CC BY
24
УДК 519.63
Вестник СамГУ. 2015. № 10(132)
47
О.П. Филатов1
ПРЕДЕЛЫ МАКСИМАЛЬНЫХ СРЕДНИХ И НЕАВТОНОМНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
ВКЛЮЧЕНИЯ
Доказана теорема существования предела максимального среднего для почти периодической функции многих переменных на решениях дифференциального включения, правая часть которого зависит от времени периодически.
Основное достаточное условие — задача Коши для дифференциального включения должна удовлетворять условию кратной достижимости. Это условие выполняется, например, для постоянной правой части дифференциального включения, которая не принадлежит собственному подпространству скоростей. Результат примыкает к теории усреднения дифференциальных включений с быстрыми и медленными переменными.
Ключевые слова: неавтономное дифференциальное включение, периодическая по времени правая часть, почти периодическая функция, предел максимального среднего.
1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального включения
x £ G(t,x), x(0) = xo, (1-1)
где отображение G : 1x 1" ^ K(1") в совокупность K(1") непустых компактных множеств из 1" является периодическим с периодом T > 0. Далее предполагается, что любое решение задачи Коши (1.1) (абсолютно непрерывная функция на любом отрезке) можно продолжить на промежуток [0, то) для любого начального вектора xo £ 1"- Все множество таких решений обозначается символом X(xo). Предел максимального среднего для непрерывной функции f : 1" ^ 1, если он существует, определяется соотношением
1 ГА
M(f )= lim sup S(Д, x), S(A,x) = — f (x(t)) dt. (1-2)
xex(x0) Д J0
В [1; 2] доказано, что в случае постоянной невырожденной правой части G £ K(1") (множество G не принадлежит подпространству из 1" размерности n — 1) дифференциального включения (1.1) и непрерывной почти периоди-
!© Филатов О.П., 2015
Филатов Олег Павлович (filatov_oleg@samaradom.ru), кафедра уравнений математической физики, Самарский государственный университет, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
ческой функции ] предел максимального среднего (1.2) существует и не зависит от х0.
В [3; 4] вопросы существования пределов максимальных средних рассматривались для дифференциальных включений с постоянной компактной правой частью О, при этом основное достаточное условие сводилось к существованию допустимого вектора скоростей с независимыми координатами (см. [5, теорема об усреднении]) из выпуклой оболочки множества О. Заметим, что в [3] независимость координат рассматривалась относительно спектра почти периодической функции.
В целом вопросы существования пределов максимальных средних примыкают к теории усреднения дифференциальных включений с быстрыми и медленными переменными [6; 7] и к теореме усреднения [5].
В данной работе доказана теорема о существовании предела максимального среднего для непрерывной почти периодической функции и неавтономного дифференциального включения с периодической по времени £ правой частью при выполнении условия кратной достижимости для задачи (1.1).
2. Кратная достижимость
Множество достижимости задачи (1.1) в момент времени £ ^ 0 обозначим
п(г,х0) = {у е М" : зх е х(х0), х(г) = у}.
Будем говорить, что для задачи (1.1) выполняется условие кратной достижимости, если (VI > 0)(3 ДФ > 0)(Ух0 е М")(3а е М") и существует целое к < Д*/Т такое, что брус
К (а, I) = {у е М" : aj ^ у^ ^ aj + I}, а = (ах, .. ., ап)
содержится в множестве достижимости В(кТ,хо).
Условие кратной достижимости выполняется для любого Т > 0, если постоянный невырожденный компакт О0 содержится в выпуклой оболочке множества допустимых скоростей О(Ь,х) для любого В следующем примере множество допустимых скоростей
О(г) = {V е М" : \vj — 1 - я1п(£)| < 1,3 = 1,...,п}
при любом £ содержит единственный вектор V = (VI,... ^п) с координатами VI = = • • • = V" = 1, которые зависимы:
Vlkl + • • • + vnkn = 0, п = 2, 3, ...,
где kj = 1,3 = 1,... ,п — 1,к" = —п + 1, а множество Оо = {V} является вырожденным. Нетрудно показать, что и в этом случае задача (1.1) удовлетворяет условию кратной достижимости при любом Т > 0.
3. Теорема
Условие продолжимости любого решения задачи Коши (1.1) на промежуток [0, то) предполагается выполненным в следующей теореме.
Теорема 3.1. Пусть отображение О : М х М" ^ К(М") является Т-периодическим по £ е М и для задачи (1.1) выполняется условие кратной достижимости. Тогда для любой непрерывной почти периодической функции
I : М" ^ М предел максимального среднего (1.2) существует равномерно по начальному вектору хо € М" и не зависит от хо.
Доказательство. Воспользуемся критерием [6, теорема 5.2] существования равномерного по начальным условиям предела максимального среднего, не зависящего от х0. Для задачи (1.1) критерий формулируется в следующем виде: (V£ > 0)(3 Д0 > 0) (Vа € М")(У Ь € М") (Vха € X(а))(3хь € X(6)) (V Д > Д0) выполняется неравенство
Я(Д,ха) < 5(Д,хь)+ £■ (3.1)
Так как функция I почти периодическая, то для данного £ > 0 существует число I > 0 такое, что любой брус К(с,1),с € М" содержит вектор а + р для некоторого £/2-периода р функции I и
\1 (х + р) - I(х)| < £/2, х € М". (3.2)
Из условия кратной достижимости следует, что существует Д* > 0 такое, что при целом к, кТ = Ь* ^ Д* найдется вектор с € М", для которого выполняются включения
а + р € К(с,1) С В(Ь*,Ь).
Следовательно, существует решение х* € X(Ь), удовлетворяющее соотношению х*(Ь*) = а + р. Так как Ь* = кТ, а 0(Ь + Т,х) = 0(Ь,х), то можно определить решение хь € X(Ь) следующим образом:
хь(Ь) = { х*(Ь)' — 0 ^ Ь ^ (33)
\ а + р + /0 * ха(а) ¿в, Ь > Ь*.
Воспользуемся равенством
г-А {• t* +А
/ I(хь(Ь)) ¿Ь = I(хь(Ь)) ¿Ь + I(хь(Ь)) ¿Ь - I(хь(Ь)) ¿Ь. (3.4)
./о J0 Jt* ./А
Здесь для среднего интеграла из (3.3) следует
,Л,+А лА ,-А
/ I(хь(Ь)) ¿Ь = I(хь(Ь + Ь*)) ¿Ь = I(р + ха(Ь)) ¿Ь. (3.5)
-'о -'о
Первый и третий интегралы в правой части (3.4) оцениваются одинаково. Например,
\ I(хь(Ь)) ¿Ь\ < ^Д*, Iо = вир{Ц(х)\ : х € М"}.
о
Следовательно, из (3.4), с учетом (3.2) и (3.5) получим
\5(Д, хь) - 5(Д,ха)\ < + 2.
Если в качестве До из критерия существования предела максимального среднего взять число 4!оД*/£, то при Д ^ До для решения хь € X(Ь) выполняется неравенство (3.1). Теорема доказана. Замечание. Для задачи Коши
х € 0(Ь,х), х(Ьо) = хо (3.6)
с начальным вектором хо € М" в произвольный начальный момент времени Ьо € М теорема 3.1 остается в силе с очевидным уточнением заключения теоремы: ■■■
предел максимального среднего (1.2) существует равномерно по хо е М", £о е М и не зависит от хо и ¿о. Это следует из простых соображений с учетом равенства
справедливого для целого к, которое вытекает из периодической зависимости по £ правой части дифференциального включения. Здесь X(£о,хо) — множество всех решений задачи (3.6), определенных в промежутке [£о, то).
[1] Филатов О.П. Существование пределов максимальных средних для почти периодических функций // Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучная серия. 1998. № 2(8). С. 69-73.
[2] Филатов О.П. Существование пределов максимальных средних // Математические заметки. 2000. Т. 67. Вып. 3. С. 433-440.
[3] Филатов О.П. Теорема усреднения для почти периодических функций // Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучная серия. 2012. № 6(97). С. 100-112.
[4] Филатов О.П. Теорема об усреднении для неопределенных условно-периодических движений // Математические заметки. 2011. Т. 90. Вып. 2. С. 318-320.
[5] Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.
[6] Филатов О.П. Усреднение дифференциальных включений и пределы максимальных средних. Самара: Универс групп, 2009. 176 с.
[7] Филатов О.П., Хапаев М.М. Усреднение систем дифференциальных включений. М.: Изд-во Московского университета, 1998. 160 с.
References
[1] Filatov O.P. The existence of limits of maximal means for almost periodic functions. Vestnik SamGU. Estestvennonauchnaya seria. 1998. no. 2(8). pp. 69-73 [in Russian].
[2] Filatov O.P. The existence of limits of maximal means. Mathematicheskie Zametki. 2000. V. 67. no. 3. pp. 433-440 [in Russian].
[3] Filatov O.P. Averaging theorem for almost periodic functions. Vestnik SamGU. Estestvennonauchnaya seria. 2012. no. 6(97). pp. 100-112 [in Russian].
[4] Filatov O.P. Averaging theorem for indefinite conditionally periodic motions. Mathematicheskie Zametki. 2011. V. 90. no. 2. pp. 318-320 [in Russian].
[5] Arnold V.I. Mathematical methods of classical mechanics. M.: Nauka. 1989. 472 p. [in Russian].
[6] Filatov O.P. Averaging of differential inclusions and the limits of maximal means, Samara: Univers grupp. 2009. 176 p. [in Russian].
[7] Filatov O.P., Hapaev M.M. Averaging systems of differential inclusions. M.: Izd-vo MGU, 1998. 160 p. [in Russian].
Литература
472 с.
O.P. Filatov2
THE LIMITS OF MAXIMAL MEANS AND NO AUTONOMOUS DIFFERENTIAL INCLUSIONS
The existence theorem of the limit of the maximum average for almost periodic functions on a stand-alone solutions of no autonomous differential inclusion, the right part of which depends on the time periodically is proved.
The main condition is a condition of multiple attainability for a differential inclusion. This condition is satisfied, for example, for a constant right-hand side, which does not belong to the eigenspace of speeds. The result is related to the theory of averaging of differential inclusions with slow and fast variables.
Key words: no autonomous differential inclusions, time-periodic right-hand side, almost periodic functions, limit of the maximum average.
Статья поступила в редакцию 2/X/2015. The article received 2/X/2015.
2Filatov Oleg Pavlovich (filatov_oleg@samaradom.ru), the Dept. of Mathematics and Mechanics, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.
