CC BY
25
состояний. Следовательно, в рассматриваемой композиции все компоненты автоматы и результат композиции автомат.
Схема композиции базовых автоматов, соответсвующей автомату А
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Твердохлебов В. А. Основные свойства геометрических образов автоматов // Проблемы точной механики и управления: сб. науч. трудов ИПТМУ РАН. Саратов, 2004.
2. Поликарпов С. И. Представление автомата рядом Фурье в задачах диагностирования и управления // Информационные технологии в науке, производстве и социальной сфере: сб. науч. трудов. Саратов, 2005.
3. Хемминг Р. В. Численные методы. М,, 1972. УДК 514.133
Л. Н. Ромакина
О ПЛОЩАДИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА САККЕРИ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ
Многовековые попытки доказательства пятого постулата Евклида обогатили науку и новыми методами, и новыми объектами исследования. Одним из таких объектов является четырехугольник Саккери (или четырехугольник Хайяма) двупрямоугольник с равными боковыми ребрами, с помощью которого была опровергнута «гипотеза тупого угла» [1]. На гиперболической плоскости Н положительной кривизны [2] можно построить аналогичные четырехугольники, причем различных типов. В работе докажем теорему о площади эллиптического четырехугольника Саккери плоскости Н.
Пусть на плоскости Н А, 5 - точки эллиптической прямой ш, А0, В0 -ортогональные проекции точек А, В на эллиптическую прямую /, отличную от прямой ш. Простую замкнутую двустороннюю ломаную АВВ0А0
с ограниченной ею не содержащей точек абсолюта областью плоскости Н назовем эллиптическим, двупрямюугольником,. Звенья ломаной, отрезки, циклически соединяющие точки А, В, В0, А0, назовем ребрами двупря-моугольника АВВ0А0. Ребро А0В0, ортогональное смежным с ним ребрам, назовем основанием двупрямоугольника АВВ0А0. Ребра, смежные с основанием, назовем боковыми ребрами данного двупрямоугольника.
Эллиптический двупрямоугольник с равными боковыми ребрами назовем эллиптическим четырехугольником Саккери плоскости Н.
Теорема. На плоскости Н действительного радиуса кривизны р площадь Б эллиптического четырехугольника Саккери с основанием длиной а и боковыми ребрами длиной Н может быть вычислена, по формуле
0 1+tg f яЬ к Б = р21п & 2р р
а 2р а 2 р
1 - tg 2Р вь *
к •
(1)
Доказательство. Пусть АВВ0А0 - эллиптический четырехугольник Саккери с основанием А0В0 па прям ой I (рисунок). По определению и условиям теоремы АА0±А0В0, ВВ0±А0В0, |АА0| = |ВВ0| = Н, |А0В0| = а. Обозначим N (М) - середину основания А0В0 (ребра АВ на прямой ш). Прямая MN - общий серединный перпендикуляр ребер А0В0, АВ. Четырехугольники AMNA0, BMNB0, составляющие четырехугольник АВВ0А0, симметричны относительно прямой М^ следовательно, имеют равные площади.
Для вычисления площади используем гиперциклическую динат, введенную в работе [2 перциклу ш(1,Н) с базой I и жена часть гиперцикла ш и
50 четырехугольн ика AMNA0 ортогональную систему коор-Точки А, В принадлежат ги-Н
абсолютпая овальная линия 7).
Во N Ао
Эллиптический четырехугольник Саккери
Выберем канонический репер Я* = {А1, А2, А3, Е} первого типа плоскости Н так, чтобы его вер шина А3 совпала с центром гипе рциклаш, то-
гда первые две вершины попадут на прямую L Вершину A\ совместим с точкой N. Точке Ao на прям ой l можно присвоить координаты (t : 1 : 0). Единичную точку E репера расположим так, чтобы ее ортогональная проекция E12 на прямую l принадлежала отрезку AiA2, содержащему
Ao E
(A1A2AoE12) > 0. Записывая указанное неравенство в координатах, получим t > 0.
Поскольку |AoN| = а/2 < п/2, то по второй формуле (8) работы
a t
cos
2р лД^+г'
Откуда
а
4 = (2)
Точка А принадлежит прямой А0А3, поэтому ее можно задать координатами (4 : 1 : с) с > 0. Поскольку |АА0| = Н, по первой формуле (8) [1]
, Н -^2 + 1 еп — =
Р Vt2 + 1 - c2'
Откуда с учетом выражения (2) находим
th h
c = ^т. (3)
sin
Прямая m = AB ортогональна прямой NA3, значит A2 G m. В репере R* прямую m при условии (3) можно задать координатами (0 : 0 : -1), где
th h
0 =-Рг. (4)
cos 2Р
Прямую NA3 (l) примем за координатную ось Ou (Ov) гиперциклической системы координат Ch и по формулам (25) [2] запишем уравнение прямой m: 0 cos u ch v = sh v. В системе координат Ch облаеть D изменения параметров u, v, соответствующая четырехугольнику AMNAo, задана неравенствами:
a
0 < u < uo = —, 0 < v < vo = th-1 (0 cos u),
где значение 0 определено выражением (4), значение vo - уравнением прямой m, y = th-1(x) - функция, обратная к ф ункции y = th(x).
По формуле (32) [2] находим площадь So четырехугольника AMNA0:
So = p2 / I ch v du dv = —ip2 arctg ( i th — sh — ' d V 2P P,
p2 1+tg f Sh h p & 2P P
$0 = — 1п . .
0 2 1 - tg f яЬ ^
О 2р р
Площадь $ четырехугольника Саккери АВВ0А0 вдвое больше площади четырехугольника АМЖА0. Таким образом, справедлива формула (1).
Длина Ь противоположного основанию ребра четырехугольника Саккери может быть выражена (см. [3]) через длину а основания и длину Н бокового ребра по формуле
Ь 1 о • 2 а I 2 Н /гч
сов- = 1 - 2вт2 — сЬ-. (5)
р 2р р
По формулам (1), (5) найдем формулу выражения площади $ эллиптического четырехугольника Саккери плоскости Н через длины его небоковых ребер:
S = p2 ln
cos т- + \ cos - — cos -2p v p p
cos — — \ cos - — cos -
2p v p p
Теорема доказана.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Погорелое А. В. Основания геометрии. 3-е изд. М,: Наука, 1968.
2. Ромакина Л. Н. Теорема о площади прямоугольного трехреберника гиперболической плоскости положительной кривизны // Дальневоет, мат. журн, 2013. Т. 13, № 1. С .127-147.
3. Romakina L. N., Besshaposhnikova L. S. Regular polygons, inscribed in hypereveles of a hyperbolic plane of positive curvature // Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях: тез. докл. междун, конф,, посвящ. 50-летию мех.-мат. фак. 17-22 апр. 2011. Харьков: Изд-во ФЛП Вировец А.П.; Изд. группа «Апостроф», 2011. 135 с.
