CC BY
14
В итоге, поскольку
дк(х) _ дЯр(х) ддр(х) дд дд дд '
из (7) - (8) получаем (5) - (6). Теорема доказана.
Замечание. Теорема 1 говорит, о том, что функция к(х) субдиф-ференцируема, в смысле определения В. Ф. Демьянова - А. М. Рубинова [5], всюду на
Используя необходимое условие минимума субдифференцируемой функции на выпуклом множестве [5,гл. 5], получаем в качестве следствия теоремы 1 утверждение.
Теорема 2. Если точка х0 € Б доставляет минимальное значение функции, к(х) в задаче (1), то справедливо соотношение
дк(х0) р| К+(х0,Б) = 0,
где К +(х, Б) - сопряжение конуса возможных направлений множества Б в точке х, а дк(х) определяется формулой (6).
Работа выполнена при, финансовой поддержке РФФИ (проекты, 1301-00238, 13-01-00175).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 .Боннезен Т., Фенхель В. Теория выпуклых тел. М,: Фазис, 2002.
2.Дудов С. И. О оценке границы выпуклого компакта шаровым слоем // Изв. Сарат. ун-та. 2001. Т. 1. 2. С. 64-75.
3.Дудов С. И., Златорунская И. В. Равномерная оценка выпуклого компакта шаром произвольной нормы // Мат. сб. 2000. Т. 191, №10. С. 13-38.
4. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М,: Наука, 1980.
Ь.Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М,: Наука, 1990.
УДК 519.95
С. И. Поликарпов
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АВТОМАТА РЯДОМ ФУРЬЕ В ЗАДАЧАХ ДИАГНОСТИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ
В данной статье предлагается новый способ задания математических моделей конечных дискретных динамических систем на основе представления законов их функционирования конечными рядами Фурье. Такие
модели предназначаются для описания объектов управления и технического диагностирования.
Основными формами задания конечных дискретных динамических систем являются определения конечных автоматов таблицами, диаграммами Мура, системами логических уравнений. Такие задания основываются на рекурсии: последовательно определяются такты функционирования автомата и правила рекурсивного совмещения тактов в процессе функционирования.
Указанными способами задания автоматов явно выделяются только начальные фрагменты возможных вариантов функционирования. Для того чтобы заменить рекурсивное задание законов функционирования автомата их явным заданием, в работе [1] В. А. Твердохлебовым введено понятие геометрического образа автомата в специальной дискретной словарной геометрии и исследованы свойства геометрических образов.
В данной статье на основе конечных рядов Фурье исследуются периодические геометрические образы конечных детерминированных автоматов. Для этого элементы автоматного отображения -р8 : X* - соответствующего инициальному автомату А = X, У,, 6, Л, й0) - систематизируются в геометрический образ по предложенным в работе [1] правилам. Представление периодического геометрического образа в ряд Фурье осуществляется на основе разложения его периода. Предложена структура конечного автомата, получаемая специфической композицией базовых автоматов, соответствующих компонентам разложения в ряд Фурье [2].
Для этого по множеству точек периода геометрического образа {(х1,у1); ...(хп,уп)} строится конечный ряд Фурье [3] по ортогональной на конечном множестве точек системе функций {^1,..., ^п}. Полученный ряд Фурье
п
/ = ^2 С - ^
¡=1
полагается математической моделью автомата (А,й0), явно задающего все варианты его возможного функционирования. Каждой функции ^ сопоставляется базовый автомат А^, а автомату А соответствует композиция базовых автоматов (см. рисунок).
Каждый базовый автомат ^соответствует фу нкции график которой рассматривается как геометрический образ автомата А^.
В геометрическом образе автомата функциональная зависимость представлена как автоматное отображение, то есть отображение с изменяющимся параметром (изменяющимся состоянием). Это позволяет функцию преобразовывать в автомат Ai с конкретным множеством
состояний. Следовательно, в рассматриваемой композиции все компоненты автоматы и результат композиции автомат.
Схема композиции базовых автоматов, соответсвующей автомату А
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Твердохлебов В. А. Основные свойства геометрических образов автоматов // Проблемы точной механики и управления: сб. науч. трудов ИПТМУ РАН. Саратов, 2004.
2. Поликарпов С. И. Представление автомата рядом Фурье в задачах диагностирования и управления // Информационные технологии в науке, производстве и социальной сфере: сб. науч. трудов. Саратов, 2005.
3. Хемминг Р. В. Численные методы. М,, 1972. УДК 514.133
Л. Н. Ромакина
О ПЛОЩАДИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА САККЕРИ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ
Многовековые попытки доказательства пятого постулата Евклида обогатили науку и новыми методами, и новыми объектами исследования. Одним из таких объектов является четырехугольник Саккери (или четырехугольник Хайяма) двупрямоугольник с равными боковыми ребрами, с помощью которого была опровергнута «гипотеза тупого угла» [1]. На гиперболической плоскости Н положительной кривизны [2] можно построить аналогичные четырехугольники, причем различных типов. В работе докажем теорему о площади эллиптического четырехугольника Саккери плоскости Н.
Пусть па плоскости Н А, 5 - точки эллиптической прямой ш, Ло, В0 -ортогональные проекции точек Л, В на эллиптическую прямую /, отличную от прямой ш. Простую замкнутую двустороннюю ломаную ЛВВ0Л0
