CC BY
30
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2010. № 6(80)
УДК 517.928.1
87
ТЕОРЕМА УСРЕДНЕНИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
© 2010 О.П. Филатов1
Доказано, что предел максимального среднего равен сумме пространственного среднего функции и добавки. Добавка зависит от отношения максимальной нормы скорости к минимальной норме. Если максимальная норма совпадает с минимальной, то получается классическая теорема усреднения.
Ключевые слова: тор, рационально независимые числа, дифференциальное включение, усреднение, предел максимального среднего.
1. Постановка задачи
Для функции f : R" ^ R и дифференциального включения
y е G, y(0) = a, (1)
где множество G С R", начальный вектор a е R", y — производная по времени t е R, предел максимального среднего M(f) определяется соотношением
M(f )=limsup-/Tf (y(t)) dt. (2)
T ^^^ yev t J о
Здесь Y — множество всех решений (в смысле Каратеодори) задачи (1), определенных в промежутке [0, ж). Вычисление подобных пределов связано с построением правых частей усредненных дифференциальных включений для эволюционных задач с быстрыми и медленными переменными [1].
В работах [2; 3] в одномерном случае (n = 1) для периодической локально интегрируемой по Лебегу функции fo (для определенности периода 2п) с нулевым средним и множеством допустимых скоростей
G = {vi,v2} С R, 0 <v\ < v2
дифференциального включения (1) получена формула для вычисления предела максимального среднего (2) следующего вида:
Л/Г({) (k - 1)Ic 1 V2 io\
M (fo)=sup2 ——, k =—. (3)
c^o 2n + (k - 1)^c Vi
Здесь ¡(-) — мера Лебега на R,
Ic = i fo(y) dy, Kc = {y е [0, 2n] : fo(y) ^ c}, ¡c = ¡(K). JKC
•^Филатов Олег Павлович (filatov_oleg@samaradom.ru), кафедра уравнений математической физики Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
В [3] приведен и более общий результат для локально интегрируемой по Лебегу функции g : R ^ R с нулевым средним, который потребуется при доказательстве основной теоремы:
M«(g) = lim sup 1 ^ . (4)
c^0 1 + (k - 1)^0,T
Здесь
Ic,T = 1 i g(t) dt, Rc,t = {t e [0, T] : g(t) > c}, Цс,т = ^(R°'T).
J RC,T
Оказывается, что в многомерном случае (n > 1) при определенных условиях можно получить аналог соотношения (3). С этой целью зафиксируем вектор ш = = (ш\,... ,шп) e Rn, число a e (0,1], начальный вектор a = (ai ...,an) e Rn и рассмотрим дифференциальное включение
y е{аш,ш}, y(0) = a, (5)
определяемое допустимыми скоростями аш и ш. Решением задачи (5) называется функция y : [0, ж) ^ Rn,y(0) = a, абсолютно непрерывная на любом отрезке из промежутка R+ = [0, ж), производная которой y почти всюду принадлежит множеству допустимых скоростей.
Рассмотрим функцию f : K ^ R на n-мерном кубе K = [0, 2п] х ■ ■ ■ х [0, 2п], которая 2п-периодически по каждой координате yj продолжается на все пространство Rn, j = 1,... ,n. Другими словами, функция f задана на n-мерном торе.
Если а = 1, то единственное решение y(t) = a + to задачи (5) определяет условно-периодическое движение в пространстве Rn. Поэтому в случае a e (0,1] будем говорить о неопределенном условно-периодическом движении в Rn, которое задается дифференциальным включением (5).
Если координаты вектора ш, называемые частотами, независимы (равенство к\ш\ + ■ ■ ■ Ьпшп = 0 для целочисленных ki,... ,kn влечет ki = ■ ■ ■ = kn =0), функция f (a + to) локально интегрируема по Риману в промежутке R+, то пространственное среднее функции f, определяемое формулой
m(f ) = f (y) dy,
совпадает с ее временным средним
1
1
lim — f (a + to) dt.
T Jo
Этот результат известен как теорема об усреднении для условно-периодических движений на торе. Строгое доказательство теоремы было получено в 1909 году П. Бойлем, В. Серпинским и Г. Вейлем. Доказательство Г. Вейля можно прочитать в книге В.И. Арнольда [4]. В данной работе теорема усреднения обобщается на случай неопределенных условно-периодических движений, при этом среднее значение функции естественно заменяется на предел максимального среднего
M(f )= lim sup1/ f (y(t)) dt,
y€y T Jo
где У — множество всех решений задачи (5). С другой стороны, для такой задачи (см. п. 2) получается обобщение соотношения (3) на многомерный случай.
Теорема усреднения.
89
2. Теорема усреднения
Пусть Х(-),^(-) — меры Жордана соответственно на К" и К, функция /о = = / — т(/) имеет нулевое пространственное среднее,
Кс = {у е К : /о(у) > с}, 1С = ( /о(у) ¿у, Хс = Х(КС).
зкс
Кроме того, обозначим к = 1/а и введем функцию
ф(к с) (к — Ус
*(к,С)=(2п)" + (к — 1)Ас .
Стандартным способом разобьем п-мерный куб К на попарно непересекающиеся кубики Ку,з е J, число которых \.1\ = I",1 = 1, 2,... . Из множества индексов J выделим подмножества
Jc,l = {з е J : Ку с Кс}, Jc,2 = {з е J : Ку п Кс = Ц,
которые определяют элементарные аппроксимирующие множества для данного жорданова множества Кс соответственно
Кс,1 = и Ку и Кс,2 = и Ку.
Определение 1. Семейство множеств {Кс}, с е К+ называется равномерно измеримым, если для любого е > 0 существует такое ¡о, что для любого целого I ^ ¡о и любого с е К+ выполняется неравенство
Х(Кс,2) — ЦКс,1) < е.
Заметим, что семейство {Кс} равномерно измеримо, если граница любого множества Кс имеет (п — 1)-мерную жорданову меру, которая не превосходит некоторой общей для всего семейства постоянной. Для т > 0 введем обозначения
Ну т = ^
е [0,т] : (а + Ьш) е Ку modd 2п}, г = тах{1, вир \/0(у)\},
уек
Ну,т,с = О е [0, т] : (а + Ьш) е Ку П Кс modd 2п}.
Теорема. Пусть частоты ш1,...,ш„ - независимы, 2п-периодическая по каждой координате функция / : К" ^ М интегрируема на п-мерном кубе К по Риману, а /(а + Ьш) локально интегрируема на М+ по Риману, и при любых с е К, т > 0 множества Кс, Кст измеримы по Жордану, при этом семейство множеств {Кс}, с ее М+ равномерно измеримо. Тогда предел максимального среднего М(/) для задачи (1), (5) вычисляется по формуле
М (/) = т(/)+вир *(к,с). (6)
Доказательство. Функция /о : К" ^ К имеет нулевое пространственное среднее, поэтому по теореме усреднения [4, с. 251-254] пространственное среднее этой функции совпадает с временным средним функции /о (а + Ьш). Следовательно, функция д(в) = /о(а+зш) имеет нулевое среднее. Так как М(/) = т(/)+М(/о), то достаточно вычислить предел максимального среднего для функции /о. Заметим, что имеет место соотношение М(/о) = М*(д), где предел максимального среднего
1
1 Г
М*(д) = Ит вир — д(в(Ь)) ¿Ь. Тт Зо
Здесь Б — множество всех решений задачи
в е{а, 1], в(0) = 0,
рассматриваемых в промежутке [0, ж). Следовательно, по формуле (4) получим М(/с) = М*(д) = Иш вир 1 1)1/°'т . (7)
тс^с 1 + (к - 1)/с,т
Здесь
Ис,т = {Ь е [0, г] : /с(а + Ьш) > с}, Цт = /с(а + Ьш) ¿Ь, /с,т = ^^).
Т ¿Пет Т
Пусть хс : ^ ® — характеристическая функция множества Кс. Точную нижнюю грань функции /сХС на кубике КЗ обозначим 7с3, а верхнюю - . Введем ступенчатые функции 7с и Гс, сужения которых на кубик КЗ равны соответственно и Гс 3. По построению 7с < /схс < Гс. Далее, воспользуемся соотношением
1с,т = 1 Е / /с(а + гш) ^ (8)
и учтем, что /(Щ, т, с) = /(Щ, т), если КЗ- С Кс и /(Щ, т, с) < /Щз,т) для любого Следовательно, из (8) получим двухсторонние оценки
Е 7с,з < V < Е Гсз . (9)
По следствию из теоремы усреднения [4, следствие 2, с. 252] имеем
Иш
¡¡(j) _ X(Kj)
т^ж т (2п)п
Выберем Т1 так, чтобы для заданного е > 0 при т ^ т\ и любом ' е . выполнялись неравенства
КК) < л(щ,т) < ню + ()
(2п)п г|.р т ^ (2п)п ^ г.У '
Из (9), (10) при т ^ Т1 и любом с ^ 0 имеем
Т^-1^ [ 1сЫ ¿У - е < 1с,т < ТТТ^ [ Гс(У) ¿у + е.
На основании равномерной измеримости семейства множеств {Кс} и определения интеграла Римана следует, что при достаточно большом I и любых т ^ Т1, с ^ 0 выполняются двухсторонние оценки
1 с 1 с
- 2е < 1ст < + 2е.
(2п)— ' (2п) Подобным же образом получаются оценки
\с \с
- 2е < ¡с,т + 2е
(2п)— ^ ^ (2п)—
для средней меры множества RCjT, которые, можно считать, выполняются при достаточно большом l и любых т ^ r\,c ^ 0. Полученные соотношения означают, что равномерно по c ^ 0 имеют место предельные равенства
lim ¡с т _ -—C—, lim Ic т _ -—. (11)
т^ж ' (2п)— т ^^ ' (2п)—
Теорема усреднения... 91
Следовательно, сначала можно выполнить предельный переход при т ^ ж в равенстве (7) с учетом (11), а затем перейти к вычислению точной верхней границы. В результате получим
M (fo) = sup ф,е).
c^ü
Так как M(f) = M(f0) + m(f), то теорема доказана.
Заметим, что при к = 1 получается классическая теорема усреднения. Приведем пример для n = 2. Введем ступенчатую функцию g : R ^ R, которая на отрезке [0, п] и в точке t = 2п принимает значение 1, в интервале (п, 2п) — значение — 1, и 2п-периодически продолжена на R. Тогда определена 2п-периодическая по каждой координате ступенчатая функция h : R2 ^ R, h(y) = g(y\)g(y2), У = = (yi, у2), которая имеет нулевое пространственное среднее. Для данной функции (с точностью до множества меры 0) множество Kc = [0,п] х [0, п], если 0 ^ c ^ 1. При c > 1 множество Kc = ty. Следовательно, если 0 ^ c ^ 1, то мера Ac = = A(Kc) = п2, интеграл Ic = п2. При c > 1 имеем Ac = 0,Ic = 0. Следовательно, для любого вектора ш = (ш\,ш2) с рационально независимыми координатами, например, = 1,ш2 = л/2, для задачи
1 Г
У € {аш,ш}, y(0) = a, M(h) = lim sup — h(y(t)) dt
Tyev т Jo
по формуле (6) легко вычисляется предел максимального среднего
M(h) =
(к — 1)п (к — 1)
(2п)2 + (к — 1)п2 3 + к' где, напомним, к = 1/а ^ 1, начальный вектор a € R2— произвольный.
Литература
[1] Филатов О.П., Хапаев М.М. Усреднение систем дифференциальных включений. М.: Изд-во МГУ, 1998. 160 с.
[2] Филатов О.П. Об оценках опорных функций усредненных дифференциальных включений // Математические заметки. 1991. Т. 50. Вып. 3. С. 135-142.
[3] Филатов О.П. Вычисление пределов максимальных средних // Математические заметки. 1996. Т. 59. Вып. 5. С. 759-767.
[4] Арнольд В.И. Математические методы классической механики М.: Наука, 1989. 472 с.
Поступила в редакцию 18/VJ/2010; в окончательном варианте — 18/VT/2010.
THE THEOREM OF AVERAGING AND INDETERMINATE CONDITIONAL PERIODIC MOTIONS
© 2010 O.P. Filatov2
It is proved that the limit of the maximal mean is equal to the sum of the space average of the function and the addition. The addition is the function of the maximal norm of the speed over the minimal norm of the speed. If the maximal norm is equal to the minimal norm we have the classic theorem of averaging.
Key words: theorem of averaging, torus, rational independent numbers, differential inclusion, averaging, limit of maximal mean.
Paper received 18/VI/2010. Paper accepted 18/VI/2010.
2Filatov Oleg Pavlovich (filatov_olegasamaradom.ru), the Dept. of Mathematics and Mechanics, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.
