Вычисление пределов максимальных средних для периодических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2011. № 2(83)

УДК 517.928.1

75

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ МАКСИМАЛЬНЫХ СРЕДНИХ ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

© 2011 О.П. Филатов1

Для периодической функции, зависящей от времени и основных переменных, и дифференциального включения с постоянной правой частью получены двусторонние оценки предела максимального среднего. Доказана теорема существования предела максимального среднего.

Ключевые слова: предел максимального среднего, дифференциальное включение, двусторонние оценки.

Введение

Рассмотрим дифференциальное включение

Y е G, 7(*0) = Уо, (1)

где компактное множество G С Rm, начальные условия (to,yo) е D = R х Rm. Множество всех решений задачи (1) (в смысле Каратеодори), определенных в промежутке [to, го), обозначим r(to,Уо).

Определим класс P функций f : D ^ R, (t,y) ^ f (t,y), y = (yi,... ,ym) следующими условиями: 1) по переменной t е R функция f измерима (по Лебегу), по переменной y е Rm непрерывна; 2) существует постоянная Cf > 0 такая, что \f(t,y)\ ^ Cf для любых (t,y) е D; 3) по любой переменной t,yi,... ,ym функция f является Т-периодической.

Для функции f : D ^ R предел максимального среднего

1 pto+A

Mf = Ш sup - f (t,Y(t)) dt. (2)

7er(to,yo) -Jto

Выпуклую оболочку множества G С Rm обозначим символом co(G), а внутренность множества A С Rm — int(A). Кроме того, введем обозначение для бруса Km(yo,l) = [yoi,yoi +1] Х---Х [yom, yom +l] С Rm и для бруса K (to,yo,l) = [to,to + + l] х Km(yo, l), где (to, yo) е D,l> 0.

Если int(co(G)) = 0, а функция f е P (или является почти периодической), то предел максимального среднего Mf существует и не зависит от начальных условий (см. теорему 1), в частности, можно считать to = 0. Наряду с (2) рассмотрим

1Филатов Олег Павлович ([email protected]), кафедра уравнений математической физики Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

максимальное среднее на отрезке [0, А]

1 ря.

Mf = sup sup А f (t, y(t)) dt, (3)

VotKm 7er(0,yo) А J0

где Km = Km(0,T). Если А = nT для целого n, то в силу периодичности функции f имеем M f ^ Mf. Следовательно, если для заданного е > 0 можно указать такое А, чтобы выполнялась оценка Mf ^ Mf —е, то исходная задача вычисления предела максимального среднего с заданной точностью сводится к задаче (3) (см. теорему 2).

1. Теорема существования

В работе [2] для непрерывной почти периодической функции / : Кт ^ К и невырожденного компакта О С Кт (то есть множество О не содержится в подпространстве размерности (т — 1)) доказана теорема о существовании предела максимального среднего и его независимость от начальных условий. В данном случае функция / зависит от переменой £ € К, по которой требуется только измеримость, поэтому формальная ссылка на [2] требует пояснений. Более того, так как размерность пространства Б увеличилась на 1 по сравнению с автономным случаем, то к компакту О предъявляются более жесткие требования (см. теорему 1). Теорема существования доказывается для почти периодической функции / : Б ^ К.

Определение 1. Функция / : Б ^ К называется почти периодической, если для любого е > 0 существует постоянная I = ¡(е) > 0 такая, что любой брус К (¿о, уо, ¡) содержит е-почти период (ро,р) € Б функции /, то есть I/(Ь + ро,у + + Р) — /(¿,У)1 < £ У(Ь,у) € Б.

Определение 2. Среднее

1 <-г0 +Д

I(Д,Ьо,Уол) = д Jt /(¿г()) 7 € Г(Ьо,уо)

равномерно сверху асимптотически не зависит от начальных условий, если для любого £ > 0 существует До такое, что для произвольных начальных условий (¿1,0,1), (¿2,02) € Б и произвольного решения 71 € Г^,^) найдется решение 72 € Г(^2,а2), для которого выполняется неравенство 12 ^ II + £ при любом Д ^ До. Здесь I^ = I(Д, , 0j, ), 3 = 1, 2.

Следующая лемма является следствием теоремы о существовании усредненного дифференциального включения из [3].

Лемма 1. Пусть для функции / : Б ^ К выполняются условия 1), 2). Тогда равномерный предел максимального среднего Mf (не зависящий от начальных условий) существует только, если среднее I(Д,Ьо,уо,1) равномерно сверху асимптотически не зависит от начальных условий (¿о, у о) € Б.

Теорема 1. Пусть почти периодическая функция / : Б ^ К удовлетворяет условиям 1), 2) и тЬ(ео(О)) = 0. Тогда предел максимального среднего Mf, не зависящий от начальных условий, существует равномерно по (¿о, у о) € Б. Более того, существует решение € Г^о^о), для которого

1

fio+A

Mf = lim -/ f (t,Yopt(t)) dt.

AJ to

Доказательство. Зафиксируем произвольные начальные условия (11,0,1) и ^2,02) из пространства Б и произвольное решение 71 € Г(^4,01).

Так как гпЬ(ео(0)) = 0, то для произвольного е > 0 и I = ¡(е) из определения 1 существуют то = то(е) и вектор хо € Кт такие, что для любого т € [то,то + ¡] выполняется включение

Кт(хо, ¡) С (02 + тсо(О)). (4)

Брус К(Ь2 +то,хо,1) содержит точку г +ро,01 +р) для некоторого е-почти периода (ро,р) функции I. В частности, для г* = г1 + ро выполняются неравенства г2 + + то ^ г* ^ Ь2 + то + ¡. Рассмотрим задачу Коши

7 € О, ч(Ь2) = 02, (5)

для которой множество достижимости в момент времени г = г* равно

гЬ*

02 + О ¿г = 02 + (то + 5)со(О). Л2

Здесь неотрицательное число 6 = г* — Ь2 — то ^ ¡. Отсюда и (4), где т = то + 6, следует существование решения х(г) задачи (5) такого, что х(г*) = а1 + р. Теперь определим решение задачи (5)

х(г), если г2 ^ г ^ г* если г ^ г*, для которого среднее

1 гЬ* 1 гЬ2 + А

12 = д I (г,х(г)) ¿г + - I (ггп(г — г* + г1)+ р) ¿г.

'^2 Ь*

Первое слагаемое в правой части этого равенства обозначим .11, а второе — .12. Так как г* — г2 ^ I + то, то с учетом условия 2) получим неравенство \.1\ ^ Cf (I + + то)/Д. Для оценки слагаемого .2 выполним в интеграле замену переменной а = г — г* + г1 = г — ро. Тогда

.2 = х/ I (а + ро,ц(а)+ р) ¿а, Д > I + то.

( = ( х(г), если г2 < г

12( ) \ 71(г — г* + г1)+ р, если г >г*

ДJ ы

Следовательно,

1 Г*1+А

12 — 11 = .11 + Д j Ц(а + ро,^1(а)+ р) — 1(а,л(а))] ¿а+ 1 Л2+А-Р0

+ Д I(а + ро,л(а)+ р) ¿а.

Д ■> Ь1 + А

Здесь последнее слагаемое оценивается так же, как и .1, поэтому с учетом условия 3) правая часть полученного равенства по модулю не превосходит Cf (I + + то)/Д + е + Cf (I + т0)/Д = 2Cf (I + то)/Д + е. Таким образом, получена оценка 12 — 11 ^ 2Cf (I + то)/Д + е. Если принять До = rr№x{2Cf (I + то)/е, I + то}, то при Д ^ До получим 12 — 11 ^ 2е. Следовательно, по лемме 1 предел максимального среднего существует равномерно по (г о, У о) € Б. Доказательство существования оптимального решения 7орЬ задачи (1) принципиально не отличается от доказательства из [2], поэтому не приводится. Теорема доказана.

Замечание 1. Если внутренность выпуклой оболочки компакта О С Кт пуста, то можно показать, что предел максимального среднего Mf для почти периодической функции I и произвольного компакта О существует, но в общем случае зависит от начальных условий (го,уо) € Б.

2. Оценки предела максимального среднего

Если %п1(со(О)) = 0, то для любого достаточно большого т > 0 множество тсо(О) содержит некоторый брус Кт(го,Т), где го € Кт зависит от т. Для компакта О его выпуклая оболочка также компактна, поэтому существует минимальное значение из таких т, обозначаемое то = то (О). В следующей теореме еп = = 2тоС ¡/(пТ).

Теорема 2. Пусть функция / € Р, гп1(со(О)) = 0, и для целого п выполняется неравенство п ^ то/Т. Тогда для Д = пТ имеют место оценки

мД — еп < м{ < мД.

Если п > 2тоС }/(Те), то МД — е < М} < МД.

Доказательство. Пусть ГД(0, уо) — сужение множества всех решений Г(0, уо) на отрезок [0, Д], Д = пТ. В равномерной метрике ГД(0, уо) — компакт (см., например [1, теорема 6, с. 216]). Поэтому непрерывный функционал I(Д, 0,уо, •), определенный на компакте ГД(0, уо), принимает максимальное значение МД(уо) на некотором решении 7 € ГД(0,уо). Функция МД(уо) непрерывно зависит от уо € Кт, поэтому принимает максимальное значение М Д на некотором векторе у™ах € Кт. Таким образом, существует оптимальная пара (утах,7тах). Следовательно,

МД = I (Д, 0,утах,чтах), € ГД(0,утах).

Обозначим = Д — то,у* = 7тах(1*). Так как для некоторого го € Кт имеет место включение

Кт(го,Т) С (у* + тосо(О)),

то существует решение х € Г(1*,у*), для которого х(Д) = утах + (п{Т,... ,птТ), где п1,..., пт— целые числа.

Далее, для целого п ^ то/Т построим решение 7п задачи (1) на отрезке [0, Д], Д = пТ, где ¿о = 0, уо = утах, следующим образом:

(t)=j Ymax(t), если 0 < t < t*, Yn(t)=1 x(t), если t* < t < Д.

Продолжим периодически соответствующее управление пп(1) = на весь про-

межуток [0, то) с периодом Д, а затем определим решение 7п € Г(0, утах) по формуле Лейбница

Yn(t)=ymax + ! un(s) ds. Jo

Так как

1 ff

Mf — I(Д, 0,y0max,Yn) = Д Jt (f (t,7max(t)) — f (t,x(t))) dt,

то Mf — I(Д, 0,y™ax,7n) ^ en. Заметим, что функция f (t,jn(t)) по построению Д-периодическая по переменной t, поэтому

I (Д, 0,ymax,Yn) = lim I (l, 0,ymmax,Yn).

l—

Так как Mf — en < I (Д, 0,ymax,YE) ^ M f < Mf, то для заданного e > 0 неравенство n ^ 2t0C f/(eT) влечет оценку Mf — e ^ M f ^ Mf. Теорема доказана.

Замечание 2. Для произвольной функции f G P может и не существовать оптимального периодического управления. С другой стороны, можно указать периодическое управление, которое определяет решение ye задачи (1), вдоль которого

соответствующее среднее отличается от предела максимального среднего не более наперед заданного е > 0.

Литература

[1] Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Труды Математического института АН СССР. 1985. Т. 169. С. 194-252.

[2] Филатов О.П. Существование пределов максимальных средних // Математические заметки. 2000. Т. 67. № 3. С. 433-440.

[3] Филатов О.П. О существовании усредненого дифференциального включения // Диференциальные уравнения. 1989. Т. 25. № 25. С. 2118-2127.

Поступила в редакцию 10/////2011; в окончательном варианте — 10/////2011.

THE EVOLUTION OF LIMITS OF MAXIMAL MEANS FOR PERIODIC FUNCTIONS

© 2011 O.P. Filatov2

For the periodic function depending on the time and base variables and differential inclusion with constant right hand the two-sided estimates of the limit of maximal mean is established. The existence of the theorem of limit of maximal mean is proved.

Key words: limit of maximal mean, differential inclusion, double-ended estimates.

Paper received 10/////2011. Paper accepted 10/////2011.

2Filatov Oleg Pavlovich (filatov_olegasamaradom.ru), the Dept. of Mathematics and Mechanics, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.