CC BY
8
УДК 539.3
Н. О. ЯРЕЦЬКА
Хмельницький нащональний ушверситет
СТАТИЧНА КОНТАКТНА ЗАДАЧА ДЛЯ ПОПЕРЕДНЬО НАПРУЖЕНИХ ЦИЛ1НДРИЧНОГО ШТАМПА ТА ШАРУ, ЩО ЛЕЖИТЬ БЕЗ ТЕРТЯ НА
ЖОРСТК1Й ОСНОВ1
У рамках лшеаризованно! теори пружностi представлена осесиметрична задача про тиск пружного цилтдричного штампа на шар з початковими напруженнями. До^дження подат в загальному виглядi для теорп великих початкових деформацт та двох варiантiв теорп малих початкових деформацт при довыьнш структурi пружного потенщалу. Отримаш спiввiдношення для компонентiв вектора перемiщень i тензора напружень для випадку рiвних коретв. Розглянуто питання про вплив початкових напружень на закон розподту контактних зусиль у шарi та штамт.
Ключовi слова: лтеаризована теорiя пружностi, початковi (залишковi) напруження, перетворення Ханкеля, ттегральне рiвняння типу Фредгольма, метод по^довних наближень, потенщал Бартенева-Хазановича.
N. А. IARETSKA
Khmelnytskyi National University
THE STATIC CONTACT PROBLEM FOR THE PRESTRESSED CYLINDRICAL DIE AND LAYER LYING WITHOUT FRICTION ON A RIGID FOUNDATION
Annotation
Introduction and aim: The article deals with the problem of the elastic cylindrical die pressure on the layer with initial stresses within the framework of linearized elasticity theory. In general, the research was carried out for the theory of great initial deformations and two variants of the theory of small initial deformations with arbitrary structure of elastic potential.
Material and methods: The mode of deformation in the elastic layer with initial stresses is defined with the help of harmonic functions by way of Henkel integrals. It reduces the task to Fredholm equations and the method of consecutive approximations.
Results: We obtained a correlation between the components of potential vector and tensor of deformations in the case of equal roots. The solutions are defined by way of lines with the help of infinitive system of constants, derivated from the regular and linear algebraic system.
Conclusion: The research investigates the influense of initial stresses on the law of distribution of contact stresses in the layer and die with initial stresses.
Keywords: the linearized elasticity theory, initial (residual) tension, Henkel integrals, the task to Fredholm equations, the method of consecutive approximations, the potential of Bartenev-Khasanovich.
Вступ i мета дослщження. Велика увага у мехашщ сущльних середовищ прид1ляеться дослвдженню контактно! взаемоди твердих деформованих тш, що пов'язане i3 проблемою визначення !х напружено - деформованих сташв. Аналiз результата цих дослщжень дозволяе сформувати умови на межi поверхонь контактуючих деформованих тш, що вщповвдають дшсносл. Незважаючи на iснуючi досягнення у теори контактно! взаемоди пружних тш, все ще залишаеться недостатньо розроблений ряд моменпв, серед яких - врахування залишкових напружень у тшах на закон розподшу тиску в мюцях !х дотику, що дозволить бшьш ефективно враховувати зносостшшсть матерiалiв шляхом правильно! оцшки запаав мщносп та достатньо знижувати !х матерiалоемнiсть, збер^аючи у цшому потрiбнi функцюнальш характеристики.
Вплив початкових напружень на закон розпод^ контактних зусиль у пружних швплощиш й пiвпросторi при !х контактнш взаемоди з пружними штампами дослщжено у статтях [1, 2]. У цих роботах подано загальний метод розв'язку контактних задач для твплощини та твпростору з початковими напруженнями, що взаемодшть з пружними тшами. Задача про тиск жорсткого штампа на пружний шар з початковими напруженнями розглянута в [3], а для часткового виду пружного потенщалу нестисливих тш у [4]. У [5] розглядаеться загальний шдхвд до розв'язку задач контактно! взаемоди пружних тш з початковими напруженнями у рамках лшеаризовано! теори пружносп, де були розглянуп випадки деформаци несшнченного пружного твпростору (шару) пвд дiею штамтв рiзно! форми. Детальний огляд дослщжень з контактно! взаемоди пружних тш з початковими напруженнями i без них представлений статтями О. М. Гузя, В. Б. Рудницького, С. Ю. Бабича [6],
Введемо три системи координат: лагранжеву систему (хьх2,х3), яка ствпадае з декартовою у природному сташ, декартову систему (yi,y2,y3) у початковому сташ та цилiндричну систему (r, 9, zi), де
г,- = У3«Г0'5 (i = 1,2).
Приймемо, що початковий стан у тшах е одноршним:
yt =ХЛ, X, = const, yi = Xi + Uf, U, =bin(X, - 1)x, (i,n = 1,2,3) (1)
де Xт - коефщент видовження вздовж координатно! осi, 5ги - символ Кронекера. З вир^в (1), для узагальнених початкових напружень маемо
80т = ^Ш^тт \ = соп& (тп = 1,2,3). Основнi рiвняння для стисливих тiл у системi координат (у, у2, у ) мають вигляд:
Ц'таиа = 0, Цпа = ®1]аР дУдУ1дУр <Л т а, Р =1,2,3) Для нестисливих тш основне рiвняння та умова нестисливосп представленi спiввiдношеннями:
Цпаиа + ^т ЩдУа Р' = 0, Чат диа/д^т = 0, Чат = ХаЧат,
Цпа = ¿тар дУдУ\дУр & т а, Р =1,3)
Вирази для компонент тензора напружень для стисливих i нестисливих тш при у ,=сош1 (¿=1,2,3):
диа , , ХХр
--ТТГГЯ ГТИГ ТГИКИ^ Т1 ГГ г.л _ — р
Я» =
Муар - Д™ стисливих тш, ^р = ,
' диа ' ' ХХр
¿ар -ду^ + Ччр - для нестисливих тiл, Цар каР,
де ®!тар =®!тар 0?1°ЬS22, S3>3), ¿тар = ¿тар (4ьS22,^33) - складош тензора модул1в пружшсп четвертого порядку.
Будемо розглядати пружнi iзотропнi тша (стисливi або нестисливi) з дов№ною формою пружного потенцiaлу. У випадку ортотропних тiл, вважатимемо, що пружно -еквiвaлентнi напрямки спiвпaдaють iз напрямком осей координат у деформiвному сташ.
Припускаеться, що пружний (скiнченний) цил1ндричний штамп та шар виготовленi з рiзних iзотропних, трaнсверсaльно-iзотропних або композитних мaтерiaлiв та взаемодшть на площi одше! з основ штампа.
Зробимо припущення, що почaтковi стани у шaрi та штамт однорiднi та рiвнi, а пружш потенцiaли - двiчi неперервно-диференцшовш функци алгебра!чних iнвaрiaнтiв тензора деформацш Грiнa [5]. Крiм того, дiя штампа викликае в шaрi невелике збурення основного напружено го стану, для якого виконуються умови
^д1 = Ф 0; = 0; Х = А,2 Ф Х3
Рис. 1. Цил1ндричний штамп 1 шар з початковими (залишковими) напруженнями.
Постановка задачь Нехай пружний цилiндричний штамп рaдiусa Я i висотою Н з початковими напруженнями (рис. 1.) втискаеться у пружний шар тд дiею сили Р тсля виникнення там початкового деформованого стану. /?1 - товщина шару в початковому деформiвному сташ, яка пов'язана з товщиною ^2 у недеформiвному стaнi вiдношенням \ = Х3Й2. Збурення тд дiею сили Р, що прикладена до вiльного торця цил1ндричного штампа, викликають його перемiщення у напрямку осi Оу3 на сталу величину в . Вважатимемо, що поверхш поза дiлянкою контакту залишаються вiльними вiд впливу зовнiшнiх сил. Причому, шар лежить на жорсткш основi без тертя.
У системi кругових цилiндричних координат (г, в, ) (, = 1,2) такiй постановщ вiдповiдають граничнi умови:
(2)
1) на торц пружного штампа 21 = Иу- 1, де V, = ^п, , (, = 1,2) :
ц(1) =-е, о® = о, (о < г < я),
2) на межi пружного шару в дмянц контакту ^ =0, (, = 1,2) :
ц(1)=ц(2), ез® = Оз2), е® = е(2)=о, (о < г<я)
3) на межi пружного шару поза дтянкою контакту = 0, (, = 1,2) :
е32)=о, ез(2)=о, (я < г «о
(3)
(4)
4) на боковш поверхнi пружного штампу г = Я:
О? = о, ез® = о, (о < < Иу-1) (5)
5) На нижнш поверхнi шару з початковими напруженнями, що лежить без тертя на
недеформованш основi 22
Х3к2 И „ — ч
V,- V
= -И, (, = 1,2) :
ц(2)=о, =о, (о < г «о,
(6)
Для визначення напружено-деформованого стану у пружному цилiндрi, який втискаеться у пружний шар з початковими напруженнями, використовуемо вирази [7] для компонент вектора перемщення i тензора напруження для стисливих i нестисливих тiл у випадку рiвних коренiв визначального рiвняння [5].
Напружено-деформований стан у пружному шарi з початковими напруженнями випишемо через гармоншш функцп у виглядi iнтегралiв Ханкеля [7]. Задовольнивши граничнi умови (2) - (6), тсля ряду перетворень матимемо:
де Г1 (П1±; ; ; К^; к; а) = (1 + а{
;к;а) = (1 + ао^(1 "ХоР±( т ;о;к;а;о)-в3 £ С*Ъ±( S'n+щ ;о;к;а;о)-
2(Ш2 - 1)Я2„
в
Х0 ^^ ;о;к;а;о) + в4 £хк пЦ Кпщ; ;к;а;о)
(Ш2 - 1)Я2 ^ ,(к Л п1
к =1
00
Ьк) Хк П±( Кпщ; ,укУ1Я;к;а;оП + ]^ ах1 (1 -ХоМ( SШl ;о;к;а; Пт)-
к=1 / Т=1 \
■ £ С*"^ (^ ;о;к;а;Пт)-Хо4 (^;о;к;а;Пт) +
+в4¿ХкКп ;Цк;к;а;>1-)+(Ш2 -1)Я2 £к}ХкКп ;/у^Я^а;Пт)\, ¿=1 у ' 2 ¿=1 у 3 7
, Ц,к,а, в) = (4о1 + к^!?1 + а)£Ш (р, ц, ^Я"1 -в) + (4п + 21Я~\А} +1)) (р, Ц, ^Я"1 -в)-
вз 0
8 } =о
+(Л21 + А^1)^
Р, Ц,—1 + — -в Я^ Я
^ ( \ (
¿31 , 21 А1 Тп А1 +^ А2 +1
±(А«1 + кЛ°-1 + а)Ь'П | р, ц, - 21 - в I ± I А1 1 - 21 (АМ -1) I ^+1 I Р, Ц, - 21 - в | ±
р, ц,—1 + — -в ЯУ1 Я
V
±( а21 + ^ьп
(
2к1
Р, Ц,—1 - — -9
V А31 - | 41 ] ьп +/
2И ¿1
Р, Ц,—1 - — -9 ЯУ1 Е
Л А31 = ИА
21
^ПТ (р;¿) = {цп 2этце z^цJm{цр^ц КП (р;Цк;г) = {ц^^ЦкСпрУ^
93 =
т1( ¿1 - ^0) V
94 = ^ -1) - ^ , К (р;z) = {цпу1(ц,0)е-ц Jm (црА2 п1 1
11
97 = Е
0
М01 ¿0 + ¿1
01 _ ¿0(^0 -¿1)
А01 =
¿0 + ¿1
8т1 п т 4Н Е
— (1 + Н)--+ (1 - т2) —
П1 V Н
А11 =■
2И0*0
^(¿0 +¿1)
л21 _ 2^0(^0 - ¿1)(^0 + 2^1) ¿01 _ ¿0 -¿1 , А1 = " , а2 =
(¿0 + ¿1)2
¿0 +¿1
У вирази (7), що отримаш в загальному вигаад для стисливих i нестисливих тш, входять, також
коефiцiенти П1, П2, »1 т2, С44, /1, Ь®. Значения цих коефщенлв для стисливих i нестисливих тiл подaнi у [5, 8].
Метод розв'язування. Використовуючи розв'язки для цилiндрa з [7] i задовольняючи граничним умовам (2) - (6), знаходимо власш значення задача
2лк ц
П =—, ак =, (к е
Не зупиняючись на викладках, скажемо, що невiдомa функщя Г(ц), що входить у вирази вектора перемщень i тензора напружень для попередньо напруженого шару, визначаеться в результaтi зведення зaдaчi до парних iнтегрaльних рiвнянь типу Фредгольма другого роду iз застосуванням методу послвдовних наближень при И > 1, X > Хкг. Цей метод е збгжним, враховуючи дослвдження проведенi у [5]. Тому, розв'язок представлено у виглядi рядiв через несинченну систему констант. Щ константи визначаються з системи регулярних [5] лшшних алгебрачних рiвиянь виду:
%п + =™к (к=0,1,2,..)
(8)
п=0
Коефiцiенти системи (8) предстaвленi для стисливих i нестисливих тiл у випадку рiвних коренiв у [7, 8]. Визначивши невiдомi константи Хг 0' = 0,1,2,..) з (8), можна обчислити силу Р, перемщення i напруження у пружних штамт [7, 8] та шaрi з початковими напруженнями по формулах (7).
При обчисленш напружень та перемщень для шару з початковими напруженнями б№шють штеграл1в у шнцевому виглядi не обчислюються. Тому, починаючи iз другого наближення,
пiдiнтегрaльнi функци розкладаемо у ряди за степенями И-1, що дозволяе обчислити коефщенти (8) наближено [6].
Чисельний розв'язок. Система (8) була розв'язана методом редукци при наступних значеннях пaрaметрiв: ^=32, Е=3.92, у=0.5.
Вплив початкових напружень на закон розпод^ контактних зусиль для зaдaчi про тиск пружного цил1ндричного штампа на пружний шар у випадку потеншала Бартенева-Хазановича,
зображуегься на рис.2. - рис.5.
Рис. 2. Контактт напруження для пружного цилшдра з початковими напруженнями
Рис. 3. Вплив початкових напружень на закон розподшу
V
да
да
0
0
Рис. 4. Перемщення и3 Рис. 5. Перемщення иг
Висновки. Отже, вплив початкових напружень на напружено-деформований стан пружних штампа та шару, а також рекомендацп щодо практичного використання здобутих результатiв полягають у наступному:
1. Початковi напруження при стиску призводять до зменшення сили напружень у цилiндричному штампi та шар^ а при розтягненнi - до Гх збiльшення, у випадку перемiщень все вiдбуваeться навпаки. Тобто, наявшсть попередньо напруженого стану тд час контактно! взаeмодií пружних тш дае змогу регулювати контактнi напруження та перемщення при розрахунках на мщшсть деталей машин та конструкцш. Причому для контактних напружень небезпечними е початковi напруження у випадку розтягнення, а для перемiщення - у випадку стиску.
2. Найбшьший вплив початкових напружень вшзначений на бiчнiй поверхнi штампа.
3. Товщина шару не впливае на характер ди початкових напружень, а впливае лише на Гх значення.
4. Бшьш суттево, у к1льк1сному планi, початковi напруження дшть у високоеластичних матерiалах у порiвняннi iз бiльш жорсткими, але як1сно Гх вплив збертаеться.
5. Небезпечною е ситуацiя, коли початковi напруження наближаються до значень поверхневог нестiйкостi, оск1льки контактнi зусилля i перемiщення рiзко змiнюють своГ значення.
Таким чином, в данш роботi отриманi залежностi, що вшображають вплив початкових напружень на напружено-деформiвний стан системи пружних цил1ндра та шару з початковими (залишковими) напруженнями. Цей вплив е суттевим як для стисливих, так i нестисливих тш та повинен враховуватися в iнженерних розрахунках.
Л1тература
1. Гузь А.Н. Контактные задачи для упругих тел с начальными напряжениями применительно к жестким и упругим штампам / А. Н. Гузь, В. Б. Рудницкий // Прикл. механика - 2004. - 40, № 7. -С.41- 69.
2. Гузь А. Н. Контактная задача о давлении упругого штампа на упругое полупространство с начальными напряжениями / А. Н. Гузь, В. Б. Рудницкий // Прикл. механика. - 1984. - 20, № 8. -с. 3 - 11.
3. Бабич С. Ю. Контактная задача теории упругости для слоя с начальными напряжениями/ С.Ю. Бабич//Прикл. мех.-1984.-20, №6.-с. 34-40.
4. Александров В. М. Контактная задача для предварительно напряженного физически нелинейного упругого слоя / В. М. Александров, В. С. Порошин//Инж. журн. «Механика твердого тела».-1984. -№ 6. - с. 79 - 85.
5. Гузь А. Н. Основы теории контактного взаимодействия упругих тел с начальными (остаточными) напряжениями / А. Н. Гузь, В. Б. Рудницкий. - Хмельницкий, изд. 1111 Мельник, 2006. - 710 с.
6. Гузь А. Н. Контактное взаимодействие упругих тел с начальными (остаточными) напряжениями / А. Н. Гузь, С. Ю. Бабич, В. Б. Рудницкий // Развитие идей Л. А. Галина в механике. - М. - Ижевск. Институт компьютерных исследований, 2013. - 480 с.
7. Ярецька Н. О. Змшана статична контактна задача для пружного шару i пружного цилiндричного штампа з початковими (залишковими) напруженнями / Н. О. Ярецька // Вюник ТНТУ. Науковий журнал, №2 (70), 2013 р. - Тернопшь. - с. 63-73.
8. Ярецька Н. О. Вплив початкових (залишкових) напружень на контактну взаемодш пружного цилшдричного штампа та пружного шару / Н. О. Ярецька // Доповщ НАН УкраГни. - 2014. - № 1. -с. 57 - 62.
