Численный метод вычисления пределов максимальных средних для периодических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2011. № 8(89)

45

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ МАКСИМАЛЬНЫХ СРЕДНИХ ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ

ФУНКЦИЙ

Предложен метод приближенного вычисления предела максимального среднего для периодической функции, зависящей от времени и основных переменных, и дифференциального включения с постоянной правой частью.

Ключевые слова: предел максимального среднего, дифференциальное включение, периодическая функция.

Введение

Вычисление пределов максимальных средних возникает в задачах усреднения систем дифференциальных включений с быстрыми и медленными переменными. Если воспользоваться техникой опорных функций многозначных отображений, то усреднение опорных функций по быстрым переменным приводит к вычислениям подобного вида [1]. Отметим, что задача вычисления пределов максимальных средних решается, как правило, приближенными методами.

Будем говорить, что функция / принадлежит классу функций Т, если / : В ^ М, В = М хМт, (Ь, у) ^ /(Ь, у), у = (у 1,..., ут); Т-периодическая по любой переменной Ь, у1,...,ут; / € С4(В,М).

Для функции / € Т рассмотрим предел максимального среднего

где точная верхняя грань берется по всем решениям дифференциального включения

О = [а1,Ь1] х ... х [ат, Ьт] С Мт - брус, а <Ъ^, г = 1, 2,..., т.

Множество всех решений задачи (2) в смысле Каратеодори, определенных на промежутке [Ьо, то), обозначим Г(Ьо,уо).

Предел максимального среднего (1) существует и не зависит от начальных условий, то есть можно считать Ьо = 0, более того существует и оптимальное решение задач (1), (2) [2, теорема 1].

1Лепилов Александр Николаевич (lepilov_aleksand@mail.ru), кафедра уравнений матема-

тической физики Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация,

г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

© 2011 А.Н. Лепилов1

(1)

7 € О, 7(Ьо) = уо,

(2)

Рассмотрим также максимальное среднее на отрезке [0, Д]

1 [А

М;А = вир вир - /(4, 7(4)) (3)

уоек 7еГ(0,уо) Д ./0

где К = К(0, Т), К(уо, Т) = [уо1, У01 + Т] х ... х [уот, Уот + Т] С Мт - брус. Справедлива оценка предела максимального среднего (1) [2, теорема 2]

МА - £„ < М; < мА.

Здесь е„ = 2тоСу/(пТ), пТ = Д, п — целое, постоянная С > 0 такая, что /(4, у) ^ ^ С для любых (4, у) € Д, п ^ то/Т, то > 0 такое, что тоО содержит некоторый брус К(^о,Т), ¿о € Кт зависит от то. Величина то находится из соотношения то = тах {Т/(6* - а*)}.

Таким образом, задача вычисления предела максимального среднего (1) с заданной точностью может быть заменена задачей вычисления максимального среднего (3). В данной работе приведен численный метод приближенного вычисления предела максимального среднего (1).

Численный метод

Для заданного е„ > 0 зафиксируем Д = пТ. В качестве п возьмем целую часть числа 2тоС/(Те„), увеличенную на 1. Обозначим через ГА(0,уо) сужение множества всех решений Г(0,уо) на отрезок [0, Д]. Как показано в [2], решение задачи (3) существует, то есть существует оптимальная пара (утах,^тах), утах € К, 7тах € ГА(0,уОах), при которой достигается МА.

Оптимальное решение задачи (3), согласно принципу максимума Понтряги-на [3], является решением краевой задачи на отрезке [0, Д]

д

Р; = - Щ/ ), Р(Д)=°, (4)

7 € Оо(р), 7(0) = уо, где Со(р) = {и € О | тах(р, у) = (р, и}}, 3 = 1,..., т.

у^О

Решения краевой задачи (4) содержатся в классе решений следующей задачи Коши на отрезке [0, Д]:

д

Р; = - ^/ М, Р(Д) = 0, (5)

-7 € Оо(р), 7(Д) = Уа, 3 = 1, ...,т,

с начальными условиями при 4 = Д.

Для численного решения задач (3), (5) введем на отрезке [0, Д] равномерную сетку Лт = {4о, ¿1,..., tQ}, Д = 4о > ¿1 > ... > ^ =0, т = Д/ф — шаг сетки Лт. Начальное условие уа в (5) в силу Т-периодичности функции / будем брать из бруса К, на котором также введем равномерную сетку Пн С К с шагом Н > 0 по каждой из координат.

Приближенное решение задачи (3) будем искать следующим образом. Для каждого значения уА € Пн находим решение задачи (5) 75 (4), 75 (0) = , определяя на каждом частичном отрезке [£¿,£¿+1], г = 0,1,...,ф-1, управление ид(4) = 'уд(4), и вычисляем в силу Т-периодичности функции / начальное условие уд € К в момент времени 4 = 0 из условия уд = гд + 1Т € К, I € — вектор констант, к € J,

J = {1, 2,..., (T/h+1)m}. Далее определяем величину I(у0, 70)/Д, которая является численным значением среднего (Jf/(s,-0(s)) ¿в)/Д, где -0(t) = + /gWfc(s) ds, k € J. За приближенную величину максимального среднего (3) принимаем следующее значение:

f ^¿^{Д I (y0fc ,-0(t))} = Д I (yS,Ys(t)).

Интегрирование на каждом из отрезков [tj,tj+i], г = 0,1,...,Q — 1 можно производить методом Симпсона, при этом погрешность формулы Симпсона для t € [0, Д] составляет ф = T4nTM4/2880, M4 = M4(/) [4].

Далее для некоторого 5 > 0 и V7(t) € ГЛ(0,уо) определим множество Ag = = {t € [0, Д] : 3j, 1 < j < m такое, что p(t)| = |pj(Д) + /дppj (s) ds| = = Xt(—d/(s,7(s))/57j) ds < 5}.

Сформулируем условие на функцию /, которое используется в теореме об оценке погрешности приближенного вычисления предела максимального среднего (1).

Условие У. Существует целое N, Vk > 0 3 > 0 такое, что V5 € (0, 5о], и V7(t) € ГЛ(0,уо), существует конечная система интервалов (cj, dj), г = 1, 2,..., N1,

N1

N1 ^ N, (dj — Cj) ^ к, покрывающая множество Ag.

j=1

Таким образом, получаем:

1) опорное множество гиперплоскости к брусу G с нормальным вектором p есть одноточечное множество для t € [0, Д] \ Ag;

2) выбор управления 7 для t € [0, Д] \ Ag в задаче (5) происходит из конечного набора управлений, то есть Go(p) = v, v € V, V — множество допустимых скоростей, соответствующих вершинам бруса G С Rm.

Перейдем к оценке погрешности приближенного вычисления предела максимального среднего Mf.

Обозначим £i(n) = £n = 2roCf /(nT) — теоретическая погрешность, £2(т ) = т 4M4/2880 — погрешность интегрирования методом Симпсона, £з(к, h) = ¿(hy'm^ + Uк) — погрешность, обусловленная введением сеток,

m

max ||u(t) — us(t)|| < U = VR, R = YV^ — aj)2, u(t) = -7max, us(t) = 7s, teAs

j=1

L = max max If' (t, 7) — константа Липшица.

1<j<m 7i£[0,T] 7i

Теорема. Пусть функция / € F и выполнено условие У. Тогда имеет место следующая оценка:

|Mf — Sf| < £i(n) + £2(т)+ £э(к, h).

Доказательство. Рассмотрим разность

|Mf — Sf | < |Mf — Mf | + |Mf — Sf | < |Mf — Mf |+

i-A

1 /"A 1 r *

+ -KJo I/ (t, Ymax(t)) - / (t, 7s (t))| dt + ^ Jo f(t,7s(t))dt - J(yS,7s(i))

где Mf = 1 /0А/(t, 7max(t)) dt, Ymax(0) = y0max, 7s(0) = yg, причем 7max(Д) = y0

YЯ(Д) = yg и ||y0ax - ygy < h^m/2.

Оценим каждое слагаемое из правой части (6). 1. Первая разность в (6) |Mf — Mf| ^ £i(n).

2. Если значение интеграла /0Л/(t, 7s(t))dt вычислять методом Симпсона, то

J0

последнее слагаемое оценивается

1

Д

Г/(t, 7s(t)) dt - I(yS, Ys(t))

0

< т4M4/2880 = e2(r).

3. Наконец оценим второе слагаемое в (6)

1 ГЛ Т ГА

I/(^,7тах(^)) - /(*,7Я(*))1 ^ < дУо ||7тах№ - (7)

где -утах = и(4), -уя = мя(4), следовательно, по формуле Ньютона - Лейбница 7тах(4) = утах + /ли(Т) ¿т, 7= УЛ + /лия(Т) ¿т. Отметим, что на множестве [0, Д]\А управления и(4) и мя(4) совпадают.

В (7) разобъем интеграл по следующим отрезкам:

^Л||7тах(*) - ^ ^'||«(т) - «8(т)|| ¿т + ||7тах(с1) - 78(С1)^

+ /V Л«(т) - «8(т)|| ¿т + ||утах - ул0

JdN1\Jл /

+ I] /() - и8(т)|| ¿т + ||7тах№) - 78№)||)

+ NE /l "и(т) - uS(T)y dT + y7max(ci+i) - 7S(ci+i)||) dt. ¿=1 /

Видим, что разность между начальными условиями будет увеличиваться только

на промежутках (cj, dj) С Ag на величину Ui(di — ci), Uj = max ||u(t) — us(t)||,

te(ci,di)

i = 1, 2,..., N1. Тогда разность между начальными условиями в момент времени t = 0 достигнет

N1

||7max(0) - 7S(0)|| < h^m/2 + Е Uj(dj - cj) < h^m/2 + UK, max {Uj} < U.

' ^ i =1, 2 ,...,N1

¿=1 1

L /• A

Д J ||Ymax(t) - Ys(t)| dt < L(h^m/2 + Uk) = £s(k, h).

Получаем оценку правой части (7) Т

Д./ о

Теорема доказана.

Обратим внимание на то, что при решении задачи Коши (5) требуется достаточно точно находить функции р(4) и 7(4). Это диктуется теоретическим условием У.

Литература

[1] Филатов О.П. Усреднение дифференциальных включений и пределы максимальных средних. Самара: Издательство "Универс групп", 2009. 176 с.

[2] Филатов О.П. Вычисление пределов максимальных средних для периодических функций // Вестник СамГУ. 2011. № 2. С. 75-79.

[3] Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 408 с.

[4] Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.

Поступила в редакцию 22/IX/2011; в окончательном варианте — 22/IX/2011.

NUMERICAL METHOD OF AN EVALUATION OF LIMITS OF MAXIMAL MEANS FOR PERIODIC FUNCTIONS

© 2011 A.N. Lepilov2

The method of approximate calculation of limit of maximal mean for periodic function depending on the time and basic variables and differential inclusion with a constant right hand is offered.

Key words: limit of maximal mean, differential inclusion, periodic function.

Paper received 22/IX/2011. Paper accepted 22/IX/2011.

2Lepilov Alexander Nikolaevich (lepilov_aleksandamail.ru), the Dept. of Mathematics and Mechanics, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.