Теорема усреднения в условиях неограниченных скоростей для почти периодических функций

Филатов О.П.

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2013. № 3(104)

УДК 517.928.1

53

ТЕОРЕМА УСРЕДНЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОГРАНИЧЕННЫХ СКОРОСТЕЙ ДЛЯ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ1

Доказано, что предел максимального среднего не зависит от начальных условий, если существует луч из выпуклой оболочки множества допустимых скоростей конечномерного пространства, координаты направляющего вектора которого независимы относительно спектра почти периодической функции. Множество допустимых скоростей — правая часть дифференциального включения. Предел вычисляется по всем решениям задачи Коши для дифференциального включения.

Ключевые слова: предел максимального среднего, теорема усреднения, дифференциальное включение, неограниченная правая часть, почти периодическая функция, независимые координаты направляющего вектора луча.

1. Основные сведения

Согласно классической теореме усреднения [1], пространственное среднее непрерывной 2^-периодической (по каждой координате) функции f : Rn ^ R, определяемое соотношением (годящимся и для почти периодической функции)

m(f) = lim -1- i f (y) dy, y = (y1,...,yn), А^ж Д" J к (А)

где K(Д) = {y G Rn : 0 ^ yj ^ Д, j = 1,... ,n}, совпадает с ее временным средним

..... 1А

А^то Д

1 [А

"(f)=hm— f(yo + tu) dt, ш = (ш1у... ,Ш"), Д Jo

если координаты вектора ш независимы (к1Ш1 + • • • кпшп =0 ^ к\ = • • • = кп = = 0 для целочисленных к1,... ,кп). В частности, временное среднее не зависит от начального вектора уо € Кп. Последнее утверждение полезно рассмотреть в более общей постановке.

Пусть дано дифференциальное включение

у € С, у(0) = уо, (1.1)

хРабота поддержана грантом РФФИ 13-01-97002-р_поволжье_а.

2Филатов Олег Павлович ([email protected]), кафедра уравнений математической физики Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

где непустое множество О С К". Под решением задачи Коши понимается функция у : [0, то) ^ К",у(0) = уо, абсолютно непрерывная на любом отрезке [0, А], А > 0, производная которой у(Ь) = йу(1)/А € О почти всюду по £ € [0, то). Временное среднее заменим на предел максимального среднего

где У (уо) — множество всех решений задачи (1.1).

Вопрос: при каких условиях М(/) существует и не зависит от начального вектора у0 € К"?

Если множество допустимых скоростей О С К" компактное и невырожденное (т. е. не содержится в подпространстве из К" размерности (п — 1)), то в [2] получен утвердительный ответ на этот вопрос для непрерывных почти периодических функций.

В [3] для вырожденного случая О = {аш,ш}, где постоянная а € (0,1], а вектор ш € К" имеет независимые координаты, доказано, что М(/) существует и не зависит от начального вектора в классе непрерывных (или хотя бы интегрируемых по Риману) периодических функций /. Заметим, что интегрируемый случай требует выполнения естественных дополнительных условий [3].

В работе [4] доказано, что если выпуклая оболочка компактного множества О С К" содержит вектор ш € К" е независимыми координатами относительно спектра Л(/) непрерывной почти периодической функции / (если Лд(/)— линейная оболочка спектра над полем рациональных чисел Q, вектор Л € ЛQ (/) и А1 ш\ + ■ ■ ■ + Л"Ш" = 0 ^ Л = (Л1,..., Л") = 0), то предел максимального среднего существует и не зависит от начального вектора уо € К".

В [5] для невырожденного и неограниченного множества допустимых скоростей О С К" и периодической функции / установлено, что если полупрямая Уо + 1о, где 1о = {х € К" = ^ 0}, Уо = 0, содержится в выпуклой оболочке множества О, а координаты вектора ш независимы, то М(/) существует и совпадает с точной верхней гранью /нир значений функции /.

В данной работе последний результат обобщается на случай, вообще говоря, вырожденного и неограниченного множества О, которое определяет набор допустимых скоростей в задаче (1.1), и непрерывной почти периодической функции / : К" ^ К.

2. Основной результат

Далее нам потребуется лемма из работы [4, лемма 4. 6], которая ниже формулируется в несколько измененном виде.

Лемма 2.1. Пусть для задачи (1.1) О С К" и со(О) = со{ш1,ш2}, где Ш1 = = аш,ш2 = ш,а € (0,1], и координаты вектора ш независимы относительно спектра Л(/) тригонометрического многочлена /. Тогда предел максимального среднего

лел

где Л = Л(/)— конечное множество из К"= —1, комплексная постоянная с(Л) =0 для любого Л € Л(/), (Л,х) = Л1Х1 + ■■■ + Л"Х", предел максимально-

(1.2)

М*(/, к) = т(/) + М*(/о, к), /о = / — т(/), / (х) = ^2 с(Л) ехр({{Л, х)), х =(Х1,...,Х"), Л = (Ль ..., Л"), (2.1)

го среднего для функции fc вычисляется по формуле

M*(fo,k) = sup ф(с,к), ф(с,к)=1(к+ ~imf°fcl, к =1/а, (2.2)

c^o l + (k - l)m(xC)

здесь X0 — характеристическая функция множества {x € М" : f0(x) ^ с}.

Зафиксируем число S > 0 и направляющий вектор ш € М" луча ¡s (ш) = {x € € М" : x = tu,t > S}.

Теорема 2.1. Пусть вектор ш € М" имеет независимые координаты относительно спектра непрерывной почти периодической функции f : М" ^ М, и для некоторого S > 0 выполняется включение

¡s (ш) С co(G) (23)

для множества допустимых скоростей G дифференциального включения (1.1). Тогда предел максимального среднего M (f) существует и M (f) = fsup.

Доказательство состоит из двух этапов. Сначала рассмотрим случай тригонометрического многочлена f (2.1).

В силу условия (2.3) воспользуемся леммой 2.1. Для этого введем обозначения

Ш1 = Sш, Ш2 = Ш2^) = to,

где t > S. Тогда а = S/t, к = t/S. Кроме того, пусть с0 = (fo)sup = fsup — m(f). Можно считать, что со > 0, поэтому возьмем произвольное y € (0, min{1,co/2}) и зафиксируем постоянную с € [с*,с0), где с* = с0 — y. Так как m(fox<0) ^ ст(хС0), то

(к — 1)ст(х°) с

Ф(с,к) > -

1 + (k - 1)т(х0) 1 + (т(х0)(k - 1))-1'

Положим ko = ko(j) = 1 + c*/(Ym(x°t)). Так как y G (0, c*), то при k ^ ko получим оценку

p(c*,k) > c*/(1 + y/c*) > c*(1 - y/c*) = c* - y = Co - 2y.

Тем более

M *(fo ,k)=sup v(c,k) > co - 2y, k > ko(Y).

Поскольку M*(fo,k) ^ co, то при k ^ ko(^) выполняются неравенства

co - 2y < M*(fo,k) < co.

Следовательно, fsup - 2y < M*(f,k) < fsup. Так как fsup > M(f) > M*(f,k) для любого k = k(t), то

fsup - 2y < M (f) < fBUp.

Переходя к пределу при y ^ 0, получим M(f) = fBUp, поэтому для тригонометрических многочленов теорема верна.

В общем случае для произвольного е > 0 по известной теореме об аппроксимации для почти периодической функции f подберем тригонометрический многочлен P, чтобы выполнялись соотношения

P < f, f - P < е. (2.4)

В частности,

Psup = fsup - ер, ер G [0, е]. (2.5)

Используя обозначения, введенные на первом этапе доказательства, для фиксированного к = t/S вычислим пределы максимальных средних M*(P,k),M*(f,k) для дифференциального включения

y е{шьш2}, y(0) = yo.

C учетом (2.4) получим

M* (P, к) < M*(f, к), 0 < M*(f,k) - M* (P, к) < е. (2.6)

Если к ^ ко(е), то при к ^ ko, как было установлено на первом этапе доказательства, с учетом (2.5) выполняются соотношения

M*(P, к) > PSUp - е = fSUp - ер - е.

Отсюда и из (2.6) получим оценки

fsup - 2е < M* (f, к) < fBup,

если к > ко(е). Поскольку fsup > M(f) > M*^,к),то fsup - 2е < M(f) < fsup. В силу произвольности е > 0 получим M(f) = fBup. Теорема доказана.

Заметим, что для данной почти периодической функции f : Rn ^ R почти любой (в смысле меры Лебега) вектор ш G Rn имеет независимые координаты относительно спектра функции.

Литература

[1] Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука. 1989. 472 с.

[2] Филатов О.П. Существование пределов максимальных средних // Математические заметки. 2000. Т. 67. Вып. 3. С. 433-440.

[3] Филатов О.П. Теорема об усреднении для неопределенных условно-периодических движений // Математические заметки. 2011. Т. 90. Вып. 2. С. 318-320.

[4] Филатов О.П. Теорема усреднения для почти периодических функций// Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучная серия. 2012. № 6(97). С. 100-112.

[5] Филатов О.П. Принцип максимума для почти периодических функций в задачах вычисления пределов максимальных средних // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценов-ские чтения - 2009: материалы научной конференции, Санкт-Петербург, 13-18 апреля 2009 г. СПб.: БАН, 2009. С. 111-117.

Поступила в редакцию 24/7/2013; в окончательном варианте — 24/7/2013.

THE THEOREM OF AVERAGING IN THE CONDITION OF UNLIMETED SPEED FOR ALMOST-PERIODIC

FUNCTIONS

It is proved that the limit of maximal mean is an independent variable of initial conditions if an axis exists from the convex hull of a set of permitted speeds out of a finite-dimensional space and the components of direction vector of the axis are the independent variables with respect to a spectrum of almost-periodic function. The set of permitted speeds is the right hand of differential inclusion. The limit of maximal mean is taken over all solutions of the Couchy problem for the differential inclusion.

Key words: limit of maximal mean, theorem of average, differential inclusion, unlimited right side, almost-periodic function, independent components of direction vector of the axis.

Paper received 24/7/2013. Paper accepted 24/7/2013.

3Filatov Oleg Pavlovich ([email protected]), the Dept. of Mathematics and Mechanics, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.

Теорема усреднения в условиях неограниченных скоростей для почти периодических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Филатов О. П.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Филатов О. П.

THE THEOREM OF AVERAGING IN THE CONDITION OF UNLIMETED SPEED FOR ALMOST-PERIODIC FUNCTIONS

Текст научной работы на тему «Теорема усреднения в условиях неограниченных скоростей для почти периодических функций»