CC BY
51
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Том XXVI 1995 №3-4
УДК 629.735.33.015.3.025.73:533.6.013.12
ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРОФИЛЯ ПРИ ОКОЛОЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ
В. Д. Боксер, С. В. Ляпунов
Проведен анализ пределов применимости приближенных методов расчета волнового сопротивления профиля при околозвуковых скоростях [1, 3], основанных на интегрировании волновых потерь вдоль скачка уплотнения в предположении линейного характера изменения скорости по высоте скачка уплотнения. Сопоставлены результаты численного расчета волнового сопротивления при околозвуковом невязком симметричном обтекании семейства профилей серии NACA { с,%= 3; 6; 9; 12) по методу [4] с результатами расчета по приближенным методам. Выявлены причины расхождения результатов, полученных численно и по приближенным формулам работ [1,3], для тонких профилей с малой кривизной поверхности при достаточно интенсивных скачках уплотнения.
Современные методы расчета околозвукового обтекания профиля, основанные как на решении уравнения полного потенциала, так и уравнений Эйлера, позволяют оценить суммарные и распределенные аэродинамические характеристики. При этом вычисление волнового сопротивления происходит, как правило, путем интегрирования распределения давления (петли Прандтля) по контуру профиля (невязкое обтекание) или жидкому контуру, смещенному на толщину вытеснения в случае учета влияния вязкости. Интегрирование петли Прандтля с необходимой точностью требует большого количества расчетных точек, особенно в области носовой части профиля. В экспериментальных исследованиях, когда количество точек на контуре ограничено, интегрирование петли Прандтля приводит к большим погрешностям в определении волнового сопротивления (и сопротивления давления) профиля при околозвуковых скоростях.
С целью преодоления трудностей, связанных с интегрированием петли Прандтля, в работе [1] предложен приближенный метод определения волнового сопротивления профиля при наличии местной сверхзвуковой зоны на его поверхности. Метод базируется на теории волнового сопротивления [2] и предположении о линейном характере изме-
нения местного числа Маха (МО вдоль скачка уплотнения. Полученная в работе [1] простая формула для определения коэффициента волнового сопротивления (раздельно для верхней и нижней поверхности) требует знания лишь числа М1 перед скачком уплотнения на поверхности профиля (М1ск) и кривизны поверхности в этой точке. Данная формула позволяет рассчитать волновое сопротивление профиля вплоть до числа М1СК » 1,5 (скачки большой интенсивности).
Аналогичный приближенный метод определения волнового сопротивления профиля при околозвуковых скоростях разработан позднее в работе [3]. Формула для оценки коэффициента волнового сопротивления, полученная в этой работе, справедлива до значений чисел М^к ® 1)3.
В работах [1] и [3] коэффициент волнового сопротивления (с*в)
профиля обратно пропорционален значению кривизны поверхности в месте скачка уплотнения (к^). Это обстоятельство может привести к заметным погрешностям в вычислении коэффициента волнового сопротивления при малых значениях кривизны поверхности в месте падения скачка уплотнения.
Целью настоящей работы является определение пределов применимости приближенных простых формул вычисления коэффициента волнового сопротивления на примере анализа особенностей симметричного невязкош околозвукового обтекания семейства профилей МАСА различных максимальных относительных толщин, с =(3 — 12)%.
Анализ результатов расчета. Для определения волнового сопротивления профиля по приближенным формулам в работах [1, 3] было рассчитано распределение местных чисел М1 на поверхности серии симметричных профилей ИАСА с максимальной относительной толщиной с,%= 3; 6; 9; 12 при нулевой подъемной силе в диапазоне чисел М = 0,76—0,96 без учета влияния вязкости.
Расчет местных чисел М проведен численным методом [4]. Он представляет собой метод приближенного решения уравнений Эйлера и по быстродействию практически такой же, как и метод решения уравнений для полного потенциала. В отличие от потенциальной модели, в расчетной модели [4] учитывается в главном порядке завихренность за скачком уплотнения. В результате расчета определяются параметры потока во всем поле течения и на поверхности профиля. Волновое сопротивление вычисляется путем интегрирования сил давления по контуру профиля.
На рис. 1 в качестве иллюстрации приведено распределение местных чисел М1 на поверхности симметричных профилей ИАСА (с = 3; 9; 12% в широком диапазоне чисел М при нулевой подъемной силе). На рис. 2 (пунктир) представлено изменение местных чисел М перед скачком уплотнения на поверхности (М^ = М!,^, рис. 1), характеризующих его интенсивность с ростом числа М набегающего потока. Отметим близкий к линейному (при с < 12%) характер изменения зависимостей М1СК (М). На рис. 2 приведено также изменение высоты скачка ИСК (глубины местной сверхзвуковой зоны) по числу М набе-
Рис. 1. Распределение местных чисел Мх на поверхности симметричных профилей ЫАСА-ОООЗ, NACA-0009, КАСА-0012
гающего потока. Следует отметить, что высота скачка была рассчитана по простой приближенной формуле работы [1]:
Т _ ^ск _ ^1ск ~ 1
^ Ъ *скС(М1ск)’ где КсК — кривизна поверхности профиля у скачка уплотнения,
ае-1 ч2
с (М1ск) = (1 + ДМ1ск)
1 +
(1 + ДМ1ск)
, ае —1,4; ДМ1СК — М^ск 1.
Формула для определения высоты скачка получена на основе уравнения безвихренности [- XV = 01 и предположения о линейном ха-
\дп )
рактере изменения в сверхзвуковой зоне над профилем местного числа Мх вдоль скачка уплотнения [1].
Заметим, что наклон зависимости высоты скачка от числа М набегающего потока существенно увеличивается с уменьшением максимальной относительной толщины профиля (см. рис. 2) вследствие более значительного снижения при этом кривизны поверхности у скачка уплотнения (А^к). Так, например, при одинаковом приросте числа
Рис. 2. Изменение высоты скачка и числа Маха перед скачком (Міск) по числам М
М1сю равном ДМ1ск = 0,04, для профиля с= 12% величина » » 0,22—0,15 (при М = 0,80—0,84), для профиля с = 6% величина Кск » * 0,14—0,07 (при М - 0,85—0,89), для профиля с = 3% величина » « 0,08-0,03 (при М = 0,90-0,94).
Остановимся на анализе волнового сопротивления исследуемых профилей, рассчитанного по приближенным формулам работ [1] и [3] и численному методу [4].
В работе [1] коэффициент волнового сопротивления профиля рассчитывается по приближенной формуле
Л(М) 0,293 АМ1СК 0,334 ЛМ1СК + 0,0159 Л^|к
*СК (1 + АМіск) і + ~~^г~ (і+ лм1ск)2
В работе [1] показано, что учет члена ДМ^ позволяет достаточно
точно вычислять коэффициент волнового сопротивления вплоть до чисел М перед скачком уплотнения = 1,5.
Как следует из работы [3],
схв а 0,243
1 + 0,2М2 АМ,4С1 к - АМ1ск
М V > -^СК (1 + АМ^К) 1 +0,2(1+ ДМ1ск)2]
(2)
В работе [3] отмечается, что расчеты по формуле (2) дают удовлетворительную точность вплоть до значений чисел Міск = 1,3.
Отметим, что формулы (1) и (2) для вычисления коэффициента волнового сопротивления профиля основаны на использовании теории
дУ
прямого скачка уплотнения, уравнения безвихренности-----------XV = 0 и
дп
предположения о линейном характере изменения скорости перед скачком вдоль его высоты. Подставляя в формулу (1) значение ДМ) при ае = 1,4 и выделяя сомножитель 0,243, получаем после соответствующих преобразований
1 + 0,2М2 У 0,837 АМ?СК - 0,764АМ^ + 0,052ЛМ^ *СК (1 + АМіск) |і + 0,2(1 + ДМ1ск)21
(3)
0,243
или
^і + о.гм2"'
м
(АМ^СК - АМ?СК) -(0,163дм;ск -0,236АМ^СК -0,052АМ^’5к)
(4)
*ск (1 + ЛМ1ск) [1 + 0,2 (1 + ДМ1ск)2
Таким образом, формулы для коэффициента сХв работы [1], (1),
(3), (4) и работы [3], (2) отличаются на величину 8 в выражении (4):
5 = ОДбЗДМ^ - 0,236ДМ^СК - 0,052ДМ^5к ... . (5)
Расчетная оценка величины 5 показала ее малость. Так, при значе-
ниях
АМіск - М1ск 1 -
0,2,
-5-Ю
-7
0,3,. 8 = -2,3 - КГ5.
На рис. 3 приведены зависимости сХв (М) для исследуемых симметричных профилей, рассчитанные по численному методу [4] и приближенным методам [1, 3] (см. формулы (1), (2)). Следует отметить практическую близость значений коэффициентов волнового сопротив-
Рис. 3. Изменение коэффициента волнового сопротивления по числам М
ления, рассчитанных по приближенным методам [1, 3], что вытекает из проведенного выше анализа формул (1) * (5).
Различие в значениях сХъ, рассчитанных по численному и приближенным методам для исследованных профилей с = 9 и 12% в диапазоне чисел М = 0,78—0,88, обусловлено в основном «размазыванием» скачка вдоль хорды при численном решении. Это обстоятельство приводит к некоторой неопределенности определения величины числа Маха перед скачком уплотнения на поверхности (М^).
Для тонких профилей (с = 3 и 6%) близость величин с*в, рассчитанных по численному и приближенным методам, до определенных значений чисел М набегающего потока, несмотря на «размазывание» скачка уплотнения, как и в предыдущем случае, обусловлена компенсацией этой погрешности более медленным темпом снижения числа Мх (величины при движении вдоль (по у) скачка уплотнения (например, в случае с = 3% при числе М = 0,96, рис. 5).
Как показал анализ результатов расчета, большие ошибки в вычислении волнового сопротивления профиля по приближенным формулам работ [1,3] обусловлены двумя факторами: малым значением кривизны поверхности у скачка уплотнения (Хек) и повышенной его интенсивностью у поверхности.
На основании анализа результатов расчета предложен параметр
—-----, определяющий пределы применимости приближенных фор-
^СК
мул для вычисления волнового сопротивления профиля. Если величина
—---не превышает значения 3,4, то результаты расчета коэффици-
ск
ента волнового сопротивления по приближенным и численным методам хорошо согласуются между собой (см. рис. 3).
Из работ [1, 3] следует [см. формулы (1), (2)], что главный член в выражении для коэффициента волнового сопротивления пропорциона-
лен величине ДМ^. Этот же результат подтверждается при анализе численных расчетов в работе [5].
Графическое представление зависимости (ДМ1СК) в логарифми-
с1сх
ческой форме (рис. 4) показывает, что значение я = ——5— = 4 имеет
</ДМ1ск
место лишь для максимальных относительных толщин с > 9%. В случае тонких профилей (например, с <, 6%) величина п < 4.
Наряду с зависимостями 1= /(^ДМ^) на рис. 4 приведены
зависимости = /[^ (М - Мкр)] и = /[^ (М - М|р)]. Здесь величина М£р соответствует числу М набегающего потока, при котором величина М]ск = 1,1. Следует отметить, что и у этих зависимостей, как и у предыдущей, происходит нарушение закономерности при переходе от профилей с = 9 и 12% к профилям меньших относительных толщин (с < 6%), Так, у зависимости = /\\& (М - Мкр)] величина
п = 3,6 (нарушение известного «закона кубов», = А (М — Мкр)3, [2])
для с = 9 и 12% и п < 3,6 в случае тонких профилей (с <. 6%). Для зависимостей = /[^ (М - М|р)] величина п = 2,4 в случае профилей с — 9 и 12% и и < 2,4 в случае тонких профилей (с ^ 6%).
сх=ААМ*
(11=24)
/р р 3,12%(п-316) * /р 6%
лм-м1ея-1
----М-М'Р
. —; м,~м*,
-1’3 ~1’2 ~1'1 ~10 -°'9 ~08 ~0-7 -°'в -0,* фМ
^—>
Рис. 4. Логарифмические зависимости коэффициента волнового сопротивления от
величин приращения числа Маха (ДМ) для различных максимальных относительных толщин
С целью выяснения причин нарушения закономерности зависимости коэффициента волнового сопротивления от главного члена разложения при переходе к тонким профилям (с <, 6%) на рис. 5 представлено изменение местной скорости вдоль скачка уплотнения Ух (у) при х ^ для профилей с = 12% (М 0,8) и с = 3% (М = 0,96) при равной интенсивности скачка уплотнения на поверхности, « 1,24, полученное расчетом поля течения численным методом [4].
В первом случае (с = 12%) отчетливо виден достаточно протяженный практически линейный участок зависимости У1 (у) вплоть до
у « 0,5 йск при быстром темпе снижения скорости вдоль скачка « _ ау сIV
и-0,5). Величина —в расчете хорошо согласуется с теоретическим _ Лу
значением Аск У1ск, полученным из уравнения безвихренности и представленным на рис. 5 отрезком прямой. В случае тонкого профиля (с =
= 3%) линейный участок с теоретическим значением величины
<1у
соответствующим уравнению безвихренности, чрезвычайно короток и зависимость Ух (у) имеет ярко выраженный нелинейный характер с наличием точек перегиба и слабый темп уменьшения скорости вдоль
скачка уплотнения ^» -0,1). Вследствие этого у тонкого профиля йу
показатель степени п < 4 у зависимости « А ДМ"^.
Таким образом, при равной интенсивности скачка уплотнения у поверхности волновое сопротивление тонкого профиля может превышать волновое сопротивление более толстого профиля. Так, например, при равной величине М]ск « 1,24 у тонкого профиля с= 3% значение с^ =0,0074 (М = 0,96), а у профиля с— 12% значение =0,0060
(М = 0,8), см. рис. 5.
&
С-12'А
‘0,5
М,-1 с=12'
М=0,6
с=3%
М‘0&
Ьс*=3,5
Рис. 5. Изменение местной скорости перед скачком уплотнения по его высоте
Г,Ох
Рис. 6. Форма местной сверхзвуковой зоны для профилей N АСА-0003 и ^СА-0012
Условно примем, что точка пересечения кривой У1(у) с уровнем критической скорости V. соответствует высоте скачка (см. рис. 5). Видно, что при равной интенсивности скачка уплотнения у поверхности (М1СК * 1,24) глубина местной сверхзвуковой зоны (высота скачка уплотнения) существенно выше у тонкого профиля (с = 3%, и « 3,5) по сравнению с профилем с= 12% (А^ » 0,5).
Как следует из уравнения безвихренности, в естественных коорди-
натах
дУЛ
дп
КУХ =0
затухание скорости
'дУх Л дп
тем медленнее, чем
ниже кривизна линии тока в данной точке (К). Именно по этой причине у тонкого профиля с = 3% высота скачка уплотнения значительно больше по сравнению с профилем с= 12%.
На рис. 6 приведены формы звуковых линий и скачков уплотнения для двух профилей при различных числах М, но при одинаковой интенсивности скачка у поверхности (М^ « 1,24).
Вогнуто-выпуклый характер фронта скачка уплотнения (звуковая линия вблизи поверхности) у тонкого профиля (с = 3%) обусловлен большим значением числа М = 0,96, когда звуковая линия и фронт скачка у поверхности приближаются по форме к звуковой линии для случая М = 1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Боксер В. Д., Серебрийский Я. М. Приближенный метод определения волнового сопротивления профиля при наличии местной сверхзвуковой зоны // Ученые записки ЦАГИ-— 1978. Т. 9, № 5.
2. Серебрийский Я. М., Христианович С. А. О волновом сопротивлении // Труды ЦАГИ,— 1944, № 550.
3. Lock R. С. The prediction of the drag of airfoils and wings at high subsonic speeds // Aeronautical J.— June/July, 1986.
4. Л я п у н о в С. В. Ускоренный метод решения уравнений Эйлера в задаче о трансзвуковом обтекании профиля. Математическое моделирование,— 1991, № 4.
5. Lyapunov S. V. Convergence accelaiation and wave drag determination in transonic airfoil calculations // ICAS Proc.— 1990.
Рукопись поступила 15/1111994 г.
