ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ В ПОЛУПЛОСКОСТИС УЧЕТОМ МАЖОРАНТЫ РОСТА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 13. № 4 (2021). С. 8-16.

УДК 517.53

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ В ПОЛУПЛОСКОСТИ С УЧЕТОМ МАЖОРАНТЫ РОСТА

Г.А. ГАЙСИНА

Аннотация. В статье речь идет о представлении аналитических в полуплоскости По = {z = х + iy: х > 0} функций рядами экспонент с учетом заданного роста.

В теории рядов экспонент одним из основных является следующий наиболее общий результат А.Ф. Леонтьева: для любой ограниченной выпуклой области D найдется последовательность {Ага} комплексных чисел, зависящая только от данной области, такая, что любую функцию F, аналитическую в D, можно разложить в ряд экспонент F(z) = П=1 a-neXnZ (сходимость — равномерная на компактах из D). Позже подобный результат о разложении в ряды экспонент, но с учетом роста, также был получен А.Ф. Леонтьевым для пространства аналитических функций конечного порядка в выпуклом многоугольнике. Им при этом было показано, что ряд из модулей 1 \апz\ имеет ту же оценку сверху, что и исходная функция F. Этот факт в 1982 году был перенесен A.M. Гайсиным на полуплоскость П+.

В настоящей статье исследуется аналогичный случай, когда в качестве функции сравнения берется некоторая убывающая выпуклая мажоранта, не ограниченная около нуля. Для этого привлекаются методы оценок, основанные на преобразованиях Ле-жандра.

Доказано утверждение, а именно теорема 2.2, которое обобщает соответствующий результат A.M. Гайсина о разложении аналитических в полуплоскости функций с учетом порядка роста в ряды экспонент.

Ключевые слова: аналитические функции, ряды экспонент, мажоранта роста, било-гарифмическое условие Левинсона.

Mathematics Subject Classification: 30D10

1. Введение

Статья посвящена задаче разложения аналитических в полуплоскости функций в ряды экспонент с учетом роста, определяемым некоторой выпуклой мажорантой.

Пусть Д - выпуклая область в комплексной плоскости С А(О) - пространство аналитических в И функций с топологией равномерной сходимости на компактах из И.

В теории рядов экспонент одним из основных является следующий результат А.Ф. Леонтьева (см. [1, гл. V, §3, п. 1]).

G.A. Gaisina, Representation of analytic functions by exponential series in half-plane with

given growth majorant.

© Гайсина Г.А. 2021.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда №21-11-00168, https://rscf.ru/project/21-ll-00168/. Поступила 22 июня 2021 г.

Пусть D - ограниченная выпуклая область. Тогда имеется поеледовательноеть |Ага}, зависящая только от области D, такая, что любую функцию F из A(D) можно в D разложить в ряд экспонент

те

F (z) = ^ anex"z.

п= 1

В данной теореме последовательность показателей \п (п = 1, 2, ...) выбирается как простые пули целой функции L экспоненциального типа и вполне регулярного роста с подходящими оценками для |L'(An)| снизу. Такая целая функция всегда существует (см. [1, гл. IV, §6, п. 2]). В этой связи напомним, что задача о существовании целых функций с заданными асимптотическими свойствами в наиболее общем виде решена в [2], а в [3] этот результат был уточнен как в смысле оценок целой функции, так и размеров исключительных множеств (см. [4]).

В [1] показано также, что любую целую функцию Ф можно во всей плоскости представить рядом экспонент

те

Ф(г) = ^ Anev"z,

п= 1

причем показатели ип (п = 1, 2, ...) (их можно выбрать как минимум на трех лучах) являются нулями целой функции L уточненного порядка р(г), Ишг^те р(г) = 1 (см. [1, гл. VIII, §1, п. 3]).

Особый интерес представляют собой вопросы представления рядами экспонент в бесконечных областях D, D = C. В [1] рассмотрен случай таких областей специального вида. Позже выяснилось, что любую функцию F G A(D), где D - произвольная бесконечная область, можно в D представить рядом

те

F(z) = Y, ^Z

п= 1

(см. [5]). Это вытекает из результатов работ [3], [6] об аппроксимации субгармонических функций логарифмом модуля целой функции. Нас же будет интересовать здесь случай полуплоскости, который рассмотрен в работе [1] отдельно.

Теорема А. Пусть F - функция, регулярная в левой полуплоскости

П- = {z = х + гу: х < 0}.

Тогда имеется, не зависящая от F последовательность {^п}, ^п > 0 lim^^oo ^ = т, 0 < т < ж (р > 1 - любое), такая, что

те

F(z) = Bne^nZ + целая, функция, z G П-. (1.1)

п= 1

Отметим, что в данной теореме требование р > 1 вызвано существом дела: показатели Рп (п = 1, 2, ...) не могут быть нулями целой функции экспоненциального типа (см. [1, гл. VIH, §1, п. 3]).

Теорема А выводится из утверждения (см. [1, гл. VIH, §1, п. 3]):

Пусть F - функция, регулярная в полу плоскости П-. Тогда имеется фу нкция /, регулярная в П- и непрерывная в замыкании П0 , и удовлетворяющая в П0 условию f (z) = О

при z ^ ж, существуют целая функция М(А) = J^reо с ростом не выше первого

Ф

F(z) = М(D)f (z) + Ф(г), z G П-.

Напомним, что дифференциальным оператором бесконечного порядка М(D) можно действовать на функцию f во всей области регулярности (в данном случае - в П-), Действительно, функция М(Л) растет не быстрее целой функции первого порядка минимального типа, а потому

\im = 0. (1.2)

п—>оо

Пусть а - произвольная точка из П0 . Так как f регулярна в некоторой окрестности {z: \z — а| < р} точки а, то sup|t_a|</31 f(t)\ = К < то, в силу чего

I рК .л

< 1 +, Iz — aI<-. п < (р)n+1 1 1 < 2

Но тогда, учитывая (1.2), для любого е > 0 имеем

Icn f(п)Ш<А(е)К (^П , Iz — а|< Р, п > 0,

и потому

А(е)К

£ К Гп( z)\<AW £ (2)

п=0 п=0 ^ Р ' У

2е -

точки а £ П_. Кроме того,

если д = < 1. Значит, данный ряд равномерно сходится в достаточно малой окрестности

\М(D)f(z)\<B max |f(t)l, \z — a\ < P-.

\t—a\<p P

В статье обсуждается следующая задача.

Пусть рост функции F, F £ А(П-), вблизи мнимой оси контролируется в определенном смысле некоторой мажорантой Н: [— 1, 0) ^ (0, Н(х) \ 0 при х ^ 0—, Требуется

получить разложение вида (1.1), чтобы рост ряда из модулей J^CC 1 \Bne^nZ\ также был

Н

Отметим, что в терминах порядка роста данная задача впервые была исследована А.Ф. Леонтьевым в [7] для выпуклых многоугольников, а позже - A.M. Гайсипым в [8] для полуплоскости.

2. Необходимые сведения

Вкратце остановимся на некоторых свойствах преобразования Лежандра,

Пусть R+ = [0, то), Н: R+ ^ R+ - убывающая функция, Н(у) ^ 0 при у ^ то, Н(у) ^ то при у ^ 0+. Выберем точку d> 0 из условия m(d) = 1, где т(у) = 1пН(у).

Рассмотрим нижнее преобразование Лежандра функции т(у):

р(х) = (Lm)(x) = inf [т(у) + ух], х> 0. (2.1)

0<y<d

Как нижняя огибающая возрастающих линейных функций, ц>(х) = (Lm)(х) - вогнутая и возрастающая на R+ функция, ц>(х) > 0, Ясно, что ц>(х) ^ то при х ^ +то.

Наибольшая выпуклая миноранта h(y) функции т(у) называется верхним преобразованием Лежандра функции р(х):

h(y) = (U^)(y) = 8ир[^(х) — xy], у>

х>0

Лемма 2.1 (см. [9], [10]). Интегралы,

do d сю

J In h(y)dy, J lnm(y)dy, J ) dx 0 0 1

сходятся и расходятся, одновременно (точка ¿о выбрана из уеловия Н(в,0) = 1).

В силу этой леммы и для упрощения дальнейших рассуждений, можем считать, что функция т(у) сама выпукла. Так что в этом случае Ъ(у) = т(у).

Пусть функция Н (она введена выше) удовлетворяет условию Левинеона

л

Jlnln Н(у)йу< то. (2.2)

о

Тогда функция р обладает свойетвами: 0 < р(х) ^ то, р(х) = о(х) при х ^ то, более того,

те

С

X2

-dx < то. (2.3)

i

Обычно предполагается, что для любого k G N

.к ,

lim у Н(у) = то.

Тогда, как легко проверить

lim

ln X

Верпа (см. [11])

lim = то. (2.4)

Лемма 2.2. Если функции т(у) = ln Н(у) (у > 0) и т(е s) (s G R) выпуклы, то функция р логарифмически выпукла (т.е. р(ег) выпукла по t > 0).

Лемма легко проверяется в случае, когда т(у) - функция класса C2(R+), Действительно, пусть

р(х) = iní[m(y) + ух] = т(у(х)) + у(х)х,

у>0

где функция у = р(х) единственным образом определяется из уравнения т'(у) = —х (так как т(у) - убывающая выпуклая функция, то у(х) ^ 0 при х ^ +то). Далее, [р(еь)]' = хр'(х), [(^(е1)1]1 = х[р'(х) + xp"(x)].J х = еь. Нас интересует знак выражения = р'(х) + хр"(х)^о р'(х) = у, р"(х) = ^ = -^уу, ибо т'(у) = —х, у = у(х). Значит,

V ч . ,ч ^ . х ут'' (у)+ т' (у)

<р (х) + хр (х) = у +-— =-—-.

—т' (у) т" (у)

Но т"(х) > 0 (т — выпукла). Поскольку m(e-t) выпукла, то

0 < [m(e-t)]'' = у[т"(у)у + т'(у)], у> 0.

Отсюда т"(у)у + т'(у) > 0, Значит, р'(ж) + хр"(х) > 0, т.е. р(еь) выпукла. Нам понадобится и следующая (см. [12])

Лемма 2.3 (Y, Domar). Если функция р, 0 < р(х) t ж, удовлетворяет условиям (2.3), (2-4), причем, р логарифмически выпукла, то существует четная, целая, функция экспоненциального типа,

те

(Z) =

п=0

принадлежащая классу сходимости, т.е. такая, что

те

Г ln G(x)

G(z) = Y, a2nZ2n, a2n > 0 (z = X + iy),

X2

-dx < со,

причем

0 < ci < G(x)e~2ip(x) < с2\х\2к, \х\ > 1, (2.5)

где к Е N с^ и с2 - некоторые положительные постоянные, не зависящие от х1.

3. Разложение аналитических в полуплоскости функций заданного роста

в ряды ЭКСПОНЕНТ

Пусть П- = {z = х + гу: х < 0} П+ = {z = х + гу: х > 0} Через К0 обозначим класс функций F, обладающих свойствами:

1) F регулярна в П+;

2) F(z) ^ 0 при z ^ то в любой полуплоскости П+ = {z = х + гу: х > s > 0} равномерно относительно arg zw,

3) для любого s > 0

TF(s) = ^ i \F(z)\\dz\ < то.

Положим для F Е К0

11е.г=«>0

АЦ) = — [ ^ (г)е^ ¿г. (3.1)

2т ]

11е.г=«>0

Тогда верна формула обращения (см. [13, гл. VI, §1, п. 79])

^(г) = ! А(Ь)е-2*<И, z Е П+. о

Введем еще один класс функций. Будем говорить, что Р Е тогда и только тогда, когда Р регулярн а в П+, непрерывн а в П+ = {х = х + гу: х > 0} и удовлетворяет в П+ условию: при |г| ^ то

^(г)| = 0 () ■

В дальнейшем нам понадобится следующий результат М.В. Келдыша об аппроксимации голоморфных функций целыми функциями (см. [14]).

Пусть Г - кривая Жордана, начинающаяся и оканчивающаяся в бесконечности, Е - область, ограниченная линией Г / - голоморфная в Е функция, непрерывная на Е и Г (исключая бесконечно удаленную точку).

Каковы бы ни были положительные е и существует целая функция д, удовлетворяющая неравенству

I/(?) - дШ ехР -И1—

в Е (Е - замыкание Е). Верна

Теорема 3.1. Пусть Р Е К0, причем

ТР(в) < АРН(в), в> 0,

где Н: ^ Н - убывающая функция, Н(в) ^ 0 при 8 ^ +то, Н(в) ^ то при з ^ 0+, Н= е. Предположим, также, что

Иш вкН(в) = то (к — любое, к Е №, ► о

1 Если функция <р те удовлетворяет условию (2.3), то G удовлетворяет лишь оценкам (2.5).

а функции т(в) = 1п Н(в) (в > м т(е *) (Ь € К) выпуклы. Тогда существует целая функция

со

М(\) = ^2 1п |М(А)| <См^(1М),

п=0

функция / € К\, такие, что

Р(х) = М(Б)$(г) + Ф(г), ге П+,

где Ф - некоторая, целая, функция, <(г) (г = |А|) - нижнее преобразование Лежандра функции т(з), <(г) = о(г) при г ^ ж, причем << логарифмически, выпукла.

Доказательство. Функция Р принадлежит классу К0. Поэтому функция А(1), определенная формулой (3,1), непрерывна на К А(Ь) = 0 при Ь < 0, Она не зависит от « > 0, Оценим ее сверху.

Имеем: для Ь > 0 и любого 5 > 0

|А(;£)| <ТР(в)е8* < Ар вхр[т(з) + вг], т(в) = 1пН(в).

Отсюда

|А(г)1 < Аре*®, г> 0, (3.2)

где <(Ь) = (Ьт)(Ь) = Шо<.в<(1[т(8) + <р - вогнутая возрастающая при Ь > 0 функция,

1п

для всех Ь > 0,0 < в < очевидно, <(Ь) — вЬ < т(в). Отсюда

т*(в) = вир[<(£) — Ьв] < т(з), 0 < з < с1.

Следовательно, <(Ь) = о(£) при £ ^ ж. Действительно, в противном случае существует £0 > 0, найдется последовательность 1п, Ьп ^ ж, такие, что <( 1п) > £01п. Но тогда имели бы т*(в) = ж па (0, е0), что невозможно.

Пусть С - четная целая функция из леммы 2,3, Она удовлетворяет оценкам (2,5), Поэтому с учетом (3,2)

' ' Ай

С®

Если принять во внимание условие (2,4), то <(Ь) > N> 1п(1 + Ь-), N > 2, Ь > ¿0, Следовательно,

< Арс{1ег> 0.

А( )

С(г)

< ВР^, 1 > 0. (3.3)

Теперь рассмотрим функцию

ад = I г е п+.

0

Из (3,3) следует, что функция Ф регулярна в П+ и непрерывна в П+, В качестве искомой функции М возьмем С:

те

М(А) = С(А) = ^ а2пА2п, а2п > 0.

п=0

Тогда

_ I \ л _ 1-п \ __— ^

($>2 п^)

п=0

М (Б)е= > а2п^ е = С(1)е

Поэтому

М(D)V(z) = A(t)e-Ztdt = F(z), z e П+.

Таким образом,

F(z) = M(D)V(z), z e П+. К функции Ф применим теорему М.В. Келдыша, по лагая в ней Е = П+, Г = Ж (Ф регулярна в П°, непрерывна в П0), Тогда найдется целая функция д, такая, что

^(z) — g(z)| < exp (—|z|^ , z e П°.

Положим f (z) = Ф(г) — g(z). Тогдa f e K1 и

F (z) = M (D)-b(z) = M (D)f (z) + M (D)g(z).

Функция §(z) = M(D)g(z) - целая. Следовательно, F(z) = M(D)f (z) + z e П+. Осталось оценить рост целой функции М. Имеем:

те

|М(А)|< max IG(p)l = V a2nr2n, а2п > 0.

Учитывая (2,5), отсюда будем иметь

|М(А)| < c2r2кe2v(r) < c3e3<p(r), г > 0.

Таким образом,

lnМ(|А|) < СмР(|А|).

Теорема доказана, □

В качестве следствия докажем теорему разложения в ряд экспонент.

Теорема 3.2. Пусть F e К0, причем

TF(s) < AfН(s), s> 0,

где мажоранта Н удовлетворяет условиям теоремы (3.1). Тогда, имеется, не зависящая от F последовательность показателей |Ап} Хп > 0 lim^oo -П = Т, 0 < т < то

—п

(р > 1 - любое), такая, что

те

F(z) = ^^ Bne-XnZ + целая функция, z e П+,

п=1

причем, при некотором, k e N

те

Y ^пе-Kzl < внк{l) , * = ж + гУ e П+.

п=1

Доказательство. По теореме 3,1, имеем:

F(z) = М(D)f (г) + Ф(г), f e Къ (3.4)

Ф - целая функция. Поскольку f e К^ то (см. [1, гл. VIII, §1, п. 2]) в полуплоскости П°

те

f (z) = "Yj Апе-Хп2: + целая функция, (3.5)

п=1

где Хп > 0, lim^oo jw = т, 0 < т < ж, Р > 1 ~ любое, А°п = О(Х^ при п ^ ж, Так что из

xп

(3,4), (3,5) получим представление

оо

F(г) = ^^А°пМ(Хп)е XnZ + целая функция, ге П+. (3,6)

п

п=1

Оценим ряд из модулей

те

B(z) = ^ lBne~x"z|, Вп = АПМ(Хп), ze П0+.

п=1

Оценки для М(Лп) были получены в теореме 3,1, Учитывая их, имеем: |Вп| < 1Л2п+иеСм^(Хп) < -1 еЬм^к), п > 1, и> 0,

I п — п — ? — ? ?

Лп Лп

Ьм - постоянная, не зависящая от п. Но в (3,5) Лп таковы, что ЛП > т0п при некотором г0 > 0, п > 1. Выберем и таким, чтобы и > 2р. Тогда ЛП > т\п2, п > 10 < т\ < т0. Следовательно, для г € П+

те 1

В (г) < V"-2 ехр [Ьм<р(Лп) - Лпх].

т\п2

п=1

Отсюда при некотором к € N к > к0,

В (г) < В ехр [к(р(Л„) - Лпх] < Вект( *),

где т(х) = (иф)(х) - верхнее преобразование Лежандра функции <р.

Таким образом, если Тр (х) < АрН(х), то справедливо представление (3,6), причем

те

^|АпМ (Хп)е ~x"z\<BHk(

п=1

где В - положительная постоянная, к е N.

Теорема доказана, □

H F

мичеекому условию Левинсона

d

JlnlnH(x)dx< ж, (3.7)

о

то и мажоранта Hk(x) = BHk (|) для ряда из модулей в (3.6) подчинена условию (3.7). Этот момент имеет существенное значение в вопросах, связанных с нормальностью семейства голоморфных функций, а именно в теоремах типа Левинсона - Щеберга - Вольфа (см., например, в [9], [10]). Оказывается, если выполняется условие (3.7), то в некоторых случаях можно получить ответ на следующий вопрос: при каких требованиях целая функция в разложении (1.1) будет ограничена в вертикальной полосе {z = x + iy: |x| < 1}? Этот результат будет опубликован в другой статье.

Замечание 3.1. Пусть мажоранта H совпадает с функцией exp [(1)^], ß > 0? при 0 < s < 1 (в этом, случае d = 1). Именно эта функция используется как функция сравнения, при изучении класса, аналитических в полуплоскости П°° функций в терминах

-— lnlnTp (s) р = lim --—i-

«^0+ ln■

- порядок функции Тр(в).

Для функции т(з) = имеем: т"(в) = + 1)8-11-2 > 0. Значит функция т(з) выпукла. Функция т(е-*) тоже выпукла, ибо т(е-*) = е*^, í Е К. Кроме того, Н(в) ^ то при ^ ^ 0+ Н(в) ^ е при 5 ^ 1 — , Поэтому, согласно теореме 3,2, имеет место разложение (3,6), причем для некоторых В > 0 к Е N

, — ^nz i

< ВНк ( ^

п=1

©=**г

TF(s) < Ар exp

В(г)

Таким образом, если

то в (3,6)

В (г) < Веь( 1У, Ь = к1+Г

Теорема 3,2, тем самым, обобщает соответствующий результат из [8] о разложении аналитических в П+ функций с учетом порядка роста в ряды экспонент.

(1)'

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А.Ф. Лентьев. Ряды, экспонент. Наука, Москва (1976).

2. B.C. Азарин. О лучах вполне регулярного роста целой функции // Матем. сб. 79(121):4(8), 464-476 (1969).

3. Р.С. Юлмухаметов. Аппроксимация, субгармонических функций // Analysis Math. 11:3, 257-282 (1985).

4. К.П. Исаев, К.В. Трунов, Р.С. Юлмухаметов. Представление рядам,и экспонент функций в локально-выпуклых пространствах // Уфимск. матем. журн. 9:3, 50-62 (2017).

5. А.Ф. Леонтьев. Представление функций рядам,и экспонент. Диалог, Уфа (2017).

6. Р.С. Юлмухаметов. Асимптотическая аппроксимация, субгармонических функций // Докл. АН СССР. 264:4, 839-841 (1982).

7. А.Ф. Леонтьев. Ряды экспонент для функций с определенным рост,ом, вблизи границы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 44:6, 1308-1328 (1980).

8. A.M. Гайсин. Поведение суммы ряда, Дирихле вблизи границы, области регулярности. Диссертация ... к.ф.-м.н. Уфа: БГУ. 1982 г.

9. P. Koosis. The logarithmic Integral. I. vol. 12, Cambridge Stud. Adv. Math., Cambridge Univ. Press. 1988.

10. A. Beurling. Analytic continuation across a linear boundary // Acta Math. 153-182 (1972).

11. V. Matsaev, M. Sodin. Asymptoties of Fourier and Laplace transforms in weighted spaces of analytic functions // Алгебра и анализ. 14:4, 107-140 (2002).

12. Y. Domar. Closed primary ideals in a class of Banach algebras // Math. Scand. 7:1, 109-125 (1959).

13. M.A. Лаврентьев, Б.В. Шабат. Методы теории функций комплексного переменного. Наука, Москва (1987).

14. М.В. Келдыш. О приближении голоморфных функций целым,и функциями // Докл. АН СССР. 47:4, 243-245 (1945).

15. Г.А. Гайсина. Порядок роста суммы ряда, Дирихле: зависимость от, коэффициентов и показателей II Уфимск. матем. журн. 12:4, 31-41 (2020).

Галия Ахтяровна Гайсина,

Институт математики с ВЦ УФ! III РАН,

ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия

E-mail: gaisinaga@mail.ru