ПОРЯДОК РОСТА СУММЫ РЯДА ДИРИХЛЕ: ЗАВИСИМОСТЬ ОТ КОЭФФИЦИЕНТОВ И ПОКАЗАТЕЛЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 12. № 4 (2020). С. 31-41.

УДК 517.53

ПОРЯДОК РОСТА СУММЫ РЯДА ДИРИХЛЕ: ЗАВИСИМОСТЬ ОТ КОЭФФИЦИЕНТОВ И ПОКАЗАТЕЛЕЙ

Г.А. ГАЙСИНА

Аннотация. Исследуется оптимальность условий, при выполнении которых порядок суммы ряда Дирихле, сходящегося лишь в некоторой полуплоскости, может быть подсчитан при помощи определенной формулы (зависящей только от коэффициентов и показателей). Для неограниченных аналитических в единичном круге функций формула такого типа в разные годы независимо была получена рядом специалистов, в том числе Н.В. Говоровым (1959), Маклейном (1966) и М.Н. Шереметой (1968). Позже был введен аналог этого понятия и для рядов Дирихле, абсолютно сходящихся в какой-то полуплоскости. Но соответствующая формула для порядка ряда Дирихле большинством авторов была установлена при существенных ограничениях. Во всех предшествующих работах были указаны условия, которые оказались только достаточными для справедливости этой формулы. В настоящей работе найдены условия, которые являются не только достаточными, но и необходимыми для того, чтобы порядок любого ряда Дирихле из рассматриваемого класса мог быть вычислен при помощи той же формулы.

Ключевые слова: ряды Дирихле, полуплоскость сходимости, формула для порядка. Mathematics Subject Classification: 30D10

1. Введение

Целые функции являются непосредственным обобщением многочленов. Если

оо

f (z) = Y, *nZn (1)

п=0

— целая функция, по принципу максимума модуля имеем

Mf(r) =f max|/(z)| = maxl/(z)|.

\z\=r

Так что Mf (r) — неубывающая на [0, го) функция, причем если f (z) ^ const, то Mf (г), строго возрастая, стремится к +го при г ^ го. Для многочлена f степени п

ln Mf (г) lim — = п,

r^-x ln Г

G.A. Gaisina, Growth order of sum of Dirichlet series: dependence on coefficients and

exponents.

©Гайсина Г.А. 2020.

Работа выполнена в рамках реализации программы развития Научно-образовательного математического центра Приволжского федерального округа, дополнительное соглашение № 075-02-2020-1421/1 к соглашению № 075-02-2020-1421. Поступила 11 июля 2020 г.

а для целых трансцендентных функций отношение стремите я к то, Поэтому рост

ln Mf (г) сравнивают не с ln г, а с более быстро растущими функциями, например, со степенными, Поступая таким образом, Э, Борель пришел к понятию порядка р целой функции, полагая

-— ln ln Mf (г) р = lim --—^^.

г^те ln Г

Из сопоставления результатов Ж, Адамара (1893) и Э, Бореля (1896) было показано, что порядок целой функции (1) равен

-— п ln п

Р = lim Г"Й7—|. п^те ln |1/an|

Пусть функция f, определенная рядом (1), аналнтпчна только в круге D(0,1) = {z: |z| < 1} (в этом случае радиус сходимости ряда (1) равен единице). Будем предполагать, что функция f те ограничена в D(0,1). Так что Mf (г) ^ то при г \ 1,

Порядком р неограниченной аналитической в круге D(0,1) фупкции f называется величина

-— ln ln Mf (г) р = lim \.

rfl — ln (1 — г)

Для таких функций независимо Н.В, Говоровым (1959), Г, Маклейном (1966) и М.Н, Шереметой (1968), была установлена следующая формула [1]-[3]:

р — um ln+ ln+|ßn|

Р +1 n^<re ln п Если положить z = e-s (s = а + it), то имеем:

те

/ ^пL n=1

F(s) = f (e-s) = ac + > ^е-™. (2)

Так как при указанной замене полуплоскость П++ отображается в единичный круг И(0,1), то

М(а) = вир (а + й)| = М1 (г),

|4|<те

где а > 0,г = е-а < 1, Проверяется, что — 1п(1 — г) ~ — 1п а при г \ 1 (при этом, очевидно, о 0), Учитывая это, имеем:

1п1п М (а)

Р = Р^ = 11т---.

о-^о — 1п а

Таким образом, порядок р функции / в круге 0(0,1) равен соответствующей характеристике р^ роста ряда Тейлора-Дирихле (2), Ее называют обычным порядком или просто порядком функции Р — суммы ряда (2), Это наблюдение приводит к понятию порядка общего ряда Дирихле

те

^(в) = ^ апе-Кз, 8 = а + й, (3)

п=1

с произвольной последовательностью показателей Л = |Лп} (0 < \п ^ то), сходящегося абсолютно (или просто равномерно) в некоторой полуплоскости

П = (в = а + й: а>Ъ}, Ь Е К.

Таким образом, возникает задача о связи порядка функции аналитической в П, с коэффициентами разложения этой функции в ряд Дирихле (3),

Следуя работе [4] X, Бора, через ас, uaj аи будем обозначать абсциссы простой, абсолютной и равномерной сходимости ряда (3) соответственно. Как показал Г, Валирон

(см. И, [6]),

lim ^ < ас < ^ < Ga < lim ^ + L, (4)

где

l = nm^. (5)

Xn

Вообще говоря (в отличие от степенных рядов), величины ас, oa, аи могут быть различными, Как видно из соотношений (4), при L = 0 они все совпадут. Может оказаться, что аи = aa (тогда ряд (3) сходится только равномерно, а не абсолютно), В этом случае актуальна формула М. Кунияда [7]:

_ Т(х)

аи = lim -, Т (х) = sup

£

[х\<\п<х

ane-iXnt

где [ж] — целая часть числа х.

Если аи = — го, то сумма ряда Дирихле (3) представляет собой целую функцию F. В этой ситуации наиболее подходящей и удобной характеристикой роста функции F оказалось так называемое понятие Д-порядка ря, введенное Дж. Риттом (1928) [8], По определению,

-— lnln MF (а) ря = lim -,

—о

где величина MF(а) определена так же, что и выше1, В предположении, что aa = —го, т.е. когда ряд Дирихле (3) сходится во всей плоскости абсолютно, Дж, Риттом была доказана следующая формула, позволяющая вычислять ря (порядок по Ритту) через коэффициенты разложения:

1 ln |ап| ил

--= lim . (6)

Ря К ln An

В работе [10] этот результат был перенесен на случай полуплоскости П0, а в [11] — на ограниченную выпуклую область G С C, В последнем случае речь идет о рядах с комплексными показателями — рядах экспонент, — область абсолютной сходимости которых, как известно, всегда выпукла [9], В обоих случаях указаны достаточные условия, при выполнении которых имеют место аналоги формулы Ритта (6), зависящие еще и от опорной функции области сходимости.

Приведенные выше результаты работ [1]—[3] в свое время были обобщены для класса D0(A) аналитических функций, предетавимых рядами Дирихле (3), абсолютно сходящимися лишь в полуплоскости П0, В 1970-1980 гг. этой задачей занимались, в основном, математики Индии, Китая, а также Советского Союза, Более подробный обзор этих многочисленных исследований приведем позже. Суть этих работ заключалась, например, в том, чтобы найти ограничения на показатели ряда (3), при выполнении которых была бы верна формула

Pf тг- ln+ ln+ К1 ^

~ hm. --(7)

Рр + 1 п^те 1п А, для порядка

-— 1п1п мр (а) . .

рр = Иш -п м ; (а > 0)

- 1п а

(предполагается, что Мр(а) ^ го при а ^ 0). Эти требования па показатели Ап оказались самыми разными, порой неоправданно жесткими. При этом почти ни в одной работе не

'■функция ln Мр (а) является выпуклой по переменной а G R [9].

ставился вопрос о точности этих ограничений, В статье [12] все же было указано наиболее слабое условие на Xn, существенность которого подтверждалась и примером, однако частного характера, В относительно недавней работе [13], выполненной в Институте математики Чешской академии наук в 2012 г., результат работы [12] был передоказан, хотя и в несколько иных терминах (в этом мы убедимся ниже). Таким образом, эта достаточно простая, но безусловно важная задача по сей день продолжает привлекать внимание некоторых специалистов, но до сих пор является не доведенной до конца,

В настоящей статье, в частности, и будет доказана необходимая часть теоремы из статьи [12].

В работе А.Ф, Леонтьева [14] было введено понятие порядка р аналитической функции F в ограниченной выпуклой области G С С. В оду чае ко гда G — выпуклый многоугольник, им было доказано, что любую функцию F, аналитическую в G и удовлетворяющую в G оценке

I 14 Р + Е

IF(z)|< е(г) , г = ф) = inf lz — С|, (8)

г < rc(e), £ > 0 — любое, можно представить в области G рядом экспонент

те

F (z) = ^ aneKz,

n=1

причем так, что ряд из модулей будет удовлетворять той же оценке (8), При р > 1 этот результат был распространен P.C. Юлмухаметовым на произвольную выпуклую область [15],

Однако в работах [14], [15]

нельзя было ставить вопрос о какой-либо формуле типа (7), ибо нет единственности разложения в ряд экспонент, поэтому и нет формул для коэффициентов ряда, В этом как раз и отличие этого случая от полуплоскости.

Решение данной задачи представлено в работе [16], однако оценки для порядка р, полученные в [16], не точны. Недавно нами были получены неулучшаемые двусторонние оценки для этого порядка, но об этом речь будет идти в другой работе.

Одна из задач настоящей статьи — найти оптимальные условия на показатели ряда (3), при выполнении которых была бы верна формула для вычисления порядка в случае полуплоскости.

2. Теоремы типа Говорова Мак. ikhiia

1. Случай произвольных коэффициентов. Будем далее предполагать, что L = 0 (эта величина определена формулой (5)), ас = 0, Тогда ряд Дирихле (3) будет сходиться абсолютно и равномерно в полуплоскости Пс, а его сумма F будет апалитична в Пс, Считаем, что MF(а) ^ то при а ^ 0 гДе MF(а) = 8ир|4|<те |F(а + it)I (а > 0), Пусть, по-прежнему, Д0(Л) — класс всех аналитических в полуплоскости Пс функций, предетавимых в ней рядами Дирихле (3), Величина

-—lnln MF (а)

Pf = lim---

o4c — ln а

называется порядком суммы ряда Дирихле (3), Именно так порядок определяется, например, в работах [12], [17]-[20]. В [21], [22] порядок функции F G Д0(Л) определяется по формуле

-— lnln MF (а) pF = lim ■

04c — ln (1 — )'

что, очевидно, совпадает с введенным выше порядком, В перечисленных работах [18]—[22] без доказательства приводится формула

Ре у- 1п+ Ь+Н

Pf + 1 ln Л.

п

справедливость которой утверждается в них лишь при некоторых дополнительных ограничениях на показатели \п и коэффициенты ап ряда (3), Эти ограничения весьма разные, порой очень жесткие. Так, в [21], [22] предполагается, что последовательность Л имеет конечную верхнюю плотность, т.е.

lim — = т < го.

п^ж \п

Это условие, как будет видно, слишком сильное, С другой стороны, в [20] утверждается, что формула (9) верна при выполнении условий

т ln п — ln |ап| „ lim —— = lim —--= 0.

п^Ж \п п^Ж \п

Здесь же будет показано, что лишь при этих требованиях формула (9) не верна (см, также [12]), В статье [17] формула (9) доказана, но при

-— ln п

lim -—— = < го. (10)

п^<х ln Л,

п

В настоящей статье это условие может быть существенно ослаблено. Обозначим

-— 1п1п п а = Ит -—-—. 1п л„

Положим также

— ln+ ln+1 а,п | p = lim

1п Хп

В статье [18] утверждается, что если а < р, то р = --+1, т.е. верна формула (9), Недостатком этого результата является то, что условие а < р содержит дополнительное ограничение на коэффициенты ап ряда Дирихле (3), Поэтому, согласно [18], формула для порядка ре имеет место не для любой функции ^ из класса До (Л), Об этом и пойдет речь в пункте 2 настоящей статьи.

Равенство р = -¡++1 доказано в [12] при а = 0, А это условие слабее требования (10), Действительно, если 7 < го, то, очевидно, Ь = 0 и а = 0, Но существует последовательность Л, для штор ой а = 0 Ъ = 0, но 7 = го (достаточно положить \п = е^, п > 1),

В [12] показано еще следующее: существует последовательность Л с а > 0, существует функция Р € Д0(Л), для которой р = .

Наша цель — показать, что условие а = 0 па самом деле является необходимым. Верна следующая

Теорема 2.1. Для того чтобы, для любой функции Р € И0(Л) порядок рР вычислялся, по формуле

= ит 1п+ 1п+К|, (11)

рр + 1 1п Лп

необходимо и достаточно, чтобы, а = 0, т.е.

-— 1п1п п

Ит -—-— = 0.

п^гх 1п Л„

36

Г. А. ГЛ И СИ IIЛ

Из теоремы 1 как следствие вытекает формула Говорова-Маклейна-Шереметы для вычисления порядка р функции /, заданной в круге И(0,1) рядом (1),

Отметим, что в работе [13], опубликованной в 2012 г., приводится доказательство равенства

рР

^ = —ГГ рР + 1

в предположении а0 = 0, где

— 1п+ 1п(№ + 1)

а0 = 11т --—--= 0,

1п К

где Рк + 1 _ число то чек \п го полуинтер вала [к, к + 1), Но это утверждение есть на самом деле только достаточная часть теоремы, полное доказательство которой приведено в [12] А.М. Гайснным в 1981 г. Действительно, убедимся, что а0 = 0 в том и только в том случае, когда а = 0, В самом деле, если а = 0 т0; очевидно, а0 = 0, Действительно, пусть — ближайшая слева к (к 1) точка. Тогда

1п1п(рк + 1) ^ 1п1п] ^ 1п(к + 1) 1п1п] 1п к ~ 1п к ~ 1п к 1п

при ] ^ ж, Значнт, а0 = 0,

Обратно, пусть а0 = 0, Тогда для вся кого е > 0 при г > г0(е) имеем:

Рг + 1 < .

Пусть Хп Е [к, к + 1) Тогда прн г > г\(е) > г0(е)

к

п < п(г0) + ^ е}г < п(г0) + екк < 2АпеЛ".

г=го+1

Отсюда видно, что Ь = 0, Значнт, ас = аа = аи = 0, Более того, при п > п0(е)

1п п< 2\£п.

Значит,

-— 1п1п п 11т -—-— < е. п^те 1п лп

Поскольку е > 0 — любое, то отсюда заключаем, что а = 0,

Доказательство. Приступим к доказательству теоремы 1,

Достаточность теоремы 1 доказана в [12], При этом формула верпа и для случая рр = ж. Необходимость, Пусть, как и выше,

-— 1п1п п а = 11т -—-—. п^-ж 1п Хп

Это означает, что для любого /3, 0 < ¡3 < а, найдется последовательность {пт} натуральных чисел пт, пт ^ ж, такая, что

> 0. (12)

1п Кт

Так как, по предположению, Ь = 0 то; как легко проверить, а < 1, Но тогда ¡3 < 1, Рассмотрим ряд

^ (з) = ^ а,пе-Лп8 (в = а + И), (13)

п=1

где ап = е, Как и ранее, предполагаем, что выполнено условие 1п п = о(Ап) при п ^ ж. Ряд (13) сходится, в силу последнего условия и абсолютно, в правой полуплоскости По-

Вычисляя порядок по формуле (11), имеем: рр = 0, Убедимся, что на самом деле порядок рр > 0. Это будет означать также, что сумма ряда (13) не ограничена в П0, т. е, Р € И0(Л).

Действительно, так как ап > 0, то

те

Мр(а) = вир (а + й)| > (а)| = е ^ е"Х"а (а > 0). Щ<те п=1

С другой стороны, очевидно, что

Мр (а) < е^е

п=1

Следовательно, Мр (а) = (а)|, Пользуясь оценкой Мр (а) > (а)|, для любого натурального N имеем:

М N

МР(а) > е ^ е~Хп° > е—е~Хма > Ые~Хма,

п=[ % ]

где [а] — целая часть а. Учитывая (12), теперь положим N = пт (т = 1, 2,...), Тогда получим

Мр (а) > Пте~ Хпт° = ехр[1п Пт - \пт о] (а > 0). Далее, из соотношения (12) видно, что

ХПт < (1пПт) 1 (т > 1).

Следовательно, из предыдущего имеем

МР(а) > ехр[1ппт - (1ппт)1 а] (т > 1), (14)

где 0 < Р < а < 1, а > 0 — любое.

Так как ¡3 < 1, то в качестве а можем взять решение ат уравнения

1п пт = 2(1п пт) 1 а,

или, что то же самое,

2(1ппт)1 -1 = - (0 <£< 1). (15)

а

те

— Хпа

Тогда, учитывая (15), из (14) получаем

1...

1п Мр (ат) > (1п Пт) 13 [(1п Пт) 13 - &т] =

1 /1\ ^ / 1 \ ^

= (1пПт)1 ат = ( 2 1 { — ) (т > 1). (16)

Следовательно, из (16) получаем, что при т ^ го

1п мр > (2)£)А

Отсюда окончательно имеем:

1п1п Мр (ат) > [1 + о(1)]—^г 1п—, т ^ го.

1 - Р От

Так как ат ^ 0 при т ^ го, то

-—1п 1п Мр (а) р . п .

Рр = 11т-(0 < Р < а < 1).

^0 - 1п а 1 - р

Поскольку ¡3 < а — любое положительное число, то отсюда видно, что если а = 1, то рР = го При а < 1 го предыдущего имеем: рР > т—- > 0 (0 < а < 1),

Покажем для полноты рассуждений, что порядок рр равен —Действительно, для любого е > 0 при п > по(е)

1п1пп

< д, (1 = ® + е. (17)

1п Лп

Так как а < 1, то за счет выбора е > 0 можем считать, что д < 1, Таким образом,

1 2 Мр(а) <е V —ехр[(21пп - Лгаа)] < ^ ехр[шах(21пп - Лгаа)] (а > 0). (18)

—' п2 6 п>-

п=-

Учитывая (17), (18), получим

п2е

MF(а) < —— ехр[тах(2х — хча)].

6 Х>0

Максимум достигается в точке х0, те превосходя щей xi, где xi — корень уравнения

1 " 4-1 "

2х = х «а^е, 2х « = а. Отсюда

✓ ч q

ч 1\ 1-«

х1=21-5 у

Так что _

я

Mf (а) < = — exp

м ; < 6 6 F

(а)

я I 1 \ 1-<? 2 i—

Следовательно, учитывая соотношение ln(1 + х) ~ х при х ^ 0, имеем:

lnlnMF(а) < [1 + о(1)]- Q

— 1п а 1 — д

Это означает, что рР < , д = а + е. Н ое> 0 — любое, Следоват ельно, рР < и с учетом обратного неравенства заключаем, что действительно рр = —

Поскольку, очевидно, Р € О0(Л), необходимость теоремы полностью доказана, □

2. Случай согласованности показателей и коэффициентов. Докажем теперь аналогичную теорему при некотором условии согласования между Лп и коэффициентами ап ряда Дирихле,

Пусть, как и выше,

а = lim -——^. (19)

п^х ln Лп

0< а<1

— ln+ ln+| ßn| ß = lim -—-. (20)

п^х ln An

В статье [18] утверждается, что если а фиксировано, а параметр ß удовлетворяет требованию ß > а, то ß = pppF+l, т. е, верна формула (11). Полное доказательство этого утверждения приведено в [23], Недостатком этого результата является то, что условие а < ß при фиксированном Л содержит дополнительное ограничение на коэффициенты ап ряда Дирихле (3), Поэтому формула для порядка pF может не иметь места для какой-то функции F из класса Do (Л). Поэтому естественно ставить вопрос о существенности условия ß > а для справедливости формулы (11). Ниже будет дан ответ на этот вопрос.

Пусть ß (0 < ß < 1), а (0 < а < 1) — заданные числа. Через Б0^,а) обозначим подкласс класса ^0(Л) рядов Дирихле (3), коэффициенты ап которых удовлетворяют равенству (20), а показатели \п - равенству (19). Как было сказано выше (см. [23]), при а < ß порядок pf любой функции F G О0^,а) может быть вычислен при помощи формулы (11).

Отметим, что ограничения 0 < а < 1 и 0 < р < 1 следуют из равенств (19), (20), Для р = 1 формула (11) верна, так как в этом случае а < р. При этом р = ¡¡+1 = 1, т. е, рР = го Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что р < 1, Будет показано, что для любых чисел а (0 < а < 1) р (0 < р < 1) таких, что р < а, всегда существует функция Р € О0(р, а), для которой порядок рР не может быть найден по формуле (11). Это будет означать, что справедлива

Теорема 2.2. Пусть заданы р (0 < р < 1), а (0 < а < 1). Для, того чтобы, порядок Рр любой функции Р € О0(р,а) вычислялся, по формуле (11), необходимо и достаточно, чтобы, а < р.

Доказательство. Достаточность данной теоремы доказана в [23],

Необходимость условия а < р. Пусть р < а. Это означает, что для любого е > 0 найдется последовательность {пт} натуральных чисел пт, пт ^ го, такая, что

к < 1ППгт < & (ш > 1), (21)

пт

где [31 = а — е, = а + е (0 < £ < а).

Фиксируя последовательность {пт}, построим соответствующий пример функции Р € О0(р, а). Для этого выберем коэффнцпенты ап и показатели Хп ряда Дирихле вида (3) специальным образом, но удовлетворяющим, соответственно, условиям (19) и (20), Положим

ап = exp[(lnпт)"] (0 < р < а), пт < п < пт+\ (т > 1)

(показатели \п ряда (3) выберем позже). Ясно, что для этого ряда с такими коэффициентами область сходимости (и абсолютной сходимости) есть По [24], Обозначая для выбранных таким образом коэффициентов ап величину

— ln+ ln+1 о,п |

v = lim —-—--,

п^те ln Хп

убедимся, что и = р. Действительно, пусть пт < п < пт+\. Тогда

lnln |ап| р lnln пт р lnln пт

ln Хп а ln Хп а ln Х,Пт

Учитывая (21), отсюда получаем, что v < ^(а + е). Так как £ > 0 — любое, то и < р. С другой стороны,

— ln+ 1п+|Оп| Р lnln Пт v > lim —-—--= — lim -—--.

т^те ln Хпт а ln Хпт

Следовательно, учитывая левую оценку в (21), отсюда получаем, что v > ^ (а — е), т. е, v > р, Таким образом, действительно и = р. Если бы порядок рр ряда Дирихле

те

-\„s

Р(з) = ^2 апе-Хп3 (в = а + й,а > 0) (22)

п=1

вычислялся бы по формуле (11), имели бы

Рр = (23)

1 — р

Убедимся, что при подходящем выборе показателей ряда (22) это не так. Действительно, так как ап > 0, то имеем

те

Мр(а)= вир (а + й)| > (а)| = ^апв-Х"а (а > 0). Щ<те п=1

Следовательно,

2п„

MF(а) > апе Ка > пшехр[(Inпт)- - \2пта]. (24)

Положим теперь Лп = (1пп)а (п > 2) Тогда для последовательности Л = {Лп} условие (19) выполнено, а Л2пт = (1п2пт) а, Таким образом, из (24) получаем

1пМр(а) > 1ппт + (1ппт)а — (1п2пт)«а (а > 0). (25)

Выберем а = ат как решение уравнения

(1ппт)а = (1п 2пт)аа. (26)

Так как (1п2 пт)ч = (1 + о(1))(1ппт)а при т ^ ж, то го (26) следует, что при т ^ ж

1 = (1 + о(1))(1ппт)^. (27)

а

Таким образом, учитывая (26), (27) из (25) получаем, что при т ^ ж

а

1п Мр(ат) > 1п пт = (1 + о(1)) ^ 1 " .

Это означает, что рР > Но, согласно (23), рР = Значит, если учесть предыдущую оценку, то

па.

т^- > .- (0 <П< 1),

1 — п 1 — п

что противоречит предположению п < а. □

Пример построен.

Пусть 0(0,1) — круг сходимости степенного ряда (1), Для ряда Тейлора-Дирихле

те

^апе

п=-

р

Лп = п

1п 1п п

а = Иш -—-— = 0, п^те 1п Лп

и поэтому из теоремы 1 как следствие вытекает упомянутая в самом начале формула Говорова-Маклейна-Шереметы для вычисления порядка р функции /, заданной в круге 0(0,1) рядом (1),

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Говоров Н.В. О связи между ростом функции, аналитической в круге, и коэффициентами ее степенного разложения // Труды Новочеркасск, политехи, ин-та. 100, 101-115 (1959).

2. Мак-Лейн Г. Асим,пт,от,ические значения голоморфных функций. М.: Мир, 1966.

3. Шеремета М.Н. О связи между ростам, целых или аналитических в круге функций нулевого порядка и коэффициентами их степенных разложений // Изв. вузов. Математика. 6, 115-121 (1968).

4. Bohr Н. Collected Mathematical Works. Copenhagen, 1952.

5. Valiron G., Sur e'abscisse de convergence des series de Dirichlet // S. M. F. Bull. 52, 166-174 (1924).

6. Valiron G., Entire functions and Borel's directions // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 20, 211-215 (1934).

7. Kuniveda M. Uniform convergence — abscissa of general Dirichlet series // Tohoku Math. Journ. 9, 7-27 (1916).

8. Ritt J.F. On certain points in the theory of Dirichlet series // Amer. Math. J. 50, 73-86 (1928).

9. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. M.: Наука, 1976.

10. Гайсин A.M. Оценка роста функции, представленной рядом, Дирихле, в полуполосе // Ма-тем. сб. 117(159):3, 412-424 (1982).

11. Гайсин A.M. Поведение суммы ряда, экспонент вблизи границы области регулярности // Магс.м. заметки. 48:3, 45-53 (1990).

12. Гайсин A.M. О росте функции, представленной рядом, Дирихле, вблизи прямой сходимости // Исследования по теории аппроксимации функций. Уфа: Башкирский филиал АН СССР. 5-13 (1981).

13. Zhendog Gu, Daochun Sun. The growth of Dirichlet series // Czechoslovak Mathematical Journal. 62:1, 29-38 (2012).

14. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент для функций с определенным рост,ом, вблизи, границы, // Изв. АН СССР. Сер.матем. 44:6, 1308-1328 (1980).

15. Юлмухаметов Р.С. Пространство аналитических функций, имеющих заданный рост вблизи границы // Матем. заметки. 32:1, 41-57 (1982).

16. Гайсин A.M., Гайсина Г.А. Поведение коэффициентов ряда, экспонент конечного порядка, роста, вблизи, границы, // Итоги науки и техники. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Темат. обзоры. 162, ВИНИТИ РАН, \!.. 15-24 (2019).

17. Дагене Е.Я. О центральном, показателе ряда Дирихле // Литовский мат. сб. 8:3, 504-521 (1968).

18. Бойчук B.C. О росте абсолют,но сходящихся, в полуплоскости рядов Дирихле // Мат. сб. К.: Наукова думка. 238-240 (1976).

19. Галь Ю.М., Шеремета М.Н. О росте аналитических в полуплоскости функций, заданных рядам,и, Дирихле // ДАН УССР. Сер. А. 12, 1065-1067 (1978).

20. Yu-Chia-Yung. Sur la croissance et la repartition de Dirichlet qui, ne convergent que dans un demi-plan // Comptus rendus Acad. Sci. AB288:19. A891-A893 (1979).

21. Krishna Nandan. On the maximum terms and maximum modulus analytic functions represented by Dirichlet series // Ann. Polon. Math. 28, 213-222 (1973).

22. Krishna Nandan. On the lower order of analytic functions represented by Dirichlet series // Rev. roum. math, pures et appl. 21:10, 1361-1368 (1976).

23. Гайсин A.M. Поведение суммы ряда, Дирихле вблизи, границы, области регулярности. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Уфа, 1982.

24. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука, 1983.

Галия Ахтяровна Гайсина,

Башкирский государственный университет,

3. Ва. in. in. 32,

450076, г. Уфа, Россия

E-mail: gaisinaga@mail.ru