CC BY
30
УДК 519.95
С. И. Поликарпов
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОНЕЧНОГО АВТОМАТА РЯДОМ ПО СИСТЕМЕ ФУНКЦИЙ УОЛША
Традиционными способами задания автоматов явно выделяются только начальные фрагменты возможных вариантов функционирования. Для того чтобы заменить рекурсивное задание законов функционирования автомата их явным заданием, в работе [1] В. А. Твердохле-бовым введено понятие геометрического образа автомата в специальной дискретной словарной геометрии и исследованы его свойства геометрических образов.
В данной работе исследуются периодические геометрические образы конечных детерминированных автоматов. Для этого элементы автоматного отображения ps : X * ^ Y*, соответствующего инициальному автомату A = (S,X,Y,6,X,so), систематизируются в геометрический образ по предложенным в работе [1] правилам. Представление периодического геометрического образа рядом по системе функций Уолша осуществляется на основе разложения его периода.
Функции Уолша можно определить через функции Радемахера. Функция Радемахера г-го порядка определяется следующим образом [2]:
Ti(x) = (—1)Xi = cos nxi,
где xi = 0,1 есть г-й разряд двоичного представления переменной x.
Функции Уолша в форме Пэли - это действительные функции, определяемые как произведение степеней функций Радемахера:
pal(p, x) = [Ti(x)]Pn[T2(x)]Pn-1... [Tn(x)]pi,
где pi - разрядные коэффициенты в двоичном предетавлении числа p; тогда
pal(0, x) = 1, pal(1,x) = T\(x), pal(2, x) = t2(x), pal(3,x) = t\(x)t2(x), pal(4, x) = t3(x),
pal( 5,x) = n(x)r3(x), pal(6, x) = r2(x)r3(x), pal(7, x) = r1(x)r2(x)r3(x).
Функции Уолша обладают следующими свойствами
px
2. Функции Уолша - периодические с периодом N = 2n.
3. Функции Уолша имеют нулевое среднее значение на множестве точек
x = 0,1, 2,..., N - 1.
4. Система функций Уолша является ортогональной на множестве точек
x = 0,1, 2,..., N - 1 :
EN 1 и \ ии \ f о, если a = b, pal(a, x)pal(b, x) = < д' /
N, a = b.
x=0 ^
5. Поскольку на интервале определения N = 2n в систему функций
N
Предлагается структура конечного автомата, получаемая композицией базовых автоматов, соответствующих компонентам разложения геометрического образа исходного автомата в конечный ряд по системе функций Уолша.
Геометрический образ исходного автомата заменяется его разложением в ряд по системе функций Уолша:
N 1
f (x) = cppal(p,x), p=0
0, 1, . . . , N 1
cp
подсчитать, используя свойство ортогональности функций Уолша.
Полученный конечный ряд является математической моделью автомата (A, s0), явно задающей все варианты его возможного функционирования. Каждой функции pal (p, x) сопоставляется базовый Ap A
зовый автомат Ap соответствует функции pal(p, x), график которой рассматривается в качестве геометрического образа данного автомата.
В геометрическом образе автомата функциональная зависимость представлена как автоматное отображение, то есть отображение с изменяющимся параметром (изменяющимся состоянием). Это позволяет
каждую функцию pal (p, x) преобразовывать Ap
множеством состояний. Следовательно, в рассматриваемой композиции все компоненты - автоматы, и результат композиции - автомат.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Твердохлебов В. А. Основные свойства геометрических образов автоматов // Проблемы точной механики и управления : сб. науч. тр. ИПТМУ РАН. Саратов, 2004. -183 с.
2. Трахтпман Л. Л/.. Трахтпман В. А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М, : Советское радио, 1975. -208 с.
3. Поликарпов С. И. Представление автомата рядом Фурье в задачах диагностирования и управления //Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. Вып. 15. С. 64-66.
УДК 501.1
А. В. Попович
О МНОГООБРАЗИЯХ ПОЛУГРУПП БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ С ОПЕРАЦИЯМИ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ И РЕФЛЕКСИВНОЙ ДВОЙНОЙ ЦИЛИНДРОФИКАЦИИ
Множество бинарных отношений Ф, замкнутое относительно некоторой совокупности П операций над ними, образует алгебру (Ф, П), называемую алгеброй отношений. Всякая такая алгебра может быть рассмотрена как упорядоченная (Ф, П, с) отношением теоретико-множественного включения с. Одной из важнейших операций над отношениями является операция умножения о. Алгебры отношений вида (Ф, о) и (Ф, о, с) образует соответственно полугруппу и упорядоченную полугруппу отношений, и всякая полугруппа изоморфна некоторой полугруппе отношений. Вместе с операцией умножения отношений могут быть также рассмотрены и другие операции, несущие дополнительную информацию об этой полугруппе.
о
идентификации неподвижной точки V1 и рефлексивной двойной цилин-дрофикации V2. Операции V1 и V2 определяются следующим образом:
V1(p) = {(x,x) : (3y)(y,y) G р}, V2(р) = {(x,y) : (3z)(z,z) G p}.
Для заданного множества П операций над бинарными отношениями обозначим через Я{П} класс алгебр, изоморфных алгебрам отношений с операциями из П. Пусть Var{Q} - многообразие, порожденное классом Я{П}.
