)[ф?)(а)-

0

Г ь

-J0 (аа)|(г^г - J0 (аЬ)|г—1 (г)dr]dа ,

1 = 1,2, ; = 1,N .

Аналопчно до (25) iз спiввiдношень (7) та (17), матимемо:

УапКпзЛа) + УЬп<)(а) =

-1 -(3) . -1 ^(4)

3 | ту

2ю1^3 ; 2ю1 Я4 4

Т(3) = ( - с)21гф (г )йт - { г ( - Г)2 (г)йг ,

с с

Т(4) = ( - а)2(г)* - | г ( - Г)2 ^ (г)оТ,

г2 га

ад

<2)=|ф(2(а)Уг (а)[Ф(92)(«2-

N N

У а«. М^+У Ь^" м12)-(а - а 22

/ ' п п / ' п п V, а /

+

п=1 " N

-./0

'2 и

(ас)| 42) (г)аг - (аа)| г/!2 (г)ага ,

с г2

VI (а) = -Ф2 (а) , V (а) = -Ф1 (а) •

Використавши метод суперпозицп та ввiвши позначення:

= _!У гЛ2, ь = ±УУ2ь(2 2 =-^,(27)

^^ г п ' п ^^ г п г л п

У а^^-М«+У Ь^"Мп2)+(ь - Ь)

п=1 п=1

Г N N

У М{1] + У Ь^^ • М

^^ п п ^^ п

п=1 п=1

N N

У а^. М^+У Ь{4)- М (2)

/ * п п / * п Л

п=1

+г.

+г

п=1 " N

= 0, (32)

+г.

ю

1 г =1

ю

1 г=1

2п| г с (г , к )с1г = -Р

2п|гс(г,- к)с1г = -Р

(28)

п=1

п=1

+гз •Уа(3)еп1)+ г4 "У а^ =-^1, (30)

п=1

п=1

2п

N N

г "Уг2 "Уьп2)еп2) +

п=1 п=1

N N ту

+гз "Уьп3)еп2)+ "УЬ^ =-2"""Ю1 (31)

2П

п=1

п=1

де 0«=}г"^(г)аг, г"42)(гК •

а с

1з умови (29), матимемо:

+г.

iз (25) та (26) одержуемо системи тншних рiв-нянь вiдносно невiдомих а^} та Ь^), г = 1,4 •

Величини в сшввщношеннях (27) знахо-димо з умов рiвноваги штампiв:

У аО). Мпз)+У Ьп). М^

^^ п п ^^ п п

п=1 п=1

" N N

У а(2)"Мпз)+У Ь{2)"М^

^^ п п ^^ п п

_ п=1 п=1 _

N

У с^.Мпз)+У ь(ъ)"М(4)-(Гс - с)2

^^ п п ^^ п п V с /

+г.

та рiвностi вертикальних перемщень гранич-них площин шару при г = га та г = гь, а також при г = гс та г = га :

иг ( га , к)= иг (гЬ , к) , Ы2 (гс , -к) = Ы2 (Ъ , -к) • (29)

1з умов (28) матимемо:

N N

21 "Уа{Ж} + г2 "Уа(2^ +

У^М^Ь^М^-а)2 = 0,(33)

п=1 п=1

ад

де Мп) = |фг (а)фп)(а){ (аЬ)-J{) (аа)}

0 ад

М(+2) = | V (а)ф(пг) (а){Jо (ас) - J{) (аа)}

0

г = 1,2 •

Зробивши у рiвняннях (30) - (33) замiну:

а

а

2п . —

Р

2: = 2; ■ Ю,--, 7 = 1,4 ^ 2; = Ю,--2; ,

г г 1 ^ 7 7 г 1 г\ г 7

Р 2п

приходимо до системи вiдносно невiдомих , розв'язавши яку, одержуемо формули для зна-ходження розподiлу контактних напружень шд штампами:

р N

С гг (г ,к ) = 2-"У

2П п=1 р N

С гг (г , - к ) = — "У

2П п=1

^ (гГ Ь())

^(п1}(г ),

^12)(г )•

За допомогою розв'язано! задачi дослiджено вплив форми жорсткого штампа, а також наяв-носп залишкових деформацiй у шарi на характер розподшу контактних напружень • Числовий аналiз проведено для двох випадюв:

• шар е стискуваним тшом iз наявним пруж-ним потенцiалом гармонiчного типу (рис^ 2);

• шар - нестискуване тшо iз потенцiалом Ба-ртеньева-Хазановiча (рис^ 3)^

Рис. 2. Розподш контактних напружень

На рис. 2 зображено графши безрозм1рно! * 2п

функцп СТ*г = р сгг (г, Л) для випадку, коли

прямолшшна дшянка в основ1 верхнього штампа вщсутня, а його конф1гуращя визначаеться такими значеннями параметр1в: га = гь = 0.7,

R =

1

14 <P

R = -

1

24 ю,Р

t 1 1 0 '35 ote 0 \ 1 \ \ \ \ \ \\ 1 75 0 s ' 1 1 / 1 / -f—/-1 1 J 1 /

V ^ ~ — v

\\ 1 \ J 4 " 7

2

На рис. 3 зображено графши функцiï с для наступних значень napaMeTpiB ra = 0.65 ,

rb = 0.75, R1 =

14 <P

R2 =

п__1_

24 ra,P

Пунктирна крива вщповщае вiдсутностi у шарi залишкових деформацш ( Л,1 = 1), крива 1 -наявносп залишкових деформацш стиску ( А,1 < 1), а крива 2 - розтягу (А,1 > 1). Проведений числовий анатз дае можливiсть стверджу-вати, що поява у тш залишкових деформацiй розтягу викликае звуження дiлянки контакту та збiльшення абсолютного значення контактних напружень. Виникнення деформацш стиску спричиняе розширення дiлянки контакту та зменшення абсолютного значення контактних напружень.

Проанатзувавши одержанi результати мож-на зробити висновок, що поява у основi штампа прямолiнiйноï дiлянки [ra,rb ] викликае змен-

шення абсолютноï величини контактних напружень та змщення точок екстремуму до меж д^нки контакту. Достовiрнiсть зроблених ви-сновюв пiдтверджуе ï^ узгодження iз результатами одержаними шшими авторами [4].

Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК

1. Бабич, С. Ю. Контактные задачи для упругих тел. С начальними наприжениями применительно к жест ким и упругим штампам [Текст] / С. Ю. Бабич, А. Н. Гузь, В. Б. Рудницкий // Прикл. механика. - 2004. - Т. 40, № 7. -С. 41-69.

2. Гузь, А. Н. Основы теории контактного взаимодействия упругих тел с начальными (остаточными) напряжениями [Текст] / А. Н. Гузь, В. Б. Рудницкий. - Хмельницький,2006. - 710 с.

3. Гузь, А. Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями [Текст] / Александр Николаевич Гузь - К.: Наук. думка, 1983. - 296 с.

4. Гузь, О. М. Контактна взаемодгя тш з початко-вими (залишковими) напруженнями [Текст] / О. М. Гузь, В. Б. Рудницький // Проблеми мате-матичного моделювання сучасних технологш: Зб. наук. пр. за матер1алами м1жнар. наук.-техн. конф. - Хмельницький: ХДУ, 2004. - С. 5-35.

5. Lapusta, Y. Three-dimensional FE model for fiber interaction effects during microbuckling in composites with isotropic and anisotropic fibers [Текст] / Y. Lapusta, J. Harich, W. Wagner // Communications in numerical methods in engineering - 2008 - Volume: 24 - Issue: 12 -P. 2206-2215.

6. Harich, J. 3D FE-modeling of surface and anisotropy effects during micro-buckling in fiber composites / J. Harich, Y. Lapusta, W. Wagner // Composite structures - 2009 - Volume: 89 - Issue: 4 - P. 551-555.

Надшшла до редколегп 15.05.2011. Прийнята до друку 25.05.2011.

Рис. 3. Розподш контактних напружень

71

К