О некоторых свойствах вторичных идемпотентных булевых матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ вторичных ИДЕМПОТЕНТНЫХ БУЛЕВЫХ МАТРИЦ В. Б. Поплавский (г. Саратов) E-mail: [email protected]

Пусть M(B) - множество матриц всевозможных конечных размеров с элементами из произвольной булевой алгебры B, на котором операции объединения U, пересечения П, дополнения / и частичный порядок С определяются для матриц одинаковых размеров поэлементно. Назовем конъюнктным произведением матриц A и B, согласованных размеров m х n и n х k соответственно, матрицу C = A П B размера m х k с элементами Cj = [JП=1 (A| П Bj). Дизъюнктное произведение A U B определяется дуальным образом: A U B = (A; П B')'.

Пары (M(B), П) и (M(B), U) образуют частичные полугруппы относительно частичных, то есть определенных не для каждых пар матриц, бинарных операций.

Дополнение булевых матриц , в силу равенств (A П B) = A'U B/ и (A U B) = A; П B', является изоморфизмом частичных полугрупп (M(B), П) и (M(B), U). Обозначим результат транспонирования матрицы A через AT. Очевидно, что (A П B)T = BT П AT и (A U B)T = BT U AT. Положем также, что A/T = (AT) = (A')T.

Символом E будем далее обозначать квадратные матрицы с единицами 1 на главной диагонали и нулями 0 на остальных местах, где 0 и 1 - нуль и единица булевой алгебры B. При этом соответствующий контексту размер матрицы E указывать не будем.

Определение 1. Матрица A называется первичным П— идемпотентом, если E ^ A = A П A, и вторичным П— идемпотентом частичной полугруппы (M(B), П), если E С A = A П A.

Для частичной полугруппы (M(B), U) первичные и вторичные U— идемпотенты определяются дуальным образом, то есть матрица A = = A U A называется первичным U—идемпотентом, если A ^ E', и вторичным U—идемпотентом, если A С E/.

Любой булевой матрице произвольного размера соответствуют вторичные идемпотенты правого типа: AR = A U A/T, AR = (AR)/T = = A П A/T и левого типа: AL = A/T U A, AL = (AL)/T = A/T П A. Причем матрицы AR и AL являются вторичными П— идемпотентами, а Ar и A£являются вторичными U—идемпотентами.

Доказательство следующего утверждения можно найти в [1] и [2].

Теорема 1. Пусть А - идемпотент частичной полугруппы (М(Б), П). Матрица А является первичным П-идемпотентом тогда и только тогда, когда А ^ А* и А ^ Ас, и является вторичным П-идемпотентом тогда и только тогда А = А* = Ас.

Аналогично, если А - идемпотент частичной полугруппы (М(Б), и), то А является первичным и-идемпотентом тогда и только тогда, когда А* ^ А и Ас ^ А, и является вторичным и-идемпотентом тогда и только тогда А = А* = Ас.

Следующие равенства проверяются непосредственно и указывают свойства вторичных идемпотентов.

Теорема 2. Для любой булевой матрицы выполняются равенства: Ас = (Ас)/Т = (А/Т)* = Ас и Ас = Ас и Ас =

= (Ас)с = (Ас)* = (Ас )с = (Ас)*, А* = (А*)/Т = (А/Т)с) = А* и А* = А* и А* = = (А*)* = (А*)с = (А*)* = (А*)с

Свойства Ас и А* записываются аналогично двойственным образом.

Известно, что вторичные идемпотенты играют главную роль в вопросах разрешимости простейших матричных уравнений, делимости, регулярности матриц, порождаемости односторонних идеалов, поиска транзитивно-рефлексивных замыканий и пр.[1, 2]. Вторичные идемпотенты изучались также в [3, 4].

В следующих утверждениях обсуждается взаимное расположение матриц С, С/Т и им соответствующих вторичных П- и и- идемпотентов в двусторонних главных идеалах (О- классах) частичной полугруппы (М(Б), П).

Теорема 3. Пусть А - вторичный П-идемпотент, а В - вторичный и-идемпотент, соответствующие одной и той же матрице С. Если А и В порождают один и тот же двусторонний главный идеал частичной полугруппы (М(Б), П), то матрицы С и С/Т порождают тот же двусторонний главный идеал.

Если Сс = А и Сс = В порождают один и тот же левый главный идеал частичной полугруппы (М(Б), П), то матрица С порождает тот же левый идеал, а, если Сс = А и Сс = В порождают один

и тот же правый главный идеал частичной полугруппы (M(B), П), то матрица C'T порождает тот же правый идеал.

Соответственно, если CR = A и CR = B порождают один и тот же левый главный идеал частичной полугруппы (M(B), П), то матрица C'T порождает тот же левый идеал, а, если CR = A и C = B порождают один и тот же правый главный идеал частичной полугруппы (M(B), П), то матрица C порождает тот же правый идеал.

Примером таких главных идеалов частичной полугруппы (M(B), П) в случае тривиальной булевой алгебры B = {0,1} может служить двусто-

й - ■■ - ( 1 0\ ( 0 1 \

ронний главный идеал, порожденный матрицами I о ц ) и I i о ),

которые являются вторичными П—идемпотентом и U—идемпотентом соответственно.

Библиографический список

1. Поплавский В. Б. О приложениях ассоциативности дуальных произведений алгебры булевых матриц // Фундаментальная и прикладная математика. 2011/2012. Т. 17, вып. 4. (Translation: Poplavski V. B. On applications of associativity of dual compositions in the algebra of Boolean matrix // Journal of Mathematical Sciences. Springer, New York, 2013. Vol. 191, № 5.)

2. Поплавский В. Б. Об идемпотентах алгебры булевых матриц // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика.

2012. Т. 12, вып. 2.

3. Кумаров В. Б. Решетка идемпотентных матриц над дистрибутивными решетками // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т. 13, вып.4.

4. Щекатурова О. О., Ярошевич В. А. О свойствах булевых матриц // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика.

2013. Т. 13, вып. 4, ч. 2.