Разложение конечного детерминированного автомата в конечный ряд по системе функций Уолша Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.95

С. И. Поликарпов

РАЗЛОЖЕНИЕ КОНЕЧНОГО ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО АВТОМАТА В КОНЕЧНЫЙ РЯД ПО СИСТЕМЕ ФУНКЦИЙ УОЛША

В статье рассматривается метод представления конечного детерминированного автомата Мура в виде композиции простейших автоматов. Это достигается путём разложения геометрического образа исходного автомата в конечный ряд Фурье-Уолша по системе функций Уолша и сопоставления каждой из этих функций автомата, геометрический образ которого совпадает с данной функцией.

Распространенные способы задания автоматов (таблицы, матрицы, системы канонических логических уравнений) основываются на рекурсии: последовательно определяются такты функционирования автомата и указываются правила рекурсивного совмещения тактов в процессе функционирования. Указанными способами задания автоматов явно выделяются только начальные фрагменты возможных вариантов функционирования. Для того чтобы заменить рекурсивное задание законов функционирования автомата явным определением функций переходов и выходов на всей оси абстрактного времени, в работах В. А. Тверд охле-бова предложено и развито представление автоматов геометрическими образами в специальных словарных геометриях и исследованы свойства геометрических образов [1, 2]. На содержательном уровне геометрический образ можно считать ломаной линией.

В данной работе исследуются периодические геометрические образы конечных детерминированных автоматов Мура с периодом N = 2n, (n = = 1, 2,...). Для этого элементы автоматного отображения ps : X* ^ Y*, соответствующего инициальному автомату Мура A = (S, X, Y, 6, X, s0), систематизируются в геометрический образ по предложенным в работе [1] правилам. Представление периодического геометрического образа рядом по системе функций Уолша осуществляется на основе разложения его периода.

Функции Уолша можно определить через функции Радемахера. Функция Радемахера г-го порядка определяется следующим образом [3]:

Ti(x) = (-1)Xi = cos nxi, где xi = 0,1 есть г-й разряд двоичного представления переменной x.

Функции Уолша в форме Пэли - это действительные функции, определяемые как произведение степеней функций Радемахера:

где рг - разрядные коэффициенты в двоичном предетавлении числа р; тогда

Функции Уолша обладают следующими свойствами:

1. В функции Уолша переменные р и х входят симметрично.

2. Функции Уолша - периодические с периодом N = 2П.

3. Функции Уолша имеют нулевое среднее значение на множестве точек х = 0,1, 2,..., N — 1.

4. Система функций Уолша является ортогональной на множестве точек х = 0,1, 2,..., N — 1:

5. Поскольку на интервале определения N = 2П в систему функций Уолша входит N ортогональных функций, то она является полной.

Пусть А = (5, X, У, А), где £ = {зь ..., 55}, X = {0,1, 2,3}, У =

= {0,1, 2, 3,4}, - конечный детерминированный автомат Мура. Присвоим первым N словам на оси X * следующие ном ера: 0,1,..., N — 1. Геометрический образ 750 исходного автомата заменяется его разложением в ряд по системе функций Уолша:

ра/(р, х) = [г!(х)]р"[г2(х)]Рп-1... [гп(х)]Р1,

ра/(0, х) = 1, ра/(1, х) = п(х), ра/(2, х) = г2(х), ра/(3,х) = г:(х)г2(х),

ра/(4, х) = г3(х), ра/(5,х) = г1(х)гз(х), ра/(6,х) = г2(х)г3(х), ра/(7,х) = г1(х)г2(х)г3(х).

(1)

если а = Ь, если а = Ь.

р=0

при этом значения суммы ряда в точках 0,1,..., N — 1 точно совпадают со значениями геометрического образа, а коэффициенты ср можно подсчитать, используя свойство ортогональности функций Уолша:

1

ср = N^ = Pal(P,x)F (x) (3)

x=0

В соответствии с предлагаемыми принципами интерпретации и совмещения структуры ряда (2) со структурой автомата каждую базисную функцию из системы (1), входящую в ряд (2), можно рассматривать как геометрический образ некоторого конечного детерминированного автомата Мура.

Каждая базисная функция системы (1) является Л -периодическом, определим значения этих функций на первых N точках оси абсцисс. Для каждой новой целочисленной функции y¿(x), i = 0,..., N — 1 получим N значений в точках 0,1,..., N — 1, по которым строятся геометрические образы, соответствующие каждой из базисных функций. Далее по этим геометрическим образам однозначно восстанавливаются автоматы A0,... ,An—i- А так как каждая функция Уолша принимает лишь два значения: 1 или -1, то эти автоматы легко строятся, и изучать их свойства гораздо удобнее [4].

Функции выходов автоматов A0,..., An—i определяются формулами:

Ai(Si0) = y¿(x), где i = 0,..., N — 1. (4)

Функции переходов этих автоматов могут быть выбраны совпадающими с функцией переходов исходного автомата . Таким образом, базисные автоматы A0,..., An—i получены разложением в ряд Фурье геометрического образа Ys и выделением в ряде Фурье-Уолша соответствующих автоматам компонент.

Композиция автоматов A0,..., An—i, где элемент Е определяется равенством

As(ss0, x) = С0У0(х) + ciyi(x) + ... + cN—iyw—i(x), (5)

A

В геометрическом образе автомата функциональная зависимость представлена как автоматное отображение, то есть отображение с изменяющимся параметром (изменяющимся состоянием), что позволяет каждую функцию pal (p, x) преобразовывать в автомат Ap с конкретным множеством состояний.

Следовательно, в рассматриваемой композиции все компоненты -автоматы и результат композиции - автомат.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Твердохлебов В. А. Основные свойства геометрических образов автоматов : сб. науч. тр. ; ИПТМУ РАН. Саратов, 2004. 192 с.

2.Твердохлебов В. А., Епифанов, А. С. Представление автоматных отображений геометрическими структурами. Саратов : Научная книга, 2013. 204 с.

3. Трахтпман Л. Л/.. Трахтпман В. А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М, : Сов. радио, 1975. 208 с.

4. Поликарпов С. И. Представление автомата рядом Фурье в задачах диагностирования и управления. Информационные технологии в науке, производстве и социальной сфере : сб. науч. тр. Саратов : Научная книга, 2005.

УДК 512.554+512.643

В. Б. Поплавский

ДЕЛИМОСТЬ ИДЕМПОТЕНТОВ ПОЛУГРУППЫ

БУЛЕВЫХ МАТРИЦ

В этой статье естественным образом определяются два типа идемпо-тентов частичной полугруппы булевых матриц всевозможных размеров _ перВИЧНЬ1Х и вторичных. Доказывается, что правая делимость вторичных булево-матричных идемпотентов влечёт их левую делимость, и наоборот. Показано также, что этот факт прямо связан с булевым частичным порядком "включения"С на множестве булевых матриц.

Обозначим через М(В) множество матриц всевозможных конечных размеров с элементами из произвольной булевой алгебры В, па котором операции объединения и, пересечения П, дополнения / и частичный по-С

Конзюнктным произведением матриц согласованных разме-

ров т х ми х к соотв етственно, назовём матрицу С = А П В размера т х к с элементами С] = УП=1 (А| П В]).

М( В)

пары матриц операцией П, образует частичную полугруппу ( М(В), П).

А Ат Очевидно, что (А П В)т = Вт П Ат. Положем также, что А/Т = (Ат) = (А')т.

Символом Е будем далее обозначать квадратные матрицы с едини-

1

0В

Е