CC BY
37
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м IX 197 8
№ 5
УДК 533.6.011.5:629.7.0.26.73
ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРОФИЛЯ ПРИ НАЛИЧИИ МЕСТНОЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ЗОНЫ
В. Д. Боксер, Я• М. Серебрийский
Предложен приближенный метод определения волновых потерь в поле при околозвуковом обтекании профиля по известному (экспериментальному или теоретическому) распределению давлений на его поверхности. Метод базируется на линейном характере изменения числа Мі вдоль скачка уплотнения и на теории волнового сопротивления. Получена простая формула для определения коэффициента волнового сопротивления профиля (раздельно для верхней и нижней поверхности) по известному экспериментальному (или расчетному) распределению местных чисел М на поверхности. Коэффициент волнового сопротивления является функцией числа М] перед скачком уплотнения на поверхности профиля и кривизны поверхности в этой точке.
Развитое закритическое (МК,>МК,)) обтекание профиля, как правило, сопровождается возникновением скачков уплотнения. Исключением являются так называемые „бесскачковые“ профили, настроенные на определенный режим течения, у которых местная сверхзвуковая зона не замыкается скачком уплотнения. Появление скачков уплотнения при смешанном типе обтекания профиля является причиной возникновения волнового сопротивления.
В настоящее время при создании новых форм профилей весьма важно уметь рассчитывать волновое сопротивление (причем раздельно для каждой поверхности профиля) с целью оценки его роли в общем закритическом приросте сопротивления.
Существующие стандартные методы экспериментального исследования профилей (весовой, распределение давления, оптические исследования, дающие только качественные результаты) не позволяют определить волновое сопротивление при закритическом обтекании и отделить его от сопротивления трения и вихревого
сопротивления, обусловленного отрывом. Такое расчленение сопротивления может быть осуществлено только с “помощью специальных, достаточно сложных измерений поля скоростей в местной сверхзвуковой зоне с последующим использованием теории волнового сопротивления. Исследования такого рода методом интерферометрии изложены в работах [1, 2]. Целью настоящей работы является создание приближенного метода, который на базе простых, стандартных экспериментальных методов исследования (распределение давления по поверхности, простых оптических) позволил бы рассчитать волновое сопротивление профиля при наличии местной сверхзвуковой зоны.
Разработанные в последнее время методы расчета идеального околозвукового обтекания профиля [3 — 6] и безотрывного закри-тического обтекания с учетом толщины вытеснения пограничного слоя и следа [7] позволяют рассчитать его интегральное волновое сопротивление. Теоретическое значение сопротивления отдельно для верхней и нижней поверхности профиля может быть также определено. Однако при этом необходимо знать распределение местных чисел (^/) вдоль скачка уплотнения {у=у/Ь, где Ь — хорда профиля), т. е. необходимо дополнительно рассчитать поле скоростей и воспользоваться теорией волнового сопротивления, позволяющей определить волновые потери в струйке тока, проходящей через прямой скачок уплотнения.
В настоящей работе для приближенной оценки волнового сопротивления при закритическом обтекании профиля используются два допущения.
Во-первых, вместо точной зависимости для величины йсхЬ\йу, вытекающей из теории волнового сопротивления и характеризующей изменение волнового сопротивления в струйке тока вдоль скачка, используется приближенная зависимость.
Во-вторых, предлагается использовать обнаруженный при ин-терферометрических исследованиях [1, 2], расчетах по методу релаксации [6], а также по методу характеристик близкий к линейному характер зависимости М[(у) [1]. Близкий к линейному характер зависимости М, (у) подтвержден экспериментальными исследованиями поля скоростей на ряде профилей (как обычных, так и сверхкритических, фиг. 1) в широком диапазоне режимов закрити-ческого обтекания (Мто, су). При исследованиях достигались значения чисел М?08^ 1,4 — 1,5. Расчетные исследования методом релак-
М,,
1,1
. і,00 0,25 . 0,50 у
Верхняя поверхность
о» метод интерферометра И г , метод релаксации - — метод характеристик I поверхность профиля
\\
\ Обычный профиль
*~,Свёрхкритичесний профиль і і
сации [6] поля скоростей различных типов профилей в достаточно широком диапазоне режимов закритического обтекания подтвердили близкий к линейному закон изменения от у (например, фиг. 1). Кроме того, использование метода характеристик для расчета поля скоростей реального, вязкого закритического обтекания по известной из качественного оптического эксперимента форме характеристики и форме поверхности профиля (задача III, [8]) также подтвердило линейный характер зависимости М4(^) (см. фиг. 1).
Рассмотрим волновые потери в струйке тока, пересекающей прямой скачок уплотнения. В соответствии с теорией волнового сопротивления, разработанной С. А. Кристиановичем и Я. М. Се-ребрийским, получена точная формула для изменения волнового сопротивления в струйке тока вдоль скачка уплотнения:
где X! = Ух!а* — скоростной коэффициент перед скачком уплотнения, р,—плотность перед скачком уплотнения, роо, Х»— параметры набегающего потока. Будучи разрешенной относительно чисел М1 и Мсо, формула (1) примет следующий вид:
Разложение в ряд по параметру ДХ,=Х1 — 1 точной зависимости (1) приводит к приближенной зависимости
Первый член зависимости (3) известен в литературе как „закон кубов" [8}.
Для удобства запишем формулу (3) не через скоростной коэффициент Я, а через число М.
% + 11 і2 1 ~ х + і Х1
2% *1 — 1
Ьгк) • (1>
Зсх В
йу
(3)
где,' ДМ, = М, — 1, М, — число М перед скачком уплотнения. Коэффициент (, в формуле (4) появился вследствие того, что при сверхзвуковых скоростях в диапазоне чисел М^ 1,0-н 1,5 зависимость
ДХ(ДМ) близка к линейной при 1,4, т. е.
d (ДХ)
/,^0,76.
й(ДМ)
Как вытекает из теории волнового сопротивления, с точностью до четвертого члена разложения (X,—I)4
*2 —1 рц Гда/ Т0
=i К
Заменяя в формуле (5) Хоо на М^, и нИём при х = 1,4, получаем следующее выражение:
Рс
1
Т0
(5)
его числовым значе-
*+1
А (Моо) = 0,6339 У8 (х + 1)
1 +
м-
\ 2(х-
V
м3
*00
(6)
Сравнение результатов, полученных по приближенной формуле (4) и по точному решению (2), показывает (на примере М«, = = 0,80) заметные отличия как третьего приближения [„закон кубов*, первый член формулы (4)], так и Четвертого приближения [формула (4)] от точного решения при числах М,>1, 2 (фиг. 2).
М^-О.дО '■
0,15
0,10
0.05
і г / і
І j // /
і ! / /
/
1,0 • ■ Ц <4- м,
-----третье приближение
-----четвертое приближение-
• —■—точное решение --—расчет по приближенной формдле(Э)
Фиг. 2
Для вывода приближенной формулы, позволяющей достаточно быЙ'рЬ и ^очно определить коэффициент волнового сопротивления профиля, предлагается вместо формулы (4) использовать уточненную интерполяционную зависимость:
—=•2 = А (Мое) (*, ДМ,)3 - (*, ДМ,)*] + 5 . (7)
В формуле (7) величина 8 представляет приближенное значение разности между точным решением и четвертым приближением. Представляя приближенно величину 8 в форме
8 = А (М..) t2 ДМ?, (8)
вычислим значения tt и п в диапазоне чисел Мж = 0,7 — 0,9 и = 1,0—1,5 для этой интерполяционной зависимости. Расчеты показывают, что коэффициент t2 и показатель степени я являются при этом величинами практически постоянными и равными соответственно t2~ 0,0159 и я * 2,5. Представление 8 через ДМ? дает значительно худшие результаты для рассматриваемого диапазона ДМ, и Моо. Подставляя эти значения в формулы (7) и (8) и учитывая, что коэффициент ^^0,76, получим приближенную интерполяционную формулу для расчета dcxJdy\
== А (Моо) [0,293 ДМ? — 0,334 ДМ? + 0,0159 ДМ?5]. (9)
dy /пр
Расчет по предлагаемой приближенной (пунктир) формуле (9) и по точному решению [сплошная кривая, формула (2)] свидетель-
u dc «• d
ствует о хорошем совпадении значении вплоть до чисел
М, ~ 1,5 (фиг. 2).
Для получения приближенной формулы, позволяющей рассчитать коэффициент волнового сопротивления профиля, необходимо проинтегрировать зависимость (9) вдоль скачка уплотнения, т. е.
*ск
схв=* А (Моо) j (0,293 Ам1 - 0,334 Д /И? + 0,0159 ДMl'5) dy. (10)
о
Учитывая близкий к линейному (см. фиг. 1) закон изменения величины ДМ, = М, — 1 вдоль скачка уплотнения (у), т. е.
ДМ, = ДМ?°“:—^-У, (И)
ду
где ДМ"08 = МГ- 1; = const; М?08 — число М, перед скачком
ду
уплотнения на поверхности, из (10) и (И) имеем с* * dMJdy
Вычислим величину градиента убывания числа М, вдоль скачка, дМ.Jdy, используя уравнение безвихренности в естественных координатах:
ж-KV- О, (13)
где V — скорость в произвольной точке на линии тока; К— кривизна линии тока в данной точке.
Выразим первый член формулы (13) через дМ/дп и параметры невозмущенного потока..(К», М^)
(ДМп°в)4 (ДМ?0В)5 (ДМГ0В)3.5
0,293 — — 0,334 —g~— + 0,0159 -............ (12)
Откуда
дУ
дп
После дифференцирования и простых преобразований имеем
(15)
дУ
дп
У» дМ
Моо дп
М;
Из формулы (13) и (15) получаем
дМ. мх дп
1 +•
Ау = /СМ а.
(16)
М2
Учитывая, что
1+^м»
1 + 2ІХ-! М2
, окончательно имеем
(17)
Поскольку углы наклона поверхности профиля (нулевой линии тока) вблизи скачка уплотнения малы, можно записать
ам
дп
дМ
ду
(18)
Таким образом, величина дМ^ду в формуле (12) с учетом соотношений (17), (18) и линейного характера зависимости М, (у) может быть записана в виде
дМ,
ду
(19)
где КсГ — кривизна поверхности профиля у скачка уплотнения, МГ — число М, перед скачком уплотнения на поверхности.
1П0В^МР-1, получаем
Переписав формулу (19) через ДМі т
ду
1 + ДМГ) [і + ^(1 +ДМГ)г
(20)
И окончательно из выражений (12) и (20) получаем приближенную формулу для определения коэффициента волнового сопротивления профиля в виде
(ДМ?08)4 (ДМ?0В)5 (ДМ"0В )3,51
А( мм)
0,293-
-0,334
+ 0,0159
3,5
Л-
'(1 + ДМ?0В)
[|+т
(1
Запишем формулу (21) в более простой структурной форме:
А (Моо) В (ДМ"0В)
где
В (ДМ?0В) - 0,293
(дм;ов)‘
К™*С(А М™в)
(ДМ?08)5 (ДМ?0В)3-5
0,334 -—i— +0,0159-
5
С(ДМр)= (1 + ДМГВ)[1 + ^(1 + АМГв)а],
3,5
(21)
(22)
(23)
величина А (Ми) находится по формуле (6). Напомним, что
К”Г С (ДМ?0В) = Л-.
ду
Зависимости А (Моо), В(ДМ"0В), С(ДМ?0В) являются универсальными функциями, вид которых изображен на фиг. 3. Таким образом, зная число М, перед скачком уплотнения на поверхности (М"ов) и кривизну поверхности профиля в этой точке (КТ), легко рассчитать коэффициент волнового сопротивления профиля раздельно для каждой поверхности, используя формулу (22) и графические зависимости фиг. 3.
Следует отметить, что приближенная формула (22) для определения коэффициента волнового сопротивления профиля становится несправедливой при расположении скачка уплотнения на плоском участке контура (К"кВ—0).
С целью оценки точности расчета по приближенной формуле (22) было определено волновое сопротивление сверхкритического и обычного профиля в случае идеального и реального околозвукового обтекания.
Сравнение результатов расчета коэффициента волнового сопротивления при идеальном закритическом обтекании (су = 0,25,
Схб 0,01
%78 0,80 0,82 М~
-----расчет по методу релаксации \В]
----- по приближенной формуле (22)
Фиг. 4
. Иерхкритический
профиль
<хе
0,01
°Щ 0,85 АС “0,80 0,83
• метод лазерной интерферометрии [2]
----расчет по приближенной формуле (22)
Фиг. 5
М» = 0,78 — 0,84) двух типов профилей по численному методу релаксации [6] и по предлагаемой приближенной формуле (22) свидетельствует о высокой точности приближенной формулы (фиг. 4).
Величины коэффициентов волнового сопротивления, полученные при реальном обтекании этих же профилей с использованием экспериментального метода лазерной интерферометрии [2] и по приближенной формуле (22) с учетом известного экспериментального распределения давления на поверхности, удовлетворительно согласуются между собой (фиг. 5).
Таким образом, предлагаемая приближенная формула позволяет быстро и достаточно точно оценить при реальном закрити-
ческом обтекании (М00>Мкр) волновое сопротивление профиля в приближении прямого скачка уплотнения и линейной зависимости
М,(у).
Знание уровня волнового сопротивления и полного сопротивления из весовых испытаний позволяет выбрать более рациональный путь для снижения сопротивления профиля при закритиче-ском обтекании. _
Основываясь на линейном законе распределения М, от у, можно приближенно оценить не только коэффициент волнового сопротивления профиля, но и высоту скачка, исходя из геометрического соотношения
эм, ЛМГ - дмр
—=~ =—=—, т. е. Лск я»--------— .
ду Лск дЩ/ду
Учитывая формулу (23), окончательно имеем
дм"ов
/гск * ———==- . (24)
К"°в С (ДМ" ) 4
Предлагаемые формулы (22), (24) удобны с практической точки зрения для быстрой приближенной оценки волнового сопротивления и глубины местной сверхзвуковой зоны отдельно для верхней и нижней поверхности профиля по известному экспериментальному или теоретическому распределению скоростей на поверхности и кривизне поверхности профиля у скачка уплотнения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Боксер В. Д., Дмитриева В Б., Невский Л. Б., Се-ребрийский Я. М. Определение волнового сопротивления профиля методом интерферометрии при околозвуковом обтекании. „Ученые записки ЦАГИ\ т. 6, № 1, 1975.
2. Боксер В. Д., Ершова Т. А., Кулеш В. П., Орлов А. А. Применение лазерно-интерференционной приставки к теневому прибору ИАБ-451 для исследования плоских околозвуковых течений. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 7, № 4, 1976.
3. Magnus R. and Yoshihara Н. Inviscid supercritical airfoil theory. AGARD, CPN 35, 1968.
4. Murman E. and Cole J. Calculation of plane steady transonic flows. Presented at A1AA 8-th Aerospace Sciences Meeting. New York, Jan., 1970.
5. Steger J. and Lomax H. Numerical calculation of transonic flow about two-dimensional airfoils by relaxation procedures. „АІАА Preprint-, N 71 —569, 1971.
6. Лифшиц Ю. Б. К теории трансзвуковых течений около профиля. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 4, № 5, 1973.
7. Б р у т я н М. А., Савицкий В. И. Влияние'вязкости при безотрывном околозвуковом обтекании профиля. „Ученые записки ЦАГИ-, т. 8, № 5, 1977.
8. Аржаников Н. С., Мальцев В. Н. Аэродинамика. М., Оборонгиз, 1956.
Рукопись поступила 191X11 1977 г.
