Делимость идемпотентов полугруппы булевых матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

Следовательно, в рассматриваемой композиции все компоненты -автоматы и результат композиции - автомат.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Твердохлебов В. А. Основные свойства геометрических образов автоматов : сб. науч. тр. ; ИПТМУ РАН. Саратов, 2004. 192 с.

2,Твердохлебов В. А., Епифанов, А. С. Представление автоматных отображений геометрическими структурами. Саратов : Научная книга, 2013, 204 с,

3, Трахтпман Л. Л/.. Трахтпман В. А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах, М, : Сов, радио, 1975, 208 с,

4, Поликарпов С. И. Представление автомата рядом Фурье в задачах диагностирования и управления. Информационные технологии в науке, производстве и социальной сфере : сб. науч. тр. Саратов : Научная книга, 2005,

УДК 512.554+512.643

В. Б. Поплавский

ДЕЛИМОСТЬ ИДЕМПОТЕНТОВ ПОЛУГРУППЫ

БУЛЕВЫХ МАТРИЦ

В этой статье естественным образом определяются два типа идемпо-тентов частичной полугруппы булевых матриц всевозможных размеров _ перВИЧНЬ1Х и вторичных. Доказывается, что правая делимость вторичных булево-матричных идемпотентов влечёт их левую делимость, и наоборот. Показано также, что этот факт прямо связан с булевым частичным порядком "включения"С на множестве булевых матриц.

Обозначим через М(В) множество матриц всевозможных конечных размеров с элементами из произвольной булевой алгебры В, па котором операции объединения и, пересечения П, дополнения / и частичный по-С

Конзюнктным произведением матриц Ли В, согласованных размеров т х мп х к соотв етственно, назовём матрицу С = А П В размера т х к с элементами С] = УП=1 (А'г П В]).

М( В)

пары матриц операцией П, образует частичную полугруппу ( М(В), П).

А АТ. Очевидно, что (А П В)Т = ВТ П АТ. Положем также, что А/Т = (АТ) = (А/)Т.

Символом Е будем далее обозначать квадратные матрицы с единицами 1 на главной диагонали и нулями 0 на остальных местах, где 1 и 0 - единица и нуль булевой алгебры В. При этом соответствующий

Е

Определение 1. Матрица А называется первичным П-идемпотен-том7 если Е ^ А = А П А, и вторичным П-иде,мпот,ент,о,м частичной полугруппы ( М(В), П), если Е С А = А П А.

Любой булевой матрице произвольного размера соответствуют вторичные идемпотенты правого типа : А^ = (А П А/Т)/Т, и левого типа : А£ = (А/Т П А)/Т. Известно [1, 2], что матрицы и А£ являются вторичными идемпотентами частичной полугруппы ( М(В), П).

А

(М(В), П). Матрица А является первичным идемпотентом тогда и только тогда, когда А ^ Ап и А ^ А£7 и является вторичным П-идемпотентом тогда и только тогда, когда, А = А^ = А£.

Доказательство этого утверждения можно найти в [1, 2].

Вторичные идемпотенты играют главную роль в вопросах разрешимости простейших булево-матричных уравнений, делимости, регулярности булевых матриц, необходимых признаков односторонних идеалов, поиска транзитивно-рефлексивных замыканий и пр. [1, 2]. Вторичные идемпотенты изучались также в [3, 4].

Определение 2. Будем говорить, что матрица В делится на А слева в частичной полугруппе всевозможных булевых матриц ( М(В), П), если уравнение А П X = В имеет решение, и справа,, если имеет решение уравнение X П А = В.

А

группы, (М(В), П) м В - произвольная булева, матрица подходящего размера. Тогда, верны, следующие предложения:

1) уравнение АПX = В имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется равенство А П В = В;

2) уравнение XП А = В имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется равенство В П А = В.

Доказательство. Очевидно, что из равенства А П В = В следует разрешимость уравнения А П X = В. Покажем, что из того, что уравнение А П X = В имеет решение, следует равенство А П В = В. Для этого воспользуемся критерием совместности уравнения (см. [1, теорема 2.2]), записанным в форме

^) А П X = В ^ А П (В/Т П А)/Т = В.

Тогда, умножая равенство А П (В'Т П А)/Т = В слева на идемпотентную А

А П В = А П А П (В/Т П А)/Т = А П (В/Т П А)/Т = В.

Аналогично доказывается, что из совместности уравненияхП А = В следует выполнение равенства В П А = В, и наоборот. □

АВ потент частичной полугруппы (М(В), П) того же размера, что и А. Тогда, система неравенств Е С А С В эквивалентна, системе

Г А П В = В П А = В ЕСА.

Доказательство. Так как В - вторичный идемпотент, то В = Вп =

= (В П В/Т) /Т Е С А С В

Е С А С (В П В/Т)/Т,

что равносильно

А П В С В ,

Е С А ,

так как (А С (ВПВ/Т)/Т) ^ (АПВ С В) (см.[2, теорема 2.1]). Учитывая, что Е С А влечёт Е П В С А П В, из последней системы следует В С С А П В С В, то есть А П В = В. Таким образом, из системы неравенств Е С А С В следует система

Г А П В = В ЕСА.

Справедливость обратной импликации очевидна. Следовательно,

Г А П В = В ^^^ { ЕС А ^ Е С А С В'

С другой стороны, так как В - вторичный идемпотент, то В = В£ = = (В/Т П В)/Т. Тогда, применяя эквивалентность неравенств (А С В/Т и

и В) ^ (В П А С В), получаем эквивалентность

ВПА=В | ^ с А ^ Е С А С В'

Окончательно получаем

А П В = В П А = В | А С А ^ Е С А С В' □

Утверждения лемм 2 и 3 и то, что каждый вторичный идемпотент содержит единичную матрицу (теорема 1), позволяют сформулировать следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть A и B - вторичные идемпотенты частичной полугруппы (M(B), П). Тогда, следующие условия эквивалентны:

1) уравнение A П X = B имеет решение;

2) уравнение X П A = B имеет решение;

3) A С B.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Поплавский В. Б. О приложениях ассоциативности дуальных произведений алгебры булевых матриц // Фундаментальная и прикладная математика, 2011/2012, Т. 17, вып. 4, С, 181-192 (Translation: Poplavski V.B. On applications of associativity of dual compositions in the algebra of Boolean matrix // J, of Mathematical Sciences, N. Y. Springer, 2013. Vol. 191, № 5. P. 718-725).

2. Поплавский В. Б. Об идемпотентах алгебры булевых матриц // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 2. С. 26-33.

3. Кум,а,ров В. Б. Решетка идемпотентных матриц над дистрибутивными решетками // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т. 13, вып. 4. С. 121-144.

4. Щекатурова О. О., Ярошевич В. А. О свойствах булевых матриц // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 4, ч. 2. С. 137-142.

УДК 519.8

В. В. Розен

ДОПУСТИМЫЕ ИСХОДЫ В ИГРАХ С ОТНОШЕНИЯМИ ПРЕДПОЧТЕНИЯ

Цель данной работы состоит в распространении принципа допустимости на класс игр с отношениями предпочтения. Основным результатом является теорема 1, дающая достаточные условия существования допустимых исходов в играх с отношениями предпочтения игроков [1, 2].

Основным теоретико-игровым принципом оптимальности является принцип равновесия по Нэшу. Однако поскольку принцип равновесия обладает универсальной реализуемостью только в смешанных стратегиях (представляющих собой вероятностные меры на множествах чистых стратегий игроков), в теории игр были предложены также другие принципы оптимальности, важнейшим из которых является принцип допустимости ситуации или исхода игры [3, 4].

Формально игра с отношениями предпочтения общего вида может быть задана в виде набора:

G = (N, (Xi)iGN, A, (pi)iGN,F), (1)